Уравнение состояния идеального газа

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И
ТЕРМОДИНАМИКА
Молекулярная физика и термодинамика - разделы физики, изучающие
макроскопические процессы в телах, состоящих из огромного числа частиц атомов и молекул.
Уравнение состояния идеального газа
Самой простой системой частиц является газ.
Вместо реального газа, между молекулами которого действуют сложные силы
взаимодействия, мы будем рассматривать физическую модель - идеальный газ.
Идеальным газом называется газ, в котором собственными размерами молекул
и взаимодействием между молекулами можно пренебречь. Реальные
разреженные газы ведут себя подобно идеальному, так как лишь небольшая
доля молекул в них находится в состоянии соударения.
Состояние заданной массы газа определяется значениями трех
термодинамических параметров: давления p, объема V и температуры T. Связь
между параметрами называется уравнением состояния. Уравнение состояния
идеального газа может быть записано в разных формах.
В наиболее общем виде уравнение состояния идеального газа установили
французский ученый Б.П. Клапейрон и русский ученый Д.И. Менделеев.
Уравнение Клапейрона-Менделеева имеет вид:
где p - давление; V - объем; T - термодинамическая или абсолютная
температура (вычисляется по шкале Кельвина, которая связана с температурой
); m - масса вещества, μ
по шкале Цельсия соотношением
- молярная масса;
- газовая постоянная.
Уравнение Клапейрона - Менделеева формулируется так: произведение
давления идеального газа на его объем, деленное на термодинамическую
температуру, есть величина постоянная для данной массы газа.
Отношение массы вещества к молярной массе называется количеством
вещества
1
и измеряется в молях.
Уравнению (4.1) можно придать другой вид. Обозначим через m0 - массу одной
молекулы, а N - полное число молекул. Тогда
где NA - число Авогадро.
Количество вещества равно
Подставим (4.2) в (4.1) и получим
Отношение газовой постоянной к числу Авогадро есть постоянная Больцмана
Тогда другая форма записи уравнения состояния идеального газа имеет вид
Найдем связь давления и концентрации газа.
Концентрацией называется число молекул, заключенных в единице объема:
2
Из этого следует, что давление пропорционально концентрации, т. е.
Это еще одна форма записи уравнения состояния идеального газа.
Изопроцессы
Состояние идеального газа определяется тремя параметрами: p - давление, V объем и T - термодинамическая температура. Изменение хотя бы одного
параметра приводит к новому состоянию. Для двух различных состояний
уравнение Клапейрона - Менделеева имеет вид
Переход системы из одного состояния в другое называется процессом.
Изопроцессом называется процесс, при котором один из параметров остается
постоянным. Существует три изопроцесса, законы которых легко получить из
уравнения (4.1).
Эти частные законы позволяют связать конечные параметры с начальными.
Молекулярно-кинетический смысл
абсолютной температуры
C точки зрения молекулярно-кинетической теории молекулы нагретого тела
находятся в хаотическом движении. Причем, чем выше температура T, тем
3
больше средняя кинетическая энергия
хаотического движения молекул
.
Связь между средней кинетической энергией поступательного движения
молекулы и абсолютной температурой дается формулой
где k - постоянная Больцмана,
.
Следовательно, абсолютная температура есть мера средней кинетической
энергии поступательного движения молекулы.
Формула (4.7) позволяет выяснить смысл абсолютного нуля:
, если
. Т. е. абсолютный нуль - это температура, при которой
прекращается всякое хаотическое движение молекул.
Давление может быть выражено через среднюю кинетическую энергию
поступательного движения молекулы. Если воспользоваться формулами (4.5) и
(4.7), то получим
Уравнение (4.8) называется основным уравнением молекулярно-кинетической
теории.
Давление идеального газа равно двум третям средней кинетической энергии
поступательного движения молекул, заключенных в единице объема.
Формулы (4.7) и (4.8) учитывают только кинетическую энергию
поступательного движения молекул. Однако, наряду с поступательным
движением возможны также вращательное и колебательное движение, поэтому
вводится понятие числа степеней свободы.
Внутренняя энергия идеального газа
4
Внутренняя энергия идеального газа равна суммарной кинетической энергии
всех молекул, составляющих систему (напомним, что потенциальной энергией
взаимодействия молекул идеального газа пренебрегают),
,
где
- средняя кинетическая энергия одной молекулы, N - число
молекул в системе, которое может быть найдено из формулы (4.2).
Работа в термодинамике
Если в механике работа связана с перемещением тела как целого (1.25), то в
термодинамике рассматривается перемещение частей тела. Например, если газ,
находящийся в цилиндре под поршнем, расширяется, то, перемещая поршень,
он производит над ним работу. При этом объем газа изменяется (рис. 4.2).
Рис.4.2
Таким образом
Первое начало термодинамики
Первое начало термодинамики представляет собой обобщение опытных фактов
и является по сути дела законом сохранения энергии, примененным к тепловым
явлениям.
Первое начало термодинамики имеет несколько формулировок. Одна из
формулировок гласит: количество теплоты, переданное системе, идет на
изменение внутренней энергии и на совершение системой работы над
внешними телами, т. е.
5
В этом уравнении изменение внутренней энергии находим из формулы (4.11), а
работу, совершаемую системой против внешних сил, - по формуле (4.14).
Количество теплоты может быть положительным
теплоту, и отрицательным
, если тело получает
, если тело отдает теплоту.
КПД тепловой машины
Тепловые машины могут иметь разную конструкцию. Это может быть паровой
двигатель, двигатель внутреннего сгорания, реактивный двигатель. Любой
тепловой двигатель работает по замкнутому циклу и имеет нагреватель, рабочее
тело двигателя и холодильник. Принципиальная схема тепловой машины
приведена на рис. 4.3.
Рис.4.3
В процессе работы теплового двигателя рабочее тело двигателя получает от
нагревателя количество теплоты
, совершает работу A и передает
холодильнику количество теплоты
. Для замкнутого цикла изменение
внутренней энергии равно нулю
. Следовательно, согласно I началу
термодинамики (4.15), работа, совершаемая двигателем, равна
6
.
Коэффициентом полезного действия (КПД) теплового двигателя называется
отношение работы, совершаемой двигателем, к количеству теплоты,
полученному от нагревателя
Как показывает формула (4.17), КПД тепловой машины всегда меньше единицы
Следовательно, невозможно всю теплоту превратить в работу.
Ученые всегда стремились повысить КПД. В первой половине XIX в.
французский ученый Сади Карно показал, что максимально возможное
значение КПД тепловой машины равно
где T1 - температура нагревателя, T2 - температура холодильника.
Из сравнения уравнений (4.18) и (4.19) следует, что
или
. Отсюда
На основании этого неравенства можно прийти к понятию энтропия и второму
началу термодинамики.
Повышение КПД тепловых двигателей и приближение его к максимально
возможному значению - важнейшая техническая задача. Однако, все тепловые
7
двигатели выделяют большое количество теплоты, что называется тепловым
загрязнением, и выбрасывают в атмосферу вредные для растений и животных
химические соединения. Это ставит серьезные проблемы охраны окружающей
среды.
Второе начало термодинамики. Энтропия
Второе начало термодинамики является фундаментальным законом природы.
Оно охватывает самый широкий круг природных явлений и указывает
направление, в котором самопроизвольно протекают термодинамические
процессы.
Второе начало термодинамики, как и первое, имеет несколько формулировок.
Невозможен круговой процесс, единственным результатом которого
является превращение теплоты, полученной от нагревателя, полностью в
работу.
Невозможен круговой процесс, единственным результатом которого
является передача теплоты от менее нагретого тела к более нагретому.
Эти формулировки показывают, что тепловые процессы являются
необратимыми. Мерой необратимости процесса, мерой хаотичности является
энтропия.
К определению энтропии S можно прийти на основе анализа работы тепловых
машин. Если система получает тепло
или отдает тепло
, то
состояние ее меняется. Тогда, при изменении состояния системы, можно найти
не саму энтропию, а только ее изменение, т. е.
Для тепловой машины изменение энтропии нагревателя и холодильника равны:
8
Формула
справедлива для изотермического процесса и представляет
собой термодинамическое определение энтропии. Энтропией называется
термодинамическая величина, изменение которой в системе
пропорционально изменению ее тепловой энергии, деленной на абсолютную
температуру.
Задания и вопросы для самоконтроля
1. В чем заключается молекулярно-кинетические
представления?
2. Что такое моль? Как находится молярная масса?
3. Запишите уравнение Менделеева - Клапейрона.
4. Сформулируйте закон Дальтона.
5. Назовите изопроцессы.
6. В чем молекулярно-кинетический смысл абсолютной
температуры?
7. Что называется числом степеней свободы?
8. Как вычисляется внутренняя энергия идеального газа?
9. Как вычисляется работа в термодинамике?
10. Сформулируйте I начало термодинамики.
11. Как устроена тепловая машина? От чего зависит КПД
тепловой машины?
12. Что показывает энтропия? Дайте термодинамическое
определение энтропии.
13. Сформулируйте II начало термодинамики.
14. Как определяется направленность тепловых процессов? Как
изменение энтропии связано с порядком и беспорядком?
15. Какая система называется открытой?
16. Что называется самоорганизацией?
17. Как ведет себя энтропия в живых системах?
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
Квантовая физика занимается изучением законов движения микрочастиц,
которые являются носителями как корпускулярных, так и волновых свойств.
Законы фотоэффекта
Внешним фотоэффектом называется вырывание электронов из вещества под
действием света. Законы фотоэффекта изучали с помощью схемы с
двухэлектродной лампой с освещаемым катодом (рис. 5.1). Под действием света
из катода вырываются электроны, которые под действием электрического поля
перемещаются к аноду, создавая анодный ток.
9
Рис.5.1
Вольтамперная характеристика, полученная с помощью такой схемы при
неизменном световом потоке Ф, приведена на рис. 5.2.
Рис.5.2
Из анализа вольтамперных характеристик получены законы фотоэффекта.
1. Свет не любой частоты вызывает фотоэффект. Для каждого
вещества существует красная граница фотоэффекта, т. е.
минимальная частота v0, при которой возможен фотоэффект.
Величина v0 зависит от химической природы вещества и состояния его
поверхности.
2. Максимальная энергия фотоэлектронов не зависит от
светового потока, а линейно зависит от частоты света.
3. Величина фототока насыщения, возникающего при
освещении монохроматическим светом, пропорциональна
падающему световому потоку Ф,
Iнас = Кст · Ф - закон Столетова,
10
где Кст - коэффициент пропорциональности.
Эти законы невозможно было объяснить с классической точки зрения, согласно
которой электрическая компонента электромагнитной волны вызывает
вынужденные колебания свободных электронов в металле, сообщая им энергию,
достаточную для вылета. Тогда максимальная кинетическая энергия
фотоэлектронов должна быть пропорциональна квадрату амплитуды световой
волны (см. (3.14)), т. е. должна зависеть от светового потока, что противоречит
опытным фактам.
Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
Объяснение законов фотоэффекта дал в 1905 г. немецкий ученый Альберт
Эйнштейн на основе гипотезы световых квантов. Вслед за Планком он
предположил, что, если излучение энергии атомами происходит дискретно в
виде порций или квантов, то ее распространение в пространстве и поглощение
веществом происходит порциями (квантами). Энергия кванта равна:
h=
где v - частота падающего света,
6.63 ∙ 10 -34 (Дж/с) - постоянная Планка.
Заметим, что в механике есть величина, которую называют действием. Она
имеет размерность "энергия × время". Поэтому постоянную Планка иногда
называют квантом действия.
Кванты света называются фотонами.
Поэтому с квантовой точки зрения свет представляет собой поток фотонов.
Уравнение Эйнштейна объясняет все закономерности внешнего фотоэффекта.
Оно представляет собой по сути дела закон сохранения энергии. Каждый фотон
взаимодействует с одним электроном и передает ему энергию hv. Эта энергия
затрачивается на то, чтобы совершить работу выхода электрона из металла - A и
сообщить ему кинетическую энергию. Причем, если электрон вырывается с
поверхности металла, а не из глубины, то кинетическая энергия электрона будет
максимальной.
Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта имеет вид
11
Фотоны и их свойства
Согласно современным представлениям, свет представляет собой сложное
явление, сочетающее в себе свойства электромагнитной волны и потока частиц фотонов. Такое двойственное сочетание свойств называется корпускулярноволновым дуализмом.
Фотоном называется элементарная частица - квант электромагнитного поля.
Отличие фотона от других элементарных частиц состоит в том, что фотон
всегда движется со скоростью
нулю: m
. Масса фотона равна
= 0.
Энергия фотона вычисляется по формуле (5.1)
или
,
где λ - длина волны света.
Импульс фотона равен
Таким образом, формулы (5.1) и (5.6) отражают корпускулярно-волновой
дуализм фотонов. Подобно частице (корпускуле), фотон обладает энергией и
импульсом, которые выражены через волновые характеристики: частоту и
длину волны.
Дальнейшее развитие квантовые представления получили при объяснении
закономерностей в спектре атома водорода.
12
Постулаты Бора
Первая квантовая теория строения атома быда предложена в 1913 г. датским
физиком Нильсом Бором. Она была основана на ядерной модели атома,
согласно которой атом состоит из положительно заряженного ядра, вокруг
которого вращаются отрицательно заряженные электроны.
Теория Бора основана на двух постулатах.
I постулат Бора - постулат стационарных состояний. В атоме существуют
стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния, в которых он не
излучает энергию. Этим стационарным состояниям соответствуют
стационарные орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов
по стационарным орбитам не сопровождается излучением энергии.
II постулат Бора получил название "правило частот". При переходе электрона
с одной стационарной орбиты на другую излучается (или поглощается) квант
энергии, равный разности энергий стационарных состояний
где h - постоянная Планка;
v - частота излучения (или поглощения) энергии;
hv - энергия кванта излучения (или поглощения);
En и Em - энергии стационарных состояний атома до и после излучения
(поглощения), соотвественно. При Em < En происходит излучение кванта
энергии, а при Em > En - поглощение.
Задания и вопросы для самоконтроля
1. Что называется фотоэффектом? Сформулируйте законы
фотоэффекта. В чем заключается проблема классической
физики при объяснении законов фотоэффекта?
2. Запишите уравнение Эйнштейна для фотоэффекта и
расскажите, как с помощью этого уравнения объясняются все
законы фотоэффекта.
3. Что такое фотон? Какова его энергия и импульс?
4. Какие есть экспериментальные закономерности в спектре
атома водорода? Запишите обобщенную формулу БальмераРидберга.
5. Сформулируйте постулаты Бора.
13
6. Что называется волной де Бройля? В чем заключается
корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц?
7. В чем заключается статистическая трактовка волн де Бройля?
8. Запишите уравнение Шредингера. Что определяет волновая
функция? Квадрат ее модуля?
9. Какие следуют выводы из решения уравнения Шредингера
для атома водорода? Расскажите про квантовые числа.
10. Дайте квантово-механическое объяснение закономерностей в
спектре атома водорода.
11. Что называется вынужденным излучением? Каковы его
свойства?
12. На каком принципе работает лазер? Где он применяется?
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
1. Савельев, И.В. Курс физики. Т. 1 / И.В. Савельев - М.: Наука,
1989.
2. Савельев, И.В.. Курс физики. Т. 2 / И.В. Савельев - М.: Наука,
1989.
3. Савельев, И.В.. Курс физики. Т. 3 / И.В. Савельев - М.: Наука,
1989.
4. Трофимова, Т.И. Курс физики / Т.И. Трофимова - М.: Высшая
школа, 1990.
5. Лаврова, И.В. Курс физики / И.В. Лаврова - М.: Просвещение,
1981.
6. Айзенцон, А.Е. Курс физики / А.Е. Айзенцон - М.: Высшая
школа, 1996.
7. Орир, Дж. Физика. Т. 1 / Дж. Орир - М.: Мир, 1981.
8. Орир, Дж. Физика. Т. 2 / Орир, Дж. - М.: Мир, 1981.
9. Иванов, Б.И. Законы физики / Б.И. Иванов - М.: Высшая
школа, 1986.
10. Грибов, Л.А. Основы физики / Л.А. Грибов, Н.И.Прокофьева
- М.: Гардарика, 1998.
11. Брюханов, А.В. Толковый физический словарь / А.В.
Брюханов, Г.Е. Пустовалов, И.В. Рыдник - М.: Русский язык,
1988.
12. Физический энциклопедический словарь. - М.: Большая
Российская энциклопедия, 1995.
13. Дикусар, Л.Д. Физика. Контрольные работы и методическое
руководство для самостоятельной работы студентов очнозаочной и заочной формы обучения / Л.Д. Дикусар Новосибирск: СГГА, 2002.
14. Тюшев, А.Н. Физика в конспективном изложении. Ч. I / А.Н.
Тюшев - Новосибирск: СГГА, 1999.
14
15. Тюшев, А.Н. Физика в конспективном изложении. Ч. II / А.Н.
Тюшев - Новосибирск: СГГА, 1999.
16. Тюшев, А.Н. Физика в конспективном изложении. Ч. III /
А.Н. Тюшев - Новосибирск: СГГА, 2000.
15