МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РФ ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики Выборочный коэффициент корреляции. Эмпирическая и теоретическая линии регрессии. Методические указания для выполнения лабораторной работы, индивидуальных заданий и самостоятельной работы студентов инженерных специальностей. Составили: Волынкина Т.И. Петрушина Н.Н. Орел, 2004 Методическое пособие составлено в соответствии с государственным стандартом и может быть использовано для самостоятельной работы студентов инженерных специальностей с/х вузов. Составили: ст. преп. Волынкина Т.И. асс. Петрушина Н.Н. Рецензенты: Методическое пособие рассмотрено и одобрено на заседании кафедры математики ОрелГАУ, протокол №______, от «____» ________200__г. Заведующий кафедрой Моисенко А. М. Методическое пособие было рассмотрено и рекомендовано к использованию в учебном процессе методической комиссией факультета гуманитарных и естественнонаучных дисциплин, протокол №____ от «____» ________200___г. Председатель методической комиссии Иващук О. А. 2 Содержание Цель и назначение методических указаний ............................... 4 Введение ............................................................................................ 5 Методика выполнения работы ..................................................... 7 1. Вычисление выборочного коэффициента корреляции. .......... 7 2. Определение надежности (доверительного интервала) коэффициента корреляции. ......................................................... 10 3. Построение эмпирической и теоретической линий регрессии Y на Х............................................................................................. 11 Корреляционное отношение. ....................................................... 14 Набор заданий ................................................................................ 17 Приложение .................................................................................... 33 3 Цель и назначение методических указаний Активизировать самостоятельную работу студентов на практических занятиях по математике, ознакомить с прямолинейной корреляцией, выработать умение и навыки вычисления выборочного коэффициента корреляции и составления уравнений теоретических линий регрессии. Методические указания содержат: 1. Изложение теории и сообщение основных формул. 2. Порядок выполнения задания с методическими указаниями. 3. Набор заданий для лабораторной работы, ИЗ, СР. 4 Введение С помощью метода корреляции в математической статистике изучается взаимосвязь явлений. Особенностью изучения этой взаимосвязи состоит в том, что нельзя изолировать влияние посторонних факторов. Поэтому метод корреляции применяется для того, чтобы при сложном взаимодействии посторонних влияний выяснить, какова была бы зависимость между признаками, если бы посторонние факторы не изменялись. В корреляции рассматриваются две задачи: 1) определение характера корреляционной связи между обследуемыми признаками; 2) определение тесноты этой связи. О характере связи между признаками Х и Y можно судить по расположению точек в системе координат. Если эти точки располагаются около прямой, то предполагается, что между y x и х существует линейная зависимость. Уравнение yx (x) называется уравнением линии регрессии Y на Х. Уравнение x y (x) называется уравнением линии регрессии Х на Y. Если обе линии регрессии прямые, то имеет место линейная корреляция. Уравнения прямых регрессии yx y y ( x x) и x y x x ( y y ) составляются на x y основании выборочных данных, приведенных в 5 корреляционной таблице. x , y – средние значения y , соответствующих признаков; x x y коэффициенты регрессии Y на Х и Х на Y, которые вычисляются по формулам: y x xy x y 2 x , x xy x y y2 y , где ху – среднее значение произведения х на у; x2 , y2 - дисперсии признаков Х и Y. В прямолинейной корреляции теснота связи между признаками характеризуется выборочным коэффициентом корреляции r В, который принимает значения в пределах от -1 до 1. Если значение коэффициента корреляции отрицательное, то это говорит об обратной связи между изучаемыми признаками; если оно положительное – о прямой связи. Если коэффициент корреляции равен 0, то связи между признаками нет. Выборочный коэффициент корреляции вычисляется по формуле: rB xy x y x y , (1) где xy – среднее значение произведений х на у, x , y - средние значения соответствующих признаков, x , y - средние квадратические отклонения, найденные для признака Х и для признака Y. 6 Методика выполнения работы Дана таблица значений температуры смазочного масла заднего моста автомобиля Y в зависимости от температуры окружающего воздуха Х. Таблица 1 Y X Y X Y X 4 5 12 25 16 45 8 15 16 25 12 35 12 15 8 25 20 45 16 15 12 25 16 55 12 35 8 25 16 55 12 15 24 65 20 45 12 35 12 35 16 55 12 15 12 35 20 45 16 35 12 35 16 55 4 5 16 45 20 45 12 15 12 35 16 55 12 5 16 45 20 55 12 25 12 35 20 55 4 25 16 15 20 55 8 25 16 35 24 55 8 4 25 25 20 12 45 35 20 55 1. Вычисление выборочного коэффициента корреляции. Данные таблицы 1 сведем в корреляционную таблицу. Таблица 2 X Y 4 8 12 16 20 24 mx 5 15 2 1 4 2 2 7 25 2 4 3 9 35 10 2 12 45 3 5 8 55 6 4 1 11 65 my 1 1 4 5 17 13 9 2 50 7 Процесс вычисления упростим, переходя к условным вариантам Ui и Vj: Ui Y C X i C1 , Vj j 2 , h1 h2 где С1 – ложный нуль для Х; h1 – шаг значений признака Х; С2 – ложный нуль для Y; h2 – шаг значений для признака Y. m rB UV nU V uv , n u v (2) где n – объем выборки; muv – частота пары вариант U и V; U m U , V m V ; u v n n 2 2 u U 2 U , v V 2 V . Из корреляционной таблицы выбираем наибольшую частоту: mxy=10, C1=35, C2=12. Составляем корреляционную таблицу 3 в условных вариантах, где наибольшая частота mxy=10 кодируется 0 в рядах U и V. Все результаты вычислений приведем в этой таблице. 8 V U -3 -2 -1 6 -2 1 4 4 0 3 10 0 2 2 1 3 2 6 2 2 5 4 4 6 3 1 2 7 4 -8 16 5 -5 5 17 0 0 13 13 13 9 18 36 2 6 12 0 -2 mu mvV mvV2 mv 1 0 1 3 2 2 0 2 2 2 -1 0 1 9 1 9 12 8 11 1 Σ=24 Σ=88 50 Σ=4 muU -6 -14 -9 0 8 22 3 muU2 18 28 9 0 8 44 9 Σ=116 muvUV 12 -2 8 0 13 34 9 Σ=74 Подставляя результаты формулы, получим: вычислений в 4 24 0,08 , V 0,48 ; 50 50 116 80 U2 2,32 , V 2 1,76 ; 50 50 U u 2,32 (0,08) 2 1,52 , v 1,76 (0,48) 2 1,24 ; 9 rB 74 50 0,08 0,48 0,76 или 76% 50 1,52 1,24 Коэффициент корреляции показывает тесную связь, существующую между температурой смазочного масла и температурой окружающего воздуха. 2. Определение надежности (доверительного интервала) коэффициента корреляции. Для оценки надежности полученного коэффициента корреляции определяют его погрешность по формуле: r B 1 rB2 n . В предположении, что (Х,Y) имеет нормальное распределение или близкое к нему, можно считать коэффициент корреляции распределенным нормально с параметрами r и r. Найдем доверительный интервал с надежностью γ=0,95. rB - tγ rB < r < rB + tγ rB Найдем по таблице значений функции Ф(х) (см.приложение) γ=2Ф(х) 2 1 (0,76) 2 rB= =0,059 0,06. 50 Ф(х)= =0,475, tγ=1,96 10 Доверительный интервал для коэффициента корреляции запишется так: 0,76-1,960,06 < r < 0,76+1,960,06; 0,76-0,12 < r < 0,76+0,12; 0,64 < r < 0,88. Это означает, что при условиях данного опыта следует ожидать влияние температуры окружающего воздуха на температуру смазочного масла заднего моста не менее, чем на 64%. 3. Построение эмпирической и теоретической линий регрессии Y на Х. Для построения эмпирической линии регрессии составим таблицу 4. Таблица 4 Х 5 15 25 35 45 55 65 4 12,6 6,44 12,6 18,5 18,2 24 Yx Yx - условная средняя значений признака Y при условии, что Х принимает определенное значение. Для вычисления Yx воспользуемся таблицей 2. 24 1 8 4 12 2 16 88 ; Yx2 12,6; 2 7 7 2 4 4 8 3 12 120 32 Yx3 8,44; Yx4 12,6; 9 12 148 200 Yx5 18,5; Yx6 18,2. 8 11 Yx1 11 Принимая пары чисел (X, Yx ) за координаты точек, строим их в системе координат и соединяем отрезками прямой. Полученная ломанная линия и будет эмпирической линией регрессии. Уравнение теоретической прямой линии регрессии Y на Х имеет вид: Y X Y rB где y y ( X Y X ); rB y , x x x Y - выборочная средняя признака Y, X - выборочная средняя признака Х. Y V h2 c 2 0,48 4 12 13,92; X U h1 c1 35,8; x h1 u 1,52 10 15,2; y h2 v 1,24 4 4,96; rb 0,76 Уравнение прямой регрессии запишется так: Yx 13,92 0,76 4,96 ( X 35,8) 15,2 или окончательно: (Yx ax b); Yx 0,25x 4,97 Построим обе линии регрессии (рис. 5). При х=0 Yx =4,97; при х=65 Yx =21,22. 12 13 Корреляционное отношение. Для оценки тесноты связи линейной и нелинейной корреляционной зависимости между признаками Y и Х служит корреляционное отношение y y x y x где y – среднее квадратическое отклонение признака Y; среднее квадратическое отклонение y x условных средних y относительно общей средней у, определяемое из равенства: y x m x (Yx Y ) 2 n Корреляционное отношение обладает следующими свойствами: 1. Корреляционное отношение всегда находится между нулем и единицей 0 y 1 x 2. Если y 0 , то признак Y с признаком x Х корреляционной зависимостью не связан. 3. Если y 1 , то между признаками Y и x Х существует функциональная зависимость y=f(x). 4. Чем ближе корреляционное отношение к единице, тем сильнее корреляционная 14 зависимость между признаками Y и X; чем ближе y к нулю, тем эта зависимость слабее. x 5. Выборочное корреляционное отношение не меньше абсолютной величины выборочного коэффициента корреляции: y rb x Если y равно абсолютной величине 6. x выборочного коэффициента корреляции, то имеет место точная линейная корреляционная зависимость. Для вычисления корреляционного отношения составим расчетную таблицу: Таблица 5 № п/п 1 2 3 4 5 6 7 mx Yx 2 7 9 12 8 11 1 4 12,6 8,44 12,6 18,5 18,2 24,0 Y x Y (Y x Y ) 2 -9,92 98,4064 -1,32 1,7424 -5,48 30,0304 -1,32 1,7424 4,58 20,9764 4,28 18,3184 10,08 101,6064 mx (Y x Y ) 2 196,8128 12,1956 270,2736 20,9088 167,8112 201,5024 101,6064 971,1109 В таблице Y 13,92; n 50; y 4,96 . 15 Вычислим y x 971,1109 4,41 50 Тогда y x 4,41 0,89 4,96 16 Набор заданий Дана таблица зависимости признака Y от признака Х. Требуется: 1) на основе опытных данных вычислить выборочный коэффициент корреляции; 2) построить для него доверительный интервал с надежностью γ=0,95; 3) дать смысловую характеристику полученного результата; 4) построить эмпирическую и теоретическую линии регрессии Y на X; 5) вычислить корреляционное отношение. 1. Распределение 400 прямоугольных чугунных плиток по длине Х и по весу Y (в кг) дается в таблице: Х 30 40 50 60 70 80 90 100 итого 18 19 3 22 24 15 25 1 1 42 30 7 13 27 15 7 3 72 36 1 3 19 33 7 15 78 Y 42 1 9 35 47 1 93 48 54 13 23 5 41 17 35 52 Итого 42 44 48 58 49 78 41 40 400 17 2. Распределение цилиндрических болванок по длине X (в см) и по весу Y (в кг) дается в таблице: Y Х 20 22 24 26 28 30 Итого 1 4 6 1,1 11 11 9 12 6 1 50 10 1,2 1 4 25 16 18 2 68 1,3 1,4 5 8 18 20 51 2 14 5 21 Итого 16 21 39 40 56 28 200 3. Распределение 100 заводов по производственным средствам X (в млн. руб.) и по суточной выработке Y (в т) дается в таблице: Х 50 60 70 80 90 Итого 10 2 2 4 15 2 4 2 20 8 12 5 7 Y 25 6 12 10 8 36 30 4 10 10 24 35 4 6 6 16 итого 4 21 35 26 14 100 18 4. Распределение предприятий по средней месячной выработке продукции на одного рабочего Y (тыс. руб.) и по стоимости основных производственных средств X (млн. руб.) дается в таблице: Х 0,8 0,8 0,8 0,9 0,9 0,9 0,9 1,0 1,0 1,0 Y 9,9 10,0 10,0 10,1 10,1 10,2 10,0 10,2 10,3 10,1 Х 1,0 1,1 1,1 1,1 1,1 1,2 1,2 1,2 1,3 1,0 Y 10,1 10,2 10,4 10,4 10,4 10,0 10,5 10,5 10,5 10,2 5. Распределение 100 автомобилей по температуре смазочного масла в двигателе X и по температуре масла в КП Y дается в таблице: Х 15 25 35 45 55 Всего 5 2 2 10 4 6 10 15 2 3 1 6 Y 20 25 30 50 10 4 64 2 6 7 15 3 3 Всего 6 8 55 17 14 100 19 6. Распределение 100 автомобилей по температуре масла в двигателе Y и по скорости движения (км/ч) X дается в таблице: Х 20 30 40 50 60 Итого 10 1 1 15 5 6 2 20 4 7 2 13 Y 25 30 35 40 10 5 55 3 8 6 17 3 3 Итого 6 10 50 20 14 100 7. Распределение100 автомобилей по скорости пройденного пути Y и температуре смазочного материала в КП X дается в таблице: Y 30 40 50 60 70 Итого 15 3 3 20 3 5 8 25 4 8 5 17 Х 30 35 40 40 10 4 54 2 6 7 15 3 3 Итого 6 9 50 21 14 100 20 8. Распределение 100 сверл по твердости Y (HRC) и по стойкости X (час) дается в таблице: Y 25 35 45 55 65 Итого 20 2 2 25 4 6 10 30 3 6 2 11 Х 35 40 45 45 8 4 57 4 6 7 17 3 3 итого 6 9 55 16 14 100 9. Распределение 100 фрез по твердости Y (HRC) и по стойкости X(час) дается в таблице: Y 35 45 55 65 75 итого 25 4 4 30 2 5 7 35 3 5 2 10 Х 40 45 50 45 8 4 57 5 7 7 19 3 3 итого 6 8 55 17 14 100 21 10. Распределение 50 рабочих по выполнению сменного задания X и по повышению производительности труда Y дается в таблице: Y Х 120 125 130 135 140 145 150 Итого 24 1 1 27 3 2 1 1 30 33 6 5 6 1 1 5 7 4 1 7 18 18 36 2 2 1 1 6 итого 4 9 11 16 7 2 1 50 11. Распределение 100 станков по времени непрерывной работы Y и количеству обработанных деталей X дается в таблице: Х 20 30 40 50 60 70 80 итого 12 2 4 6 18 5 6 1 12 24 Y 30 3 8 12 2 9 16 6 25 31 36 42 3 2 4 7 1 17 1 2 6 9 итого 7 13 21 30 13 9 7 100 22 12. Распределение 200 двигателей при испытании по длительности непрерывной работы X (час) и по расходу топлива Y(литр) дается в таблице: Х 50 100 150 200 250 300 350 400 итого 30 10 4 1 15 80 22 9 31 130 20 40 1 61 180 6 25 4 1 36 Y 230 280 330 6 17 11 2 36 3 8 9 20 1 1 итого 10 26 30 46 32 24 20 12 200 13. Распределение 50 двигателей по мощности Y(кВт) и по числу оборотов X(в десятках об/мин) дается в таблице: Y Х 125 126 127 128 129 130 131 132 133 итого 24 1 1 2 25 2 2 1 5 26 27 4 3 2 1 5 4 2 9 12 28 1 5 5 1 12 29 1 2 3 1 7 30 1 1 1 3 итого 1 3 7 10 12 9 5 2 1 50 23 14. Распределение 120 скважин по производительности Y (куб/час) и диаметру трубы X (мм) дается в таблице: Х 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 Итого 18 21 6 3 1 7 1 2 1 1 24 1 5 6 7 4 5 2 7 15 30 27 30 4 2 3 9 7 4 5 2 2 36 2 3 4 1 5 17 Y 33 36 39 42 1 1 1 3 3 4 1 8 2 1 3 1 1 итого 10 12 15 11 18 16 9 8 11 7 3 120 24 15. Распределение 141 рабочего по стажу работы X(год) и среднегодовому перевыполнению нормы Y(0/0) дается в таблице: Х Y 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 итого 1 1 1 2 1 2 3 3 4 1 4 1 1 2 5 4 2 6 5 6 7 2 3 7 5 3 1 2 1 4 3 10 7 8 11 3 9 2 8 9 10 1 3 9 1 4 3 3 4 1 2 14 20 28 33 21 10 1 3 1 5 итого 2 4 9 12 19 27 32 20 12 4 141 16. Распределение 200 приборов при испытании по времени безотказной работы Y(в 0/0и гарантийному сроку) и тренированности аппаратуры X(в 0/0и по минимальному сроку) установленному техническими условиями дается в таблице: Х Y 130-150 110-130 90-110 70-90 50-70 итого 50-70 70-90 2 2 6 10 1 5 23 16 3 48 90110 4 20 43 16 110130 6 13 7 2 130150 15 4 4 2 89 28 25 итого 26 42 85 38 9 200 25 17. Распределение 100 нитей пряжи по прочности X и удлинению Y (0/0) дается в таблице: Y 5,4-5,8 5,0-5,4 4,6-5,0 4,2-4,6 3,8-4,2 3,4-3,8 3,0-3,4 итого 130 1 1 2 140 2 1 6 3 12 150 3 7 1 11 160 170 7 7 2 1 1 18 1 3 10 1 3 1 19 Х 180 1 4 11 5 1 190 2 3 2 200 1 3 1 210 1 1 1 220 1 22 7 5 3 1 итого 6 12 25 27 13 11 6 100 18. Распределение 100 заводов по производственным средствам X (в млн. руб.) и по суточной выработке Y (в шт.) даётся в таблице: Y 45 55 65 75 85 итого 5 2 2 10 4 3 7 15 5 5 2 12 Х 20 25 30 35 8 4 47 5 17 7 29 3 3 итого 6 8 45 27 14 100 26 19. Распределение выносливости стали Y(в кг/мм2) в зависимости от прочности X (в кг/мм2) даётся в таблице: Y 40 50 60 70 80 итого 10 2 15 4 3 2 20 7 5 7 7 19 Х 25 30 35 30 10 5 45 10 8 6 24 3 3 итого 6 10 45 25 14 100 20. Распределение выносливости стали Y (в кг/мм2) в зависимости от её прочности X (в кг/мм2) даётся в таблице: Y 30 40 50 60 70 Итого 65 5 4 9 95 125 Х 155 12 8 1 5 5 4 7 21 10 11 185 215 2 1 1 3 1 итого 5 12 17 15 2 55 27 21. Распределение 100 измерительных приборов по времени непрерывной работы Y(в час) и количеству выполнения измерений X дается в таблице: Y 15 25 35 45 55 Итого 15 4 4 20 1 6 7 25 4 2 1 7 Х 30 35 40 50 9 4 63 2 7 3 12 7 7 итого 5 10 54 17 14 100 22. Зависимость производительности X (м3/час) экскаватора ЭТР-162 от коэффициента прочности грунта Y (кг с/м3) даётся в таблице: Х 25 35 45 55 65 итого 12 2 2 17 4 6 10 22 3 6 2 11 Y 27 32 37 35 8 14 57 4 6 7 17 3 3 итого 6 9 45 16 24 100 28 23. Зависимость усилия Y (т/м3) в стенке резервуара от величины гидростатического давления X (т/м3) продукта дается в таблице: Х 45 55 65 75 85 итого 5 2 2 10 4 3 7 15 5 5 2 12 Y 20 25 30 35 8 4 47 5 17 7 39 3 3 итого 6 8 45 27 14 100 24. Распределение предприятий по средней месячной выработке продукции на одного рабочего Y(тыс. руб.) и по стоимости основных производственных средств Х (млн. руб.) даётся в таблице: Х Y Х Y 0,25 2,57 0,75 1,41 0,37 2,31 0,82 1,33 0,44 2,12 0,84 1,31 0,55 1,92 0,87 1,25 0,60 1,75 0,88 1,20 0,62 1,71 0,90 1,19 0,68 1,60 0,95 1,15 0,70 1,51 1,00 1,00 0,73 1,50 29 25. Зависимость Х – отношения предела текучести стали к её пределу прочности от процентного содержания углерода в стали Y приведены в таблице: Х 0,5 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Итого 2 21 1 24 Y 0,7 0,6 2 4 12 14 32 2 3 0,8 8 9 1 5 18 Итого 10 15 18 35 1 79 26. Распределение 50 рабочих по выполнению сменного задания Х и по повышению производительности труда Y даётся в таблице: Х Y 18 1 150 175 200 225 250 Итого 1 1 23 1 2 3 6 28 33 5 2 1 12 8 8 20 38 7 3 10 43 48 3 1 4 1 1 Итого 1 8 17 16 6 2 50 30 27. Распределение 100 измерительных приборов по времени непрерывной работы Y (в час.) и количеству выполненных измерений Х даётся в таблице: Х Y 20 4 16 26 36 46 56 Итого 25 6 8 4 30 10 32 4 14 46 35 40 3 12 1 16 9 6 5 20 Итого 10 18 44 22 6 100 28. Зависимость усилия Y (т/м3) в стенке резервуара от величины гидростатического давления Х (т/м3) продукта даётся в таблице: Y 100 120 140 160 180 Итого 5 2 3 5 10 1 4 5 15 3 5 8 20 Х 25 30 10 1 8 11 8 6 6 35 40 1 4 5 1 1 2 Итого 3 10 23 9 5 50 31 29. Распределение 50 рабочих по выполнению задания Х и по повышению производительности труда Y даётся в таблице: 15 20 Х 25 8 3 10 5 1 11 5 Y 5 100 120 140 160 180 Итого 10 3 2 5 4 1 5 11 30 6 4 35 1 2 10 3 Итого 7 6 23 10 4 50 30. Дана корреляционная таблица для величин Х и Y, где Х – срок службы колеса вагона в годах, а Y – усреднённое значение износа по толщине обода колеса (в мм): Х 0 1 2 3 4 5 6 7 Итого 0 3 25 3 1 2 6 108 50 11 5 7 12 17 Y 22 44 60 33 5 1 8 21 32 13 2 1 1 78 2 5 13 13 12 5 2 7 6 1 32 181 1 144 45 20 27 32 3 2 3 2 1 10 2 1 1 5 37 42 1 1 1 1 Итого 9 187 144 96 45 27 6 3 517 32 Приложение Значения функции Ф( x) х 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 Ф(х) 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,1179 х 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 Ф(х) 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 х 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1 2 Ф(х) 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 0,4452 x e z2 2 dz . 0 х 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2,00 2,02 2,04 2,06 2,08 2,10 2,12 2,14 2,16 2,18 2,20 2,22 2,24 2,26 2,28 2,30 2,32 2,34 2,36 2,38 2,40 2,42 2,44 2,46 2,48 2,50 Ф(х) 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 0,4772 0,4783 0,4793 0,4803 0,4812 0,4821 0,4830 0,4838 0,4846 0,4854 0,4861 0,4868 0,4875 0,4881 0,4887 0,4893 0,4898 0,4904 0,4909 0,4913 0,4918 0,4922 2,4927 0,4931 0,4934 0,4938 33 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 0,3849 0,3869 0,3883 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 Продолжение приложения 0,4463 2,52 0,4941 0,4474 2,54 0,4945 0,4484 2,56 0,4948 0,4495 2,58 0,4951 0,4505 2,60 0,4953 0,4515 2,62 0,4956 0,4525 2,64 0,4959 0,4535 2,66 0,4961 0,4545 2,68 0,4963 0,4554 2,70 0,4965 0,4564 2,72 0,4967 0,4573 2,74 0,4969 0,4582 2,76 0,4971 0,4591 2,78 0,4973 0,4599 2,80 0,4974 0,4608 2,82 0,4976 0,4616 2,84 0,4977 0,4625 2,86 0,4979 0,4633 2,88 0,4980 0,4641 2,90 0,4981 0,4649 2,92 0,4982 0,4656 2,94 0,4984 0,4664 2,96 0,4985 0,4671 2,98 0,4986 0,4678 3,00 0,49865 0,4686 3,20 0,49931 0,4693 3,40 0,49966 0,4699 3,60 0,499841 0,4706 3,80 0,499928 0,4713 4,00 0,499968 0,4719 4,50 0,499997 0,4726 5,00 0,499999 0,4732 0,4738 34