РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ - Klm

Практико-значимая работа
Конспект занятия
элективного курса в 9-том классе
«Решение квадратных
уравнений с параметрами»
Тарасовой Наталии Васильевны
Слушателя ФПК и ПП
группы: АМ 1-11
Коломна 2011г.
Занятие элективного курса в 9 классе
«Решение квадратных уравнений с параметрами»
Цель:

Познакомить учащихся с решением квадратных уравнений с
параметрами;

Формировать основной подход к решению задач с параметрами;

Развивать логическое мышление, умение работать в проблемной
ситуации;

Активизировать познавательную и творческую деятельность.
План занятия.
I.Объяснение нового материала.
II.Закрепление нового на конкретных примерах. Решение квадратных уравнений с
параметрами.
III.Задачи для самостоятельного решения.
IV.Домашнее задание.
V.Рекомендации для обучающегося.
VI.Используемая литература.
I.Объяснение нового материала.
Задачи с параметрами – это высший пилотаж, ибо человек, умеющий
решать задачи с параметрами, в совершенстве знает теорию и умеет ее
применять не механически, а с логикой. Он «понимает» функцию, «чувствует»
ее, считает ее своим другом или хотя бы хорошим знакомым, а не просто знает
о ее существовании, как мы знаем мы и об английской Королеве, но вот
незнакомы с ней. Если человек умеет решать задачи с параметрами, он ас в
математике.
Что же такое уравнение с параметром?
Пусть дано уравнение f(x;a)=0 Если ставится задача отыскать все пары (x;a)
которые удовлетворяют данному уравнению, то оно рассматривается как
уравнение с двумя равноправными переменными x и a. Но можно поставить и
другую задачу, полагая переменные неравноправными. Дело в том, что если
придать переменной a какое-либо фиксированное значение, то f(x,a)=0
превращается в уравнение с одной переменной x, и решая это уравнение, его
решения зависят от выбранного значения.
Например, уравнение ах2 – 3ах – 4 = 0.
При а=0 получается уравнение 0 .х2 – 0 .х – 4 = 0, которое не имеет решения.
При а=1 уравнение принимает вид х2 – 3х – 4 = 0, и имеет корни х=-1 и х=4
При а= –1 уравнение имеет вид х2 + 3х – 4 = 0, и имеет корни х=-4 и х=1
При а= –
16
16
уравнение принимает вид
х
19
19
2
+
16
х – 4 = 0,
19
и имеет один
корень х= 1,5
Т.к. букву а можно заменить любым числом, то мы имеем дело с целым
семейством уравнений.
Если уравнение f(x;a)=0 нужно решить относительно х, а под а
понимается произвольное действительное число, то уравнение называют
уравнением с параметром а. Основная трудность, связанная с решением
уравнений (и тем более неравенств) с параметром, состоит в следующем. При
одних значениях параметра уравнение не имеет решений, как мы видим из
приведенного выше примера, при других – имеет бесконечное множество
решений, при третьих оно решается по одним формулам, при четвертых по
другим.
Уравнения с параметром – это, по сути дела, краткая запись бесконечного
семейства уравнений. Каждое из уравнений семейства получается из данного
уравнения с параметром при конкретном значении параметра. Поэтому задачу
решения уравнения с параметром можно сформулировать следующим образом:
Решить
уравнение
f(x;a)=0,
это
решить
семейство
уравнений,
получающихся из уравнения f(x;a)=0 при любых действительных значениях
параметра.
Каковы основные способы (методы) решения задач с параметром?
Способ 1. (аналитический)
Это
способ
так
называемого
прямого
решения,
повторяющего
стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.
Аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный
способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению
им.
Способ 2. (графический)
В
зависимости
от
задачи
(с
переменной
х
и
параметром
а)
рассматриваются графики или в координатной плоскости ОХУ, или в
координатной плоскости ОХА.
Способ 3. (решение относительно параметра а)
При решении этим способом переменные х и а принимаются
равноправными
и
выбирается
та
переменная,
относительно
которой
аналитическое решение признается более простым. После естественных
упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных х и а и заканчиваем
решение.
Рассмотрим для знакомства некоторые уравнения с параметрами.
II.Закрепление нового на конкретных примерах.
Пример 1. В уравнении (а – 1) х = а – 2 определите а так, чтобы число 3 было
его корнем.
Решение. Если число 3 является корнем уравнения, то оно обращает его в
верное равенство. Подставим х = 3 в уравнение и решим его относительно а:
(а – 1) .3 = а – 2
3а – а = 3 – 2
2а = 1
а = 0,5
Итак, при а = 0,5 число 3 является корнем уравнения (а – 1) х = а – 2
Ответ: 0,5
Пример 2. При каких значениях m равно один из корней уравнения равен нулю.
х2 – 2х + 2m – 3 = 0
Решение: Если х = 0, то имеем:
02 – 2 .0 + 2m – 3 = 0
2m = 3
m = 1,5
Проверим, не равняется ли второй корень уравнения нулю.
х2 – 2х = 0
х=0
х=2
Ответ: m = 1,5
При решении квадратного уравнения с параметрами контрольными будут
те значения параметра, при которых коэффициент при х2 обращается в 0. Дело в
том, что если этот коэффициент равен нулю, то уравнение превращается в
линейное и решается по соответствующему алгоритму; если же этот
коэффициент отличен от нуля, то имеем квадратное уравнение, которое
решается по иному алгоритму. Дальнейшее решение зависит от дискриминанта.
Пример 3. Решить уравнение х2 – (2р + 1)х + (р2 + р – 2) = 0
Решение: Здесь коэффициент перед х2 отличен от нуля, значит данное
уравнение при любых значениях параметра является квадратным. Найдем
дискриминант:
D = (2р + 1)2 – 4∙1(р2 + р – 2) = (4р2 + 4р + 1) – (4р2 + 4р – 8) = 4р2 + 4р + 1 – –
4р2 – 4р + 8 = 9
D > 0, значит квадратное уравнение имеет два решения
х1 = р + 2
х2 = р – 1
Ответ: при любых значениях р
х1 = р + 2; х2 = р – 1
Пример 4. Решить уравнение рх2 +( 1 – р)х – 1 = 0
Решение: Мы не можем утверждать, что данное уравнение является
квадратным. Рассмотрим контрольные (точки) значения р = 0, имеем два
случая.
Если р=0, то получается уравнение вида 0∙х2 + х
– 1 = 0, которое
является линейным и имеет корень х = 1
Если р ≠0, то уравнение является квадратным, можно применять формулы
корней квадратного уравнения.
D = (1 – р)2 – 4∙.р .(-1) = 1 – 2р + р2 + 4р = (1+ р)2
х1 = 1
1
р
х2 = –
Ответ: при р = 0 х = 1; при р ≠0 х1 = 1 х2 = –
1
р
Пример 5. Решить уравнение: (а – 1)х 2 + 2(2а + 1)х + (4а + 3) = 0
Решение: здесь контрольными будут те значения параметра, при которых
коэффициент при х2 обращается в 0.
Если а – 1 = 0, а = 1, уравнение имеет вид 0∙ х2 + 6х + 7 = 0 и является
линейным. Корнем этого уравнения является х =
7
6
Если а–1 ≠ 0, а ≠ 0, уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант.
D = (2∙(2а + 1))2 – 4(а – 1)(4а + 3) = 4(4а2 + 4а + 1) – 4(4а2 – а – 3) = 4(5а + 4)
Дальнейшие рассуждения зависят от значения дискриминанта.
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней; если D = 0, то уравнение
имеет один корень, если D > 0, то уравнение имеет два корня.
Дискриминант обращается в нуль при а = –
4
(можно сказать, что это –
5
второе контрольное значение параметра; при переходе через него происходит
качественное изменение уравнения – меняется число корней уравнения).
Если а < –
4
, то
5
D < 0 и следовательно, квадратное уравнение не имеет
корней.
4
, то если
5
Если а > –
D > 0 и, значит квадратное уравнение имеет два
корня:
х1 =
 2 а  1  5а  4
а 1
х2 =
 2 а  1  5а  4
а 1
Если а = –
х=
 2а  1
а 1
4
, то D = 0, то уравнение имеет единственное решение
5
7
;
6
Ответ: при а = 1, х = –
4
5
при а = – , х =
 2а  1
;
а 1
4
5
при а < – , корней нет;
х1 =
 2 а  1  5а  4
а 1
х2 =
 2 а  1  5а  4
а 1
4
5
при а > – ,
Иногда
задания
сформулированы
так,
что
искать
корни
нет
необходимости.
Пример 6. При каких значениях m ровно один из корней х2+(m+3)х +|m| – 3 = 0
уравнения равен нулю.
Решение. Если нуль является корнем уравнения, квадратный трехчлен
х2+(m+3)х +|m| – 3 при х = 0 обращается в нуль. 02+(m+3) .0 +|m| – 3 = 0
|m| – 3 = 0
m1 = 3 m2 = –3
Найдем второй корень при найденных значениях m.
Если m=3, то уравнение принимает вид х2+6х = 0; х1 = 0 х2 = –6
Если m= –3, то уравнение принимает вид х2 = 0, которое имеет два кратных
корня, равных нулю.
Ответ: при m = 3
Пример 7. Сколько корней имеет уравнение 3х (х – 1) 2 = kх в зависимости от
значения параметра k ?
Решение: 3х (х – 1) 2 = kх
3х (х – 1) 2 – kх = 0
х (3(х – 1) 2 – k) = 0
Один корень есть всегда – х0 = 0
Исследуем 3х 2 – 6х + 3 – k = 0
D = 32 – 3(3 – k) = 3k
а) Если k = 0, существует один корень х = 1;
б) Если k > 0, существуют два корня х1 =
3  3к
3
х2 =
3  3к
, но необходимо
3
исследовать случай, когда один из корней равен 0. Это так, если k = 3;
в) Если k < 0, корней нет.
Ответ: уравнение 3х (х – 1) 2 = kх имеет при
1) k > 0
k ≠3
три корня;
2) k = 0 два корня
3) k = 3 два корня
4) k < 0 один корень.
Пример 8. Найдите все значения параметра а, при которых больший корень
уравнения х 2 – (14а – 9)х +49а 2 – 63а + 20 = 0 меньше 9.
Графически это можно изобразить так:
если f(x)= х 2 – (14а – 9)х +49а 2 – 63а + 20, то

х2
в
2а
f(9)=0
х1

9
x
в
< 9, значит
2а
D>0
9 2 – (14а – 9)9 + 49а 2 – 63а + 20 >0
14а  9
<9
2
, тогда
(14а – 9) 2 + 4(49а 2 – 63а + 20) >0
49а 2 – 189а +182 >0
а<
27
14
196а 2 – 252а +81 – 196а 2 + 252а – 80 >0
7а 2 – 27а +26 > 0
а<
27
14
1>0
а=2
a1,2 =
27  729  26  28 27  1
=
14
14
а=
13
7
1
6
7
2
1
Ответ: при а < 1
13
14
а<1
6
7
6
больший корень уравнения х 2 – (14а – 9)х +49а 2 – 63а + 20=
7
= 0 меньше 9
Пример 9. Сколько корней имеет уравнение |х2 – 2х – 3| = а в зависимости от
значения параметра а?
Решение. Рассмотрим данный пример графически.
Построим у = х2 – 2х – 3 = (х – 1) 2– 4 Имеем параллельный перенос у = х2
вправо на единицу и вниз на 4.
Для того чтобы построить график у = |f(x)|, необходимо часть графика,
находящуюся
в
верхней
полуплоскости
сохранить,
а
часть
графика,
находящуюся в нижней полуплоскости, симметрично отразить в верхнюю
полуплоскость относительно ОХ.
6
 y
y=|x2-2x-3|
5
y=a, где a>4
4
y=4
3
y=a, где 0<a<4
2
1
y=0
> x
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
y=a, a<0
5
Ответ: в уравнении |х2 – 2х – 3| = а, если
1) а = 0, то существует два корня;
2) а ϵ (0;4), то существует четыре корня;
3) а = 4, то существует три корня;
4) а ϵ (0;∞), то существует два корня;
5) а ϵ (-∞;0), то корней нет.
Пример 10. Определить число решений уравнения |х2 – 6|х|| = а в зависимости
от значений параметра а.
Решение. Решаем уравнение графически: в одной системе координат ХОУ
строим график функции у = |х2 – 6|х|| и у = а и находим абсциссу их точек
пересечения.
10  y
8
6
4
y=a, a>0
2
x
y=a, a=0
0
-8
-6
-4
-2
0
-2
-4
Ответ: при а < 0, уравнение не имеет корней;
при а = 0, уравнение имеет 3 корня;
при 0 < а < 9, уравнение имеет 6 корня;
при а = 9 , уравнение имеет 4 корня;
2
4
y=a, a<0
6
> x
8
при а > 9, уравнение имеет 2 корня;
III.Задачи для самостоятельного решения.
1. Решите уравнения:
а) х2 +(3в – 2)х – 6в = 0
б) х2 – (3а – 2)х +2а 2 – а – 3 = 0
в) ах2 – (а +1)х + 1 = 0
Ответы: а) – 3в; 2
б) 2а-3; а+1
в) при а = 0 х = 1; при а ≠0 х1 = 1, х2 =
1
а
2. При каких значениях m ровно один из корней уравнения 2х2 – mх +2m 2 –
– 3m = 0 равен нулю.
Ответ: m = 1,5
IV.Домашнее задание.
Решите уравнения:
1) вх2 + 2х(в+2) +2в +1 = 0
2) 2х2(m+5) + 2х(m – 7) +3 = 0
3) (2в2 – в – 6)х2 = 4(в + 1)х – 2
Ответы:
1) при в = 0
х= –0,25
в = –1
х=1
в=4
х= –1,5
вϵ (1;0)U(0;4)
х=
 в  2  в 2 3в  4
в
вϵ (-∞;1)U(0;4) корней нет.
2) при а = –5
х= –0,125
аϵ (1;19), то корней нет
аϵ (-∞;– 5)U(– 5;1]U[19; +∞)
х=
7  m  m 2 20m  19
2(m  5)
3) при в = 2
в = –1,5
х=
1
6
х= – 1
вϵ (-∞;– 1,6) корней нет
вϵ (– 1,6; – 1,5)U(– 1,5;2)U(2;+ ∞) х=
2(b  1)  10b  16
2в 2  в  6
V.Рекомендации для обучающегося.
1. Прежде чем приступить к решению задач с параметрами, нужно
разобраться в ситуации для конкретного числового значения параметра.
Например, возьмите значение параметра а=1 и ответьте на вопрос: является
ли значение параметра а=1 искомым для данной задачи. Подстановка
фиксированного
значения
параметра
позволяет
во
многих
случаях
определить путь решения задачи.
2. При решении многих задач с параметрами удобно воспользоваться
геометрическими интерпретациями. Если изобразить график функций,
входящих в левые и правые части рассматриваемых уравнений, то тогда
точки пересечения графиков будут соответствовать решениям уравнений.
3. Решение многих задач с параметрами требует умение правильно
формировать необходимые и достаточные условия соответствующие
различным условиям расположения корней квадратного уравнения на
числовой оси.
4. Существенным этапом решения данных задач является запись ответа.
Общая схема решения уравнений,
приводимых к квадратным уравнениям с параметром.
1. Указать и исключить все значения параметра и переменной, при которых
уравнение теряет смысл.
2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, не равный нулю.
3. Преобразовать уравнение-следствие к виду α(а)х2 +β(а)х +
γ(а) = 0, где
х – неизвестное, α(а), β(а), γ(а) – действительные числа или функции от
параметра.
4. Решить полученное уравнение, рассмотрев случаи: а) α(а) = 0, б) α(а) ≠ 0
5. Исключить значения параметра, при которых найденный корень х1 (или
х2) обращает в нуль общий знаменатель; найти при этом значение
параметра х2 (или х1)
6. Записать ответ.
VI.Используемая литература.
1. Полякова Е.А. Уравнения и неравенства с параметрами в профильном 11
классе. Методические рекомендации и поурочное планирование.– М.:
ИЛЕКСА, 2010. – 96 с. (Серия «Математика: элективный курс»).
2. Математика. 10-11 классы. Решение уравнений и неравенств с
параметрами: элективный курс / авт.-сост. Д.Ф. Айвазян. – Волгоград:
Учитель, 2009. – 204 с.
3. Субханкулова С.А. Задачи с параметрами. – М.: ИЛЕКСА, 2010. – 208 с.
(Серия «Математика: элективный курс»).
4. Шахмейстер А.Х. Уравнения и неравенства с параметрами. – 1-е изд. –
СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2004. – 304 с.
5. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных
учреждений / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 11-е изд., стер. – М. :
Мнемозина, 2009. – 224 с. : ил.
6. Алгебра.
9
класс.
общеобразовательных
В
2
ч.
учреждений
Ч.2.
/
Задачник
[А.Г.
для
учащихся
Мордкович,
Л.А.
Александрова, Т.Н. Мишустина и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – 13-е
изд., стер. – М. : Мнемозина, 2011. – 223 с. : ил.