Интегральное исчисление

52
Часть 3. Интегральное исчисление
Глава 1. Неопределенный интеграл
Интегральное исчисление является частью курса математического анализа,
непосредственно следующей за дифференциальным исчислением. Само понятие интеграла
наряду с понятием производной и дифференциала является фундаментальным понятием
математического анализа.
Понятие первообразной
Как известно, основная задача дифференциального исчисления заключается в
отыскании производной или дифференциала заданной функции.
Можно поставить обратную задачу: по данной функции f (x) найти такую функцию
F (x ) , которая бы удовлетворяла условию F ( x)  f ( x) . Отыскание функции по заданной ее
производной или дифференциалу и является одной из основных задач интегрального
исчисления.
Определение 1. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на
некотором промежутке X , если для всех значений x из этого промежутка выполняется
равенство F ( x)  f ( x) .
Следует отметить, что в общем случае F ( x )  c , где c – некоторая постоянная,
является первообразной для функции f (x) .
Справедливы следующие теоремы.
Теорема 1. Если функция f (x) дифференцируема всюду на некотором промежутке
X и f ( x)  0 в каждой точке указанного промежутка, то данная функция является
постоянной на всем промежутке.
Теорема 2. Пусть F (x) является первообразной для функции f (x) на промежутке
X , тогда функция F ( x )  c , где c – любая постоянная, также будет первообразной для
f (x ) .
Теорема 3. Всякая первообразная для f (x) в указанном промежутке может быть
представлена в виде F ( x )  c .
Из данной теоремы можно заключить, что если каким-то образом была найдена
некоторая первообразная для функции f (x) , то совокупность всех первообразных можно
определить следующим образом F ( x )  c , где c – произвольная постоянная.
Пусть F (x) – некоторая первообразная для функции f (x) .
Определение 2. Выражение F ( x )  c , где c – произвольная постоянная, называют
неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается
Таким образом,
 f ( x)dx .
 f ( x)dx  F ( x)  c .
Можно показать, что справедливо следующее утверждение.
Теорема 4. Если f (x) непрерывна на каком-нибудь промежутке, то она имеет на нем
первообразную.
Свойства неопределенного интеграла
1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению,
т.е. d  f ( x)dx  f ( x)dx .


53
2. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е

 f ( x)dx  f ( x) .


3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой
функции и произвольной постоянной, т.е.  dF ( x)  F ( x)  c .
4. Постоянный
множитель
 cf ( x)dx  c  f ( x)dx .
можно
выносить
за
знак
интеграла,
т.е.
5. Неопределенный интеграл суммы конечного числа функций равен сумме интегралов
от слагаемых функций, т.е.  ( f ( x)  g ( x)) dx   f ( x)dx   g ( x)dx .
Замечание. Рассматривается алгебраическая сумма функций.
6. Если  f ( x)dx  F ( x)  c , то  f (u )du  F (u )  c , где u   (x ) .
Таблица неопределенных интегралов
1.
 kdx  kx  c ;
2.
n
 x dx 
 tg xdx   ln cos x  c ;
10.  ctg xdx  ln sin x  c ;
9.
x n 1
c;
n 1
dx
 ln x  c ;
3. 
x
4.  e x dx  e x  c ;
dx
 cos
8.
 sin
2
x
dx
2
x

12.

dx
a2  x2
dx
 arcsin
 tg x  c ;
2
x
c;
a
 ln x  x 2  a  c ;
x a
dx

13.  2
x  a2
dx

14.  2
x  a2
ax
 c;
5.  a x dx 
ln a
6.  sin xdx   cos x  c ;
7.
11.
1
x
arctg  c ;
a
a
1
xa
ln
c.
2a x  a
 ctg x  c ;
Замена переменной
Во многих случаях не возможно вычислить интеграл при помощи непосредственного
применения таблицы неопределенных интегралов, для вычисления требуется использовать
некоторые специальные приемы. Рассмотрим один из таких приемов – подстановка или
замена переменной. В его основе лежит следующее утверждение.
Теорема 5. Пусть  f ( x)dx  F ( x)  c , данное равенство будет справедливо и в том
случае, когда x является функцией некоторой другой переменной.
Пользуясь указанной теоремой можно установить правило, позволяющее вычислять
неопределенные интегралы.
Пусть требуется вычислить интеграл  f ( x)dx . Предположим, что удалось подобрать
такую
дифференцируемую
функцию
f ( x)  h( g ( x)) g ( x) , причем h(t )
t  g (x) ,
что
имеет
легко интегрируется, т.е.
пользуясь указанной выше теоремой получаем, что
место
равенство
 h(t )dt  H (t )  c .
 f ( x)dx  H ( g ( x))  c .
Тогда
Такой прием
называют интегрированием путем замены переменной. Применение такого приема требует
54
определенных навыков в интегрировании, поскольку в некоторых случаях увидеть замену
бывает довольно затруднительно.
Следует отметить, что в некоторых случаях можно не осуществлять замену в прямом
виде, а пользоваться так называемым приемом внесения под знак дифференциала. Согласно
только что доказанной теореме  f ( x)dx  F ( x)  c вне зависимости от того, является ли
переменная x аргументом или функцией. Тогда достаточно преобразовать выражение,
стоящее под знаком дифференциала, чтобы вычислить интеграл.
Замечание. В зависимости от конкретной ситуации на функцию t  g (x) требуется
наложить требование монотонности, поскольку в таком случае можно утверждать, что такая
функция имеет обратную x   (t ) . В некоторых случаях бывает удобнее использовать
замену именно в таком виде.
Метод интегрирования по частям
Одним из эффективных приемов вычисления интегралов является метод
интегрирования по частям.
Теорема 6. Пусть функции u ( x), v( x) дифференцируемы на некотором промежутке.
Если для функции v( x)u ( x) существует первообразная, то существует первообразная и для
функции u ( x)v ( x) , причем справедливо равенство  u ( x)v ( x)dx  u ( x)v( x)   v( x)u ( x)dx .
Замечание. Для удобства данную формулу в некоторых случаях записывают в виде
 udv  uv   vdu .
Рекуррентная формула
Метод интегрирования по частям помогает вычислить интеграл следующего вида
dx
1
2nxdx
dx
. Обозначим его I n  
. Обозначим u 
, du  
,
n
n
n 1
n
2
2
2
2
2
x a
x a
x  a2
x2  a2



dv  dx , v  x , тогда I n 
 x
x 2 dx
2
a

2 n 1

x2  a2  a2
x
2
a

2 n 1
x
x
2
a


2 n
 2n 
dx  I n  a 2 
In 
x

x
x
x
x dx
2
 a2

dx
2




2
2 n

 2nI
a
2 n 1
n
n 1
. Преобразуем последний интеграл
 I n  a 2 I n1 . Тогда получаем

 a 2 I n 1 .
a
x
2n  1
dx
1
x

I n , n  1, 2, 3,... I 1   2
 arctg  c .
Отсюда находим I n 1 
2
2
2 n
2
2
a
x  a  a
2na ( x  a )
2na
x
1
x
 3 arctg  c . Продолжая этот процесс можно
При n  1 получаем I 2  2 2
2
a
2a ( x  a ) 2a
найти I n для любого значения n .
2
Интегрирование рациональных дробей
Дальнейшее внимание обратим на отдельные классы функций, для которых
существуют определенные приемы интегрирования.
55
Рассмотрим один из важнейших классов – класс рациональных функций, которые
P( x)
представляют собой отношение двух многочленов
. Для интегрирования таких дробей
Q( x)
используют метод разложения на элементарные дроби. Предварительно рассмотрим ряд
теорем относительно многочленов, которые доказываются в курсе алгебры.
Теорема 7. Любые два многочлена P ( x), h( x) , такие, что степень h(x) не выше
степени, P (x ) можно представить в виде P( x)  q( x)  h( x)  r ( x) . В таких случаях
используют термины «делимое», «делитель», «частное», «остаток».
Говорят, что многочлен P (x ) делится на многочлен h(x) , если r ( x)  0 .
Число a называют корнем многочлена, если f (a)  0 .
Теорема 8. Многочлен P (x ) делится на двучлен ( x  a ) тогда и только тогда, когда
a является корнем многочлена.
Теорема 9. Всякий многочлен ненулевой степени имеет хотя бы один корень
(комплексный).
Следствие. Всякий многочлен степени n имеет ровно n комплексных корней.
Теорема 10. Если комплексное число является корнем многочлена, то и сопряженное
ему число будет корнем данного многочлена.
Теорема 11. Всякий многочлен с действительными коэффициентами можно
представить в виде произведения множителей, имеющих вид двучленов, соответствующих
корням, в степенях равных кратности корней, и трехчленов, не имеющих корней (они
соответствуют комплексным корням), в степенях равных кратности корня.
Можно показать, что разложение на элементарные дроби связано с разложением на
множители знаменателя дробно-рациональной функции.
Каждому неповторяющемуся множителю x  a в разложении знаменателя
A
соответствует дробь вида
; каждому множителю вида ( x  a) k отвечает сумма дробей
xa
Ak
A1
A2
; каждому неповторяющемуся множителю x 2  px  q ,

 ... 
2
x  a ( x  a)
( x  a) k
Mx  N
соответствует дробь 2
; каждому множителю ( x 2  px  q) k соответствует сумма
x  px  q
M x  Nk
M x  N1
M x  N2
дробей 2 1
.
 2 2
 ...  2 k
2
x  px  q ( x  px  q)
( x  px  q) k
Mx  N
A
Mx  N
A
Каждую из дробей
,
, 2
, 2
называют простейшей
k
x  a ( x  a)
x  px  q ( x  px  q) k
дробью. Таким образом любая рациональная дробь представима в виде суммы простейших
дробей. Других видов простейших дробей не существует.
Интегрирование простейших дробей
A
1.
 x  a dx  A ln x  a  c .
2.
 ( x  a)
A
k
dx 
A
1
 c, k  1 .
k  1 ( x  a ) k 1
56
3.
x
Mx  N
dx .
 px  q
Выделим
2
в
 2N
2x  p  

Mx  N
M
M

 x 2  px  q dx  2  x 2  px  q
числителе
дифференциал
знаменателя.

p
 dx  M
2
d ( x 2  px  q ) 
Mp 
dx
 x 2  px  q   N  2   p  2
p
x    q 
2

p
x
M
Mp 
1

2 c.

ln x 2  px  q   N 
arctg

2
2
2


p
p2
q
q
4
4
 2N

2x  p  
 p
2
Mx  N
M
M
 dx  M d ( x  px  q)   N  Mp  
4.  2
dx



k
( x  px  q) k
2 
2  x 2  px  q k 
2 
x 2  px  q




dx




M
1
Mp 

N 
I k  c ,
2
k 1
2(k ) ( x  px  q)
2 

где
–
Ik
2 

p
p
  x    q 



2
4



интеграл, вычисляемый по рекуррентной формуле.
5. Для представления произвольной дроби используют метод неопределенных
коэффициентов. Его суть заключается в том, что рациональная дробь представляется
в виде суммы элементарных дробей с неизвестными коэффициентами в числителе.
Приводя полученное разложение к общему знаменателю и сравнивая числители
левой и правой части, находим эти коэффициенты.
k
2
Интегрирование некоторых видов иррациональных функций
1. Интегралы вида

Ax  B
dx , где многочлен в знаменателе может как иметь,
x  px  q
так и не иметь корней, интегрируется при помощи выделения полного квадрата. Аналогично
Ax  B
dx , однако следует потребовать, чтобы при
вычисляется интеграл в случае 
 x 2  px  q
выделении полного квадрата под корнем не содержалось отрицательное выражение.
Интегралы подобного вида можно вычислять, внося подкоренное выражение под знак
дифференциала.
1
Ax  B
dx интегрируется подстановкой x  a  , в
2. Интеграл вида 
t
( x  a ) x 2  px  q
2
результате интеграл сводится к предыдущему типу.

ax  b
ax  b 
dx . Для вычисления используем подстановку m
 t , тогда в
3.  R x, m

cx  d 
cx  d

результате получаем интеграл от рациональной функции. К данному типу также относится
57
интеграл
вида


R
  x, k

 ax  b 
 ax  b 

 , ..., l 

 cx  d 
 cx  d 
p
r

dx ,


он
сводится
к
интегралу
от
ax  b
 t , где m – наименьшее общее кратное чисел k , ..., l .
cx  d
4. Интегрирование дифференциальных биномов  x m (a  bx n ) p dx , где m, n, p –
рациональной дроби заменой
m
рациональные числа. Рассмотрим следующие случаи:
a. p – целое, тогда интеграл сводится к рациональной дроби подстановкой
x  t s , где s – наименьшее общее кратное знаменателей дробей m, n .
m 1
b.
– целое, тогда применяют подстановку a  bx n  t s
n
m 1
c.
 p – целое, тогда используют замену a  bx n  t s x n
n
Приемы интегрирования указанных случаев были известны еще Ньютону (несколько
в иной форме). В середине XIX века русский математик П.Л.Чебышев показал, что во всех
остальных случаях дифференциальные биномы являются неинтегрируемыми с помощью
элементарных функций.
6. При вычислении интеграла от иррациональной функции в некоторых случаях можно
использовать одну из следующих замен:
a.
 R ( x,
a 2  x 2 )dx , используем замену x  a sin x , ( x  a cos t );
b.
 R ( x,
x 2  a 2 )dx , используем замену x 
c.
 R ( x,
a 2  x 2 )dx , используем замену x  a tg t .
a 
a 
, x 
;
sin t 
cost 
Интегрирование тригонометрических функций
Рассмотрим случаи, когда возможно интегрирование тригонометрических функций.
1.  R(sin x, cos x)dx , где R – рациональная функция. Используем универсальную
x
. В таком случае получаем, что
2
x
x
2tg
1  tg 2
2 , cos x 
2 , dx  2dt .
sin x 
x
x
1 t2
1  tg 2
1  tg 2
2
2
Тогда очевидно, что исходный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной
дроби, который всегда можно вычислить.
2. Если подынтегральная функция R(sin x, cos x) является нечетной относительно sin x ,
то в таком случае можно использовать замену t  cos x .
3. Если подынтегральная функция R(sin x, cos x) является нечетной относительно cos x ,
то в таком случае можно использовать замену t  sin x .
4. Если подынтегральная функция R(sin x, cos x) при замене sin x на  sin x и cos x на
 cos x остается неизменной, то подстановкой t  tgx подынтегральное выражение
преобразуется в рациональное относительно t .
тригонометрическую подстановку t  tg
58
5. Если подынтегральная функция рациональная относительно tgx (или ctgx ), то
подстановка t  tgx (или t  ctgx ) сведет вычисление интеграла к интегрированию
рациональной функции..
6. Интегралы вида  sin mx cos nxdx ,  sin mxsin nxdx ,  cos mx cos nxdx вычисляются с
помощью формул тригонометрии, преобразующих произведение тригонометрических
функций в сумму
1
sin  cos   sin      sin     ,
2
1
sin  sin   cos     cos    ,
2
1
cos  cos   cos     cos    .
2
7. Если подынтегральная функция имеет вид  sin m x cos n xdx , где m и n – целые числа,
то при вычислении интеграла полезно помнить следующее
a. если хоть одно из чисел или нечетное, то можно пользоваться одной из
подстановок t  sin x или t  cos x .
b. если оба числа и положительные и четные, то можно предварительно выразить
подынтегральную функцию через тригонометрические функции кратных дуг
1  cos 2 x
1  cos 2 x
sin 2 x 
, cos 2 x 
.
2
2
59
Глава 2. Определенный интеграл
Понятие определенного интеграла наряду с понятием неопределенного интеграла
также является основным и даже более фундаментальным понятием математического
анализа. Рассмотрение данного вопроса начнем с двух конкретных задач, приводящих к
понятию определенного интеграла. К этому понятию приводят самые разнообразные
вопросы и задачи из области геометрии, механики, физики и техники. Остановимся на двух
задачах, взятых из двух совершенно различных областей: одну – из геометрии, другую – из
механики, к решению которых применен один и тот же метод.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Задача о площади криволинейной трапеции. Пусть имеем плоскую фигуру ABCD ,
ограниченную кривой y  f (x) , где f (x) – непрерывная, неотрицательная на отрезке a, b
функция, осью Ох и прямыми x  a и x  b (Рис. 38).
y
S
A
B
C
b x
D
a
O
Рис 38.
Такая фигура называется криволинейной трапецией. Этот термин сохраняется также и
для тех случаев, когда точка А совпадает с точкой D , или точка В совпадает с точкой C , или
имеет место и то и другое. Требуется вычислить площадь данной криволинейной трапеции.
Решение поставленной задачи состоит из двух частей: дать согласующееся с
наглядными представлениями о площади определение понятию площади криволинейной
трапеции, поскольку в элементарной геометрии дается определение понятию площади
только такой фигуры, которая ограничена прямолинейными отрезками, дугами окружностей.
Вторая часть заключается в нахождении способа конкретного вычисления этой площади.
Разобьем отрезок a, b произвольным образом на n частей. На каждом из участков
выберем произвольную точку  k , вычислим в этой точке значение функции f ( k ) .
Рассмотрим фигуру, составленную из прямоугольников с основанием xk 1 , xk  и высотой
f ( k ) (Рис. 39).
y
A
B
D
O a 1 2 3
C
 n 1 n b x
Рис 39.
60
Очевидно,
что
площадь
фигуры,
составленной
из
прямоугольников,
равна
n
S n   f ( k )x k . Тогда площадь исходной фигуры можно считать равной площади
k 1
рассмотренной составной фигуры S  Sn . Будем увеличивать число точек разбиения, т.е.
n   . При этом потребуем, чтобы длина наибольшего из отрезков при разбиении
стремилась к нулю с ростом числа точек разбиения.
Определение 1. Если при неограниченном возрастании числа n частичных отрезков,
причем таком, что длина  максимального частичного отрезка xk 1 , xk  стремится к нулю,
n
сумма S n   f ( k )x k
стремится к некоторому пределу S, не зависящему от вида
k 1
выбранной системы разбиений и от выбора точек  k в пределах соответствующих
частичных отрезков, то этот предел называется площадью данной криволинейной трапеции
ABCD .
S  lim
n
 f (
n
 0 k 1
k
)xk .
Задача о работе переменной силы. Пусть некоторое тело движется по прямой Ox под
действием силы F , направление которой совпадает с направлением движения, а величина
зависит от места нахождения тела на прямой. Принято говорить, что при таком перемещении
тела сила F совершает некоторую работу. Поставим перед собой задачу о вычислении
работы, производимой переменной силой при перемещении тела из одной точки a прямой
Ox в другую точку b той же прямой.
Сила F есть некоторая функция абсциссы точки, в которой находится тело в
рассматриваемый момент F  F (x) . Будем предполагать эту функцию непрерывной.
Итак, поставлена двойная задача: дать определение работы переменной силы
(направление которой совпадает с направлением движения) и указать способ вычисления
этой работы.
Разобьем отрезок a, b на n произвольных частей. Рассмотрим на каждой из частей
произвольную точку  k . Будем считать, что на каждом частичном отрезке xk 1 , xk  сила
совершает постоянную работу, равную F ( k ) . Тогда работу по перемещению тела из точки
n
a в точку b можно считать примерно равной An   F ( k )x k . Будем неограниченно
k 1
увеличивать число точек разбиения n , причем так, что длина наибольшего из отрезков
разбиения стремится к нулю с ростом n .
Определение 2. Если при неограниченном возрастании числа разбиений n , причем
таком , что длина  максимального частичного отрезка xk 1 , xk  стремится к нулю, сумма
n
An   F ( k )x k стремится к определенному пределу А, не зависящему от выбранной
k 1
системы разбиений и от выбора точек  k на соответствующих частичных отрезках, то этот
предел называется работой переменной силы F на отрезке a, b.
n
A  lim  F ( k )xk .
n 
 0 k 1
Если отвлечься от конкретного содержания этих задач и сосредоточить свое внимание
только на вычислительном процессе, т. е. на последовательности действий над значениями
данных функций и их аргументов, то станет ясно, что решение обеих задач сводится к
нахождению предела суммы одного и того же вида.
61
Понятие определенного интеграла
Пусть на отрезке a, b задана функция f (x) . Разобьем отрезок a, b на n частичных
отрезков с помощью произвольно выбранных на нем точек x0 , x1 , x2 ,..., xn , a  x0 , b  xn . На
каждом из частичных отрезков xk 1 , xk  возьмем произвольно точки:  k . Во взятых точках
вычислим значения f ( k ) и составим произведения f ( k )xk . Сложим полученные числа
n
   f ( k )x k .
k 1
Сумму такого вида называют интегральной суммой, составленной для функции f (x)
на отрезке a, b. Для данной функции f (x) можно составить на рассматриваемом отрезке
сколько угодно интегральных сумм, так как отрезок a, b можно разбить на любое число
частичных отрезков, и притом различными способами, и в пределах каждого частичного
отрезка можно выбирать точку  k бесчисленным множеством различных способов.
Будем неограниченно увеличивать число делений отрезка a, b, однако так, чтобы
длина  максимального частичного отрезка xk 1 , xk  стремилась к нулю. Введем следующее
определение.
Определение 3. Число I называется определенным интегралом функции f (x) по
n
отрезку a, b, если существует конечный предел интегральной суммы    f ( k )x k при
k 1
  0 , не зависящий ни от способа разбиения отрезка a, b на части, ни от выбора точек  k .
b
Обозначается I   f ( x)dx .
a
Данное определение требует, чтобы понятие предела интегральной суммы было точно
определено.
n
Определение 4. Число I называется пределом интегральной суммы    f ( k )x k ,
k 1
если для всякого числа   0 можно найти такое число   0 , что при любом разбиении
отрезка a, b на части, удовлетворяющем лишь условию    , и при любом выборе точек
 k на этих частичных отрезках, выполняется неравенство
n
 f (
k 1
k
)x k  I   .
Непосредственно из определения интеграла следует, что интеграл определяется
однозначно и представляет собой некоторое число. Отсюда следует, что определенный
интеграл не зависит от переменной интегрирования, т.е. ее можно заменить при
необходимости другой переменной.
Возвращаясь
к
рассмотренным
ранее
задачам,
получаем,
что
b
b
a
a
S   f ( x)dx, A   F ( x)dx . Таким образом, площадь криволинейной трапеции (работа
переменной силы) равна определенному интегралу от f (x) (силы), взятому по отрезку a, b.
Теорема 1. Если функция интегрируема на отрезке a, b, то она ограничена на
данном отрезке.
Можно показать, что данное условие не является достаточным.
Суммы Дарбу
Cоставим следующие две вспомогательные суммы:
62
n
n
k 1
k 1
s   m k x k , S   M k x k ,
где mk , M k – наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке xk 1 , xk  . Эти суммы
называются соответственно нижней и верхней интегральными суммами или суммами Дарбу.
Установим следующие свойства интегральных сумм.
1. Любая интегральная сумма  заключена между нижней и верхней суммами для того
же разбиения.
2. Если к точкам уже произведенного разбиения отрезка a, b добавить новые точки
разбиения, то при переходе от первого разбиения ко второму нижняя сумма может
только лишь увеличиться, а верхняя – только лишь уменьшиться.
3. Верхняя сумма, соответствующая каждому разбиению отрезка a, b, не меньше
нижней суммы, соответствующей любому разбиению этого отрезка.
Следствие. Множество всех нижних сумм Дарбу ограничено сверху, тогда множество
нижних сумм имеет точную верхнюю границу. Обозначим ее I . Получаем s  I  S . Отсюда
следует, что   I  S  s .
Теорема 2. Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно,
чтобы lim ( S  s )  0,   0 .
n 
Равномерная непрерывность
Функция называется непрерывной, если
  0  0x 0  x  x0   : f ( x)  f ( x0 )   .
Возникает вопрос, от чего зависит выбор  . Легко увидеть, что выбор  обусловлен
не только выбором  , но и выбором точки x 0 .
В таком случае требуется установить, возможно ли при заданном  для всех точек
данной области подобрать одно  , которое годилось бы сразу для всех этих точек. В таком
случае говорят о равномерной непрерывности.
Определение 5. Функция f (x) называется равномерно непрерывной на промежутке
X , если   0  0x, x x  x   : f ( x)  f ( x)   .
В этом случае число  оказывается зависящим исключительно от  ; оно может быть
указано до выбора точек x , x  и будет одновременно пригодным для всех точек данной
области.
Лемма. Если функция f (x) непрерывна на a, b и   0 – некоторое наперед
заданное число, то отрезок a, b можно разбить на конечное число отрезков таким образом,
что для всяких двух точек x , x  , принадлежащих одному и тому же из этих частичных
отрезков, выполняется неравенство f ( x)  f ( x)   .
Теорема 3. (Кантора) Всякая непрерывная на данном отрезке функция равномерно
непрерывна на нем.
Непрерывность и интегрируемость функции
Существует связь между понятиями интегрируемости и непрерывности функции,
которая выражается следующей теоремой.
Теорема 4. Если функция непрерывна на отрезке a, b, то она интегрируема на этом
отрезке.
Данное утверждение можно обобщить.
Теорема 5. Если ограниченная на отрезке a, b функция имеет лишь конечное число
точек разрыва, то она интегрируема на данном отрезке.
63
Теорема 6. Монотонная ограниченная на отрезке a, b функция всегда интегрируема.
Основные свойства определенного интеграла
Можно показать, что для пределов интегральных сумм справедливы все основные
свойства пределов. Основные свойства двойного интеграла:
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
b
b
a
a
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx .
2. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак
b
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx .
3. Для
произвольной
b
c
b
a
a
c
точки
отрезка
c
a, b
справедливо
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx .
Следствие 1. Данное равенство будет справедливым как бы ни были расположены
точки a, b, c .
следствии 2. Данное равенство справедливо для любого конечного числа
промежуточных точек.
b
b
b
a
a
4. Интеграл суммы равен сумме интегралов  ( f ( x)  g ( x)) dx   f ( x)dx   g ( x)dx .
a
5. Если f ( x)  0 на отрезке a, b, то справедливо
b
 f ( x)dx  0 .
a
Следствие 1. Если f ( x)  g ( x) на a, b, то
b
Следствие 2.
b
b
a
a
 f ( x)dx   g ( x)dx .
b
 f ( x)dx  
a
f ( x) dx .
a
6. Если m, M – наименьшее и наибольшее значения функции, то справедливо
b
неравенство m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a) .
a
7. (Теорема о среднем). Если f (x) непрерывна на a, b, то на нем существует точка
b
c такая, что
 f ( x)dx  f (c)(b  a) .
a
Определенный интеграл с переменным верхним пределом
Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке a, b, т. е. существует
b
 f ( x)dx . Из
a
самого определения интеграла как предела интегральной суммы следует, что если функция
f (x ) и пределы интегрирования a, b заданы, то интеграл определяется однозначно, и
значение его не зависит от обозначения переменной интегрирования. В таком случае,
x
рассмотрим
определенный интеграл
 f (t )dt
a
с постоянным нижним пределом a и
64
переменным верхним пределом x , где a  x  b . Каждому значению x из отрезка a, b
x
соответствует одно определенное число
 f (t )dt . Следовательно, рассматриваемый интеграл
a
представляет собой на отрезке a, b некоторую функцию верхнего предела x . Обозначим
x
эту функцию через ( x)   f (t )dt . Ее можно рассматривать для всех x из отрезка a, b,
a
однако для x  a данную функцию требуется определить, поскольку определение интеграла
a
давалось в предположении о том, что a  b . Примем в качестве определения, что
 f (t )dt  0
a
для любой интегрируемой функции.
Теорема 7. Если функция f (x) непрерывна на отрезке a, b, то функция (x) имеет

x

производную в каждой точке этого отрезка, причем   f (t )dt   f ( x) .
a

Из данной теоремы следует непрерывность функции (x) .
Кроме того из нее вытекают две важные теоремы.
Теорема 8. Если функция f (x) непрерывна на отрезке a, b, то функция
x
( x)   f (t )dt , a  x  b является первообразной для функции f (x) на этом отрезке.
a
a, b
Теорема 9. Всякая непрерывная на отрезке
первообразную.
функция имеет на нем
Формула Ньютона – Лейбница
Теорема 10. Если функция f (x) непрерывна на отрезке a, b и F (x) есть какая-либо
первообразная для f (x) на этом отрезке, то имеет место следующая формула
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a) .
a
b
Итак, чтобы вычислить определенный интеграл
 f ( x)dx
от непрерывной на a, b
a
функции f (x) достаточно вычислить неопределенный интеграл от f (x) на a, b, положив
c , например, равным нулю, получить одну из первообразных функций F (x) для f (x) на
a, b. Вычислить F (b) и F (a) и найти их разность.
Интегрирование по частям
Ранее была установлена формула интегрирования по частям для неопределенных
интегралов. Аналогичную формулу можно установить и для определенных интегралов.
Пусть функции u ( x), v( x) имеют непрерывные производные на отрезке a, b (следовательно,
эти функции сами непрерывны на a, b). Тогда имеет место следующая формула
b
b
 udv  uv  vdu ,
b
a
a
a
переменной x .
причем предполагается, что пределы интегрирования относятся к
65
Замена переменной под знаком определенного интеграла
b
Пусть требуется вычислить
 f ( x)dx
от
непрерывной на отрезке a, b функции.
a
Часто бывает удобно применить, как и в случае вычисления неопределенного интеграла,
замену переменного путем введения вместо старой переменной новой переменной t ,
связанного со старым соотношением x   (t ) . Рассмотрим следующую теорему.
Теорема 11. Пусть выполняются следующие условия:
1. функция  (t ) – непрерывная однозначная на отрезке  ,   и имеет непрерывную
производную  (t ) ;
2. при изменении t на отрезке  ,   значения функции x   (t ) не выходят из отрезка
a, b;
3.  ( )  a,  (  )  b .
b
Тогда имеет место равенство


f ( x)dx   f ( (t )) (t )dt , называемое формулой замены

a
переменного под знаком определенного интеграла.
Интегрирование четных и нечетных функций
При вычислении определенных интегралов от четных и нечетных функций полезно
иметь в виду следующие формулы
a
a
a
0
 f ( x)dx  2 f ( x)dx ,
если функция f (x) четная, и
a
 f ( x)dx  0 , если функция
f (x ) нечетная. При этом предполагается, что функция f (x )
a
непрерывна на симметричном относительно начала координат отрезке  a, a .
f (x )
Пусть
является периодической функцией. Справедлива
b l
b

a
f ( x)dx 
 f ( x)dx .
a l
формула
66
Глава 3. Некоторые приложения определенного интеграла
Площадь плоской фигуры
Понятие квадрируемой фигуры
Понятие площади простейших плоских фигур (прямоугольников, многоугольников,
круга и его частей) рассматривалось в школьном курсе элементарной геометрии, где оно
было достаточно хорошо изучено, и известны способы и формулы для ее вычисления.
Рассмотрим общие сведения о площади некоторой произвольной плоской фигуры.
Пусть дана произвольная плоская фигура, ограниченная замкнутой кривой, которую
называют границей или контуром данной фигуры. Рассмотрим всевозможные
многоугольники площади s , целиком содержащиеся в данной фигуре, и многоугольники
площади S , целиком содержащие в себе данную фигуру. Многоугольники G будем
называть «входящими», а многоугольники H – «выходящими». Для площадей этих
многоугольников будем всегда иметь s  S . Отсюда следует, что множество чисел s
ограничено сверху, например, любым числом S . Следовательно, это множество имеет
конечную точную верхнюю границу P  sups и, кроме того, P  S , где S – площадь
любого выходящего многоугольника H . Так как множество чисел S , таким образом,
оказывается ограниченным снизу числом P  , то оно имеет конечную, точную нижнюю
границу P  inf S, причем P  P  .
Определение 1. Если обе границы P и P  равны друг другу P  P  , то их общее
значение Р называется площадью фигуры F , а саму фигуру в этом случае называют
квадрируемой.
Приведенное определение позволяет сформулировать условие квадрируемости в виде
следующей теоремы.
Теорема 1. Для того чтобы фигура F была квадрируема, необходимо и достаточно,
чтобы существовали такие две последовательности многоугольников G, H ,
содержащихся в F и содержащих F соответственно, площади которых имели бы общий
предел lim Gn  lim H n  P , тогда этот предел Р и будет площадью фигуры F .
Теорема 2. Если для фигуры F можно построить такие две последовательности
квадрируемых фигур Qn , Rn , содержащихся в F и содержащих F соответственно,
площади которых имеют общий предел lim Qn  lim Rn  P , то фигура F квадрируема и
предел P будет ее площадью.
Рассмотрим простейшие свойства площади:
1. Конгруэнтные (равные) фигуры имеют равные площади.
2. Площадь части фигуры меньше, чем площадь всей фигуры.
3. Если фигура F разбита на две фигуры F1 и F2 , то квадрируемость двух из этих трех
фигур влечет за собой квадрируемость третьей, причем всегда P  P1  P2 то есть площадь
обладает свойством аддитивности.
Если фигура F , лежащая в плоскости Oxy , может быть разбита с помощью прямых,
параллельных осям координат, на такие части, каждая из которых представляет собой
квадрируемую криволинейную трапецию, то по свойству 3 сама фигура F квадрируема и
площадь ее равна сумме площадей криволинейных трапеций, составляющих эту фигуру.
Плоские фигуры, встречающиеся на практике, как правило, всегда могут быть
разбиты на такие трапеции. Таким образом, отправляясь от площади криволинейной
трапеции, можно вычислять площади практически любых плоских фигур.
При постановке задачи определенного интегрирования уже рассматривался вопрос о
вычислении площади криволинейной трапеции, т. е. фигуры, ограниченной прямыми
y  0, x  a, x  b и кривой y  f (x) , где f (x ) неотрицательная, непрерывная на отрезке
67
a, b функция. Было установлено, что площадь указанной фигуры вычисляется по формуле
b
S   f ( x)dx .
a
Фигуру, ограниченную прямыми x  0, y  c, y  d кривой x   ( y ) , где  ( y ) –
неотрицательная, непрерывная на отрезке c, d  функция, также называют криволинейной
трапецией (относительно оси Oy (Рис. 40)). Совершенно ясно, что для площади S такой
d
фигуры имеем S   f ( y)dy .
c
с
y
S
d
O
x
Рис 40.
Рассмотрим следующий случай вычисления площади плоской фигуры. Пусть фигура
имеет вид y  0, x  a, x  b и кривой y  f (x) , где кривая f (x) является отрицательной. В
таком случае рассмотрим функцию g ( x)   f ( x) , которая является положительной. Тогда
b
b
a
a
для нее можно применить формулу вычисления площади S   g ( x)dx   f ( x)dx .
Рассмотрим общий случай, когда f (x) произвольное число раз пересекает ось Ox . В
таком случае разделим фигуру на часть, каждая из которых ограничена неотрицательной или
неположительной функцией. Вычисление площади такой фигуры сводится к нахождению
площадей ее частей.
Рассмотрим теперь плоскую фигуру, содержащуюся между двумя прямыми
x  a, x  b и двумя непрерывными на a, b кривыми y  f ( x), y  g ( x) , f ( x)  g ( x) на
всем отрезке a, b.
Если обе функции неотрицательны на отрезке a, b, так что обе кривые лежат не ниже оси
Ох, то искомая площадь S криволинейной фигуры будет представлять собой разность
площадей
криволинейных
трапеций.
В
таком
случае
получаем
b
b
b
a
a
a
S   f ( x)dx   g ( x)dx   ( f ( x)  g ( x)) dx .
Очевидно, что данная формула будет справедливой и для любой фигуры такого рода.
Аналогичные формулы справедливы и для случая, когда фигура рассматривается
относительно оси OY .
Можно доказать следующее утверждение: если контур фигуры F состоит из
нескольких непрерывных кривых, каждая из которых задается уравнением
y  f ( x), x  g ( y ) , то такая фигура является квадрируемой. Пусть кривая, дуга которой
ограничивает криволинейную трапецию сверху, задана уравнениями в параметрической
 x   (t )
,   t   . Функции  (t ),  (t ),  (t ) непрерывны на  ,   ,  (t ) –
форме 
y


(
t
)

68
монотонна на
 ,   ,
а также a   ( ), b   (  ) . Тогда применяя правило замены

переменной в определенном интеграле получаем формулу S   (t ) (t )dt .

Данная формула может быть применена для случая вычисления площади
криволинейной фигуры, ограниченной замкнутой кривой, если вся кривая обходится один
раз по часовой стрелке.
Иногда рассматриваемая кривая бывает задана не в прямоугольной системе
координат, а в полярной. В связи с этим возникает вопрос о вычислении площади такой
фигуры, которая ограничена дугой кривой, заданной в полярной системе координат
уравнением r  r ( ) и двумя радиус-векторами    ,    . Можно показать, что площадь

1
2
указанного сектора вычисляется по формуле S   r ( )  d .
2
Если плоская фигура ограничена несколькими кривыми, уравнения которых заданы в
полярных координатах, то вычисление площади такой фигуры стараются свести к
вычислению алгебраической суммы площадей криволинейных секторов.
Длина дуги кривой
Рассмотрим задачу о длине дуги кривой. Элементарная геометрия дает только способ
вычисления длин отрезков прямой линии и дуг окружностей. Для произвольной кривой
понятие длины дуги и способ ее вычисления в элементарной геометрии не устанавливается.
Поэтому надо сначала определить, что понимается под длиной дуги произвольной (простой)
кривой, а затем, пользуясь этим определением, указать способ практического вычисления
длины дуги.
Пусть имеем плоскую простую кривую, т. е. кривую, заданную параметрическими
 x   (t )
,   t   , где  (t ),  (t ) – непрерывные функции на отрезке  ,   .
уравнениями 
 y   (t )
При этом предполагается, что кривая является несамопересекающейся. Также будем считать,
что точки кривой расположены в порядке возрастания параметра t .
Разобьем отрезок  ,   на n частей точками t 0 , t1 , ..., t n . Каждому значению t k на
дуге соответствует точка M k , соединим полученные точки отрезками. В результате получим
ломаную линию, вписанную в дугу АВ. Эта ломаная состоит из отдельных звеньев, длина
каждого из которых может быть легко определена. Увеличивая число точек разбиения, в
результате получаем ломаную, которая лучше приближена к данной кривой (Рис. 41).
y
Mn
M n1
M1
M2
M0
O
x
Рис 41.
Определение 2. Длиной дуги называют предел последовательности длин ломаных,
вписанных в данную дугу, когда длина каждого частичного отрезка стремится к нулю.
Такие кривые называют спрямляемыми.
Можно показать, что длина дуги находится по формуле:
69

1. l  
 (t )2   (t )2 dt
– для параметрически заданной функции;

b
2. l   1   f ( x)  dx – в обычном случае;
2
a

3. l  
r ( )2  r ( )2 d
– для полярных координат.

Выражения,
стоящие
дифференциалом дуги.
под
знаком
определенного
интеграла
называют
Объем тела вращения
Рассмотрим некоторые основные понятия объема тела.
Пусть дано некоторое тело. Примем какую-нибудь направленную прямую за ось
абсцисс. Начало координат возьмем в некоторой ее точке O . Пересечем данное тело
плоскостью, перпендикулярной оси Ox . В сечении получится некоторая плоская фигура,
площадь которой, вообще говоря, будет зависеть от положения секущей плоскости, т. е. она
является некоторой функцией абсциссы x точки пересечения секущей плоскости с осью
Ox (Рис. 42).
y
S(x)
O
x
x
Рис 42.
Рассмотрим задачу о вычислении объема тела, заключенного между двумя сечениями,
соответствующими значениям аргумента x  a и x  b . (Эти сечения могут сводиться и к
точкам). При этом будем предполагать, что в сечении тела плоскостью, перпендикулярной
оси Ox , получается фигура, ограниченная только одной замкнутой кривой, и что площадь
этого поперечного сечения известна.
Прежде всего определим, что понимается под объемом рассматриваемого тела, а
затем на основании введенного определения дадим формулу для вычисления объема. С этой
целью разобьем отрезок a, b произвольным образом на n частей. Если через каждую точку
разбиения провести секущую плоскость, то тело разделится на n слоев. В каждом из
указанных слоев выберем произвольную точку, через которую проведем сечение. Каждый из
слоев заменим цилиндром, основанием которого будет полученное сечение, а высотой –
длина частичного отрезка. Тогда получаем составное тело из цилиндров, объем которого
равен сумме объемов всех цилиндров.
Определение 3. Объемом рассматриваемого тела будем называть предел суммы
объемов цилиндрических слоев, когда высоты всех слоев стремятся к нулю, если он
существует и не зависит ни от выбранной системы разбиений отрезка, ни от выбора точек на
каждом частичном отрезке.
b
В таком случае, справедлива формула V   S ( x)dx .
a
70
Пусть дана некоторая функция y  f (x) непрерывная на отрезке a, b. Будем
вращать данную кривую вокруг оси Ox , в результате получим так называемое тело
вращения (Рис. 43).
y
y  f (x)
O
x
Рис 43.
b
Объем тела вращения вычисляется по формуле V    f 2 ( x)dx .
a
Определим площадь поверхности вращения.
Определение 4. Площадью поверхности образованной вращением данной дуги
называют предел, к которому стремится площадь поверхности, получаемой вращением
ломаной, вписанной в данную дугу, когда длина наибольшего звена стремится к нулю.
Площадь поверхности вычисляется по формулам
b
1. S  2  f ( x) 1   f ( x)  dx – в обычном случае;
2
a

2. S  2  (t )  (t )    (t )  dt – для параметрически заданной функции;
2


3. S  2  r ( ) sin 

2
r ( )2  r ( )2 dt
– для полярных координат.
71
Глава 4. Несобственный интеграл
Введенное ранее понятие определенного интеграла применимо к функциям, заданным
на конечном промежутке, при этом подынтегральная функция должна быть ограниченной.
Если хотя бы одно из указанных условий не выполняется, то приведенное определение
теряет смысл. Однако нередко возникает необходимость обобщить понятие определенного
интеграла на тот случай, когда функция рассматривается на бесконечном промежутке, а
также когда данная функция не ограничена в окрестности какой-либо точки, принадлежащей
промежутку интегрирования. Эти обобщения приводят к так называемым несобственным
интегралам, имеющим важное значение во многих областях математического анализа и его
приложений.
Несобственные интегралы первого рода
Определение 1. Пусть функция f (x) задана в промежутке a,   и интегрируема в
любой конечной его части a, t , то есть существует интеграл
t
 f ( x)dx
при любом t  a .
a
t
Тогда, если существует конечный предел
lim
t 
 f ( x)dx ,
то говорят, что существует
a
несобственный интеграл первого рода для функции f (x) на a,   .

Обозначают
 f ( x)dx .
a
Таким образом, если предел существует и конечен, то говорят, что интеграл сходится.
Если же предел не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл
расходится.
Аналогичным образом можно определить несобственный интеграл на промежутке
b
f ( x)dx .
 ; b, тогда рассматривают предел tlim
 
t
Можно показать, что несобственный интеграл удовлетворяет всем свойствам
определенного интеграла.

1. Если интеграл
 f ( x)dx

сходится и k – постоянное число, то интеграл
a
 kf ( x)dx
a
также сходится, причем


a
a
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx . Если такой интеграл расходится, то

интеграл
 kf ( x)dx также расходится.
a
2. Если функция f (x) интегрируема на любом отрезке, внутреннем к каждому из
полуинтервалов a,   и c,   ( c  a ), то интегралы


 f ( x)dx
и
a
сходиться
лишь
одновременно,

c

a
a
c
причем
 f ( x)dx
могут
c
случае
сходимости
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx .
3. Интеграл суммы равен сумме интегралов


a
a
 ( f ( x)  g ( x))dx 


f ( x)dx   g ( x)dx .
a
72
4. Если функция f (x) неотрицательна на полуинтервале a,   , то

 f ( x)dx  0 .
a
Определим теперь интеграл для случая функции, заданной на интервале  ;   .


Пусть c – произвольное число, и несобственные интегралы
c
f ( x)dx и
Тогда полагаем по определению, что

c



c
 f ( x)dx
сходятся.

c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx .
Легко убедиться, что значение суммы интегралов, стоящих в правой части этого
равенства, не зависит от выбора точки c .
Применение определения удобно для решения вопроса о сходимости несобственного
интеграла, но не возможно, когда первообразная не выражается через элементарные
функции. В таком случае удобнее использовать специальный признак, называемы признаком
сравнения.
Теорема 1. (признак сравнения). Если существует такое число c  a , что для x  c
выполняется неравенство f ( x)  k ( x) , где k – некоторое положительное число, то из
сходимости интеграла


a
a
  ( x)dx следует сходимость интеграла  f ( x)dx . Если же для тех же
x выполняется неравенство kf ( x)   ( x) , то из расходимости интеграла

 f ( x)dx
вытекает
a

расходимость интеграла
  ( x)dx .
a
f ( x)
 k , где k  const , то интегралы
x   ( x )
Следствие. Если существует lim

 f ( x)dx
и
a

  ( x)dx одновременно сходятся или расходятся.
a
Несобственные интегралы второго рода
Пусть f (x) задана на a, b, но не ограничена на нем в окрестности точки b . Будем
предполагать, что функция интегрируема на любом промежутке a, b    . Тогда получаем
определение.
Определение 2. Несобственным интегралом второго рода от функции f (x) на
отрезке a, b называют конечный предел lim
 0
b 
 f ( x)dx .
a
Как и в предыдущем случае, предполагают, что если предел существует и конечен, то
интеграл сходится, если предел не существует или бесконечен, то интеграл расходится.
Аналогично можно определить интегралы, если функция не является ограниченной в
окрестности точки a или в окрестности каждого из концов отрезка.
Очевидно, что в таком случае также справедливы все свойства определенного
интеграла. Кроме того, для случая когда первообразная подынтегральной функции не
выражается через элементарные функции, справедлив признак сравнения.