Использование симметрии аналитических выражений

Задание 1. Найти все значения параметра a , при каждом из которых система
3  2 x  5 x  4  3 y  5 x 2  3a,
имеет единственное решение.
 2
2
 x  y  1.
Решение
Прежде, чем начать решать систему, что можно заметить:
1. x  1 , y  1 ;
2. Система симметрична относительно переменной x, а это значит, если пара
x0 ; y 0  является решением системы, то  x0 ; y 0  тоже её решение;
3. Для единственности необходимо выполнение условия x0   x0 , x0  0 .
Подставим и найдем значения параметра
3  2 0  5  0  4  3 y  0  3a,
3 y  7  3a  0,

 2
2
 y  1.
 y  1.
3 y  7  3a  0,
 3 y  7  3a  0,
или 

 y  1.
 y  1.
Решая эти две системы найдём а. a 
4
10
или a 
3
3
Можно ли записать ответ? Нет.
1. Учитель добивается от учащихся, что бы они пришли к выводу; что
это необходимые значения параметра, а их достаточность нужно проверить
4
При a  , система имеет вид
3
x
3  2  5 x  3 y  5 x 2 ,
 2
2
 x  y  1.
Вспомним, что в начале решения мы уже отметили, что  1  x  1,  1  y  1 ,
учитывая это, попробуем сравнить правую и левую части первого уравнения
системы.
x
x
2  1, т. е. 2  y
x  x 2 , значит и 3  2
x
 5 x  3 y  5 x 2 , причем равенство наступает при условии
x  0 , y  1 . Поэтому a 
При a 
4
следует записать в ответ.
3
10
, исходная система имеет вид
3
3  2 x  5 x  3 y  5 x 2  6,

2
2
 x  y  1.
Доказать единственность тем же путем невозможно. Но есть и другие пути. Какие?
Можно найти более чем одно решение.
x  0 , y  1 видим что это решение, но и x  1, y  0 тоже решение последней
10
системы. Значит, a 
не удовлетворяет требованиям исходной системы.
3
Ответ: a 
4
.
3
Задание 2. Найти все значения параметра a , при
которых система
y
y
 3  2 2  3  2 2  3a  x 2  6 x  5,

имеет единственное решение.
y 2  a 2  5a  6  x 2  0,


 6  x  0.


 



Решение
Заметим, что 3  2 2
y

1
3  2 2 
y


y
 3  2 2 . Отсюда можно сделать вывод.
1. Данная система симметрична относительно переменной y . Поэтому, если
x0 ; y 0  решение исходной системы, то и пара  x0 ; y 0  – также решение этой
системы.
2. Для единственности решения необходимо выполнение условия
y0   y0 ,
y0  0
2  3a  x 2  6 x  5,

При y  0 , получим  x 2 a 2  5a  6  0,

 6  x  0.



Если x 2  0 , x  0 , то подставим это значение в первое уравнение последней
системы, получим 2  3a  5 , a  1 .
Если a 2  5  6  0, a1  2 , a 2  3 .
3. Получим список “кандидатов” в ответ: a  1 , a  2 , a  3 , который нужно
проверить.
При a  1 получаем систему
 3  2 2 y  3  2 2  y  3  x 2  6 x  5,

y 2  12 x 2  0,


 6  x  0.

Если x   6;0 , то x 2  6 x  5  5 .
y
y
1
1
t   2 , при t  0 , тогда
В то же время 3  2 2  t , 3  2 2  ,
t
t

 


3  2 2   3  2 2 
y
y



 3 5.
Тогда, если полученная система имеет решение, то им может быть только пара
0;0 . Действительно 0;0 подходит.
При a  2 получаем систему:

 

 3  2 2 y  3  2 2  y  6  x 2  6 x  5,

y 2  0,


 6  x  0.

имеющую единственное решение  3;0 .

32 2

При a  3 возникает система: 


y  0,

 2
 x  6 x  9  0,
  6  x  0.

  3  2 2 
y
y
 y  0,

 x  3,
 6  x  0.

 9  x 2  6 x  5,
y 2  0,
 6  x  0.
 x 2  6 x  12  0,

y  0,

  6  x  0.

Уравнение x 2  6 x  12  0 не имеет решений, значит и система не имеет решение.
Ответ: a  1 , a  2 .
Самостоятельная работа
Задание 1. Найти все значения параметра a , при каждом из которых система
5  2 x  3 x  2  5 y  3 x 2  5a,
имеет единственное решение.

x 2  y 2  1.

Задание 2.
Найти все значения параметра a , при которых система

 

 2  3 x  2  3 x  5  a  2y  y2 ,


имеет единственное решение.
x 2  2  a  a 2  y 2  0,


0  y  2.




Домашнее задание
2 x  x  y  x 2  a ,
Задание 1. При каких a система  2
имеет единственное
2
 x  y  1.
решение?
Решение самостоятельной работы.
5  2 x  3 x  2  5 y  3 x 2  5a,

x 2  y 2  1.

Система симметрична относительно переменной x .
5  2  5 y  5a, 3  5 y  5a,
x 0 

2
y 2  1.

 y  1.
5a  5 y  3,
5a  5 y  3,
или 

 y  1.
 y  1.
2
8
или a   .
5
5
Проверим достаточность найденных значений.
5  2 x  3 x  2  5 y  3 x 2  2,
2
При a 
получаем систему 
5
x 2  y 2  1.

Решая эти системы получим a 
2
x
 1, y  1 ,
x
x  x 2 , т.к. x  1 , тогда 5  2  3 x  5 y  3x 2 , причем достигается при
значит 2 x  y ,
условии x  0 , y  1 . Значит пара 0;1 решение системы.
5  2 x  3 x  2  5 y  3x 2  8,

x 2  y 2  1.

Доказать единственность этой системы трудно, но можно найти более, чем одно
решение. 0;1 решение системы, но и 1;0 тоже решение этой системы. Значит
8
a   не удовлетворяет требованиям исходной задачи.
5
2
Ответ: a  .
5
При a  

8
получаем систему
5
Задание 2. Найти все значения параметра a , при каждом из которых
 

 2  3 x  2  3 x  5  a  2y  y2 ,


система 
имеет единственное решение.
x 2  2  a  a 2  y 2  0,

0  y  2.




Решение
2 3

1
2 3
 

3
 2 3

1
, значит данную систему можно записать так :
x
 2 3 x  2
5  a  2y  y2 ,


x 2  2  a  a 2  y 2  0,


0  y  2.


Система симметрична относительно переменной x . Чтобы исходная система имела
единственное решение, необходимо x  0 , тогда исходная система принимает вид:
1  1  5  a  2 y  y 2 ,

2
2
 2  a  a   y  0,

0  y  2.



Если y  0 , то из первого уравнения системы a  3 .
Если 2  a  a 2  0 , то a1  1 , a2  2
Достаточность проверим, подставив найденные значения в исходную систему.
Ответ:
a  3 , a  2 .