Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник
Обозначения:
а, b – катеты, с – гипотенуза,
ас, bс – проекции катетов на гипотенузу,
α, β – углы, противолежащие катетам а, в соответственно,
hc – высота, опущенная на гипотенузу,
ma, mb, mc – медианы, проведённые к соответствующим сторонам,
R – радиус описанной окружности,
r – радиус вписанной окружности,
S – площадь,
1
p = (а+b+с) – полупериметр.
2
Основные формулы:
с2 = а2+b2 – теорема Пифагора
a2 = c2-b2
b2 = c2-b2
- следствия из теоремы Пифагора
с
R = mc = – центр описанной окружности есть
2
середина гипотенузы
Гипотенуза – диаметр описанной окружности,
т.е. прямой угол опирается на диаметр АВ описанной
окружности
abc S
ab
 
 pc
2
p abc
ab
hc 
c
ab
hc  ac  bc  ; a  c  ac ; a 2  c  ac ; b  c  bc ; b 2  c  bc
c
1
1
S  ab  c  hc  p  r , p  полупериметр
2
2
a  c  sin   c  cos   b  tg  b  ctg
a
b
a
b
sin   ; cos   ; tg  ; ctg  ;
c
c
b
a
1
R  r  ( a  b)
2
r
a
1
c
2
c
a
a

;
sin  cos 
AK AB

KC BC
а= - катет, лежащий против угла в 30о, равен половине гипотенузы
Если один из углов 45о, то треугольник равнобедренный
Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим
сторонам.
Пример:
ВК – биссектриса
Основные задачи.
№ 1 Найти: r, c, b, R, S и CK, т.е. расстояние от точки С до прямой АВ
№2
АВ = 2 Найти: b, a, R, S и CK, r
№3
Найти: AB, BC, R, S, CK, r
№4
Найти: C, S, CK, BK
Группа А
Задачи по сложности примерно соответствуют обязательной подготовке выпускников
средней школы.
№ 1 Гипотенуза равна 26 см, его катеты относятся как 5:12. Найти больший катет.
№ 2 Найти площадь треугольника, если его катеты относятся как 3:4, а гипотенуза равна
25.
№ 3 Гипотенуза равна 13, один из катетов 5. Найти площадь.
№ 4 Найти площадь равнобедренного треугольника по гипотенузе равной 4√2
№ 5 Один из катетов 12 см, а гипотенуза больше другого катета на 8 см. Найти
гипотенузу.
№ 6 Найти S треугольника, у которого гипотенуза 313, а один из катетов 312.
(а2-b2 !)
№ 7 Катеты 6 и 8. Найти длину медианы, проведённой к гипотенузе.
№ 8 В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла,
равна одному из катетов. Найти меньший угол треугольника.
№ 9 Углы острые относятся как 1:2. Больший катет 4 3 . Найти R.
№ 10 Катеты 3 и 4. Найти R.
5
№ 11 Один из катетов 3, R  . Найти другой катет.
2
№ 12 Вокруг треугольника описана окружность. Катеты треугольника 8 и 6. Найти R.
№ 13 Диаметр окружности, описанной около треугольника, равен 10, а один из катетов 6.
Найти другой катет.
№ 14 Катет и гипотенуза равны 10 и 26. Найти r.
№ 15 Один из катетов 3, а котангенс прилежащего угла равен 0,75. Найти гипотенузу.
№ 16 В треугольнике гипотенуза 20, косинус одного из углов 0,8. Найти больший угол.
Задачи группы Б (примерно соответствуют требованиям технического вуза)
№ 1 Из вершины прямого угла А к гипотенузе проведены АМ – медиана и АК – высота.
Найти МК, если катеты 6 и 3 5 .
№ 2 Гипотенуза 25, один из катетов 10. Найти проекцию другого катета на гипотенузу.
№ 3 Катеты относятся как 1:3. Найти высоту, проведённую к гипотенузе, если гипотенуза
равна 40.
№ 4 Из одной точки проведены перпендикуляр и две наклонные 10 и 17 к данной прямой.
Проекции наклонных относятся как 2:5. Найти длину перпендикуляра.
№ 5 Гипотенуза 10, а проекция меньшего катета на гипотенузу 3,6. Найти радиус
окружности, вписанной в этот треугольник.
№ 6 Радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны соответственно
2 и 5. Найти больший катет.
№ 7 В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что он
имеет с треугольником общий прямой угол. Периметр этого прямоугольника 25. Найти
катеты треугольника.
Задачи ЕГЭ
№ 1 В прямоугольном треугольнике внешний угол при основании 120о, тогда отношение
гипотенузы и катета, перпендикулярного основанию, равно …
№ 2 Треугольник АВС, А=90°, АН – высота, СН=1, АС=2. Чему равен СВА?
№ 3 Гипотенуза 8. Один из углов 30°. Чему равно произведение длин отрезков, на которые
делит гипотенузу высота, проведённая из вершины прямого угла.
№ 4 Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4; высота, опущенная на
гипотенузу, равна 12. Найти S, проекции катетов на гипотенузу, длину окружности,
вписанной в треугольник, площадь круга, описанного около треугольника.
№5 Проекции катетов на гипотенузу 2 и 8. Найти площадь.
№ 6 Найти площадь прямоугольного треугольника, вписанного в круг, площадь которого
100π, если высота, проведённая на гипотенузу 9,6
№ 7 Найти высоту прямоугольного треугольника, проведённую к гипотенузе, если
биссектриса острого угла делит катет на отрезки, равные 2 и 4.
№ 8 В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла разделила катет на 15 и 12.
Найти площадь треугольника.
№ 9 Треугольник АВС, С=90°, О – центр вписанной окружности, ОВ=12, ВОС=105°.
Найти радиус вписанной окружности.
№ 10 Треугольник АВС – прямоугольный, О – центр вписанной окружности соединён с
вершиной прямого угла С и с вершиной В. ОВ=36, ВОС=105°. Найти радиус описанной
окружности.
№ 11 Медиана, проведённая к гипотенузе, равна 2√3 и делит прямой угол в отношении
1:2. Найти больший угол.
!!! № 12 Площадь прямоугольного треугольника и биссектриса прямого угла численно
равны 1. Найти длину гипотенузы. (Ответ 2)
№ 13 Один из катетов 15, а проекция второго на гипотенузу 16. Найти r
№ 14 Один из катетов 15, а проекция второго на гипотенузу 16. Найти диаметр
окружности, описанной около треугольника
№ 15 Периметр 72, r=6. Найти диаметр описанной окружности.
№ 16 R=5, r=2. Найти больший катет
№ 17 В прямоугольный треугольник вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найти
площадь квадрата, если катеты 10 и 15.
№ 18 Треугольник АВС, С=90°. Через центр О вписанной в треугольник окружности
проведён луч ВО, пересекающий катет АС в т.М. АМ=8√3, А=МВС. Найти
гипотенузу
№ 19 Найти расстояние от точки пересечения медиан прямоугольного треугольника до его
гипотенузы, равной 25, если один из катетов равен 20
№ 20 Найти расстояние от точки пересечения медиан прямоугольного треугольника до
его катета, равного 12, если гипотенуза равна 15
№ 21 Треугольник АВС, АВ и АС – катеты. CD – биссектриса. Найти АС, если площадь
треугольника ВСD равна 24,375, а тангенс угла АDC равен 5