Анализ задачи. Идея решения.

29. Анализ задачи.
Анализируя условия задачи можно заметить, что каждое из них состоит
из одного или нескольких объектов и некоторой их характеристики. В сложных
задачах обычно целесообразно установить из чего состоят вычлененные
условия.
Подробное изложение [35]. Задачи: [35], [15,с. 21]. Литература
Задача 1. К двум окружностям, радиусы которых 4см и 6см проведены
внутренние
общие
касательные,
оказавшиеся
взаимно
перпендикулярными. Вычислить расстояние между центрами
окружностей.
Анализ. Эта задача содержит такие условия:
1) дана окружность (объект) с центром О1, её радиус равен 4см
(характеристика);
2) из нек. другого центра О2 проведена окружность (объект) радиуса 6см
(характеристика);
3) эти две окружности (два объекта) построены так, что к ним можно провести
(характеристика) общие внутренние касательные;
4) общие внутренние касательные (два объекта) к этим двум окружностям
взаимно перпендикулярны (характеристика).
Т.о. в каждом условии задачи имеется один или два объекта. Если один объект, то
указывается его характеристика в виде нек. свойства этого объекта; если объектов два, то
характеристикой служит нек. соотношение этих объектов.
С
О
В M
О
А
D
Решение. Известно, что касательные к окружности из одной точки 
равны.  Четырехугольники АО1ВМ и CO2DM являются квадратами
(напр. для АО1ВМ А=М=В=90, О1В= О1А, ВМ=МА). Линия,
соединяющая центры окружностей проходит через точку М пересечения
касательных (доказать), а значит расстояние между О1 и О2 равно сумме
диагоналей квадратов: О1О2= О1М+МО2. Дальнейшее решение очевидно.
Провести анализ, выделяя объекты и характеристики и решить следующие
задачи.
Задача 2. Мальчики спорили о длине трубы, которую трактор тянул на
полозьях. Чтоб выяснить, кто прав, мальчик с длиной шага 0,75м
пошел вдоль трубы. Когда он шел в направлении движения трактора,
то сделал вдоль трубы 120 шагов. В другом направлении сделал вдоль
трубы 30 шагов. Какова длина трубы?
Анализ. Задача имеет такие условия:
1) трактор (объект) имеет постоянную скорость (характеристика);
2) мальчик (объект) имеет постоянную скорость (характеристика);
3) шаг (объект) мальчика имеет длину 0,75м (характеристика);
4) длина (объект) трубы равна 120 шагов, если мальчик идет вдоль трубы по
направлению движения (характеристика) трактора;
5) длина трубы равна 30 шагов, если мальчик идет против движения трактора;
Решение. Пусть скорость трактора х м/с, скорость мальчика у м/с, длина трубы а
м. Тогда время, за которое мальчик пройдет длину трубы в усл.3: а/(у-х) (с);
в
усл.4: а/(у+х) (с)  т.к. весь путь по усл.3 равен 120·0,75 (м), а по усл.4 равен
30·0,75 (м), то получаем уравнения:
ау
ау
ух 1 ух 2
 120  0,75 ;
 300,75. Отсюда
 ,
 . Сложив
ух
ух
ау
90 ау
45
равенства, получим а=36м.
Задача 3. Сумма трёх чисел, составляющих арифметическую прогрессию равна
30. Если из первого числа этой прогрессии вычесть 2, а остальные
числа оставить без изменения, то получится геометрическая
прогрессия. Найти эти числа.
Идея решения задачи возникает в процессе анализа задачи. Поэтому,
анализируя, ищите для данной задачи подобные ей, чем-либо похожие на неё
среди уже решенных ранее, используйте эти аналогии как возможные идеи
решения.
Если в задаче можно образовать такие части, которые составляют легко
решаемые самостоятельные задачи, то эти части необходимо выделить в виде
подзадач, их решить, после чего преобразовать исходную задачу, имея в виду
полученные результаты решения подзадач. После такого преобразования
исходная задача становится проще.
Задача 4. При каких значениях переменной у сумма дробей
у
6
равна
и
у 3 у 3
их произведению?
Решение. Данную задачу можно разбить на такие подзадачи:
1) нахождение суммы двух дробей
у
6
у 2  9 у  18


у 3 у 3
у2  9
2) нахождение произведения двух дробей
у
6
6у

 2
у 3 у 3 у 9
Сравниваем полученные дроби. Знаменатели у них одинаковые их значения
могут быть равны при тех значениях переменной у, при которых равны
значения числителей, а значение общего знаменателя не равно нулю.
3) нужно решить уравнение у2+9у-18=6у, при условии, что у2-90.
Задача 5. Доказать, что
х2  у2
 2 2 , если ху=1 и х>y>0.
х у
Доказательство. Из х>y>0  х-у>0. Из ху=1  х=1/у и т.к. х>y, то всегда х>1,
0<y<1.
Преобразуем неравенство. Есть два пути:
1) преобразовать его к неравенству с одной переменной;
2) преобразовать его к неравенству, в правой части которого стоит нуль.
Рассмотрим первый путь. Сделаем замену переменных. х у=t, где t>0  x2+ y2
=(xy)2+2xy или, учитывая условия, x2+ y2= t2+2. Заданное неравенство
преобразуется в следующее:
t2  2
 2 2,
t
t 2  2  2t 2
 0, t  0 
t
t  2 
2
t 2  2  2t 2  0,
 0, t  R.
Т.к. при всех преобразованиях исходное неравенство переходимо в
равносильное ему, то тем самым верно и исходное неравенство. В ходе решения
доказано ещё и неравенство
t2  2
2
a
 2 2 или t   2 2 , которое можно обобщить : t   2 a .
t
t
t
Задача 6. Найти пары чисел х и у, удовлетворяющие уравнению
36

4
 4 х  2  у  1  28  0.
х2
у 1
Решение. ОДЗ: х>0, y>0.
Объединим отдельно выражение с х и у:

 36
  4

 4 х  2   
 у  1   28  0,

 х2
  у  1


9  
4 
4 х  2 
  у  1 
 28
х  2  
у  1 

Все члены, стоящие в скобках, положительные, и вся левая часть должна быть
равна 28. Идея решения  оценить величину выражений, стоящих в скобках.
Каждое из них схоже по виду с неравенством, выведенным в ходе решения
a
задачи 5: t   2 a
t
9
1 t  x  2 , a  9  x  2 
2 9 6
x2
4
2 t  y  1, a  4  y  1 
2 44
y 1

9  
4 
Отсюда 4 x  2 
  y  1 
 4  6  4  28.
x  2  
y  1 

Равенство будет лишь в том случае, когда каждое из выражений, стоящих в
скобках,
примет
наименьшее
значение,
что
происходит
при
t  a , т.е. при х  2  3, у  1  2.
Отсюда х=11, у=5. В ОДЗ они входят Ответ: (11, 5).
Содержание