2int

16. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы.
16.1. Двойной интеграл.
16.1.1. Определение двойного интеграла. Теорема существования двойного интеграла.
Пусть на плоскости Oxy задана ограниченная замкнутая область D с кусочно-гладкой границей, и
пусть на области D определена функция f ( x, y ) .
Разобьём область D произвольным образом на n подоблаz
z  f ( x, y)
стей D1 , D2 , D3 , Dn (не имеющих общих внутренних
точек). Символом s ( Di ) будем обозначать площадь области Di ; символом diam( D) здесь и дальше будет обозначаться наибольшее расстояние между двумя точками,
принадлежащими области D:
diam( D)  max ( P1 , P2 ) ;
z  f ( Pi )
P1, P2D
у
символом d обозначим наибольший из диаметров областей Di : d  max diam( Di ) .
D3
i 1, 2,,n
В каждой из подобластей Di (i  1,2,, n) выберем произвольную точку Pi  ( x i , y i ) , вычислим в этой точке
значение функции f ( Pi )  f ( x i , y i ) , и составим инте-
Pi
D2
Di
D
х
D1
n
гральную сумму
 f ( Pi )  s( Di ) .
D4
i 1
Если существует предел последовательности интегральных сумм при
d  max diam( Di )  0 , не зависящий ни от способа разбиения области D на подобласти Di , ни от
i 1, 2,,n
выбора точек Pi , то функция f ( x, y ) называется интегрируемой по области D, а значение этого предела называется двойным интегралом от функции f ( x, y ) по области D и обозначается
 f ( P )ds .
D
Если расписать значение f (P ) через координаты точки P , и представить ds как ds  dx  dy ,
получим другое обозначение двойного интеграла:
 f ( x, y)dxdy . Итак, кратко,
D
n
 f ( x, y)dxdy   f ( P )ds  d lim0  f ( x i , y i )  s( Di ) .
D
D
( n )
i 1
Теорема существования двойного интеграла. Если подынтегральная функция f ( x, y ) непрерывна на области D, то она интегрируема по этой области.
16.1.2. Геометрический смысл двойного интеграла. Геометрический смысл каждого слагаемого интегральной суммы: если f ( x , y )  0 , то f ( Pi )  s( Di ) - объём прямого цилиндра с осноn
ванием Di высоты f ( Pi ) ; вся интегральная сумма
 f ( Pi )  s( Di ) - сумма объёмов таких цилинi 1
дров, т.е. объём некоторого ступенчатого тела (высота ступеньки, расположенной над подобластью
Di , равна f ( Pi ) ). Когда d  max diam( Di )  0 , это ступенчатое тело становится всё ближе к
i 1, 2,,n
изображенному на рисунке телу, ограниченному снизу областью D , сверху - поверхностью
z  f ( x , y ) , с цилиндрической боковой поверхностью, направляющей которой является граница области D , а образующие параллельны оси Oz . Двойной интеграл
 f ( P )ds
равен объёму этого тела.
D
16.1.3. Свойства двойного интеграла.
16.1.3.1. Линейность. Если функции f ( x, y ) , g ( x , y ) интегрируемы по области D , то их линейная комбинация f ( x, y )  g ( x, y ) тоже интегрируема по области D , и
 f ( P )  g( P )ds 
D
1
   f ( P )ds   g ( P )ds .
D
D
Док-во. Для интегральных сумм справедливо равенство
n
 f ( Pi )  g( Pi )s( Di ) 
i 1
n
n
i 1
i 1
  f ( Pi ) s( Di )   g ( Pi ) s( Di ) . Переходя к пределу при d  max diam( Di )  0 и пользуясь
i 1, 2,,n
свойствами пределов, рассмотренными в разделе 4.4.6. Арифметические действия с пределами
(конкретно, свойствами 4.4.10.1 и 4.4.10.2), получим требуемое равенство.
16.1.3.2. Аддитивность. Если область D является объединением двух областей D1 и D2 , не
 f ( P )ds   f ( P )ds   f ( P )ds .
имеющих общих внутренних точек, то
D
D1
y
D
D2
Док-во. Пусть область D1 разбита на подобласти D1,1 , D1,2 ,, D1,n1 , область D2 разбита на подобласти D2,1 , D2,2 ,, D2,n2 . Тогда объединение этих
D1
 n1
  n2





разбиений даст разбиение области D : D   D1,i1   D2,i2 на n1  n2

 

 i11
  i2 1

подобластей. Интегральная сумма по области D равна сумме сумм по областям D1 и D2 :
n1 n2
n1
n2
i 1
i11
i2 1
D2
x
 f ( Pi )  s( Di )   f ( Pi1 )  s( Di1 )   f ( Pi2 )  s( Di2 ) . Как и в предыдущем случае, переходя к пре-
делу при d 
max
diam( Di j )  0 , получим требуемое равенство.
i 1, 2,,n; j 1, 2
16.1.3.3.Интеграл от единичной функции по области D равен площади этой области:
 ds  s(D) .
D
n
Док-во: Для любого разбиения
 s( Di )  s( D) , т.е. не зависит ни от разбиения, ни от выбора
i 1
точек Pi . Предел постоянной равен этой постоянной, поэтому
 ds  lim
n
 s ( Di )  s ( D ) .
d 0 i 1
D
16.1.3.4. Интегрирование неравенств. Если в любой точке P  D выполняется неравенство
f ( P )  g ( P ) , и функции f ( P ), g ( P ) интегрируемы по области D , то  f ( P )ds   g ( P )ds .
D
D
Док-во. В любой точке Pi  D выполняется неравенство f ( Pi )  g( Pi ) , поэтому
n

i 1
n
f ( Pi ) s( Di )   f ( Pi ) s( Di ) . По теореме о переходе к пределу в неравенствах отсюда следует треi 1
буемое утверждение.
16.1.3.5. Теоремы об оценке интеграла.
16.1.3.5.1. Если функция f (P ) интегрируема по области D , и для P  D выполняется
m  f ( P )  M , то m  s ( D)   f ( P )ds  M  s ( D) .
Док-во. m  f ( P )  M
16.3.1
D
16.3.4

n
n
n
i 1
i 1
 m  s( Di )   f ( Pi ) s( Di )   M  s( Di )
n
n
i 1
n
i 1
i 1
i 1
16.3.1

16.3.3
 m  s( Di )   f ( Pi ) s( Di )  M  s( Di )  m  s ( D)   f ( P )ds  M  s ( D) (цифрами над знаD
ками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств).
16.1.3.5.2. Если функция f (P ) интегрируема по области D , то
 f ( P )ds   | f ( P ) | ds .
D
2
D
Док-во. Эти неравенства непосредственно следуют из того, что  | f ( P ) | f ( P ) | f ( P ) | и
свойства 16.1.3.4. Интегрирование неравенств.
16.1.3.6. Теорема о среднем. Если функция f (P ) непрерывна на области D , то существует
точка P0  D , такая что
 f ( P )ds 
f ( P0 )  s ( D) .
D
Док-во. Непрерывная на ограниченной замкнутой области D функция f (P ) принимает в
некоторых точках этой области своё минимальное m и максимальное M значения. Так как
1
m  f ( P )  M , то m  s ( D)   f ( P )ds  M  s ( D) , или m 
 f ( P )ds  M . Непрерывная функs
(
D
)
D
D
ция принимает, кроме того, любое значение, заключённое между m и M , в частности, значение
1
1
f ( P )ds , откуда и следует доказываемое
f ( P )ds . Следовательно, P0  D | f ( P0 ) 

s( D) 
s ( D) D
D
утверждение.
16.1.4. Вычисление двойного интеграла. Двукратный (повторный) интеграл.
16.1.4.1.
Определение простой (правильной) области. Область D на плоскости Oxy
будем называть простой (правильной) в направлении оси Oy, если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D и параллельная оси Oy, пересекает границу D в двух точках.
Аналогично определяется область, простая (правильная) в направлении оси Ox: любая
прямая, проходящая через внутреннюю точку области D и параллельная оси Oх, пересекает границу
D в двух точках.
Область, правильную (простую) в направлении обеих осей, будем называть правильной.
y
y
y
D
D
O
O
O
x
x
Область, не являющаяся
простой в направлении оси
Oy.
Область, простая в
направлении оси Oy.
x
D
Область, простая в
направлении оси Ox.
y
y
D
D
O
O
x
x
Область, не являющаяся
Простая область (в
простой в направлении
направлении обеих осей).
оси Ox.
Ограниченную замкнутую область D , правильную в направлении оси
y  2 ( x)
y
a  x  b,
Oy, можно описать неравенствами D : 
. Числа a и b
1 ( x )  y   2 ( x )
D
существуют вследствие ограниченности области D , функция 1 ( x ) обx
разована нижними точками пересечения прямой x  x 0 при a  x0  b с O
y  1 ( x)
границей области D , функция 2 ( x) - верхними точками пересечения
b
а
этой прямой с границей области D :
Аналогичным образом область D , ограниченную, замкнутую и правильную в направлении
c  y  d ,
оси Oх, можно описать неравенствами D : 
. Функция 1 ( y) образована левыми
1 ( y)  x   2 ( y)
точками пересечения прямой y  y 0 при c  y0  d с границей области D , функция  2 ( y) - правы3
y
d
ми точками пересечения этой прямой с границей области D .
Для правильной области (т.е. области, правильной в
x  1 ( y)
x   2 ( y)
направлении обеих осей) существуют оба способа представлеa  x  b,
c  y  d ,
D
ния: и D : 
, и D:
.
x
c
1 ( x )  y   2 ( x )
1 ( y)  x   2 ( y)
16.1.4.2.
Двукратный (повторный) интеграл.
Пусть D - область, простая в направлении оси Oy. Рассмотрим O
b  2 ( x )

выражение J ( D)     f ( x, y )dy dx . Эта конструкция опре

a  1 ( x )

деляется через два обычных определённых интеграла. После интегрирования по у во внутреннем интеграле (переменная х при этом рассматривается как постоянная) и подстановки по у в пределах от
1 ( x ) до 2 ( x) получается функция, зависящая только от х, которая интегрируется в пределах от a
до b. В дальнейшем мы будем обычно записывать этот объект без внутренних скобок:
b
2 ( x )
a
1 ( x )
J ( D)   dx
 f ( x, y)dy .
Можно показать, что двукратный интеграл обладает всеми свойствами двойного интеграла:
Свойства линейности и интегрирования неравенств следуют из этих свойств определённого интеграла; интеграл от единичной функции даёт площадь области D :
b
2 ( x )
b
a
1 ( x )
a
 dx
b
 dy   dx  y 2( x )   2 ( x)  1 ( x)dx  s( D) ;
 ( x)
1
a
теоремы об оценке и о среднем следуют из перечисленных свойств. Единственное свойство, с которым придётся повозиться - это свойство аддитивности. Мы докажем его в
простой, но достаточной для нас форме: если область D разбита на две
y  2 ( x)
D
подобласти D1 и D2 прямой, параллельной одной из координатных осей, y
то двукратный интеграл по области D равен сумме интегралов по D1 и
D2 : J ( D)  J ( D1 )  J ( D2 ) .
Первый случай: прямая x  a1 параллельна оси Oy. Тогда
b
2 ( x )
a1
2 ( x )
b
2 ( x )
a
1 ( x )
a
1 ( x )
a1
1 ( x )
J ( D)   dx

f ( x, y )dy   dx

f ( x, y)dy   dx
D1
2 ( x )
a
1 ( x )
a1
  dx
a
2 ( x )
b1
2 ( x )
b
 f ( x, y)dy 
a1
1 ( x )
b1
b
y  1 ( x)
y  2 ( x)
D
D2
D1
c1
x
2 ( x )
 f ( x, y)dy   dx  f ( x, y)dy   dx  f ( x, y)dy  (теперь приме-
1 ( x )
а1
а
ность внешнего интеграла)  J ( D1 )  J ( D2 ) .
Второй случай: прямая y  с1 параллельна оси Oх. Воспользуемся y
b
x
O
 f ( x, y)dy (аддитив-
сначала аддитивностью внешнего интеграла: J ( D)   dx
D2
O
1 ( x )
а а1
b1
ним свойство аддитивности для внутреннего интеграла в среднем слагаемом) =
a1 2 ( x )
b1  с1
2 ( x )
 b 2 ( x )
  dx  f ( x, y )dy   dx   f ( x, y )dy   f ( x, y )dy    dx  f ( x, y )dy  (применяем свойство ли
 b  ( x)
a
1 ( x )
a1 1 ( x )
с1
1
 1
нейности для внешнего интеграла в среднем слагаемом и перегруппировываем сумму)=
a1
2 ( x )
b1
с1
b1
2 ( x )
b
2 ( x )
a
1 ( x )
a1
1 ( x )
a1
с1
b1
1 ( x )
  dx
 f ( x, y)dy   dx  f ( x, y)dy   dx  f ( x, y)dy   dx  f ( x, y)dy 
b1
 2 ( x)
 2 ( x)
с1
b
a 1  2 ( x )
 b 1


 

   dx  f ( x, y )dy   dx  f ( x, y )dy   dx  f ( x, y )dy     dx  f ( x, y )dy  



 1 ( x)
a1
с1
b1
 1 ( x)
a
 
a 1  1 ( x )

4
b
(первая фигурная скобка даёт повторный интеграл по D1 , второй - по D2 )  J ( D1 )  J ( D2 ) .
Понятно, что воэможны различные случаи взаимного расположения прямых y  с1 , x  a1 ,
x  a 2 и функций y  1 ( x) , y  2 ( x) , но логика доказательства во
всех случаях такая же.
y
D
Обобщим доказанное свойство. Пусть прямая разбивает область
D1
D2
D на две подобласти D1,1 и D1, 2 . Проведём ещё одну прямую, паралD4
D3
лельную какой-либо координатной оси. Пусть эта прямая разбивает
D1,1 на D1 и D2 ; D1, 2 - на D3 и D4 . По доказанному,
x
O
J ( D1,1 )  J ( D1 )  J ( D2 ) , J ( D1,2 )  J ( D3 )  J ( D4 ) , поэтому
b
а
J ( D)  J ( D )  J ( D )  J ( D )  J ( D )  J ( D )  J ( D ) . Продолжая
1,1
1, 2
1
2
4
4
рассуждать также, убеждаемся в справедливости следующего утверждения: если область D с помощью прямых, параллельных координатным осям, разбита на подобласти D1 , D2 , Dn , то
n
J ( D)  J ( D1 )  J ( D2 )    J ( Dn )   J ( Di ) .
i 1
16.1.4.3.
Теорема о переходе от двойного интеграла к повторному. Пусть D - простая
в направлении оси Oy область. Тогда двойной интеграл от непрерывной функции по области D равна повторному интегралу от той же функции по области D :
b
2 ( x )
a
1 ( x )
 f ( x, y)dxdy   dx  f ( x, y)dy .
D
Док-во. Разобьём область D с помощью прямых, параллельных координатным осям, на поb
2 ( x )
n
a
1 ( x )
i 1
добласти D1 , D2 , Dn . По доказанному выше, J ( D)   dx

f ( x, y )dy   J ( Di ) . К каждому из
итегралов J ( Di ) применим теорему о среднем: в любой области Di найдётся точка Pi такая, что
n
J ( Di )  f ( Pi ) s( Di ) . Следовательно, J ( D)   f ( Pi ) s( Di ) . В последнем равенстве справа стоит инi 1
тегральная сумма для двойного интеграла
 f ( x, y)dxdy . Будем мельчить разбиение области так,
D
чтобы d  max diam( Di )  0 . Вследствие непрерывности функции f ( x, y ) по теореме существоi 1, 2,,n
вания интегральная сумма при этом стремится к двойному интегралу
 f ( x, y)dxdy , т.е. в пределе
D
b
2 ( x )
a
1 ( x )
получим  dx
 f ( x, y)dy   f ( x, y)dxdy , что и требовалось доказать.
D
Если область D правильная в направлении оси Oх, то аналогично доказывается формула
d
 2 ( y)
с
1 ( y )
 f ( x, y)dxdy   dy  f ( x, y)dx . Если D правильна в направлении обеих осей, то для вычисления
D
двойного интеграла можно применять любую из эти формул:
b
 2 ( x)
d
 2 ( y)
a
1 ( x )
с
1 ( y )
 f ( x, y)dxdy   dx  f ( x, y)dy   dy  f ( x, y)dx .
D
Если область не является правильной, её разбивают на правильные подобласти.
16.1.5. Замена переменных в двойном интеграле.Двойной интеграл в полярных координатах.
16.1.5.1.Теорема о замене переменных в двойном интеграле. Пусть на плоскости Ouv задана
область G, и пусть отображение F ( M )  M  преобразует эту область в область D на плоскости Oxy. Будем
 x  x (u, v )
считать, что отображение F задаётся функциями F : 
. Пусть: 1). F взаимно однозначно отобра y  y (u, v )
5
жает G на D; 2). функции x(u,v), y(u,v) непрерывно дифференцируемы на G (имеют непрерывные частные
x y
 ( x , y ) u u
производные); 3). якобиан J (u, v ) 
не обращается в нуль на G. Докажем, что в этих

 (u, v ) x y
v v
предположениях  f ( x, y )dxdy   f ( x (u, v ), y (u, v ))  J (u, v )  dudv .
D
G
G
v
D
y
G
C1
G
C
Δv
E
Δu
A Ри-
E1
B1
A1
B
Док-во. 1. Рассмотрим, как связаны между собой площадь параллелограмма АВСЕ со сторонами u, v в области G и площадь его образа при преобразовании F криволинейного параллелограмма A1B1C1 E1 в области
D. С точностью до бесконечно малых высших порядков
по сравнению с u, v , площадь криволинейного парал-
лелограмма A1B1C1 E1 равна площади обычного паралx лелограмма, построенного на векторах A B и A C .
u
1 1
1 1
Пусть точка А имеет координаты (u,v), тогда точка А1 будет иметь координаты (x(u,v),y(u,v)), т.е. A(u, v)  A1 ( x(u, v), y(u, v)) . Для других точек:
сунок
1
B(u  u, v)  B1 ( x(u  u, v), y(u  u, v)) 
x
y
B1 ( x (u, v ) 
(u, v )u  1 (u)u, y (u, v ) 
(u, v )u   2 (u)u) (по формуле приращения диффеu
u
ренцируемой функции). Аналогично C (u, v  v)  C1 ( x(u, v  v), y(u, v  v)) 
x
y
C1 ( x (u, v ) 
(u, v )v   3 (v )v , y (u, v )  (u, v )v   4 (v )v ) , где  i  0 (i  1,2,3,4) при
v
v
u, v  0 . Пренебрежём членами порядка малости выше первого по сравнению с u, v . Тогда
 x
 x


y
y
AB{u,0}  A1B1  (u, v ), (u, v ) ; AC{0, v}  A1C1  (u, v ), (u, v )  .
u
v


 u
 v
Пусть теперь i,j,k - базисные орты пространства, в котором лежит плоскость Oxy. Как известно, площадь параллелограмма, построенного на векторах A1 B1 и A1C1 , равна модулю векторного произведения этих векторов (проекции на орт k равны нулю):
j
k
x
y
x y
u
u
y
u
u
u u
u 0  k

uv  J (u, v ) S ABCE .
x
y
x y
u
v
v
y
v
v
v v
v 0
v
Мы доказали замечательную вещь. Если вокруг точки M  G взять маленькую область, то после преобразования F площадь этой области меняется в J (M ) раз.
i
x
S A1 B1C1 E1  A1 B1 * A1C1 
u
u
x
v
v


y
G
v
G
vi
Gi
D
G
Pi
Di
2. Перейдём к доказательству основной формулы. Разобём G
прямыми, параллельными осям координат, на области G1 , G2 ,..., Gn .
Образы этих линий дадут разбиение D на области D1 , D2 ,..., Dn . Для
этого разбиения составим интегральную cумму
n

i 1
ui
u
n
f ( Pi ) S ( Di )  f ( x (ui , v i ), y(ui , v i )) J S (G i ) . Устремим
i 1
x max diam(G i )  0 ; тогда и max diam( Di )  0 . И слева, и
i 1, 2,...,n
i 1, 2,...,n
справа интегральные суммы записаны для непрерывных функций, следовательно,и слева, и справа существуют пределы - двойные интегралы, и они равны:
 f ( x, y)dxdy   f (u, v)  J (u, v)  dudv , что и требоваD
G
лось доказать.
16.1.5.2. Двойной интеграл в полярных координатах. Нам придётся применять эту формулу, в ос6
новном, для перехода к полярным координатам. Роль переменных u и v будут играть r и φ . Как известно, x  r cos , y  r sin  . Вычислим якобиан:
r2 (φ)
φk
r1 (φ)
cos 
J
φ0
sin 
 r sin  r cos 
| r | r , следовательно,
 f ( x, y)dxdy   f (r cos , r sin )rdrd . Двойной интеграл в координатах
D ( r ,)
D( x, y )
r, φ вычисляется также как и в координатах x,y, переходом к двухкратному, при этом внешний обычно берут
 0     k
, то
r1 ()  r  r2 ()
по  . Если область D описывается как D : 
k
r2 ()
0
r1 ()
 f (r cos , r sin )rdrd   d  f (r cos , r sin )rdr . Естественно, если r1 (), r2 () - кусочные
D( r ,)
функции, то внешний интеграл разбивается на несколько слагаемых. Однозначно дать рецепт, когда имеет
смысл переходить к полярным координатам, нельзя, это дело опыта. Можно пробовать перейти к r, φ , если
либо f(x,y), либо кривые, ограничивающие область интегрирования, либо и то, и другое вместе, зависят от
комбинации x 2  y 2  r 2 .
 x2 y2 
x2 y2


Если f ( x, y )  f
и/или область D ограничивается эллипсом


 1 , полезны обоб a2 b2 
a2 b2


щённые полярные координаты x  ar cos φ, y  br sin φ . Каков якобиан этого преобразования?
16.1.6. Задачи на двойной интеграл.
16.1.6.1. Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам. Смысл этих задач - научиться быстро определять параметры a, b, 1 ( x), 2 ( x), c, d , 1 ( y),  2 ( y) (в декартовых координатах) и 0 ,  2 , r1 (), r2 () (в полярных координатах), необходимые для перехода от двойного интеграла к повторному. Примеры:
1. Пусть область D  x  0, y  0, x 2  y 2  4  x  0, x 2  y 2  2 y . Представить двойной
интеграл по области D в виде повторных. Перейти к
y  1  1  x 2
полярным координатам.
Решение: область изображена на рисунке спра-2
-1 y
x



ва. Для левой части D  2  x  0,  4  x 2  y  0 ;
y   4  x2
для правой - 0  x  1,  1  1  x  y  1  1  x
(уравнение правой полуокружности после выделения
полных квадратов принимает вид x 2  ( y  1) 2  1 ),
поэтому
2
I   f ( x, y )dxdy 
D
2
0
0
1
1 1 x 2
2
 4 x 2
0
1 1 x 2
 dx  f ( x, y)dy   dx
x   4 y
D
2
2
x   2 y  y2
-2
  2 sin 
y  1  1  x 2
 f ( x, y)dy . D можно также описать неравенствами
 2  y  0,  4  y  x   2 y  y , поэтому I   f ( x, y )dxdy 
2
-1
2
D
0
 dy
2
2 y  y 2
 f ( x, y)dx . В поляр-
 4 y 2
ных координатах уравнение левой четверти окружности имеет вид r  2 для     3 / 2 (можно
взять и отрезок       / 2 ), правой полуокружности r  2 sin  для 3 / 2    2 (можно
взять и отрезок   / 2    0 ), поэтому
I   f ( x, y )dxdy 
D
D r ,

3 / 2


2 sin 
2


3 / 2
f (r cos , r sin )rdrd 
d
 f (r cos , r sin )rdr .
0
7
2
d f (r cos , r sin )rdr 
0
I
2.
0
2 x 12
6
2 x 12
12
24
6
0
0
2x
6
2x
 dx

f ( x, y )dy   dx
f ( x, y )dy   dx  f ( x, y )dy . Изменить порядок интегри-

рования, перейти к полярным координатам.
y   24 / sin 
Решение. Область D - объединение трёх подобластей:
24
B
C
D   6  x  0, 0  y  2 x  12 0  x  6, 2 x  y  2 x  12
 6  x  12, 2 x  y  24. На рисунке изображена область и
  12 /(sin   2 cos )
y=2x
приведены уравнения прямых и обратных функций для линий,
y=2x+12
ограничивающих её. D можно представить в виде
x=y/2
D
D  0  y  24, y / 2  6  x  y / 2, поэтому
x=y/2-6
  arctg 2
y/2
24
 dy  f ( x, y)dx . В полярных координатах
I
0
D представля-
x
А
-6
y / 2 6
O
12
6
ется как объединение двух треугольников OCB и OBA. Уравнеarctg
4

ние прямой ОС:   arctg 2 (можно получить и формально, перейдя к полярным координатам в её уравнении: y  2 x  r sin   2r cos   tg   2 ), прямой ОВ:
  arctg 4 , прямой СВ: y  24  r sin   24  r  24 / sin  , прямой ОА:    , прямой АВ:
12
y  2 x  12  r sin   2r cos   12  r 
. В результате
sin   2 cos 
I   f ( x , y )dxdy 
D
arctg 4


arctg 2
 f (r cos , r sin )rdrd 
D r ,
24 / sin 
d

 f (r cos , r sin )rdr  
0
12 /(sin   2 cos )
 f (r cos , r sin )rdr .
d
arctg 4
0
16.1.6.2. Вычисление двойного интеграла. Двойной интеграл вычисляется переходом к повторному. Рассмотрим ряд примеров.
 y  x ,
y
1. I   ( x  y )dxdy, D : 
.
2
d =1
 y  x
D
y xx y
Здесь область D (которую обязательно надо изобразить на
чертеже) правильна в направлении обеих осей, поэтому вычисления по обеим формулам перехода имеют одинаковую
D
y  x2  x  y
трудоёмкость:
x
c =0
1
x
1
2

y
a =0
b =1
x
 
I   ( x  y )dxdy   dx  ( x  y )dy   dx xy 


2  2

D
0
0
x
x2
1 
1
1
2  
2 2 
3 2

1 3 1 4 1 5
x
(
x
)
1
3 ;
2
3
4




  x x 
 x x 
 dx    x  x  x  dx   x  x  x  




2  
2  
2
2 
2
4
10  0 20

0
0
 x2

I   ( x  y )dxdy   dy  ( x  y )dx   dy
 xy 
 2

y
D
0
y
0 
1
y
1
y

2

y
 y
    y y   
 y 2  dy 

2
  2

0 
y  2x 1  x 
1
1
1
( y  1)
2
y 1
y
d =1
D
1
3 
2
1 
3
y
1
    y 3 / 2  y 2 dy   y 2  y 5 / 2  y 3  
.
2
2 
5
2  0 20
4
0
 y  x, y  1,
2. I   xydxdy, D : 
.
 y  2x 1
D
Здесь область D тоже правильна в направлении обеих осей, однако
8
b =1
a =-1
y xx y
c =-1
x
2 x  1,  1  x  0;
верхняя граница состоит из двух кусков:  2 ( x )  
, поэтому первый из повторных
0  x  1;
1,
интегралов будет содержать два слагаемых:
2 x 1
2 x 1
 y2 

I   xydxdy   dx  xydy   dx  xydy   dx x
 2 
x
D
1
x
0
x
1 
0
1
1
0

1
0
1
 y2 
1 3
1 
1
1
2


  dx x
   x (2 x  1)  x dx    x  x 3 dx 
 2 
2 
2
2 

 x 1 2
0
0
1
1
0
0
1 
1 
2
1 
1 1 3 2 1 1
3
1
3
   x 3  2 x 2  x dx   x 2  x 4    x 4  x 3  x 2          ;
2
2 
8  0 8
3
4  1 8 8  8 3 4  6
4
1
y
1  3
1 3
2
 x2 
y
y  y  1  
y
y 3 y 2 y 

I   xydxdy   dy  xydx   dy y
  dy
 
 


 dy 

 2  y 1
 2
 2 2  2  
8
4
8 

 1
D
1 y 1
1 
1 
y
1
1
2
2
1
 3 4 y3 y 2 
   3  1  1    3  1  1   1 .

y 

 32
12 16 
 32 12 16   32 12 16  6

1
Этот пример проще решается по второй формуле.
y
x
y
 x  0, y  x ,
3. I   e dxdy, D : 
.
y

1
,
y

2
.

D
Здесь переход к повторному интегралу по формуле
x
y
1
2
0
1
x
y
4
d =2
D
c =1
x
y
2
y  x  x  y2
I   e dxdy   dx  e dy   dx  e dy бессмысленен, так
D
1
x
x
как внутренний интеграл не берётся, в то же время второй
повторный интеграл вычисляется без проблем:
x
y
2
y2
x
y
2
y2
I   e dxdy   dy  e dx   dy 
D
1

 ye y  e

y 2
1
0
1
0
x
y
2
 x
ye d     y e
 y 1
2
x y
y
0
a =0
2

2

y
y  2ax  x 2
d=a
x  a  a2  y2
D
сдвинутой на а единиц по оси Ох. Уравнения для правой, левой, верхней и нижней полуокружностей приведены на рисунке. Повторные интегралы в декартовых
координатах
0
2ax  x 2

 2ax  x 2
a
4a 2  x 2  y 2 dy , I 
 dy
a
D
x  a  a2  y2
x
Здесь область D ограничена окружностью радиуса а,
 dx
2
2
y

I
b =4
1
dy   y e  1 dy   yde  y 2 
2
1
1
1
y
 3 / 2  e 2  3 / 2.
4. I   4a 2  x 2  y 2 dxdy, D : x 2  y 2  2ax.
2a
3
y   2ax  x 2
c =-a
a =0
b =2a
a a2  y2

4a 2  x 2  y 2 dx можно вычислить, но это до-
a a2  y2
статочно трудоёмко. Попробуем перейти к полярным координатам (это имеет смысл, так как и
подынтегральная функция, и кривая, ограничивающая D зависят от выражения x 2  y 2  r 2 ). Переход к
полярным координатам в уравнении окружности даёт r 2  2ar cos  , или r  2a cos  . Это и есть уравнение
границы в полярных координатах. Итак,
9
I   4a  x  y dxdy 
2
2
D
2

2
4a  r rdrd  
D r ,
1 2
 
2 3
4a 2  r 2 
/2
3/ 2

2a cos 
d  
0
 / 2
2a cos 
/2

2
1
3
/2

d
 / 2
0


4a 2  r 2 rdr 
8a 3

3
2 3/ 2
8
a
1

cos


1
d





3


 / 2
/2
 /2

3



sin

d


   / 2   / 2

/2
8 
cos 3 
8
 a 3    cos  
 a 3 .

3 
3   / 2 3
Ответ явно неправильный. Мы должны получить объём тела, расположенного в полупространстве z  0 , ограниченного цилиндром
z
2a
x 2  y 2  2ax и сферой z  4a 2  x 2  y 2 радиуса 2a сверху; в то
время как получили половину объём верхнего полушара (рисунок
справа). С такой ситуацией мы уже встречались, когда рассматривали приложения определённого интеграла. Ошибка делается, когда
2a
выражение 1  cos  заменяется на sin  , а не на | sin  | . Дальше
y
2a
необходимо отдельно рассматривать интервалы   / 2    0 и
x
0     / 2 . Избежать это можно, если воспользоваться симметрией и области, и подынтегральной
функции относительно оси Ох, т.е. вычислять удвоенный интеграл по половине круга y  0 :
2
I   4a 2  x 2  y 2 dxdy 
D
2

3

Dr ,
/ 2

4a
2
r

2a cos 
2 3/ 2
0
0
2a cos 
/ 2
4a 2  r 2 rdrd   2


d
0
4a 2  r 2 rdr 
0
/ 2
16  
cos 3 
d  a 3   cos  
3
3  0
2
16 3   2 
a   .
3  2 3

16.1.7. Приложения двойного интеграла.
16.1.7.1. Вычисление площадей плоских областей. В соответствии с свойством 16.1.3.3. Интеграл от единичной функции s ( D)   dxdy . Пример: найти площадь области , лежащей внутри



D

 a 2 x 2  y 2 , x 2  y 2  a 2  x 2  y 2  x  .


Решение. Построить эти кривые можно только в полярных координатах; первое уравнение приводится к виду
r  a cos 2 , это - лемниската Бернулли; второе - к виду
кривых x 2  y
2 2
y

D
r  a 2 1  cos  , это - кардиоида. Решая уравнение
a cos 2  a 2 1  cos  , находим, что точка их пересечения
лежит на луче   arccos( 3 / 4) . D состоит из двух лунок одинаковой площади; вычислим площадь верхней. При
0    arccos(3 / 4) эта лунка ограничена кардиоидой; при
arccos(3 / 4)     / 4 - лемнискатой, поэтому
s( D)   dxdy 
D
arccos( 3 / 4)


0
 rdrd 
Dr ,
r2
d 
2
a 2 (1cos )
0
arccos( 3 / 4)

a 2 (1cos )
d
0
 rdr
0
/ 4
r2

d



2
arccos( 3 / 4)


a 2 cos 2
0
/ 4
arccos( 3 / 4)
a
2
 (1  cos )
0
10
  arccos
 rdr 
d
arccos( 3 / 4)
0
x
a 2 cos 2
/ 4

4
2
d  a
2
 cos 2d 
arccos( 3 / 4)
3
4
arccos( 3 / 4)
sin 2 
 a    2 sin  

4 0
2
2 3
a2
/ 4

sin 2 arccos( 3 / 4) 
2
2
sin( 2 arccos(3 / 4))  a
3
1  sin( 2 arccos(3 / 4))   ё
 a 2  arccos(3 / 4)  2 sin arccos(3 / 4) 

4
2
 2
2
1
2 3 a 
2 3
 a  arccos(3 / 4)  2 1  (3 / 4)   2  1  (3 / 4)   
1  2  1  (3 / 4)   
4
4 2 
4
2
a 2  19 7  3 2
1 
  a arccos(3 / 4).

2 
16  2
16.1.7.2. Вычисление объёмов. Объём тела, ограниz
z  f1 ( x, y)
ченного сверху и снизу поверхностями z  f1 ( x, y) ,
z  f 2 ( x, y) , ( x , y )  D , с боков - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz , равен
v    f1 ( x , y )  f 2 ( x , y )dxdy ; эта формула очевидно следует
V
2 3
2
D
из геометрического смысла двойного интеграла. Основной
z  f 2 ( x, y )
вопрос, который надо решить - на какую координатную плоскость проектировать тело, чтобы выкладки были наиболее
простыми.
у
 y  0, z  0,

Примеры. 1. Найти объём тела V :  x  y  z  4,
D
2 x  z  4.

х
Решение. Тело изобраz
жено на рисунке справа. Перебором возможностей убеждаем4
ся, что проще всего описать это тело, если отправляться от его
( x, z )  D,
проекции на ось Oxz: V : 
Область D - тре0

y

4

x

z
.

2
V
угольник, ограниченный прямыми x  0, z  0, 2 x  z  4 , поD
2
4 2 x
2
4 этому V   (4  x  z )dxdz   dx  (4  x  z )dz 
O
D
0
0
2
y
2
2
4 2 x
4
 dx 4 z  xz  z 2 / 2
 16  8 x  4 x  2 x 2  (4  2 x ) 2 / 2 dx 
 
0
x
2

  8  4 x dx  8 x  2 x 2
0


2
0
0


0
 16  8  8 .
3. Найти объём области, ограниченной поверхностями x 2  y 2  z 2  R 2 ;
( x 2  y 2 )3  R 2 ( x 4  y 4 ) .
Решение.Первая поверхность - сфера, вторая - цилиндрическая - с образующими, параллельными оси Oz (в уравнении нет z в явной форме). Построить в плоскости Oxy кривую шестого порядка, заданную уравнением ( x 2  y 2 ) 3  R 2 ( x 4  y 4 ) , в декартовой системе координат невозможно,
можно только сказать, что она симметрична относительно осей (чётные степени) и точка О(0,0) принадлежит этой кривой. Пробуем перейти к полярным координатам.
2
у 4   sin 4 ); r 2  R 2 ((cos 2   sin 2 ) 2  2 cos 2  sin 2 )  R 2 (1  sin 2 ) 
r 6  RR2 r 4 (cos
2
3  cos 4
1  cos 4
3  cos 4
 R 2 (1  D
)  R2
;r  R
. Эту кривую построить уже можно. r () мак4
4
2
x
11
симально, когда cos 4  1 (  0,
2  4
6 3
 ,
 ,
 ) , минимально, когда
4
2 4
4
2
 3 5 7 
, , , ) , и гладко меняется между этими пределами (точка О(0,0) не принад4 4 4 4
лежит этой кривой, где мы её потеряли?).
Пользуясь симметрией, получаем
cos 4  1 ( 
V  16 R 2  x 2  y 2 dxdy  16 R 2  r 2 rdrd 
D
3cos 4
R
2
0
0
 16  d

4
3cos 4
2
R
 8  d


4
2
R 2  r 2 d ( R 2  r 2 )  8 
3

0
D

4
0
R 2  r 2 rdr 
3 R
(R2  r 2 ) 2
0
3cos 4
2


0
и т.д.
16.1.7.3. Вычисление площади поверхности. Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая поверхность  , однозначно проектирующаяся в область D на плоскости Оху. Пусть эта поверхность задаётся уравнением  : z  f ( x, y ), ( x, y )  D . Тогда площадь этой поверхности выражается формулой
z
2
D
z
2a
Уравнение поверхности z  4a 2  x 2  y 2 , вычисляем производz
x
z
y
ные

,

, и
x
4a 2  x 2  y 2 y
4a 2  x 2  y 2
s()   1 
x y
2
 : z  f ( x, y)
x
2
2

y
x  y  z  4a .
Решение. На рисунке изображён верхний из этих лепестков.
2

2
2
 f 
 f 
s()   1       dxdy .
 x 
 y 
D
Мы докажем эту формулу позже, когда будем изучать поверхностные интегралы. Сейчас рассмотрим пример: найти площадь лепестков, вырезаемых цилиндром x 2  y 2  2ax из сферы
2
3
4  sin 2 2  2 
16
 1 d 
d   R 3  

3
2 
0 

dxdy
dxdy  2a 
2a
x
y
2a
. Область D 2
2
2
4
a

x

y
D
D
сдвинутый на а единиц по оси Ох круг, поэтому вычисляем в полярных координатах, учитывая симметрию поверхности относительно плоскостей Оху и Охz:
s()  4  2a
4a  x  y

Dr ,
/2
 8a

0
2
2
4a  r
2a cos 
/2
rdrd
2
2
2
 8a

0
d

4a 2  r 2 1 / 2 rdr  8a  d4a 2  r 2 1 / 2
/2
0
0
2a cos 

0
2a  2a 1  cos 2  d  16a 2   cos   / 2  16a 2  / 2  1 .
0


16.1.7.4. Механические приложения двойного интеграла должны решит. Будем счи- P
S
тать, что D - неоднородная плоская пластина с поверхностной плотностью материала в точке Р равной (P ) . В механике (P ) определяется так. Точка Р окружается малой областью S, находится масса m (S ) и площадь этой области (площадь тоже будем обозначать буквой S), и
m( S )
. Для нахождения массы по заданной плотности мы ь обратную задачу. Разо( P )  lim
diam( S )0 S
12
бьём D на малые подобласти D1 , D2 , D3 , Dn , в каждой из подобластей Di выберем произвольную
точку Pi , и, считая что в пределах Di плотность постоянна и равна ( Pi ) , получим, что масса Di
n
 ( Pi )  s( Di ) . Это - интегральная сумма,
приближённо есть ( Pi )  s( Di ) , а масса всей пластины
i 1
при уменьшении d  max diam( Di ) точность приближения увеличивается, и в пределе
i 1, 2,,n
m ( D)  lim
n
 ( Pi )  s( Di )   ( P )ds .
d 0 i 1
( n )
D
Аналогично находятся другие параметры пластины:
1
1
координаты центра тяжести x c 
x  ( P )ds , y c 
y  ( P )ds ;

m ( D) D
m ( D) 
D
моменты инерции I x   y 2  ( P )ds (относительно оси Ox), I y   x 2  ( P )ds (относительно оси
D
D
Oy), I O   ( x  y )  ( P )ds  I x  I y (относительно начала координат).
2
2
D
Пример: найти параметры неоднородной плоской пластины, ограни y  x 2 ,
ченной кривыми D : 
если плотность ( x, y )  y  1 .
 y  4;
Решение.
2
4
0
2
2

m( D)   ( y  1)dxdy  2 dx  ( y  1)dy  2 y 2 / 2  y
D
2


x
0


 2 12  x 4 / 2  x 2 dx  2 12 x  x 5 / 10  x 3 / 3
0
2
xc 

4
y
4
С
D
dx 
x2
x
0
-2
2
16 8  544

 2 24    
.
5 3  15

2
0
4
2

1
15
15
x ( y  1)dxdy 
dx  x ( y  1)dy 
x y2 / 2  y



m ( D) D
544 2 2
544 2

4
x2
dx 
x

15
544
 12 x  x

2
5

1
6 x 2  x 6 / 10  x 4 / 4
544
/ 2  x 3 dx  
2

2
2
 0 (что и следовало ожидать, так как
область и плотность симметричны относительно оси Оу).
2
yc 
4
2

1
15
15
y ( y  1)dxdy 
dx  y ( y  1)dy 
y3 / 3  y2 / 2



m ( D) D
544 2 2
272 0

4
x2
dx 
x
2




15
15
64 / 3  8  x 6 / 3  x 4 / 2 dx 
88 x / 3  x 7 / 21  x 5 / 10

272 0
272
2
4
2


I x   y ( y  1)dxdy  2 dx  y ( y  1)dy  2 y / 4  y / 3
2
2
D
x2
0
4
3
0

2
0



15 176 128 16
15 1728




272 3 21 5
272 35
 256 x 8 x 6 
dx

2
  3  4  3 dx 
x2

0
2
4
2
 256
x 9 x 7 
 2
x

 300,7 .
 3
36 21 

0



x4
I y   x ( y  1)dxdy  2 x dx  ( y  1)dy  2 x y / 2  y 2 dx  2 x 12 
 x 2 dx 


x
2
2


D
0
0
0
2
2
4
2
2
2
2
4
2
2

x
2
 3 x7 x5 
  32,9 .
 2 4 x 



14
5

0


I O   x 2  y 2 ( y  1)dxdy  I x  I y  333,6 .
D
13
 2,72.