Числовая карусель. Диск мгновенного умножения

Фамилия, имя автора статьи (полностью): Ефимова Светлана Геннадьевна
Класс (курс): 11
Название ОУ (полностью): Муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №1
Фамилия, имя, отчество руководителя: Балалаешникова Светлана Олеговна
Тема работы: Числовая карусель. Диск мгновенного умножения
e-mail: alina826@mail.ru
ЧИСЛОВАЯ КАРУСЕЛЬ. ДИСК МГНОВЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
Введение.
В незапамятные времена, научившись считать, люди познали меру количества
– число.
Вглядываясь в сочетания чисел, они с изумлением увидели, что числа имеют
какую-то самостоятельную жизнь, удивительную и полную тайны; тайны
необъяснимой и поэтому загадочной и многозначительной... Священные,
волшебные, загадочные, таинственные, совершенные.…Как только их не называли!
«Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые
некоторыми планетарными, а другими – магическими», - писал о них известный
французский математик, один из создателей теории чисел Пьер де Ферма.
Актуальность:
Привлекающие естественной красотой, наполненные внутренней гармонией,
доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажущейся простотой
множества тайн.…В своей жизни каждый из нас стакивается с числами. Курс
школьной программы, да и дальнейшую жизнь, трудно представить без
них.Раскрывая тайны чисел, понимаешь, насколько они интересны и загадочны,
поэтому я решила поделиться с вами одной из загадкой чисел.
Проблема:
К сожалению, школьная программа не рассчитана на изучение удивительных
тайн чисел. А ведь это очень интересно узнавать их новые закономерности и
свойства. Это и меня привело к выбору данной темы.
Предмет исследования: теория чисел.
Объект исследования: круговые чисел.
Цель:
Показать всю прелесть, магию, красоту чисел. Ведь они скрывают больше
тайн и загадок, чем, кажется на первый взгляд.
Задачи:

Познакомиться с историческими сведениями;

Изучить литературу по данному вопросу;

Найти магические числа;

Познакомиться с магией «Числовой карусели» и «Диска
мгновенного умножения».
Рассматриваемые вопросы:

Какие числа относятся к семейству «круговых»;

Какие тайны они скрывают;
1

Чем полезны «Числовая карусель» и «Диск мгновенного
умножения».
Методы исследования : теоретический, практический.
Есть числа поддающиеся принципам «Числовая карусель» и «Диск
мгновенного умножения», и, исследуя их, можно узнать удивительные свойства
этих чисел.
Числовая карусель.
1.Вынимаю из бездонной числовой шкатулки число 142 857. Оно состоит из
шести разных цифр. Расположим их по кругу в виде
циферблата (см.рисунок). Умножим теперь данное
число последовательно на 1, 2, 3, 4, 5 и 6:
142 857×
Перемещаясь по циферблату вместе со стрелкой, мы прочтем любое из
получившихся произведений.
Каждое число циферблата служит первой цифрой одного из результатов
произведения. Настоящая числовая карусель, не правда ли?
1. Есть еще одно интересное свойство. Если любое из этих произведений рассечь
на две грани по 3 цифры, а затем обе грани сложить, то во всех случаях
результатом будет одно и тоже число: 999. В самом деле, 142+857=999,
285+714=999 и т.д.
2. Продолжим наши наблюдения над произведением числа 142 857 на целые
числа, следующие за числом 7 (произведение на 7 рассмотрим позже):
142 857×
Получаются семизначные числа, но тоже особенные: если зачеркнуть первую
цифру и ее же прибавить к последней (см. равенства в круглых скобках), и снова
получим одну из круговых перестановок числа 142 857.
Та же «карусель» из цифр числа 142 857 (за немногими исключениями) будет
получаться и деле с восьмизначными результатами произведения, если только
зачеркивать первые две цифры и прибавлять их к последним двум.
3. Произведение числа 142 857 на 7 резко отличается от остальных произведений.
Оно состоит из одних девяток:
142 857x 7 = 999 999.
2
Вот это обстоятельство и проливает свет как на происхождение самого числа
142 857, так и на его «таинственные» свойства. Не будет ли оно периодом дроби
при обращении ее в десятичную? Делим 1 на 7:
Последний остаток повторил число 1, следовательно, при дальнейшем
делении в частном будут повторяться те же цифры и в
том
же порядке. Это и есть периодическая дробь, то есть
такая
бесконечная
дробь,
в
последовательности
десятичных знаков которой обнаруживаются (начиная с
некоторой цифры) повторения группы цифр.
Предположение
оправдалось
число
142857
действительно является периодом дроби при обращении ее в
десятичную. Чтобы уяснить, почему это число при умножении на 2, 3, 4, 5, 6 дает
лишь круговую перестановку своих цифр, вернемся к действию деления 1 на 7. Весь
процесс обращения дроби в десятичную можно расчленить на следующие этапы:
(дальше повторение тех же чисел).
Отсюда ясно, что при обращении дроби
в десятичную период начнется с
цифры расположенной после цифры 1 в числе 14285714285714…, то есть периодом
будет 428571; это же число, очевидно, должно быть и произведением числа 142857
на 3, так как
= *3.
Далее, при обращение дроби
в десятичную период начнется с цифры,
расположенной после цифр 1 и 4 в числе 14285714285714…, то есть периодом будет
285714; это же число, очевидно, должно быть и произведением 142 857 на 2, так как
= *2 и т.д.
Также нетрудно уяснить, почему произведение числа 142857 на 7 состоит из
одних девяток. Дело в том, что десятичная дробь с бесконечно повторяющимися
девятками после запятой считается равной 1, то есть 1= 0,9999…, и произведение
дроби на 7 тоже равно 1.
4. Если
дробь обращается в периодическую, то период ее может иметь не
больше чем b– 1 цифр.
В самом деле, при делении остаток всегда должен быть меньше делителя, но
существует только конечное число целых числе, меньших b, а именно 1,2,3,…,b – 1.
Каждое из этих чисел может быть остатком при делении a на b, и каждому из
них соответствует какая-либо цифра частного. Дальше возможно только повторение
3
остатков, а значит, и повторение цифр частного. Отсюда и следует, что наибольшее
возможное число цифр в периоде на 1 меньше знаменателя.
В дроби достигнута именно эта максимальная длина периода (6 цифр).
Период называется полным, если он состоит из наибольшего возможного при
данном знаменателе числа цифр.
Но не всякая дробь имеет полный период.
Например, период дроби содержит не 38 цифр, а только 6:
«Круговое» свойство числа 142 857, являющегося полным периодом дроби
,
присуще также периоду любой другой периодической дроби, если только ее период
полный.
Периоды дробей и полные:
В первом – 16 цифр, во втором – 28. Числа, образованные цифрами эти
периодов, следовательно, обладают теми же свойствами, что и число 142 857.
Диск мгновенного умножения.
К той же семье «круговых» чисел, что и число 142 857 в первой задаче,
принадлежит число М= 052 631 578 947 368 421.
При помощи диска, изображенного на рисунке, оно может быть мгновенно
умножено на любое целое число в приделах от 1 до 18.
По внешнему кольцу диска, изображенного на рисунке, размещены все
восемнадцать множителей. По внутреннему кольцу – все цифры множимого М; эти
же цифры образуют и каждое из восемнадцати произведений.
Чтобы прочитать результат умножения числа М на любое из чисел внешнего
кольца, надо полностью обойти внутреннее кольцо, начиная с цифры, указанной
блажащей стрелкой, находящейся справа от множителя, если смотреть на цифры из
центра диска. Двигаться при этом следует по ходу часовой стрелки.
Например, ближайшая стрелка справа от числа 14,
расположенного на внешнем кольце, указывает на цифру 7
Это значит, что число 736 842 105 263 157 894 есть
результат умножения числа М на 14.
Произведение числа М на 19 уже совсем иное; оно
состоит из одних девяток, и вы немедленно догадываетесь,
что число М представляет собой период дроби при ее
обращении в десятичную. Период этой дроби оказался
4
«полным» (содержит 18 цифр), следовательно, он обладает свойством цикличности
(повторяемости одних и тех же цифр), описанным в предыдущей задаче, чем и
объясняется «секрет» нашего диска.
Заключение
Мир чисел настолько загадочен и увлекателен, что занимаясь данной работой,
я поняла: если бы каждый из нас уделял ему большего внимания, то нашел бы для
себя много нового и интересного. Я познакомилась с удивительными числами из
семьи «круговых», они обладают удивительными свойствами.
Значит, я подтвердила свою гипотезу и пришла к выводу, что числа – чисто
умозрительная сущность, используемая для описания счета и количества. И в
дальнейшем я продолжу изучение круговых чисел.
Список используемой литературы.
1. Кордемский Б.А. книга «Математическая смекалка», Государственное
издательство технико-теоретической литературы, Москва, 1957г., 574 стр.
2. Мордкович А.Г. М 79 Алгебра. 8 класс. Учебник для
общеобразовательных учреждений. - 4-е издание - М.: Мнемозина, 2002. , 223
стр.:
3. Глейзер Г.И. История математики в школе. - М.: просвещение, 1982
4. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней
школы. - М., просвещение, 1990
5. Дидактические материалы по алгебре. М., Математика (приложение к
газете "Первое сентября"), №№ 21/96, 10/97.
6. Сайт: история возникновения чисел: http://5klass.net/matematika-5klass/Istorija-vozniknovenija-chisel/004-Istorija-vozniknovenija-chisel.html
5