Сравнение степеней с рациональным показателем

Сравнение степеней с рациональным показателем
Пусть а>1. Тогда: если n – положительное рациональное число, то an>1;
если n и m – рациональные числа и n>m, то an>am.
Доказательство: положительное рациональное число можно представить
𝑘
в виде 𝑛 = , где k и l – натуральные числа. а>1, значит, согласно свойству
𝑙
степеней с натуральными показателями ak>1k, т.е. ak>1. Следовательно,
𝑘
𝑘
(𝑎 𝑙 )𝑙 > 1𝑙 ; 𝑎 𝑙 > 1, т.е. an>1.
Доказательство an>am аналогично.
Пусть 0<a<1. Тогда: если n – положительное рациональное число, то
an<1; если n и m – рациональные числа и n>m, то an<am.
Примеры решения задач
7 5
7 4
9
9
Пример 1. Сравнить значения выражения ( )4 и ( )5 .
7
5
4
7
4
5
Решение: основание степеней ( ) и ( ) - число
9
9
7
9
5
4
7 5
7 4
4
5
9
9
положительно и
меньше 1, при этом показатель > . Следовательно ( )4 <( )5 .
7 5
7 4
9
9
Ответ: ( )4 <( )5
Пример 2. Сравнить значения выражения 0,8 – 10 и 0,8 – 6,9.
Решение: для основания степеней и их показателей верны неравенства
0<0,8<1 и – 10< - 6,9. В этом случае большему значению показателя
соответствует меньшее значение степени. Поэтому 0,8 – 10>0,8 – 6,9.
Ответ: 0,8 – 10>0,8 – 6,9
Пример 3. Сравнить k (k>0) с единицей, если известно, что верно
неравенство k – 3,4>k – 2,1.
Решение: поскольку для показателей степени верно неравенство
- 3,4< - 2,1 и по условию большему значению показателя соответствует
меньшее значение степени, то основание степени удовлетворяет неравенству
0<k<1.
Ответ: 0<k<1
Пример 4. Сравнить числа 2300 и 3200 .
Решение:
2300 = (23 )100 = 8100 ,
следовательно, 8100 <9100 или 2300 <3200 .
3200 = (32 )100 = 9100 .
8<9,
Ответ: 2300 <3200
Упражнения
1. Сравните числа:
1
1
1) 2−2 и 2−4
1 1
1
2
2
9 8
8 3
8
9
2) ( ) и ( )
3
2
2
5
5
5) ( )4 и ( )0,251
6) ( )0,32 и ( )0,3
9) 0,99−2,1 и 0,99−1,8
10) ( )8 и ( )0,6
7 5
7
3
3
5 2
5
4
4
4) 0,01−1,3 и 0,01−1,5
3) ( )7 и ( )0,7
8
5
3
2
9
8) ( )0,8 и 0,97
7) 238 и 238
10
2. Сравните числа:
4
5
1) 0,2−7,8 и 56,4
2) 0,81 и 1
5
4
2
5
3
9) √1
и
13
√9
3
0
7) 8 6 и 0,125−2,5
8) (√3)3,5 и 1
2
10) 1,23 и 1,20
58
√0,6
3
3. Сравните числа:
2
1) 2√5 − 1 и 6 − √5
1
1
5) √( −
2
1 2
)
3
7
1
1
3
2
2
3
1 2
)
4
5
1
1 3
6
7
и √( −
1
4) (3√3 − √ )2 и (3√2 + √ )2
5
7
2
2) (√21)−7 и (2√5)−7
3) (2√5 + √ )2 и (2√7 − 7)2
2
6) (2√2)3 и (3√2)3
1
1
7) √(1 − 1 )4 и √(1 − 1 )4
8) 0,357−3 и 0,3571−3
9) √7 − 1 и 9 − 3√7
10) ( )11 и ( )11
5
1
1 3
3
4
3 6
3 6
7
8
4. Расположите в порядке убывания числа:
9
9
3 1
4
4
2
4 2
1) ( )−0,1 ; ( )0,2 ; ( )6
2) √0,3; 0,3; (√5 − 1)2
4) √1,7; 1,7; (3 − √7)2
5) ( )−3 ; ( )3 ; ( )−4
6) ( )5 ; (
7)
8)
9)
10)
4
7
2
49 4
16
16
49
1
3
2
4) 1,6 и 1,6
13
7
6) 2,5 7√0,4 и 0,4√2,5
5) 1 и 0,7
38
3) 1 и
16
3
3) ( )5 ; ( )−8 ; (
3
3 1
5
9
125 −1
) 8;
27
256 −1
) 6
81
9
( )−4
25
5. Сравните с единицей число:
13
𝜋
2)
2
3
3 −3
(5)
8) ( )
2
3
9) (√3 − 1)
2
7
7
5) ( )−3
3
1 1
7) (√3)
3
1
4) ( )−5
3) (√5 − 2)8
2
3
2 4
6) ( )
1
2
1) ( )− 4
9
2
10) 3−5
6. Зная, что 0<m<1, сравните:
2
2) 𝑚−40 и 𝑚−51,4
3) 𝑚−2,8 и 𝑚−0,28
4) 𝑚−23,5 и 𝑚−30
5) 𝑚−4 и 𝑚−3
6) 𝑚0,74 и 𝑚0,9
7) 𝑚−4,14 и 𝑚−4,04
8) 𝑚0,13 и 𝑚0,16
9) 𝑚0,63 и 𝑚0,62
10) 𝑚7,1 и 𝑚9,3
3
1) 𝑚2 и 𝑚3
4
3
7. Зная, что a>1, сравните:
1) 𝑎5,3 и 𝑎5,001
4
5
5) 𝑎−5 и 𝑎−4
9) 𝑎
−
1
3
и𝑎
2
5
2) 𝑎0,235 и 𝑎0,401
3) 𝑎−9,3 и 𝑎−9
6) 𝑎0,36 и 𝑎3,6
7) 𝑎−10 и 𝑎−9
5
2
−
10) 𝑎 и 𝑎
7
4) 𝑎1,63 и 𝑎1,82
8
8) 𝑎−18 и 𝑎−17,99
2
5
8. Сравните числа а и b, если верно неравенство:
2
2
9
9
2) (√3)𝑎 > (√3)𝑏
1) ( )𝑎 > ( )𝑏
5)
7
(√ )𝑎
4
>
1
13
13
12
12
6) ( )𝑎 < ( )𝑏
9) (√5)𝑎 < (√5)𝑏
2
3
3
4) ( )𝑎 < ( )𝑏
7) ( )𝑎 > ( )𝑏
8) 1,4𝑎 < 1,4𝑏
√5
7
(√ )𝑏
4
2
√5
5
3) ( )𝑎 < ( )𝑏
7
7
6
6
10) 3𝑎 > 3𝑏
9. Сравните число m (m>0) с единицей, если известно, что верно неравенство:
1
2
1
2
3
1) 𝑚3 > 𝑚3
2) 𝑚−0,5 > 𝑚−4
3) 𝑚−8,1 < 𝑚−10
4) 𝑚5 < 𝑚5
5) 𝑚−2 > 𝑚2
6) 𝑚−2 > 𝑚−3
7) 𝑚4 < 𝑚5
8) 𝑚9 < 𝑚0,6
9) 𝑚2 < 𝑚3
10) 𝑚2 > 𝑚3
4
10. Сравните число m (m>0) с единицей, если известно, что верно неравенство:
9 3
√ √ 1−3 ∙√𝑚7
5
1)
√√𝑚5 ∙ 6√𝑚18
6
𝑚2 ∙ √√𝑚−12
<
4
6
√𝑚∙ √𝑚−5
5 3
√ √ 1−1 ∙√𝑚3
3 4
√
𝑚
2)
6
√𝑚5 ∙ √𝑚7
4 3
√
√𝑚7
>
𝑚
15
5
√𝑚∙ √𝑚−1
5
3)
√𝑚2 ∙ 4√𝑚−3
1
−
𝑚 4
4
5)
√𝑚3
1 9
(𝑚3 )2
>
10
5
<
𝑚 √𝑚 2 ∙ √ 𝑚
𝑚−0,7
(𝑚0,25 )0,75
√𝑚3
4)
3
𝑚 √𝑚 √𝑚2
7
6
>
𝑚6
3
4
2
6) (𝑚 ) ∙
7)
8)
9)
10)
3
√𝑚2
√𝑚 3√𝑚−1
17
−
𝑚 9
5
6
4
< (𝑚 )3 ∙ √𝑚3
Степень с рациональным показателем
Вариант 1
1. Запишите в виде
степени с рациональным
показателем
5
2. Замените
корнем
𝑎 −3
Вариант 2
3
√2 5
√6 7
степень
2
3. Сравните числа
4
𝑏7
5 2
5
4
4
4. Сравните числа
7
7
2,5√0,4 и 0,4√2,5
5. Сравните числа
2
2
5
5
( )0,32 и ( )0,3
( )7 и ( )0,7
2
2
38
2
5
3
√1
5
и 8√0,6
3
(2√2)3 и (3√2)3
√7 − 1 и 9 − 3√7
𝑚−2,8 и 𝑚−0,28
𝑚0,13 и 𝑚0,16
7. Сравните числа а и b,
если верно неравенство
7
7
( )𝑎 > ( )𝑏
6
6
2
2
( )𝑎 < ( )𝑏
3
3
8. Сравните число m
(m>0) с единицей, если
известно, что верно
неравенство
𝑚−8,1 < 𝑚−10
𝑚9 < 𝑚0,6
6. Зная,
сравните
что
0<m<1,
9. Сравните число m
(m>0) с единицей, если
известно, что верно
неравенство
10. Сравните число m
(m>0) с единицей, если
известно, что верно
неравенство
4
√𝑚3
1 9
(𝑚3 )2
>
4
10
(𝑚0,25 )0,75
3
𝑚 √𝑚 √𝑚2
√𝑚3
7
𝑚6
6
>
𝑚
9 3
5
√ √ 1−3 ∙ √𝑚7
𝑚
6
√√𝑚5 ∙ √𝑚18
6
𝑚2 ∙ √√𝑚−12
<
4
6
√𝑚 ∙ √𝑚−5
√𝑚 3√𝑚−1
−
17
9
5 3
3 4
√ √ 1−1 ∙ √𝑚3
𝑚
6
√ √𝑚5 ∙ √𝑚7
4 3
√ √𝑚7
>
15
5
√𝑚 ∙ √𝑚−1