Алексеев Вадим дистанционная олимпиада II этап 2 т

ФГБОУ ВПО «БГПУ» им. М. Акмуллы
Центр развития одаренности школьников
7 класс
1. 107 кг сухофруктов требуется пересыпать в пакеты вместимостью 2 кг, 3 кг, и 9
кг. Какое наименьшее число пакетов потребуется для этого?
Решение: Если взять 11 пакетов вместимостью 9 кг, то для «лишних» 8 кг можно взять 2
пакета вместимостью 3 кг и 1 пакет вместимостью 2 кг, так что 14 пакетов достаточно.
Если же взять хотя бы на 1 пакет вместимостью 9 кг меньше, то пересыпать оставшиеся
не менее чем 17 кг понадобится не меньше 6 пакетов, так что общее число пакетов будет
больше 14.
Ответ : 14
2. Сколько можно составить из цифр 2, 3, 4 и 5 четырехзначных чисел, делящихся на
11.
Решение: Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна
сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11.
5+2=4+3, то есть на четных местах стоят цифры 2 или 5, а на нечетных 4 и 3, и наоборот.
5324, 2354, 5423, 2453, 3542, 3245, 4532, 4235. Всего 8.
Ответ: 8
3. Разложить на множители x3  9 x 2  11x  21
Решение:
х 3  9 х 2  11х  21  х 3  3х 2  6 х 2  18 х  7 х  21  ( х 3  3х 2 )  (6 х 2  18 х)  (7 х  21) 
х 2 ( х  3)  6 х( х  3)  7( х  3)  ( х  3)( х 2  7 х  х  7)  ( х  3)( х( х  7)  ( х  7)) 
Хх  3)( х  7)( х  1)
4. Улитка ползает по столбу высотой 10м. За день она поднимается на 5 м, а за ночь
опускается на 4 м. За какое время улитка доберется от подножия до вершины
столба?
Решение: в первый день улитка поднялась на 5 метров а за ночь опустилась на 4. Тогда во
второй день улитка начала ползти уже с высоты 1 метр и проползла 5. На 4 опустилась.В
третий день она снова проползла 5 метров и опустилась на 4. В итоге, после третьего дня
она была на высоте 3 метра. На 4 день она начала с 3 метров и в конце дня оказалась на
высоте 4 метра. На пятый день она проползла еще 5 и снова опустилась на 4, что в конце
дня составило 5 метров. Тогда в итоге получается, что до вершины столба улитка
доползла на 6 день, так как в 6 день она начала ползти уже с высоты 5 метров, а за день
она проползает 5 метров.
5. За два года предприятие снизило объем выпускаемой продукции на 51%. При этом
каждый год объем продукции снижался на одно и то же число процентов. На
сколько?
Решение: A - объем первоначальный.
За 2 года цена снизилась на 51% и стала равной A(1-0,51)=0,49А
Каждый год цена снижалась на х%
В первый год она стала равной А(1-х/100), во второй A(1-x/100)(1-x/100)=0.49A,
тогда (1-х/100)²=0,49
1-х/100=0,7
х=30%
Ответ: 30
6. Можно ли разрезать равносторонний треугольник на два равных треугольника?
Решение: можно. Из вершины треугольника надо провести высоту (она же медиана и
биссектриса) к противоположной стороне. Полученные 2 треугольника будут равны по 3
сторонам.
7. 101 лошадь разместили в 15 конюшнях. Почему хотя бы в одной конюшне будет
обязательно нечетное число лошадей?
Решение: Докажем задачу методом от противного. Пусть в каждой конюшне находится
четное число лошадей, тогда сумма четных чисел – число четное. А по условию всего
лошадей 101 – число нечетное. Таким образом, получили противоречие. Значит, хотя бы в
одной конюшне будет нечетное число лошадей.
8. Имеется 9 пластинок и двухчашечные весы без гирь. По виду все пластинки
одинаковые, но одна из них легче других. Как с помощью двух взвешиваний найти
более легкую пластинку?
Решение: делим на 3 кучки (по 3 пластинки в каждой). Взвешиваем 2 любые, если одна
кучка легче, то легкая в ней, если равны, то легкая в третьей кучке. Берем 2 пластинки из
легкой кучки и взвешиваем, если одна легче то это нужная пластинка, если равны, то
легкая та которую не взвешивали.
9. Дробь
В  А Р  Е  Н  Ь Е
равна целому числу, разные буквы обозначают
К  А Р  Л С О  Н
разные цифры, а между ними стоит знак умножения. Чему равна дробь? Ответ
обоснуйте.
Решение: среди множителей должен быть ноль, т.к. десять букв обозначают десять цифр.
Ноль может быть только в числителе дроби. Значит, дробь равна нулю.
Ответ:0
10. Один фонтан наполняет бассейн за 2,5 ч, а другой - за 3,75ч. За какое время
наполнят бассейн оба фонтана?
Решение: за 1 час 1-ый фонтан заполнит
Оба фонтана за 1 час заполнят
1
2
1
4
 бассейна, 2-ой
 бассейна
2,5 5
3,75 15
2 4 10 2


 бассейна,
5 15 15 3
отсюда оба фонтана наполнят бассейн за
1 3
  1,5 часа.
2 2
3
Ответ: 1.5
ВЫПОЛНИЛ
Фамилия Алексеев
Имя Вадим
Отчество Александрович
Класс 7в
Школа МОБУ СОШ №2
Город (село) Бижбуляк
Район Бижбулякский
Ф.И.О. учителя Алексеева Елена Юрьевна