ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВПО МАТЕМАТИКЕ. 2014-2015 ГГ. МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП.

РЕШЕНИЕ И КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ
ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВПО МАТЕМАТИКЕ.
2014-2015 ГГ.
МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП.
5-Й КЛАСС
1. Будильник спешит на 9минут в сутки. Ложась спать в 22.00, на нем установили
точное время. На какое время надо завести звонок, чтобы будильник зазвенел ровно в
6.00? Ответ объясните.
Решение
За сутки (24часа) будильник уходит вперед на 9минут, поэтому за 8часов с 22.00до
6.00он уйдет вперед на 3минуты, то есть в 6.00он будет показывать 6.03. На это время и
надо его завести.
Ответ на 6часов 3минуты.
7
1
0
Приведено полное решение
Дан ответ без обоснований
Решение неправильное или отсутствует
2. Из прозрачной пленки вырезаны три квадрата с узорами, нарисованными на них
черной краской (см. рисунок).
Нарисуйте узор, который получится при наложении этих трех квадратов друг на
друга. (Поворачивать квадраты нельзя).
Ответ
7
4
0
Приведено полное решение, узор нарисован верно
Расхождение с верным ответом ровно в одной клетке
Решение неправильное или отсутствует
3. Коля и его сестра Маша пошли в гости. Пройдя четверть пути, Коля вспомнил,
что они забыли дома подарок и повернул обратно, а Маша пошла дальше. Маша пришла в
гости через 20 минут после выхода из дома. На сколько минут позже пришел в гости
Коля, если известно, что они все время шли с одинаковыми скоростями?
Решение
Коля прошел "лишнюю" половину пути. Значит, время опоздания равно половине
времени, потраченного на весь путь, то есть 10 минутам.
1
Ответ
На 10 минут.
Приведено полное решение
Рассуждения верны, но сделана арифметическая ошибка
Дан ответ без обоснований
Решение неправильное или отсутствует
7
3-4
1
0
4. Ребенок поставил четыре одинаковых кубика так, что буквы на сторонах кубиков,
обращенных к нему, образуют его имя (см. рисунок). Нарисуйте, как расположены
остальные буквы на данной развертке кубика и определите, как зовут ребенка.
Решение
Посмотрим на первый кубик справа и нарисуем на развертке буквы А и И (рис. а).
Затем посмотрим на второй кубик и нарисуем на развертке буквы К и Т (рис. б).
И, наконец, посмотрев на третий кубик, нарисуем букву Н.
Проверим, что четвёртый кубик действительно соответствует нашей развертке.
Рис. а
Рис. б
Теперь, когда есть развертка кубика, заполненная буквами, легко определить, какие
буквы расположены на сторонах, обращенных к ребенку: Н, И, К, А.
Ответ
Расположение букв см. на рисунке; ребенка зовут Ника.
7
4-3
2
0
Приведена верная расстановка букв и верно определено имя ребёнка
Приведена верная расстановка букв
Верно определено имя ребёнка
Решение неправильное или отсутствует
2
6-Й КЛАСС
1. Четверо ребят обсуждали ответ к задаче. Коля сказал: "Это число 9". Роман:
"Это простое число". Катя: "Это четное число". А Наташа сказала, что это число
делится на 15.Один мальчик и одна девочка ответили верно, а двое остальных ошиблись.
Какой ответ в задаче на самом деле?
Решение
Если Коля ответил верно, то обе девочки ошиблись, так как число 9 нечётное и не
делится на 15. Значит, верный ответ дал Роман. Но простое число не делится на 15, а
единственное чётное простое число – это 2.
Ответ 2.
7
5-4
3-2
1
0
Приведено полное решение.
Проведено верное рассуждение и указано, кто из детей ответил верно, но
ответ в задаче не получен или получен неверно.
Получен верный ответ и проверено, что он удовлетворяет условию задачи,
но не доказано, что других ответов быть не может.
Дан ответ без обоснований
Решение неправильное или отсутствует
2. Федя из трёх равных треугольников составил несколько различных фигур (одна
из них изображена на рисунке слева). Затем из всех имеющихся фигур он сложил
"стрелку" так, как показано на рисунке справа. Нарисуйте отдельно каждую из Фединых
фигур и покажите, как из них можно сложить "стрелку".
Ответ.Все четыре различных фигуры изображены на рис. а (с точностью до
"переворачивания"), а один из возможных вариантов составления "стрелки" – на рис. б.
Рис. а
Рис. б
7
4
2
0
Верно выполнены оба задания
Верно выполнено одно из заданий (или найдены все 4 фигуры или сложена
стрелка)
Оба задания выполнены неверно, но показано разбиение стрелки на
Федины фигуры, среди которых есть одинаковые.
Решение неправильное или отсутствует
3
3. С полудня до полуночи Кот спит под деревом, а с полуночи до полудня
рассказывает сказки. На дереве он повесил табличку: «Через два часа я буду делать то же
самое, что делал три часа назад». Сколько часов в сутки эта надпись верна?
Решение: надпись не верна с 10 до 15 и с 22 до 3ч, т.е. 10 часов в сутки.
Следовательно, надпись верна 24-10=14 часов в сутки.
7
6-5
4-3
2
1
0
Приведено полное решение
Есть правильные рассуждения, но присутствуют мелкие недочёты
Учтено условие только в одной половине суток
Учтено условие только одного временного сдвига
Дан ответ без обоснований
Решение неправильное или отсутствует
4. Из пяти монет – две фальшивые. Одна из фальшивых монет легче настоящей, а
другая – на столько же тяжелее настоящей. Объясните, как за три взвешивания на
чашечных весах без гирь найти обе фальшивые монеты.
Решение 1
Отложим одну монету, а на каждую чашу весов положим по две монеты.
Возможны два случая.
1) Весы в равновесии. Так как четырёх настоящих монет нет, то на одной чаше
лежат обе фальшивые монеты. Следующим взвешиванием достаточно сравнить веса
монет с одной чаши: если весы в равновесии, то эти монеты настоящие, и фальшивые
монеты в другой чаше; если весы не в равновесии, то фальшивые монеты – на весах.
2) Одна из чаш перевесила. Тогда на весах находится или только лёгкая фальшивая
монета в более лёгкой чаше или только тяжёлая фальшивая монета в более тяжёлой чаше,
или обе монеты находятся в разных чашах. Вторым взвешиванием сравним веса монет в
лёгкой чаше: если весы не в равновесии, то более лёгкая монета – фальшивая. Если весы в
равновесии, то отложенная монета – фальшивая (и она лёгкая). Аналогично, третьим
взвешиванием сравним веса монет из тяжёлой чаши: тогда, либо более тяжёлая монета –
фальшивая, либо, если весы в равновесии, отложенная монета фальшивая (и она тяжёлая).
Решение 2
Первый раз положим на чаши весов первую и вторую монеты, а второй раз –
третью и четвёртую. Возможны только два случая.
1) Один раз весы были в равновесии (пусть при первом взвешивании; при этом на
чашах настоящие монеты), а другой раз – нет. Возьмем настоящую монету из первого
взвешивания и сравним её с той, что оставалась на столе. Если их веса равны, то
последняя монета настоящая, а фальшивые – те, что участвовали во втором взвешивании.
Иначе, монета со стола – фальшивая, и мы знаем, легче она настоящей или тяжелее, а
потому знаем, лёгкая или тяжёлая фальшивая монета участвовала во втором
взвешивании.
2) Оба раза весы были не в равновесии. Тогда на весах каждый раз была одна
фальшивая монета, а на столе осталась настоящая. Взвесим её с лёгкой монетой из
первого взвешивания. Если веса равны, то в первом взвешивании фальшивой была более
тяжёлая, а во втором – более лёгкая. Если же более лёгкая монета из первого взвешивания
оказалась легче, то она фальшивая, а из второго взвешивания фальшивая – более тяжёлая.
Замечания
Отметим, что решение 2 не использует то, что обе фальшивых монеты весят
столько же, сколько две настоящих.
4
7
4
1-2
0
Приведено полное решение.
Приведён верный алгоритм, но один из результатов последнего
взвешивания не рассмотрен.
Приведён верный алгоритм, но не объяснено, почему он работает.
Решение неправильное или отсутствует
5. Коля утверждает, что можно выяснить, делится ли на 101 сумма всех
четырёхзначных чисел, в записи которых нет ни цифры 0, ни цифры 9, не вычисляя самой
суммы. Прав ли Коля?
Решение
Парным к числу, составленному из цифр a, b, c, d, назовем число, составленное из
цифр 9 – a, 9 – b, 9 – c, 9 – d, поставленных в том же порядке. Так все четырёхзначные
числа, удовлетворяющие указанным условиям, разбиваются на пары, сумма чисел в
которых равна 9999. Значит, сумма всех таких чисел будет кратна 9999 = 99·101.
Ответ Прав.
7
Приведено полное решение
6-5
Приведено верное решение, но не указано, что числа, объединяемые в
одну пару , не могут оказаться равными
4-2
Есть верные фрагменты решения.
1
Дан ответ без обоснований
0
Решение неправильное или отсутствует
7-Й КЛАСС
1. Два десятка лимонов стоят столько же рублей, сколько дают лимонов на 500
рублей. Сколько стоит десяток лимонов?
Решение
Составим пропорцию по условию задачи: 20 лимонов – x руб.; x лимонов – 500
руб.
Таким образом, 20 :x = x : 500, то есть x2 = 10000; x = 100. Два десятка лимонов стоят
100 рублей, значит, один десяток стоит 50 рублей.
Ответ 50 рублей.
7
5
1
0
Приведено полное решение
Пропорция составлена верно, но допущена арифметическая ошибка
Дан ответ без обоснований
Решение неправильное или отсутствует
2. После возвращения цирка с гастролей, знакомые расспрашивали дрессировщика
Казимира Алмазова о пассажирах его автофургона.
– Тигры были?
– Да, причем их было в семь раз больше, чем не тигров.
– А обезьяны?
– Да, их было в семь раз меньше, чем не обезьян.
– А львы были?
Ответьте за Казимира Алмазова.
Решение
Количество тигров составляет 7/8, а количество обезьян – 1/8 от общего количества
всех животных. Значит, других животных в фургоне не было.
Ответ Львов не было.
5
7
3
1
0
Приведено полное решение
Рассуждения верные, но допущена арифметическая ошибка, повлекшая
неверный вывод
Дан ответ без обоснований
Решение неправильное или отсутствует
3. Придумайте, как с помощью шаблона угла величиной 27 градусов отмерить угол
величиной в 9 градусов.
Решение: прикладывая данный угол последовательно, против часовой стрелки, 14
раз, можно отложить угол величиной 18 градусов (378-360=18).Теперь от последнего
замера по часовой стрелке отложить данный угол и получим угол 9 градусов.
7
6-5
4-2
1
0
Приведено полное решение
Правильное решение, но есть недочёты в оформлении
Правильный ход решения при вычислительных ошибках
Отложен нужный угол запрещёнными приёмами
Решение неправильное или отсутствует
4. На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник 5x9. В левом нижнем углу стоит
фишка. Коля и Серёжа по очереди передвигают ее на любое количество клеток либо
вправо, либо вверх. Первым ходит Коля. Выигрывает тот, кто поставит фишку в правый
верхний. Кто выигрывает при правильной игре?
Решение
Каждым своим ходом Коля ставит фишку на одну из клеток отмеченной диагонали
(см. рисунок). Сережа своим ходом ее оттуда убирает. Поскольку они ходят только вправо
или вверх, то когда-нибудь игра закончится.
Задачу можно также решать с конца при помощи анализа выигрышных и
проигрышных позиций.
ОтветВыигрывает Коля.
7
5-3
1
0
Приведено полное решение
Рассмотрен только один из случаев
Дан ответ без обоснований
Решение неправильное или отсутствует
5. Известно, что x,y и z- различные составные натуральные числа, но каждое из них
не делится ни на одно из целых чисел от 2 до 16 включительно. Докажите, что если эти
числа - наименьшие извозможных, то их произведение xyz является кубом натурального
числа.
6
Решение: наименьшее число, которое не делится ни на одно из указанных чисел,
это простое число 17. А так как число по условию должно быть составным, то это будет
172. Итак, x=172. Следующие простые числа 19 и 23.
y=17*19; z=192. (192 меньше, чем 17*23). Тогда имеем,
xyz=172*17*19*192=(17*19)3.
7
6-5
4-3
2
1
0
Приведено полное решение
Найдены числа, но нет полного обоснования их минимальности,
вычислительные ошибки
Найдены не наименьшие числа; нет обоснования куба при найденных
числах
Найдены простые числа, но не составлены составные
Дан ответ без обоснований
Решение неправильное или отсутствует
8-Й КЛАСС
1. В формулу линейной функции y = kx + b вместо букв k и b впишите числа от 1
до 20 (каждое по одному разу) так, чтобы получилось 10 функций, графики которых
проходят через одну и ту же точку.
Ответ
Например, y = 1x + 20, y = 2x + 19, ..., y = 10x + 11 или y = 1x + 2, y = 3x + 4, ...,
y = 19x + 20.
Замечания
В первом случае график каждой функции пройдет через точку (1, 21), а во втором
– через точку (–1, 1).Возможны и другие примеры.
7
5
1
0
Приведено полное решение, приведён пример и указано, что это один из
возможных случаев.
Приведён пример, указана точка и не указано, что существуют другие
случаи.
Дан ответ без обоснований
Решение неправильное или отсутствует
2. Кот Матроскин и Пес Шарик разделили между собой выручку от продажи
молока населению и каждый забрал свою долю. Матроскин подумал: если бы я взял денег
на 40% больше, то доля Шарика уменьшилась бы на 60%. А как изменилась бы доля
Шарика, если бы Матроскин взял себе денег на 50% больше?
Решение
40% от денег Матроскинаравны 60% от денег Шарика, поэтому у Матроскина
денег в 1,5 раза больше. Следовательно, увеличение доли Матроскина на n %, уменьшает
долю Шарика на 1,5n %.
Ответ.
Уменьшилась бы на 75%.
7
5-4
1
0
Приведено полное решение
Рассуждения верны, но допущена арифметическая ошибка
Дан ответ без обоснований
Решение неправильное или отсутствует
7
3. Один из углов треугольника на 120° больше другого. Докажите, что биссектриса
треугольника, проведённая из вершины третьего угла, вдвое длиннее, чем высота,
проведенная из той же вершины.
Решение
Пусть ABC — данный треугольник, B = a, A = 120° + a. Тогда C = 60° - 2a.
Если CL — биссектриса данного треугольника, то CLA = LCB + LBC = (30° - a) + a
= 30°. Пусть CH - высота треугольника АВС, тогда в треугольнике CLH катет CH,
лежащий против угла в 30°, в два раза меньше, чем гипотенуза CL.
7
2
1
0
Приведено полное решение
Найден CLA.
Указано, что треугольник тупоугольный.
Решение неправильное или отсутствует
4. Доказать, что число 2014 2016  27 является составным.
Решение 2014 2016  27  (2014 672  3)( 20141344  3  2014 672  9) , что и доказывает
утверждение.
7
6-5
0
Приведено полное решение
Выполнено разложение на множители, но не сделан вывод
Решение неправильное или отсутствует
5.На столе белой стороной кверху лежали 120 карточек, у каждой из которых одна
сторона белая, а другая чёрная. Миша перевернул 75 карточек, затем Ваня перевернул 35
карточек, а после этого Петя- 60 карточек. Оказалось, что в результате все 120 карточек
лежат чёрной стороной вверх. Сколько карточек было перевёрнуто трижды?
Решение: Назовём переворот карточки – «действие». Чтобы перевернуть все
карточки надо сделать 120 «действий». Мальчики сделали 75+35+60=170 «действий».
170 – 120=50.
50 «действий» пришлись на карточки, которые переворачивались более одного
раза.Следовательно, по 2 раза(кроме уже учтённого). 50:2=25.
Ответ.
Трижды переворачивались 25 карточек.
7
6-5
4-3
2
1
0
Приведено полное решение
Вычислительные ошибки при правильно выбранном методе решения
Логика решения правильная, кроме последнего логического шага
Решение не доведено до конца, при наличии первых правильных
логических шагов
Дан ответ без обоснований
Решение неправильное или отсутствует
8
9-Й КЛАСС
1. Существуют ли нечетные целые числа х, у и z, удовлетворяющие равенству (x +
y) + (x + z)2 = (y + z)2?
Решение
После раскрытия скобок и сокращения подобных получим x2 + xy + xz = yz,
откуда (x + y)(x + z) = 2yz.
Если х, у и zнечетны, то левая часть делится на 4, а правая – нет. Противоречие.
Ответ.Не существуют.
2
7
4-5
2-3
1
0
Приведено полное решение
Получено равенство (x + y)(x + z) = 2yz и допущена ошибка при
анализеделимости на 4
Получено равенство (x + y)(x + z) = 2yz
Дан ответ без обоснований
Решение неправильное или отсутствует
2. Может ли вершина параболы у = 4х2 – 4(а + 1)х + а лежать во второй
координатной четверти при каком-нибудь значении а?
Решение
Абсцисса вершины параболы равна ½ (a + 1), а ордината равна (a + 1)2 – 2(a + 1)2
+ a = – a2 – a – 1 < 0. Поэтому во второй четверти вершина параболы находиться не
может.
Ответ. Не может.
7
6
1
0
Приведено полное решение
Решение верное, но не доказано, что – a2 – a – 1 < 0.
Дан ответ без обоснований
Решение неправильное или отсутствует
3. Имеется 10 пустых больших коробок. В некоторые из них положили по 11
пустых средних коробок, а в некоторые средние – по 11 пустых маленьких коробок.
Всего оказалось 120 коробок. Сколько среди них пустых коробок?
Решение:
Если положили в n больших коробок по 11 средних, то добавили 11n средних
коробок.
Затем положили 11m маленьких коробок.
Всего коробок 10+11m+11n=120; 11m+11n=110; m+n=10.
m+n– это количество непустых коробок.
Значит, пустых коробок 120-10=110.
7
6-5
4-3
2
1
0
Приведено полное решение
Вычислительные ошибки при правильно выбранном методе решения
Логика решения правильная, кроме последнего логического шага
Решение не доведено до конца, при наличии первых правильных
логических шагов
Дан ответ без обоснований
Решение неправильное или отсутствует
9
4. Точка M лежит на стороне BC треугольника ABC . Известно, что радиус
окружности, вписанной в треугольник ABM , в два раза больше радиуса окружности,
вписанной в треугольник ACM . Может ли отрезок AM оказаться медианой треугольника
ABC?
Решение
Пусть АМ = m – медиана треугольника ABC , p1и r – полупериметр и радиус
окружности, вписанной в треугольник ACM , а p2 и 2r – полупериметр и радиус
окружности, вписанной в треугольник AВM (см. рис.).
Площади треугольников ABM и AСM равны,
следовательноp1· r = p2· 2r , то есть p1 = 2p2.
Получим:
=m+AB+BM.
Так как BM = CM , то АС = m + 2AB + CM > m + CM .
Это противоречит неравенству треугольника для ΔAMC: АС< m + CM .
Ответ нет, не может.
7
4-3
2
1
0
Приведено полное решение
Получена оценка АС = m + 2AB + CM > m + CM
Получено равенство
=m+AB+BM
Дан ответ без обоснований
Решение неправильное или отсутствует
5. На доске были записаны числа 3, 9 и 15. Разрешалось сложить два записанных
числа, вычесть из этой суммы третье, а результат записать на доску вместо того числа,
которое вычиталось. После многократного выполнения такой операции на доске
оказались три числа, наименьшее из которых было 2015. Каковы были два остальных
числа?
Решение
Заметим, что 9 – 3 = 6 и 15 – 9 = 6. Покажем, что в любой момент одно из чисел
на доске будет на 6 меньше второго и на 6 больше третьего.
Действительно, пусть это свойство выполнено, и на доске записаны числа x – 6, x и x +
6. Если сложить два крайних числа и вычесть среднее, то тройка чисел не изменится.
Если сложить первых два числа и вычесть третье, то получится тройка x – 6, x и x – 12, а
если сложить два последних числа и вычесть первое, то получится тройка x + 12, x и x +
6. Во всех случаях указанное свойство сохраняется, поэтому оно будет выполняться
после каждого шага. Значит, искомые числа: 2015 + 6 = 2021 и 2021 + 6 = 2027.
Ответ2019 и 2025.
7
4-3
1
0
Приведены верный ответ и обоснование решения
Получен верный ответ и указано без доказательства свойство, которое
является инвариантом.
Дан ответ без обоснований
Решение неправильное или отсутствует
10
10-Й КЛАСС
1. Решите уравнение (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3=2014 в целых числах.
Решение: после упрощения левой части, получим
-3x2y+3xy2-3y2z+3z2y+3z2x-3zx2=2014.
Левая часть делится на 3, правая - нет. Равенство невозможно.
Ответ.Решений нет.
7
6-5
4-3
2
1
0
Приведено полное решение
Правильное решение, но есть технические ошибки, не приводящие к
противоречию
Ошибки при применении формул, но правильное применение свойств
делимости
Упрощена левая часть без ошибок, при отсутствии дальнейшего решения
Дан ответ без обоснований
Решение неправильное или отсутствует
2. В первый день Маша собрала на 25% грибов меньше, чем Вася, а во второй – на
20% больше, чем Вася. За два дня Маша собрала грибов на 10% больше, чем Вася. Какое
наименьшее количество грибов они могли собрать вместе?
Решение
Маша в первый день собрала 3/4, а во второй – 6/5 от числа грибов, собранных в эти
дни Васей. Пусть Вася собрал в первый день 4x грибов, а во второй – 5y, тогда Маша
собрала 3x и 6y грибов соответственно. По условию 3x + 6y = 11/10 (4x + 5y). Это
равенство легко преобразуется к виду 14x = 5y. Теперь ясно, что x кратно 5, а y кратно
14, значит, наименьшие натуральные числа, удовлетворяющие этому равенству: x = 5, y =
14, а общее количество грибов 21/10 (4x + 5y) = 189.
Ответ. 189 грибов.
7
6
3-5
2
1
0
Приведено полное решение
Решение верное, но допущена арифметическая ошибка
Получено равенство 14x = 5y и наименьшие натуральные
числа,удовлетворяющие ему
Получено равенство 14x = 5y и дальнейшие рассуждения отсутствуют
Дан ответ без обоснований
Решение неправильное или отсутствует
3. Дана равнобокая трапеция ABCD (AD || BC). На дуге AD (не содержащей точек
B и C) описанной окружности этой трапеции произвольно выбрана точка M. Докажите,
что основания перпендикуляров, опущенных из вершин A и D на отрезки BM и CM, лежат
на одной окружности.
Решение
Пусть K, L, N и S – основания перпендикуляров (см. рис.).
Из равенства сторон AB и CD следует равенство соответствующих дуг, а
следовательно и вписанных углов AMB и DMC, опирающихся на эти дуги. Далее можно
рассуждать по–разному.
11
Первый способ. Так как ∠AKM = ∠ANM = 90°, то точки A, K, N и M лежат на
одной окружности. Аналогично, точки D, L, S и M лежат на одной окружности.
Используя равенство вписанных углов, получим, что ∠KNL = 90° – ∠KNA = 90° – ∠KMA
= 90° – ∠LMD = 90° ∠LSD = ∠KSL,то есть точки K, L, N и S лежат на одной
окружности. Другие случаи расположения точек рассматриваются аналогично.
Второй способ. Треугольники MSD и MNA (а также MLD и MKA) подобны по двум
углам. Следовательно,
MS :MN = MD: MA = ML: MK, то есть ML·MN = MS·MK. Используя утверждение,
обратное свойству секущих, получим требуемое.
7
4
1 -2
0
Приведено полное решение
Доказано, что KNL  KSL или ML·MN = MS·MK
Доказано, что точки A,K,N,M( D,L,S,M) лежат на одной окружности или
подобие треугольников MSD и MNA (MLD и MKA)
Решение неправильное или отсутствует
4. На рисунке изображен график функции y = x2 + ax + b. Известно, что прямая AB
перпендикулярна прямой y = x. Найдите длину отрезка OC.
Решение
Так как y(0) = b, то B(0, b). Из условия задачи следует, что точки A и B
симметричны относительно прямой y = x.
12
Следовательно, A(b, 0). Таким образом, число b и искомая длина c отрезка OC
являются корнями квадратного уравнения x2 + ax + b = 0.
По теореме Виета bc = b. Так как b ≠ 0, то c = 1.
Ответ.1.
7
5-6
4
3
2
1
0
Приведено полное решение
Дан верный ответ и приведено верное обоснование с незначительными
пробелами
Доказано, что ОА=ОВ, а дальнейших продвижений нет
Равенство ОА=ОВ использовано без доказательства, после чего
обоснованно получен верный ответ
Верный ответ получен, исходя из конкретных значений a и b.
Дан ответ без обоснований
Решение неправильное или отсутствует
5. Кольцевая дорога поделена столбами на километровые участки, и известно, что
количество столбов чётно. Один из столбов покрашен в жёлтый цвет, другой – в синий
цвет, а остальные – в белый. Назовем расстоянием между столбами длину кратчайшей из
двух соединяющих их дуг. Найдите расстояние от синего столба до жёлтого, если сумма
расстояний от синего столба до белых равна 2014 км.
Решение
Пусть на кольцевой дороге – 2n столбов. Вычислим сумму расстояний от синего
столба до всех остальных: 2(1 + 2 + ... + (n – 1)) + n = n(n – 1) + n = n2 (км).
Следовательно, n2> 2014.
Так как расстояние от синего столба до жёлтого не превосходит n, то n2 – n ≤ 2014,
то есть n(n – 1) ≤ 2014. Заметим, что 442< 44·45 < 2014 < 452< 45·46.
Поэтому единственное натуральное число, удовлетворяющее обоим неравенствам,
это n = 45.
Тогда n2 = 2025, а расстояние от синего столба до жёлтого равно
2025 – 2014= 11 км.
Ответ. 11 км.
7
5-4
3
2
1
0
Приведено полное решение
Составлена система неравенств, но отсутствует её решение или допущена
арифметическая ошибка
Получено неравенство n2 – n ≤ 2014
Выражена сумма расстояний от синего столба до всех остальных
Дан ответ без обоснований
Решение неправильное или отсутствует
13
11-Й КЛАСС
1.
Про
углы
треугольника
ABC
известно,
что
и
. Найдите величину угла C.
Решение
Первый способ. Возведем оба равенства в квадрат и сложим.
Получим 4 = 2 + 2 (sin AcosB + cosA sin B) = 2 + 2 sin (A + B).
Следовательно, sin (A + B) = 1, то есть A + B = 90°.
Второй способ. Сложив исходные равенства, получим
sin (A + 45°) + sin (B + 45°) = 2, откуда sin (A + 45°) = sin (B + 45°) = 1.
Следовательно, A = B = 45°. Значит, C = 90°.
Третий способ. Перемножив исходные равенства, получим
sin 2A + sin 2B + 2 cos (A – B) = 4, откуда sin 2A = sin 2B = cos (A – B) = 1, тоесть A
= B = 45°.
Ответ. 90°.
7
4-5
2
1
0
Приведено полное решение и обоснование
Приведены верные рассуждения и получен верный ответ, но использованы
следствия из данных равенств и не выполнена проверка.
Рассмотрен частный случай и приведён верный ответ
Дан ответ без обоснований
Решение неправильное или отсутствует
3
2. Решите уравнение: (x3 – 2)(2sin x – 1) + ( 2 x – 4) sinx = 0.
Решение
Из того, что функция y = 2t возрастает, следует:
1) Если sinx> 0, то 2sin x – 1 > 0; если sinx< 0, то 2sin x – 1 < 0.
3
3
2) Если x3 – 2 > 0, то 2 x – 4 > 0; если x3 – 2 < 0, то 2 x – 4 < 0.
3
Следовательно, если (x3 – 2)(2sin x – 1) > 0, то ( 2 x – 4) sinx> 0; если (x3 – 2)(2sin x – 1) < 0,
3
то ( 2 x – 4) sinx< 0;
3
то есть знаки выражений (x3 – 2)(2sin x – 1) и ( 2 x – 4) sinx совпадают.
Поэтому, каждое слагаемое в левой части уравнения должно обращаться в нуль, то есть x3
= 2 или sinx = 0.
Ответ.
7
4-3
2
1
0
, πn (n∈Z).
Приведено полное решение с обоснованием
3
Выполнена оценка для (x3 – 2)(2sin x – 1) и ( 2 x – 4) sinx
Получено одно из возможных решений или потеряны некоторые решения
уравнения sinx = 0
Дан ответ без обоснований
Решение неправильное или отсутствует
3. Функция f(x) такова, что для всех значений x выполняется равенство f(x + 1) =
f(x) + 2x + 3. Известно, что f(0) = 1. Найдите f(2014).
Решение
f(x + 1) – f(x) = 2x + 3.
Подставим вместо x числа 0, 1, 2, ..., 2013:
f(1) – f(0) = 2·0 + 3, f(2) – f(1) = 2·1 + 3, ..., f(2014) – f(2013) = 2·2013 + 3.
14
Сложив эти равенства почленно, получим
f(2014) – f(0) = 2·(1 + 2 + ... + 2013) + 3·2014 = 2014·2013 + 3·2014.
Значит,
f(2014) = 1 + 2·2014 + 20142 = 20152.
Ответ 4060225 = 20152.
7
2-4
1
0
Приведено полное решение
Выполнен ряд подстановок, но дальнейших продвижений нет
Дан ответ без обоснований
Решение неправильное или отсутствует
4. На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K, а на стороне AC – точка M.
Отрезки BM и CK пересекаются в точке P. Оказалось, что углы APB, BPC и CPA равны по
120°, а площадь четырёхугольника AKPM равна площади треугольника BPC. Найдите
угол BAC.
Решение
К обеим частям равенства SAKPM = SBPC прибавим площадь треугольника BPK (см.
рис.).
Получим, что SABM = SBCK.
Следовательно,
то есть
.
Таким образом, точки K и M делят отрезки BA и AC в одном и том же отношении,
считая от вершин B и A соответственно,
то есть
(*).
Заметим теперь, что ∠BPK = ∠KPA = ∠APM = ∠MPC = 60°. Значит, PK и PM –
биссектрисы треугольников APB и APC соответственно.
По свойству биссектрисы треугольника
Учитывая равенство (*),
получим
.
.
15
Таким образом, треугольники BPA и APC подобны (по двум сторонам и углу между
ними).
Следовательно, ∠PAC = ∠PBA.
Значит,∠BAC = ∠BAP + ∠PAC = ∠BAP + ∠PBA = 180° – 120° = 60°.
Ответ. 60°.
7
Приведено верное решение с обоснованием
6-5
Получено равенство
4-3
Получено равенство
Рассмотрен частный случай
Дан ответ без обоснований
Решение неправильное или отсутствует
2
1
0
5. Два преподавателя получили два одинаковых набора экзаменационных билетов,
написанных на карточках: по 35 карточек с билетами каждый. Первый перемешал свои
карточки и положил их стопкой на стол, потом второй перемешал свои карточки и
положил их стопкой сверху на первую стопку. Они подсчитали количество карточек,
расположенных между парами карточек с одинаковыми билетами и сложили полученные
результаты(35 чисел). Какую наибольшую сумму они могли получить?
Решение:
Предположим, что между стопками находится пластина.
Рассмотрим верхнюю стопку. От первой карточки до пластины 0 карточек, от
второй- 1 карточка, от третьей- 2 карточки и т.д., от верхней-34 карточки. И все эти числа
используются только по одному разу.
Аналогично рассуждаем по отношению к нижней стопке.
Сумма всех этих чисел и есть те количества карточек, которые были сложены по
условию.
Эта сумма не меняется.
2(1+2+3+…+34)=34*35=1190.
Ответ.1190.
7
5-6
4-3
2
1
0
Полное решение
При вычислениях есть недочёты, но правильные логические рассуждения
Не до конца обоснована попытка перейти от частного к общему, при
правильном ответе
Рассмотрен один или более одного частных случаев, дающих правильный
ответ
Дан ответ без обоснований
Решение неправильное или отсутствует
16