Методические указания и задания к контрольной работе № 2 по
advertisement
Министерство образования Республики Беларусь
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра «Высшая математика № 2»
Методические указания и задания
к контрольной работе № 2 по высшей математике
для студентов заочного отделения ФТУГ
экономических специальностей
Минск 2010
УДК 51 (075.4)
ББК 22.1я7
М54
Настоящее издание включает в себя программы, и контрольные задания (30 вариантов) по высшей
математике по темам «Неопределенный интеграл», «Определенный интеграл», «Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы», «Ряды», «Теория вероятностей и математическая статистика».
Авторы постарались кратко и доступно изложить в соответствии с программой весь теоретический
материал по указанным темам. Основные теоретические положения наглядно проиллюстрированы решением большого числа примеров и задач.
Если в ходе усвоения материала возникнут некоторые вопросы, то их можно задать на консультациях по высшей математике для студентов-заочников, которые проводятся по субботам на кафедре.
Студент должен выполнить контрольное задание по номеру варианта, который совпадает с двумя
последними цифрами зачетной книжки (шифра). Если номер шрифта больше тридцати, то следует из него вычесть число тридцать. Полученный результат будет номером варианта.
Авторы искренне надеются, что данные указания помогут студентам самостоятельно выполнить
контрольную работу по математике и хорошо сдать экзамен. Желаем вам успехов!
Составители:
З.М.Алейникова, Л.И.Бородич, И.Г.Латышева, М.Н.Покатилова, А.Ф.Шидловская
Рецензент:
Канд.физ.-мат.наук, доц. Т.С.Яцкевич
Канд.физ.-мат.наук, доцент В.В.Карпук
2
ПРОГРАММА
Тема 1. Неопределенный интеграл
Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов. Замена переменной. Интегрирование по частям.
Основные методы интегрирования: интегрирование простейших дробей; интегрирование рациональных функций; метод рационализации; интегрирование тригонометрических функций; интегрирование
простейших иррациональностей.
Тема 2. Определенный интеграл. Несобственные интегралы
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл и его свойства.
Формула Ньютона-Лейбница.
Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Несобственные интегралы.
Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах. Вычисление объемов и длин дуг. Приближенные методы вычисления определенного интеграла.
Тема 3. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ДУ) и системы
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения (ДУ) 1-го порядка. Задачи Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Интегрирование ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменным, однородных, линейных, уравнения
Бернулли и в полных дифференциалах.
ДУ высших порядков. Задача Коши. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.
Линейные ДУ высших порядков. Свойства линейного дифференциального оператора. Линейнозависимые и линейно-независимые системы функций. Определитель Вронского.
Линейные однородные ДУ, условие линейной независимости их решений. Фундаментальная система
решений. Структура общего решения. Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные ДУ. Структура общего решения. Метод Лагранжа вариации произвольных
постоянных. Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида.
Тема 4. Ряды
Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Действия над рядами. Необходимое условие сходимости.
Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Теорема
Лейбница.
Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды. Применение рядов к приближенным вычислениям.
Тема 5. Теория вероятностей и математическая статистика
Предмет теории вероятностей. Классификация событий. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Понятие случайного события. Относительные частоты. Закон устойчивости относительных частот.
Классическое и геометрическое определение вероятности. Понятие об аксиоматическом построении
теории вероятностей. Методы исчисления вероятностей.
Свойства вероятностей. Теоремы сложения. Независимость событий.
Определение условной вероятности. Вероятность произведения событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
3
Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона.
Дискретные случайные величины (СВ). Ряд распределения. Функция распределения, ее свойства.
Математическое ожидание и дисперсия дискретной СВ.
Непрерывные СВ. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства.
Математическое ожидание и дисперсия непрерывной СВ.
Примеры законов распределения дискретных СВ: биномиальный, Пуассона. Их свойства.
Примеры законов распределения непрерывных СВ: равномерный, показательный, нормальный. Их
свойства.
Понятие о различных формах закона больших чисел. Теорема Бернулли и Чебышева. Центральная
предельная теорема Ляпунова.
Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма и полигон.
Эмпирическая функция распределения. Выборочная средняя и дисперсия.
Оценки параметров распределения. Точечные оценки. Интервальные оценки. Доверительные интервалы для математического ожидания нормально распределенной СВ при известном и неизвестном среднем квадратическом отклонении. Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения
нормально распределенной СВ.
Понятие о статистических гипотезах и критериях согласия. Критерии согласия χ2 – Пирсона и Колмогорова.
4
Тема 1. Неопределённый интеграл
1.1. Понятие неопределённого интеграла
Функция F(x), определённая в промежутке a; b называется первообразной данной функции f( х ),
если для x a; b выполнено равенство:
F ' x f x
Для заданной функции f x её первообразная определяется неоднозначно. Доказано, что если
F ' x – первообразная, для f x , то выражение F x c , где с – произвольное число, задаёт все возможные первообразные для функции f x .
Любая непрерывная на отрезке a, b функция f x имеет на этом отрезке первообразную F x .
Неопределённым интегралом от данной функции f x называется множество всех её первообраз-
ных:
f x dx F x c ,
F x f x
– знак неопределённого интеграла, f x – подынтегральная функция, f x dx - подынте-
где:
гральное выражение, x – переменная интегрирования.
Нахождение для функции f(x) всех её первообразных называется её интегрированием. Интегрирование – действие обратное дифференцированию.
Свойства неопределённого интеграла (НИ)
Из определения НИ непосредственно вытекают его свойства:
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
f x dx ' f x ;
2.
Дифференциал НИ равен подынтегральному выражению:
d
3.
4.
5.
f x dx f x dx ;
kf x dx k f x dx ;
f x f x dx f x dx f x dx ;
dF x F x c .
1
2
1
2
Таблица интегралов
1.
dx x c
2.
n
x dx
3.
4.
5.
6.
7.
1
;
x n1
c n 1 ;
n 1
dx
ln x c ;
x
ax
x
x
x
a dx ln a c, a 0, a 1; e dx e c ;
sin xdx cos x c ;
dx
cos x tgx c ;
cos xdx sin x c ;
2
5
8.
9.
10.
11.
12.
13.
dx
sin
ctgx c ;
x
dx
1
x
a 2 x 2 a arctg a c , a 0;
dx
1
xa
x 2 a 2 2a ln x a c ;
dx
1
ax
a 2 x 2 2a ln a x c ;
dx
2
2
x 2 a 2 ln x x a c ;
dx
x
a 2 x 2 arcsin a c .
2
Справедливость этих формул проверяется дифференцированием.
1.2. Основные методы интегрирования
Задача данный интеграл свести к табличному.
Непосредственное интегрирование. Знать таблицу интегралов, его основные свойства, уметь преобразовывать алгебраические и тригонометрические выражения.
3
3
2
2
x 3x x 3x x 2
x x
xn
3
3
2
2
3
a)
dx a b a 3a b 3ab b =
dx k x n k =
1
3
x
x
x3
13
5
7
3 113
6 116 6 136
83
6
3
6
= x 3x 3x x dx x 3 x x c
11
11
13
3
9
18
6
x3 3 x 2 x 2 3 x 2 x 6 x5 x 2 6 x c
11
8
11
13
3
1 cos2 x
1 cos 2 x
1 cos 2 x
1
dx
1
1
2
á)
dx cos x
dx
dx
dx tgx x c.
2
2
1 cos 2 x
2
2cos x
2 cos x 2
2
Метод подведения функции под знак дифференциала (сознательное понимание таблицы).
Любая формула интегрирования
f x dx F x c сохраняет свой вид, если в неё вместо незави-
симой переменной х, подставить любую дифференцируемую функцию u u x
f u du F u c .
Подведение функции под знак дифференциала состоит в том, что под знак дифференциала записывают функцию, дифференциал которой равен данному выражению. Подведение функции под знак дифференциала применяется для сведения интегралов к табличным, т.е. к виду: f u du F u c
Применяя метод подведения функции под знак дифференциала, найти интегралы:
1
1.
6
e
arctgx
dx
1 x2
e du e
u
u
c
2 u arctgx
3 du d arctgx
1
dx
1 x2
earctgx d arctgx earctgx c.
u n 1
1 u du
c
2
n 1
ln x
dx
1
3
2.
2 u ln x
ln x d ln x
c c
.
3
x ln x
2
2 ln 2 x
1
3 du d ln x dx
x
n
Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен:
A1 x B1
dx и
2
bx c
ax
A2 x B2
ax 2 bx c
dx .
Для сведения этих интегралов к табличным надо в числителе дроби выделить дифференциал квадратного трёхчлена ax2 + bx + c, т.е. слагаемое (2ax + b)dx. А затем интеграл разбить на сумму двух интегралов, каждый из которых – табличный (во втором интеграле квадратный трёхчлен представить в виде
суммы или разности квадратов).
du
u n 1
ln u c
1 u n du
c;
u
n 1
du
1
u
du
u
2 a. 2
arctg c; 2 a.
arcsin c;
2
2
2
a u
a
a
a
a u
du
1
ua
du
б. 2
ln
c; б.
ln u u 2 a 2 c;
2
2
u a
2a u _ a
u a2
1
Найти интегралы:
3
18
2x 6 7
3x 7
3 2 x 6 dx
2
1. 2
dx 2 2
dx 2
x 6 x 25
x 6 x 25
2 x 6 x 25
d x 3
3
1
x3
2
16
ln
x
6
x
25
16
arctg
c.
2
4
4
x 3 42 2
2.
4 x 5 dx
x2 2x 3
3.
2 2 x 2 4 5
dx 2 x 2 2 x 3
1
2
2 x 2 dx
x2 2x 3
d x 1
x 1
4 x 2 2 x 3 arcsin
c.
2
2
4 ( x 1)
1
2
(18 x 6) 6
1
(2 x 6)dx
9
3 dx 1 (9 x 2 6 x 2) 2 (18 x 2 6)dx
9x2 6x 2
9
9x2 6x 2
d 3x 1
16
2
16
9 x 2 6 x 2 ln 3x 1 9 x 2 6 x 2 c.
2
9
9
3x 1 1 9
Метод подстановки (замена переменной). Этот способ часто полезен в тех случаях, когда интеграл
f x dx
не может быть непосредственно преобразован к табличным. Полагая x (t ) , где t – новая
переменная, а функция (t ) имеет непрерывную производную.
Тогда f ( x) f ( (t )), dx '(t )dx и
f ( x)dx f ( (t )) '( y)dt
- формула замены переменной в
неопределенном интеграле.
Замечание. Иногда целесообразно применить обратную подстановку: t ( x), dt '( x)dx .
7
Формула доказывается дифференцированием обеих её частей. Удачная подстановка позволяет упростить исходный интеграл, сведя его к табличным. Однако даже в тех случаях, когда метод подстановки
не приводит исходный интеграл к табличному, он часто позволяет упростить подынтегральную функцию
и тем самым облегчить вычисление интеграла.
Пример 1.1. Найти интегралы:
dt
t e x ; dx
dx
dt
dt
1. x x
2
arctgt c arctge x c.
t
1
e e
t 1
t t t
dt e x dx tdx;
2.
1 ln x t 2
1 ln x
1
t 2 dt
t2 11
dt
dx dx 2tdt 2 2
2 2
dt 2 dt 2
x ln x
x
t 1
t 1
t
1
ln x t 2 1
1 t 1
1 ln x 1
2 t ln
c
c t 1 ln x 2 1 ln x ln
1 ln x 1
2 t 1
2 1 ln x ln ln x 2 1 ln x 1 c.
Замечание. Чаще метод подстановки применяется при интегрировании иррациональных выражений.
ex 1 t 4
t 4 1 4t 3dt
t7 t3
x
3
e dx 4t dt
4 t 6 t 2 dt 4 c
4 x
t
e 1
7 3
ex t 4 1
e 2 x dx
x
3 e 1
1
t 4 e x 1 4 4 e x 1
c.
3
7
Интегрирование по частям. Пусть u u ( x) и v v x - непрерывно дифференцируемые функции.
Известно, что d uv vdu udv, udv d uv vdu . Интегрируя последнее соотношение, получим:
udv uv vdu
– формула интегрирования по частям для неопределённого интеграла.
Применение метода интегрирования по частям целесообразно в том случае, когда интеграл в правой
части окажется более простым для вычисления, чем исходный интеграл. При его применении подынтегральное выражение данного интеграла разбивается на два сомножителя u и dv . При переходе к пра-
вой части формулы первый из них дифференцируется du u dx ; второй интегрируется V dv ,
(если дифференцирование существенно упростит один множитель, при условии, что интегрирование не
слишком усложнит другой).
Некоторые классы интегралов, которые удобно брать по частям (за u в этом случае принимаются логарифмическая или обратная тригонометрическая функция):
1.
2.
3.
x e dx, x sin xdx, x cos xdx u x .
x ln xdx, x arcsin xdx, x arctgxdx .
Круговые или циклические интегралы. e sin xdx, a
n
x
n
силен.
Например:
8
n
n
n
n
n
x
x
cos xdx,
cos ln xdx . Выбор u и dv равно-
1. arctgxdx
1
dx
xdx
1
xarctgx
xarctgx ln 1 x 2 c.
1 x2
2
1 x
2
vx
u artgx du
dv dx
Иногда полезно повторить интегрирование по частям.
2. x cos xdx
2
u x2
du 2 xdx
cos xdx dv V cos xdx sin x
ux
du dx
du sin xdx v cos x
x 2 sin x 2 x sin xdx
x 2 sin x 2 x cos x 2sin x c.
Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов:
Pm x
. Если m<n, то рациональная дробь правильная; если m n - неправильная.
Qn x
Если дробь неправильная, надо выделить целую часть, разделить числитель на знаменатель, т.е. неправильную дробь представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.
Например:
x2 x 2
x2 2 x 4
x 4 x3 1
x 4 x3 2 x 2
2 x 3 2 x 2 1
2 x3 2 x 2 4 x
-
4x2 4x 1
4x2 4x 8
8 x 9,
неправильная дробь
x 4 x3 1
8x 9
x2 2 x 4 2
;
2
x 2x 2
x x2
Простейшие рациональные дроби: 1.
M x N1
M 2 x N2
A
A
; 2.
; 3. 2 1
; 4.
k 2.
k
k
xa
ax bx c
x a
ax2 bx c
Квадратный трёхчлен ax2 bx c не имеет действительных корней.
Разложение правильной рациональной дроби на простейшие:
Pm x
, (m<n) может быть представлена в виде
Qn x
Теорема. Каждая правильная рациональная дробь
суммы конечного числа простейших дробей.
Это разложение связано с разложением знаменателя дроби на множители:
а) Каждому линейному множителю знаменателя (х - а)к соответствует k простейших дробей вида (1),
(2), числитель которых – неопределённые коэффициенты, а знаменатель – целые положительные степени
двучлена (х - а), начиная со степени k и кончая первой;
2
б) Каждому квадратному множителю x px q соответствует k простейших дробей вида (3), (4),
k
числитель которых – многочлен первой степени, с неопределёнными коэффициентами, а знаменатель –
положительные степени трёхчлена x 2 px q , начиная со степени k и кончая первой.
Итак, для интегрирования рациональных дробей надо:
1. Установить, является ли данная рациональная дробь правильной или неправильной. Если она неправильная, выделить целую часть.
2. Проинтегрировать целую часть и правильную дробь. Для интегрирования правильной дроби
необходимо:
9
3.
a.
b.
c.
Разложить знаменатель дроби на множители.
Представить дробь в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами.
Найти коэффициенты.
Проинтегрировать простейшие дроби.
Пример 1.2.Найти интегралы: 1.
Решение. 1) f x
x2
x3 2 x 2 x dx . 2.
x3 x 2 5
x3 8 dx
x2
– правильная рациональная дробь, следовательно, её можно, разлоx 2x2 x
жить на простейшие:
3
x2
x2
A
B
C
.
2
2
2
x 2 x x x x 1
x x 1 x 1
3
Неопределённые коэффициенты разложения находят методом неопределённых коэффициентов или
методом частных значений.
Используем метод неопределённых коэффициентов:
Приведём простейшие дроби к общему знаменателю и приравняем числители:
x2
A x 1
Bx
C x 1 x Ax 2 2 Ax A Bx Cx 2 Cx ;
2
2
x3 2 x 2 x
x
x x 1
x 1 x 1
2
Ax2 2 Ax A Bx Cx 2 Cx x 2 .
Многочлены равны, если равны все коэффициенты при одинаковых степенях x:
x2 A C 0
A 2
x 2A B C 1 C 2
B3
x 0 A 2
x 2 dx
x
2
2x x
2
2
dx
dx
dx
3
x 1
3
3
2
2 ln x
2 ln x 1 c 2 ln
c.
2
x
x 1
x 1
x
x 1
x 1
x3 x 2 5
- неправильная рациональная дробь, выделяем целую часть:
x3 8
3
2
x3 x 2 5 x 8 x 3
x2 3
.
1
x3 8
x3 8
x3 8
x2 3
Интегрируем правильную дробь 3
, разложив её на простейшие дроби:
x 8
x2 3
x2 3
A
Bx C
2
,
3
2
x 8 x 2 x 2x 4 x 2 x 2x 4
2) f x
A B x 2 A 2B C x 4 A 2C x
2
2
3.
x2
A B 1
x 2 A 2B C 0 .
x 0 4 A 2C 3
Ðåø àÿ ñèñòåì ó, ï î ëó÷èì A
10
7
5
1
; B ; C ;
12
12
3
5
2x 2 9
x x 5
7
dx
1
5x 4
7
1 2
dx
dx
dx
x
ln
x
2
dx
x3 8
12 x 2 12 x 2 2 x 4
12
12 x 2 2 x 4
3
2
x
2 x 2 dx 3
7
dx
ln x 2 5 2
2
24
12
x 2 x 4 4 x 1
x
7
5
3
x 1
ln x 2 ln x 2 2 x 4
arctg
c.
12
24
4
3
3
2
Интегрирование тригонометрических выражений. Так как любое тригонометрическое выражение
можно записать только через sinx и cosx, то получим интеграл рационально зависящий от sinx и cosx:
R sin x, cos x dx .
Этот интеграл всегда сводится к интегралу от рациональной функции относительно новой перемен-
x
t , тогда
2
x
2tg
1 tg 2
2t
2
sin x
; cos x
2
1
t
2 x
1 tg
1 tg 2
2
ной с помощью подстановки tg
x
2
2 1 t ; dx 2dt .
x 1 t2
1 t2
2
Например, найдем интеграл
x
t
2
2 dt 1 t 2
dx
2t
dt
x
sin x sin x 1 t 2 1 t 2 2 t t ln t ln tg 2 c .
2dt
dx
1 t2
Универсальная подстановка всегда позволяет вычислить интеграл ( ), однако её используют очень
tg
редко, так как она часто приводит к интегрированию громоздких рациональных дробей. Она используется в тех случаях, когда другие подстановки применять нельзя.
Частные случаи:
m
n
1) Интеграл вида: sin x cos x dx .
а) Если один из показателей m или n – целое положительное нечётное число, второй любой то подстановка sin x t , cos xdx d sin x dt или cos x t sin xdt dt быстрее приводит к цели.
Например,
1 sin 2 x d sin x
cos5 x
1 2sin 2 x sin 4 x
d sin x
sin x
sin x
sin x
2
1
3
7
sin x 2 d sin x 2 sin x 2 d sin x sin x 2 d sin x
4
2
4
2
2 sin x sin 2 x sin x sin 4 x sin x c sin x 2 sin 2 x sin 4 x c.
5
9
5
9
б) Оба показателя m и n – целые положительные чётные, тогда используют формулы:
sin x cos x
sin 2 x
1 cos 2 x
1 cos 2 x
; cos 2 x
; sin 2 x
.
2
2
2
Например,
11
4
4
sin x cos xdx
1
1 1 cos 4 x
1
4
2
sin 2 x dx
dx 1 2 cos 4 x cos 4 x dx
16
16
2
64
2
1
1
1 cos8 x 1
sin 4 x 1
1
dx x
x sin 8 x c
x sin 4 x
64
2
2
64
2
2
16
1 3x sin 4 x 1
sin 8 x c.
64 2
2
16
в) Оба показателя чётные целые, но хотя бы один из них отрицательный, тогда используется подстановка
tgx t или с помощью тригонометрических преобразований.
Например,
tgx t
1 t 2 dt
1 t2
dx
t
t 3 t 1
1
4
2
sin
x
dt
t
t
dt
c c ctgx ctg 3 x.
4
sin 4 x
4
2
2
t
3 1
3
t 1 t
1 t
dt
dx
1 t2
С помощью тригонометрических преобразований:
2
dx
ctg 3 x
2
2
2
cos
ec
x
cos
ec
x
1
ctg
x
cl
ctgx
ctgx
c
sin 4 x
3
г) Иногда удобно ввести тригонометрическую единицу:
dx
sin 2 x cos 2 x
sin xdx
dx
sin x cos3 x sin x cos3 x dx cos3 x sin x cos x
dx
1
3
cos x d cos x 2
ln tgx c
sin 2 x 2 cos 2 x
д) Иногда применяется метод интегрирования по частям.
Например,
udv uv vdu
cos x 1 dx
u cos x
du -sinxdx
2sin 2 x 2 sin x
cos xdx
1
3
dv
v sin x d sin x
3
sin x
2sin 2 x
cos x 1
x
c
ln tg .
2
2sin x 2
2
cos 2 x
sin 3 x dx
2) Интегралы вида:
sin mx cos nxdx,
m n; cos mx cos nxdx;
sin mx sin nxdx,
формулам:
1
sin m n x sin m n x ,
2
1
cos mx cos nxdx cos m n x cos m n x ,
2
1
sin mx sin nx cos m n x cos m n x .
2
sin mx cos nxdx
Например, sin 3 xcox5 xdx
12
1
1
1
sin 8 x sin 2 x dx cos8 x cos 2 x c.
2
16
4
преобразуются по
3) Интегралы вида:
tg
n
xdx,
ctg
n
n N ,n 1
xdx,
приводятся к табличным следующим обра-
зом: выделяется tg 2 x sec2 x 1 . Затем интеграл разбивают на сумму двух интегралов (первый – степенной, а второй
tgx
Например,
n2
dx ; с ним поступают так же).
tg xdx tg x sec x 1 dx tg xd tgx tg xdx
tg x
tg x tg x
tgx sec x 1 dx
ln cos x c.
4
4
2
5
3
2
3
4
4
3
2
2
4)
sec
n
xdx
cosec xdx , если n – чётное целое положительное число, тогда sec xdx d tgx , а
2
n
оставшаяся чётная степень sec x заменяют через tgx. sec2 x 1 tg 2 x .
Например,
sec
6
2
2
1
xdx 1 tg 2 x dtgx 1 2tg 2 x tg 4 x d tgx tgx tg 3 x tg 5 x c
3
5
Интегрирование иррациональных выражений. Алгебраическая функция, не являющаяся рациональной называется иррациональной. Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции.
Рассмотрим иррациональные функции интегралы, от которых с помощью подстановок приводятся к
интегралам от рациональной функции.
1.
Интегрирование простейших иррациональностей.
m
r
n
s
R
x
,
x
,...,
x
dx сводится к интегралу рациональной функции подстановкой
m
r
x t k , где k – общий знаменатель дробей ,…,
s
n
a)
Интеграл вида
1
Í àï ðèì åð :
x 2 dx
x t4
t
t 2 4t 3 dt
4
3
t 1
2
t
3
dt
1 1
t 1
x 1 dx 4t dt
t 2 dt 4
4
4
4 t 2 dt 3 t 3 ln t 3 1 c t 4 x
t 1 3
3
3
3
4
3
3
4
x 3 ln
4
x3 1 c .
x, ax b mn ,..., ax b rs dx сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой
R
k
ax b t , где k-общий знаменатель дробных показателей.
б)
Например,
x 9
xdx
4
3
3 x 9
5
6
x 9 t6
dx 6t 5 dt
t
6
9 6t 5 dt
t 8 3t 5
6
t
3
3 t 3 3
t3 3
dt
3
3
4
6 t 3 3 dt t 4 18t c t 6 x 9 6 x 9 18 6 x 9 c.
2
2
m
r
n
s
ax
b
ax
b
,...,
с) R x,
dx сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой
cx d
cx d
ax b k
t , k – общий знаменатель дробных показателей.
cx d
13
Í àï ðèì åð :
4 x
4 x 2
4
8tdt
dx
t ; x 2 ; dx
2
2
x
x
t 1
t
1
1
x2
t
2
1
16
2
t 8t dt
t 2 1
2
1 2
1
4 x
1 4 x
4 x 4 x
t dt t 3 c t
.
c c
2
6
x
6 x
6x
x
3
Тема 2. Определённый интеграл
2.1. Вычисление определённого интеграла
а) Формула Ньютона-Лейбнца.
Теорема. Если f(x) – непрерывна на a, b то
f x dx F b F a ,
b
(2.1)
a
где F x - любая первообразная для функции f x на a; b .
Например, вычислим определённый интеграл
tg 2 x
4
3
2
4
4
4
4
tg
xdx
sec
x
1
tgxdx
tgxd
tgx
tgxdx
ln
cos
x
2
0
0
0
0
0
1
2
1 ln 2
ln
0 ln1
2
2
2
б) Замена переменной в определённом интеграле.
Теорема. Если функция f x непрерывна на a; b , а функция x t непрерывно дифференциру-
ема на c; d и c a, d b, a t b , то
b
a
f x dx f t ' t dt
d
c
(2.2)
– формула замены переменной в определённом интеграле.
Например, вычислим определенный интеграл.
2x 1 t 2
x 0, t 2 1, t 1
4
3 tdt
dx
1 2
x 4, t 2 9, t 3
0 1 2 x 1 x 2 t 1
1 t
dx tdt
3
1
t 1 1 dt
1 t
3
1
3
1
1
dt t ln t 1 1 3 ln 4 1 ln 2 2 ln 2.
t 1
в) Интегрирование по частям в определённом интеграле.
Теорема. Если функции u u x и v v x – непрерывно дифференцируемые на a; b то
b
a
b
b
a
a
udv uv vdu
– формула интегрирования по частям в определённом интеграле.
Например, вычислим
u arctgx, dv xdx
2
1
x2
1 1 x 1 1
0 xarctgxdx du 1 dx, v x 2 arctgx 0 2 0 1 x 2 dx
1 x2
2
1
2
1
x 2 arctgx x arctgx
1 1 1
.
2
2
2 0 2 4 2 8 4 2
14
(2.3)
2.2. Приложение определённого интеграла
а) Вычисление площадей плоских фигур.
Площадь криволинейной трапеции, ограничена прямыми x = a, x = b, (a < b), осью ox и непрерывной
кривой y f x , y 0 .
Вычисляется по формуле
S f x dx.
b
(2.4)
a
Пример 4.1. Найти площадь области, ограниченной линиями xy = 4; x+y=5.
Решение: Построим область S (рис.1) и найдём абсциссы
xy 4
,
x y 5
точек пересечения А, В:
y 5 x, x 2 5 x 4 0 x1 1; x2 4,
4
S
4
1
4
x2
1
5
x
dx
5
x
4 ln x 7 8ln 2 åä 2 .
x
2
2
1
Пример 2.2. Найти площадь области, ограниченной линиями y 2 2x 1; x y 1 .
y2 2x 1
.
x y 1
Решение: Построим область S (рис.2) и найдём ординаты точек пересечения А, В:
x y 1, y 2 2 y 1 1, y 2 2 y 3 0 y1 1, y2 3.
3
y2 1
y3
16
1
y2 3
S y 1
dy
y
5 åä 2 .
1
2
6 1 3
3
2 2
3
15
2.3. Несобственные интегралы
Понятие определённого интеграла дано для конечного отрезка a; b и непрерывной на нём функции
f x . Оно теряет смысл, если интервал интегрирования бесконечен или функция в интервале интегрирования имеет точки разрыва 2го рода.
Интеграл называется несобственным, если функция f x не ограничена на a; b , или неограниченна сама область интегрирования.
2.4.Интегралы с бесконечными пределами (I рода)
Если f(x) непрерывна, a x , то по определению
f x dx lim f x dx
b
b
a
(2.5)
a
Если существует конечный предел в правой части формулы (2.5.), то несобственный интеграл называется сходящимся, если же этот предел бесконечен, или не существует, то – расходящимся и значения
не имеет.
Аналогично определяются интегралы:
b
f x dx lim
f x dx ;
a
b
a
f x dx lim f x dx lim f x dx .
c
a
b
b
a
c
Если оба предела в правой части конечны, то интеграл называется сходящимся, если же хотя бы один
из них бесконечный или не существует, то – расходящимся.
Итак, несобственные интегралы с бесконечными пределами – пределы определённых интегралов с
переменными верхними или нижними пределами при стремлении этих пределов к бесконечности.
Например, вычислим несобственные интегралы, или установим их расходимость:
b
b d ln x
dx
dx
1
1
1
lim
lim
lim
1
lim
1
2
2
2
b e
b e
b
b
e
x ln x
x ln x
ln x
ln x c
ln x
интеграл сходится и его значение равно 1.
b
2
4
dx
3
x
2
4
lim x
a
2
a
3
4
dx lim 3 3 x 3 lim
a
a
a
3
4 3 a ,
интеграл расходится и значений не имеет.
3 cos xdx lim cos xdx lim sin x 0 lim sin b
0
b
b
0
b
b
b
здесь предел не существует, следовательно, интеграл расходится.
Тема 3. Дифференциальные уравнения
Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение вида
F(x,y,y,…,y(n))=0
(3.1)
Решением дифференциального уравнения называют любую функцию y = y(x), которая обращает
данное уравнение в тождество.
16
Функция y = y(x, c1, c2, …, cn) называется общим решением ДУ, если она обращает ДУ в тождество
при любых значениях постоянных с1,с2,…сn
Для начальных условий
y(x0) = y0, y(x0) = y0, …, y(n-1)(x0) = y0(n-1)
можно найти значение постоянных с10,с20,…,сn0, при которых функция y = y(x, c10, c20, …, cn0) будет удовлетворять этим начальным условиям.
Функцию y = y(x, c10, c20, …, cn0) называют частным решением ДУ.
Порядком ДУ называют наибольший порядок производной, входящий в это уравнение.
3.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
F(x, y, y) = 0.
Если это уравнение можно разрешить относительно y, то оно имеет вид
y = f(x, y).
(3.2)
Общим решением дифференциального уравнения I порядка называется функция
y = (x, c),
(3.3)
которая зависит от одного произвольного постоянного С и удовлетворяет условиям:
1. Она удовлетворяет ДУ при любом С
2. Каково бы ни было начальное условие y x x y 0 можно найти такое с = с0, что y = (x, c0)
0
удовлетворяет данному начальному условию
Частным решением уравнения (3.2) называется функция y = (x, c0), которая получается из общего
решения y = (x, c), при определенном значении с = с0.
Геометрически:
а) Общие решения ДУ - семейство кривых на координатной плоскости, зависящее от одной произвольной постоянной С (интегральные кривые).
б) частное решение – одна интегральная кривая семейства, проходящая через данную точку (х0, у0)
плоскости.
Решить (проинтегрировать) ДУ – значит:
1. Найти его общее решение
2. Найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию y x x y 0 .
0
3.1.1. Уравнение с разделяющими переменными
Уравнение вида M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 называется уравнением с разделяющими переменными,
если функции M(x, y), N(x, y) можно представить в виде произведения двух функций, каждая из
которых зависит только от одного переменного x или y.
Чтобы проинтегрировать уравнение, надо разделить переменные – это значит перед дифференциалом
dx оставить функцию, зависящую только от x, а перед дифференциалом dy, зависящую только от y.
Пример 3.1. Решить уравнение ( x y 2 x)dx ( y x 2 y)dy 0
Решение. x ( y 2 1)dx y (1 x 2 )dy 0. Разделив переменные, получим
или
ydy
xdx
2
1
1 x2
y
1
1
1
ln( 1 y 2 ) ln( 1 x 2 ) ln c, т.е. 1 y 2 c 1 x 2 – (общее решение в неявном виде).
2
2
2
Пример 3.2. Решить задачу Коши для уравнения ydx ctgxdy 0 ; y x 1 .
4
17
Решение. а) Разделяя переменные, получим
dy
dx
, тогда ln y ln cos x ln c или
y
ctgx
y c cos x – общее решение уравнения.
б) Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию: y х 1.
3
Подставляя начальное условие в общее решение, получим
1 c cos
3
,
c 2, y 2 cos x частное решение:
y 2 cos x
3.1.2. Однородные диф-
ференциальные уравнения
первого порядка.
Определение. Функция f(x,y) называется однородной измерения k относительно x и y,если она удовлетворяет при любом t равенству:
f(tx, ty) = tkf(x ,y)
Уравнение M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 называется однородным, если функции M(x, y), N(x, y) – однородные функции одного и того же измерения.
Замена y u x приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными относительно функции u(x).
Пример 3.3. Решить уравнение. (2 x y )dx ( x y )dy 0 - однородное дифференциальное уравнение (n=1).
(2 x u x)dx ( x u x)(udx xdu) 0
y u x, dy xdu udx ;
Решение.
или
x (1 u )du (2 u 2 )dx .
1 u
Разделяя переменные, интегрируя, получим.
dx 1
u
1
;
arctg
ln 2 u 2 ln x ln c ;
x
2
2 2
y
1
y
– общий интеграл.
u , ln c 2 x 2 y 2
arctg
x
2
2x
Замечание. Уравнение вида у=f(x,y) называется однородным, если f(x,y) – однородная функция ну-
2u
2
du
левого измерения.
3.1.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейным ДУ первого порядка называется уравнение вида y ' P ( x) y Q ( x) .
Решается с помощью подстановки y u v ,где u (x) и v (x ) – дифференцируемые функции, тогда
u ' v ' u P( x) u v Q( x)
u ' v u (v ' P( x) v) Q( x)
v' ( x) P( x) v 0
Функция v (x ) находится так, что v' P ( x)v 0, получаем систему
u 'v( x) Q( x)
Определив u (x) и v (x ) , получим общее решение линейного уравнения y u ( x c) v .
èëè
Пример 3.4. Решить уравнение y ' y tgx cos 2 x .
18
Решение. Данное уравнение – линейное относительно функции y (x) и y ' ( x) .
Замена y u ( x) v( x) приводит к системе двух уравнений с разделяющимися переменными:
v'v tgx 0
.
u'v v'u u v tgx cos 2 x, u'v u (v'v tgx) cos 2 x,
2
u 'v cos x
dv
dv
1)
v tgx, tgxdx, v cos x;
dx
v
2) u ' v cos 2 x,
y (sin x c) cos x – общее решение.
du cos xdx,
u sin x c.
3.1.4. Уравнение Бернулли
Уравнение вида y Px y Qx y n , n 0 , n 1 называется уравнением Бернулли. Заменой
yx uxvx оно сводится к линейному. На практике оно решается с помощью подстановки.
Пример 3.5. Решить уравнение Бернулли y 2 xy 2 x 3 y 3 DY (n 1) .
Решение. Применяем метод подстановки
y uv. y uv vu.
uv vu 2 xuv 2 x 3v 3u 3 ;
v 2 xv 0
;
u v uv 2 xu 2 x 3u 3 v 3 ,
3 3 3
u
v
2
x
u
v
dv
dv
2 xv ;
2 xdx ; ln xv x 2 ;
v 2xv 0 ;
dx
v
2
2
du
u 2 x 3u 3v 2 ,
2 x 3u 3e 2 x , v e x ;
dx
1)
2)
du
x
3
udv uv vdu
x 3e 2 x dx ;
2
1
u x2
2
2u
2
dv e 2 x xdx
du 2 xdx
;
2
1
v e 2 x
4
2
2
1
1
x 2 e 2 x e 2 x xdx ;
2
2
2u
2
2
1
1 1
1
1
1
2 x 2 e 2 x e 2 x c ; y uv ; 2 2 2 .
2
4
2u
y
x v
2
1 2 2 x 2 1 2 x2
1
2 1
x e
e
c e 2 x ; 2 x 2 ce 2 x – общий интеграл уравнения.
2
y
2
y
2
3.2. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка
Линейным дифференциальным уравнением высшего порядка называется уравнение вида:
y(n) + а1(x)y(n-1) + a2(x)y(n-2) + … + аn-1(x)y1 + an(x)y = f(x),
(3.4)
где a1(x), a2(x),…,an(x) и f(x) – заданные непрерывные функции на (a,b).
Уравнение (3.4) называется неоднородным, если f(x) 0, и однородным, f(x)=0.
Уравнение (3.4) при любых начальных условиях имеет единственное решение, удовлетворяющее
этим начальным условиям.
19
Линейные дифференциальные уравнения описывают реальные процессы или дают первое приближение к этим процессам, поэтому имеют широкое практическое применение.
Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет
вид:
y(n) + a1y(n-1) + a2y(n-2) +...+an-1y1 + any = 0,
(3.5)
где a i R, i=1 п .
Совокупность n определенных и линейно независимых решений уравнения (3.5) называется фундаментальной системой решений.
Основная теорема. Если y1, у2,…,уn – фундаментальная система решений уравнения (3.5), то их линейная комбинация
Y = с1у1 + с2у2 + … + сnуn,
(3.6)
где с1 ,с2,…, сn – произвольные постоянные числа, является общим решением уравнения (3.5).
Для нахождения общего решения уравнения (3.6) составляется характеристическое уравнение
кn + a1kn-1 + a2kn-2 + .. .+ an-1k + an = 0
(заменяя производную i-го порядка i-ой степенью k, i = 1, п ).
(3.7)
Возможны следующие случаи:
1) все корни k1,k2,…,kn характеристического уравнения (3.7) действительные и различные.
Общее решение уравнения (3.5) записывается в виде
у с1е к1х с2е к2 х ... сп е кп х .
(3.8)
2) корни характеристического уравнения действительные, но среди них есть кратные (k1 = k2 = ...
= kr), r – кратность корня к характеристического уравнения. Все остальные n – r корней различные.
Общее решение однородного уравнения принимает вид
у екх (с1 с2 х с3 х 2 ... сr х r 1 ) сr 1е
к r 1 х
... спе кп х .
(3.9)
3) среди корней характеристического уравнения есть однократные комплексно сопряженные,
например, к1,2 1 1i ; к3,4 2 2i . Остальные корни действительные и различные (если есть
кратные действительные корни, смотри случай 2).
ó å1 õ (ñ1 cos 1 x c2 sin 1 x) e 2 x (c3 cos 2 x c4 sin 2 x) c5e k5 x ... cn kn x
(3.10)
4) пара комплексно сопряженных корней k1,2 i уравнения (3.7) имеет кратность r. В этом
случае соответствующие r пар членов в формуле (3.7) заменяются слагаемыми.
e x (c1 c2 x ... cr x r 1 ) cos x (cr 1 cr 2 x ... c2 r x r 1 ) sin x
Пример 3.6. Найти общее решение уравнений:
1) у IV 2 y III y II 0 ;
2) у III y II y I y 0.
3) у III 4 у II 29 у I 0.
Решение. 1) Составляем характеристическое уравнение к 4 2к 3 к 2 0 . Найдем его корни
к 2 (к 2 2к 1) 0, к1,2 0, к3,4 1 , имеет вид у с1 с2 х е х (с3 с4 х).
2) Составляем характеристическое уравнение к 3 к 2 к 1 0 . Найдем его корни:
k 1 k 2 1 0 k1 1 k 2,3 i . Учитывая корни характеристического уравнения, общее ре-
шение запишется в виде у с1е х с2 cos x c3 sin x.
3) Составляем характеристическое уравнение к 3 4к 2 29к 0
к (к 2 4к 29) 0, к1 0 ;
к2,3 2 4 29 2 5i , общее решение имеет вид у с1 е 2 х (с2 cos 5 x c3 sin 5 x).
20
Пример 3.7. Для уравнения у II 4 y I 0 найти интегральную кривую, проходящую через точку
(0,0) и касающуюся в этой точке прямой у х.
Решение. а) Найдем общее решение данного уравнения: к 2 4к 0 к (к 4) 0,
к1 0, к2 4, общее решение данного уравнения имеет вид у с1 с2 е 4 х .
б) Чтобы найти соответствующую интегральную кривую, используем заданные начальные условия
у(0) 0, у1 (0) 1. у с1 с2е4 х у (0) с1 с2 у1 4с2 е4 х
с с 0
у1 (0) 4с2 , 1 2
4с2 1
Таким образом, искомая интегральная кривая имеет уравнение у
с2
с1
1
4
1
4
1
(1 е 4 х ).
4
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет
вид
у ( п ) а1 у ( п 1) ... ап 1 у1 ап у f ( x ),
(3.11)
где ai R, i 1, n, f ( x) – непрерывная функция.
Лагранж разработал общий метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений.
Метод применим, если известно общее решение однородного уравнения, соответствующего неоднородному уравнению (3.11). Этот метод называется методом вариации произвольных постоянных или методом Лагранжа.
Пусть у с1 у1 с2 у2 ... сп уп – общее решение однородного уравнения, соответствующего неоднородному уравнению(3.11):
у ( п ) а1 у ( п 1) ... ап 1 у1 ап у 0
(3.12)
Метод Лагранжа состоит в том, что общее решение уравнения (3.11) ищется в виде
у с1 ( х) у1 с2 ( х) у2 ... сп ( х) уп ,
где с1 ( х), с2 ( х),..., сп ( х) – неизвестные функции. Эти функции определяются из системы
ñ11 ( õ) ó1 ñ21 ( õ) ó2 ... ñï 1 ( õ) óï 0;
1
1
1
1
1
1
ñ1 ( õ) ó1 ñ2 ( õ) ó2 ... ñï ( õ) óï 0;
1
( ï 1)
ñ21 ( õ) ó2( ï 1) ... ñï 1 ( õ) óï ( ï 1) f ( x).
ñ1 ( õ) ó1
Для уравнения второго порядка у II p1 y I p2 y f ( x) данная система имеет вид
1
1
c1 ( x) y1 c2 ( x) y2 0
1
1
1
1
c1 ( x) y1 c2 ( x) y2 f ( x)
Суть метода Лагранжа для уравнения состоит в следующем: y II py I qy f ( x)
1) Находим общее решение соответствующего однородного уравнения y II py I qy 0 и записываем его в виде y c1 y1 c2 y2 , где с1 и с2 произвольные постоянные.
2) Для нахождения общего решения неоднородного уравнения y II py I qy f ( x) записываем его
в виде y c1 ( х) у1 с2 ( х) у2 , где с1(х) и с2(х) – неизвестные функции, они должны быть такими, чтобы
удовлетворялось неоднородное уравнение.
3) Находим выражения для производных функций с1(х) и с2(х).Для этого составляем систему уравнений:
ñ11 ( õ) ó1 ñ21 ( õ) ó2 0;
1
1
1
1
ñ1 ( õ) ó1 ñ2 ( õ) ó2 f ( õ).
21
4) Найденные из этой системы производные с11(х), с21(х) интегрируются и выражения с1(х) и с2(х)
подставляются в общее решение (3.12) со своими произвольными постоянными с1 и с2, полученными при
интегрировании.
Пример3.8. Найти общее решение уравнения у II y
2e x
.
e x 1.
Решение. 1) Находим общее решение соответствующего однородного уравнения к 2 1 0,
ê 1, y II y 0 ó ñ1åõ ñ2å õ , ó1 åõ , ó2 å õ ó11 åõ , ó21 å õ .
2) Записываем общее решение неоднородного уравнения: у с1 ( х)е х с2 ( х)е х .
3) Для нахождения производных функций с1(х) и с2(х) составляем систему
с11 ( х)е х с21 ( х)е х 0
1
х
1
х
1
2е х , с1 ( х)е с2 ( х)е , подставляя во второе уравнение системы, получим:
х
1
х
с1 ( х)е с2 ( х)е х
е 1
2е х
е2 х
1
.
с21 ( х)е х с21 ( х)е х х , с21 ( х) х , с11 ( х) х
е 1
е 1
е 1
4) Интегрируя найденные с11 ( х) и с21 ( х ) , получим:
dx
1 ex ex
(e x 1) e x
e x dx
dx
dx
dx
x ln(e x 1) c1.
x
x
x
x
e 1
e 1
e 1
e 1
x
e 1 t
e2 x dx
(t 1)
c2 ( x) x
e x dx dt
dt (t ln t ) (e x 1 ln e x 1) c2 (1 e x lï e x 1) ñ2.
e 1
t
ex t 1
ñ1 ( õ)
Общее решение данного уравнения имеет вид:
y e x (c1 x lп e x 1) e x (1 e x lп e x 1 c2 ).
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами и специальным видом правой части
Метод неопределенных коэффициентов
Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами
y ( n ) a1 y ( n 1) ... an y f ( x) ,
(3.13)
где ai R, i 1, n, f ( x) – непрерывная функция.
Соответствующее однородное уравнение:
y ( n ) a1 y ( n 1) ... an y 0.
Запишем характеристическое уравнение для уравнения (3.14):
к п а1к п 1 ... ап 0 .
Общее решение уравнения (3.13) имеет вид:
(3.14)
(3.15)
у у у ,
где у – общее решение уравнения (3.14), а у – частное решение уравнения (3.13).
Форма частного решения у уравнения (3.15) зависит от вида правой части f(х) и корней характеристического уравнения.
Пусть правая часть уравнения (3.13) имеет вид
f ( x) e x ( Pn ( x) cos x m ( x) sin x),
(3.16)
где Pn ( x) и m ( x) – многочлены, соответственно степени n и m.
Тогда
22
y x r e x (us ( x) cos x s ( x) sin x) ,
(3.17)
где us(x) и vs(x) – многочлены степени S c неопределенными коэффициентами, s max n, m , r –
кратность пар корней α ± βi характеристического уравнения.
Частный случай: Если β = 0, то f ( x) e x Pn ( x) и y записывается в виде:
y x r e x un(x),
(3.18)
где un(x) – многочлен степени п с неопределенными коэффициентами, r – кратность корня α характеристического уравнения.
Метод неопределенных коэффициентов состоит в следующем:
1) составляем y по формуле (3.17) или (3.18), где многочлены общего вида записаны с неопределенными коэффициентами;
2) находим производные ( y )( n ) нужного порядка и вместе с y подставляем в уравнение (3.13);
3) приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной х в левой и правой частях
уравнения. При наличии тригонометрических функций приравниваются коэффициенты в левой и правой
частях уравнения при произведениях одинаковых степеней х при
x n cos x и x n sin x, (n 0,1, 2,...) ;
4) находим числовые значения неизвестных коэффициентов и подставляем их в y .
Пример 3.9. Для каждого из заданных дифференциальных уравнений найти общее решение и частное решение в тех случаях, когда заданы начальные условия.
1. yV y III x 2 1 – ЛНДУ с постоянными коэффициентами. y y y .
1) y : уV у III 0, к5 к3 0, к 3 (к 2 1) 0, к1 к2 к3 0
к 2 1 0, к 2 1, к 2 1, к4,5 i;
y с1 с2 х с3 х2 с4 cos x c5 sin x.
2) y : f ( x) x 2 1, y x r e xun ( x), 0 , n 2, r 3, т.е.
0
ó õ3 ( Àõ2 Âõ ñ) Àõ5 Âõ4 Ñõ3 ;
0
ó 5 Àõ4 4 Âõ3 3Ñõ2 ;
0
óII 20 Àõ3 12 Âõ2 6Ñõ;
1
ó 60 Àõ2 24 Âõ 6ñ;
I
III
0 ó 120 Àõ 24 Â;
IV
1
ó 120 À;
V
Подставляя в данное уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и
справа, получим
120 А 60 Ах 2 24 Вх 6с х 2 1.
1
1
1
; В 0; С ; у х 3 ( х 2 1)
2
2
30
1
1
3) у у у . y c1 c2 x c3 x 2 c4 cos x c5 sin x x 3 ( x 2 1) ;
2
30
IV
II
2. y 5 y 4 y 3sin x. ЛНДУ с постоянными коэффициентами, следовательно, ó ó ó ;
õ2 60 À 1;
õ 24 Â 0;
õ0 120 À 6Ñ 1 А
1
60
1) ó : óIV 5 óII 4 ó 0; ê 4 5ê 2 4 0. ê 2 t; t 2 5t 4 0, t1 4;
t2 1;
k 2 4,
k1,2 2i, k 2 1,
k3,4 i,
ó c1 cos 2 x c2 sin 2 x c3 cos x c4 sin x.
2) y : f ( x) 3sin x.
y x r e x (Us ( x) cos x Vs ( x sin x) ; 0, 1; i i; n m 0 s 0, r 1, тогда
23
4 y x( A sin x B cos x).
Находим А и В: 0
y A sin x B cos x x( A cos x B sin x) ;
I
5 y A cos x B sin x A cos x Bsix x ( A sin x B cos x
II
2 A cos x 2 B sin x x( A sin x B cos x).
0 y III 2sin x 2 B cos x A sin x B cos x( A cos x B sin x)
3 A sin x 3B cos x x( B sin x A cos x).
1 y 3 A cos x 3B sin x B sin x A cos x x ( B cos A sin x )
IV
4 A cos x 4 B sin x ( B cos x A sin x).
Подставляя в данное уравнение, получим
6 A 0;
1
1
6 A cos 6 B sin x 3sin x;
A 0, B y x cos x .
2,
2
6 B 3;
3. y II 3 y I xe x , у(0) 1, у I (0) – ЛНДУ (n=2) с постоянными коэффициентами у у у .
1) ó : óII 2 óI 0, ê 2 2ê 0, ê (ê 2) 0, ê1 0, ê2 2 ó ñ1 ñ2å2 õ ;
2) у : f ( x) xe x , y x r e xU n ( x), 1, n 1, r 0. у ( Ах В)е х , подставляя в данное уравнение, получим:
0 ó ( Àõ Â)å õ ;
2 ó Àå õ ( Àõ Â)å õ ;
I
(2 À Àõ Â 2 À 2 Àõ 2 Â) õ;
1 ó Àå õ Àå õ ( Àõ Â)å õ ;
II
х А 2А 1
1
2
1
А , В . у ( х 2)е х .
3
3
3
1
3) у у у , у с1 с2 е 2 х ( х 2)е х .
3
х0 4 A 2B 0
4) Найдем частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям у(0)=1,
у1(0)=0.
1
у с1 с2 е 2 х ( х 2)е х ,
3
1
1
у1 2с2 е 2 х е х ( х 2)е х .
3
3
2
1 с1 с2 3
Подставляя начальные условия у(0) = 1, у1(0) = 0, будем иметь
0 2с 1 2
2
3 3
5 1
1
частное решение запишется у е 2 х ( х 2)е х .
6 2
3
24
c1 5 ,
6
1
c2 ,
2
Тема 4. Ряды
4.1. Числовые ряды. Основные определения. Сходимость ряда. Признаки сходимости числовых
рядов
Выражение вида
U1 U 2 U n
U
n 1
n
,
(4.1)
где Un R, называется числовым рядом. Числа U1, U2, …, Un … называются членами ряда, а Un – общий
член ряда.
Ряд считается заданным, если известен его общий член: Un=f(n), n N, т.е. задана функция натурального аргумента.
Суммы
n
S1 = U1; S2 = U1 + U2, …; Sn =
U
i 1
(4.2)
i
называются частичными суммами ряда (4.1).
Если существует конечный предел lim Sn = S, то ряд (4.1) называется сходящимся, а число S – его
n
суммой. Если же lim Sn не существует или lim Sn = ∞, то ряд (4.1) называется расходящимся.
n
n
Необходимый признак сходимости ряда: Если ряд (4.1) сходится, то lim Un = 0.
n
Следствие. Если lim Un ≠ 0, то ряд (4.1) расходится.
n
Ряд
1
n
называется гармоническим рядом. Для него lim Un = 0, но ряд расходится.
n
n 1
4.2. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
1. Признак сравнения: Пусть даны два ряда с положительными членами:
U
n 1
(4.3)
n
и
V
n 1
n
,
(4.4)
причем члены ряда (4.3) не превосходят соответствующих членов ряда (4.4), т.е. при любом n U n Vn .
Тогда: а) если сходится ряд (4.4), то сходится и ряд (4.3); б) если расходится ряд (4.3), то расходуется
и ряд (4.4).
2. Предельный признак сравнения: Если существует конечный предел
lim
n
Un
k 0,
Vn
то ряды (4.3) и (4.4) одновременно сходятся, либо расходятся.
3. Признак Даламбера: Если для ряда (4.3) существует lim
n
U n 1
k l , то если l < 1 – ряд (4.3)
Vn
сходится; l > 1 – ряд (4.3) расходится; l = 1, ответа не дает.
4. Радикальный признак Коши: Если для ряда (4.3) существует предел lim n U n q, то, если
n
q < 1 – ряд (4.3) сходится; q > 1 – ряд (4.3) расходится; q = 1 ответа не дает.
5. Интегральный признак Коши: Пусть члены ряда (4.3) положительны и не возрастают при n →
∞, т.е.
25
U1 U 2 U3 ... U n ...,
и пусть f(x) – положительная, непрерывная, невозрастающая функция на [1, ∞] такая, что
f(1) = U1, f(2) = U2, …, f(n) = Un.
Тогда ряд (4.3) сходится, если сходится несобственный интеграл
1
f ( x)dx, и расходится, если этот
интеграл расходится.
Пример 4.1. Установить, сходится ли ряд исходя из определения его суммы:
3n 2n
;
6n
n 1
а)
б) 2 + 5 + 8 +11 + …
Решение.
2n 3n 1 1
;
а) U n
6n
2 3
1 1 1
1
1 1 1 1
1 1 1 1
Sn 2 2 ... n n 2 ... n 2 ... n
2 3 3
3
2 3 2 3
2 3 2 2
1
1 1
1
b1 1 q n 2 1 2n 3 1 3n
1 1
1 3 1 1 1
Sn
1 n 1 n n . n .
1
1
1 q
2 2 3 2 2 2 3
1
1
2
3
1 3
3 1
S = lim S n lim n
, следовательно, по определению ряд сходится.
n
n 2
2 2.3n 2
n
n
б) 2 + 5 + 8 + 11 + …
an = a1 + d (n - 1), a1 = 2, d = 3, => an = 2 + 3 (n – 1).
2 2 3 n 1
4 3 n 1
a1 an
n
n
n.
2
2
2
1
S = lim S n lim 4 3 n 1 n , следовательно, ряд по определению расходится.
n
2 n
Sn
Пример 4.2. Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости ряда:
n 1
;
n
n 1
1 1
.
n
n 1
n 1
1 0, следовательно, ряд расходится.
Решение. а) lim U n lim
n
n n
1
б) lim U n lim n 0, следовательно, необходимый признак сходимости ряда выполняется.
n
n n3
а)
б)
n 3
Пример 4.3. Исследовать сходимость рядов
n
9 6
3n 1 2
г)
д)
n;
;
n 1 10
n 1 4n 1
1
Решение. а). Сравним данный ряд с рядом
расходящимся.
n 1 n 1
1
1
Так как
>
(ln n < n), то по признаку сравнения данный ряд расходится.
ln n 1 n 1
1
;
а)
n 1 ln n 1
n
; в)
б) 4
n 1 n 1
б). Сравним с рядом
1
n
n 1
3
n
n 1
, p = 3 > 1, ряд сходится. По предельному признаку сравнения
Un
1
n4
n
lim
lim 4
: lim 4
1 0, следовательно, данный ряд сходится.
n V
n n 1 n3
n n 1
n
26
n
1 n
2
.
Для сравнения часто используются ряды:
1)
aq
n 1
– геометрическая прогрессия, при q < 1 – ряд сходится, при q 1 – расходится.
n 1
2)
1
n
n 1
p
– обобщенный гармонический ряд, при p > 1 сходится; при p 1 – расходится.
в). По признаку Даламбера
n 1
n
U n 1
n U
n
lim
9
U n n6
10
9
U n 1
10
n 1
n 1
6
6
9
6
n 1
9
9
10
n 1
lim
lim
< 1,
n
n
10 n n 10
9 6
n
10
следовательно, данный ряд расходится.
г). По радикальному признаку Коши:
lim n U n lim
n
n
3n 1
3n 1
3
< 1, следовательно, ряд сходится.
lim
n
4n 1
4n 1 2
д). По интегральному признаку Коши:
n
x
, f x
– невозрастающая функция, так как ее производная
2
1 n
1 x2
1 x2
< 0 при x > 1.
f / x
2
1 x2
Un
Имеем
1
b xdx
xdx
1
1
2
lim
lim ln 1 x 2 |b1 lim ln 1 b ln 2 , следовательно, не2
2
l
b
1 x
1 x
2 b
2 b
собственный интеграл расходится, значит, и ряд расходится.
4.3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды.
Теорема Лейбница
Ряд
U
n 1
(4.5)
n
называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные
числа.
Если ряд
U
n 1
n
,
(4.6)
составленный из модулей членов ряда (4.5), сходится, то ряд (4.5) также сходится.
Ряд (4.5) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (4.6).
Сходящийся знакопеременный ряд (4.5) называется условно сходящимся, если ряд (4.6) расходится.
Ряд вида
1
n 1
n 1
U n U1 U 2 U 3 U 4 ... 1 U n ...,
n
(4.7)
где Un > 0, n = 1, 2, …, называется знакочередующимся.
Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда (4.7) удовлетворяют условиям:
1) U1 > U2 > U3 > … > Un > …; 2) lim U n 0 , то ряд (4.7) сходится.
n
Остаток ряда rn
rn = (-1)nUn+1 + (-1)n+1Un+1 + …
имеет знак своего первого члена и меньше его по модулю, т.е. |rn| < Un+1.
27
cos n
.
2
n 1 n
Пример 4.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
Решение. Ряд из модулей его членов
n 1
cos n
n
2
1
, а ряд
n2
1
n
n 1
2
cos n
n2
сходится по признаку сравнения, так как
сходится, следовательно, данный ряд сходится абсолютно.
1
Пример 4.5. Исследовать сходимость ряда
.
n 1 n 1 ln n 1
n 1
1
Решение. а)
– знакочередующийся ряд.
n 1 n 1 ln n 1
n 1
Ряд из модулей его членов
1
n 1 ln n 1 расходится (по интегральному признаку сходимости).
n 1
б). Проверим условную сходимость по признаку Лейбница:
1)
1
1
1
1
>
>
> …; 2) lim U n lim
0, следовательно, данный ряд
n
n n 1 ln n 1
2 ln 2
3ln 3
4 ln 4
сходится условно.
4.4. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
C x a
n 0
n
n
,
(4.8)
где Cn – коэффициенты степенного ряда, Cn, a R.
Если а = 0, то ряд (4.8) принимает вид
C x .
n
n 0
(4.9)
n
Совокупность тех значений х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.
Теорема Абеля. 1). Если степенной ряд (4.9) сходится при значении
x = x0 ≠ 0, то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях х таких, что |x| < |x0|;
2). Если степенной ряд (4.9) расходится при х = х1, то он расходится при всех значениях х таких, что
|x| > |x1|.
Областью сходимости степенного ряда (4.9) является некоторый интервал с центром в точке х = 0.
Радиусом сходимости ряда (4.9) называется такое число R, что во всех точках х, для которых
|x| < R, ряд сходится, а во всех точках |x| > R ряд расходится.
Радиус сходимости степенного ряда находится по формулам R lim
n
Cn
1
,
; R lim
n n
Cn 1
Cn
если эти пределы существуют.
xn
. 2).
Пример 4.6. Определить область сходимости рядов: 1). n
n 0 3 n 1
28
n x 1
.
n 1 n 1 2
n
Решение. 1) R lim
n
Cn
Cn 1
Cn
1
3 n 1
n
Cn 1
n 1
3
1
n 2
3n 1 n 2
3, следовательно, интервал схоn 3n n 1
lim
димости (-3, 3).
Исследуем сходимость ряда в граничных точках:
1
n 1 – расходится (гармонический ряд);
а) х = 3, получаем ряд
n0
б) х = -3, получим ряд
n 0
1) 1 >
1 1
> >… ;
2 3
1
n 1
n 1
– сходится по признаку Лейбница:
1
0 . Область сходимости – [-3; 3).
n n 1
2) lim
n x 1
2).
. Определим радиус сходимости ряда:
n 1 n 1 2
n
Cn
;
n 1 2n
n n 2 2n1
n n 2
Cn
R lim
lim
2 lim
2,
2
n
n C
n n 1 n 1 2
n
n 1
n
1
n 1
Cn 1
n 2 2n1
n
следовательно, R = 2; |x – 1| < 2; -2 < x – 1 < 2; -1 < x < 3.
Интервал сходимости – (-1, 3). Исследуем сходимость ряда в граничных точках:
1) х = 3, получаем
n
n 1
n 1
n
1 0, следовательно, ряд расn n 1
– знакоположительный, lim U n lim
n
ходится.
2) х = -1, получаем ряд
n 1
1
m
n 1
n
– знакочередующийся, расходится по признаку Лейбница, так как
lim U n 0 . Область сходимости – (-1, 3).
n
4.5. Свойства степенных рядов
C x . Доказано, что на любом отрезке
n
Пусть функция S(x) является суммой степенного ряда
n 0
n
[a, b], целиком принадлежащем интервалу сходимости (-R, R), функция S(x) – непрерывна, а следовательно, степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке:
S x dx C
b
b
a
0 a
b
b
a
a
dx C1 xdx ... Cn x n dx ...
Кроме того, в интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать:
S / (x) = C1 + 2C2x + 2C3x2 + … + nCnxn-1 + …
При этом после интегрирования или дифференцирования полученные ряды имеют тот же радиус
сходимости R.
Пример 4.7. Определить интервал сходимости и найти сумму ряда
1
n 1
n 1
x 2 n 1
.
2n 1
29
Решение. R lim
n
Cn
Cn 1
1
2n 1
2n 1
lim
1.
n 2n 1
1
Cn 1
2n 1
Cn
|x2| < 1, |x| < 1, -1 x 1 в граничных точках сходится по признаку Лейбница.
Тогда S/(x) = 1 – х2 + х4 – х6 + …, S/(x) =
1
, а S(x) =
1 х2
dx
S x dx 1 x
2
arctgx C.
S(0) = 0, следовательно, C = 0.
Так как S(x) = arctg x определена при х = 1 и непрерывна на [-1, 1], то она равна сумме ряда и в
точках х = 1.
Тема 5. Теория вероятностей и математическая статистика
5.1. Пространство элементарных событий. Определение вероятности. Элементы комбинаторики
Элементарными событиями (элементарными исходами) называются взаимоисключающие исходы
опыта. Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий данного опыта. Любое подмножество А множества называется событием.
Вероятность события характеризует степень объективной возможности наступления этого события.
Классическое определение вероятности. Пусть множество состоит из конечного числа n равновозможных элементарных событий. Вероятность Р(A) события A равна числу m элементарных событий,
входящих в A (числу всех благоприятствующих событию A элементарных исходов), деленному на число
всех элементарных событий (число всевозможных, равновозможных и единственно возможных исходов),
т.е. ò ( À)
m
.
n
Геометрическая вероятность. Пусть G – некоторая область и вероятность попадания в какуюнибудь часть g области G – пропорциональна мере этой части (длине, площади, объему – в зависимости
от размерности пространства, в котором рассматриваются области) и не зависит от ее расположения. Тоì åðà g
гда вероятность попадания в область g равна P( g )
. Понятие геометрической вероятности
ì åðà G
обобщает понятие классической вероятности на случай опытов с бесконечным числом элементарных исходов.
Элементы комбинаторики. В теории вероятностей часто используют размещения, перестановки и
сочетания.
Пусть дано множество À 1 , 2 ,..., n . Размещением из n элементов по k называется любое
упорядоченное подмножество k элементов множества А. Таким образом, размещения отличаются либо
самими элементами, либо их порядком.
Размещения из n элементов по n элементов (т.е. при k = n ) называются перестановками.
Сочетанием из n элементов по k называется любое подмножество k элементов множества А. Различные сочетания отличаются хотя бы одним элементом.
Пусть, например, дано множество À 1 , 2 , 3 . Размещениями из 3 элементов этого множества
по 2 будут (1 , 2 ), (1 , 3 ), (2 , 1 ), (2 , 3 ), (3 , 1 ), (3 , 2 ) .
Сочетаниями из 3 элементов по 2 являются: (1 , 2 ), (1 , 3 ), (2 , 3 ) .
Перестановки из 3 элементов: (1 , 2 , 3 ), (1 , 3 , 2 ),
(3 , 2 , 1 ) .
30
(2 , 1 , 3 ), (2 , 3 , 1 ), (3 , 1 , 2 ),
Число перестановок из n элементов вычисляется по формуле Pn n ! 1 2 3....n ; число размещений
из n элементов по k - по формуле Ank
k - по формуле Cnk
n!
n(n 1)...(n k 1) ; число сочетаний из n элементов по
(n k )!
Ank
n!
n(n 1)...(n k 1)
. Отметим, что Cnk Cnn k .
Pk k !(n k )!
1 2 ... k
Приведем несколько примеров простейших комбинаторных задач.
1. Число способов, которыми можно рассадить за столы по 2 студента группу в 20 человек, равно
2
A20
20 19 380 .
2. Число способов распределения 5 должностей между 5 лицами равно
P5 5! 1 2 3 4 5 120 .
3. Число партий шахматной игры среди 12 участников чемпионата (если каждый участник играет
только одну партию друг с другом) равно C122
12! 12 11
66 .
2!10! 1 2
4. Число способов, которыми можно выбрать делегацию в состав 15 человек из группы в 20 человек,
15
5
C20
равно C20
20 19 18 17 16
15504 .
1 2 3 4 5
Пример 5.1. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наугад отобраны 7
человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.
Решение. Требуется найти вероятность события A = {среди отобранных лиц – 3 женщины}. В данной задаче элементарное событие – набор из 7 человек. Так как последовательность, в которой они отбираются, несущественна, число всех таких наборов есть число сочетаний из 10 элементов по 7:
n C107 C103
10 9 8
120 . По условию все элементарные события равновозможны. Поэтому можно
1 2 3
использовать классический способ вычисления вероятности. Найдем число элементарных исходов, благоприятствующих событию A. Это будет число наборов, в которых 3 человека выбраны из 4 женщин, а 4
человека – из 6 мужчин. Из 4 женщин троих можно выбрать m1 C43 4 способами, а из 6 мужчин четверых – m2 C62 15 способами. Благоприятствующие событию A исходы получаются, когда набор из 3
женщин дополняется 4 мужчинами. Число таких способов будет равно
классическому определению вероятности получим P ( A)
m m1 m2 4 15 60 . По
m 60 1
.
n 120 2
5.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Теорема сложения. Вероятность суммы двух событий A и B равна сумме вероятностей этих событий
без вероятности их совместного наступления
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).
(5.1)
Если события A и B несовместны (т.е. в результате опыта они не могут появиться вместе), то
P(A + B) = P(A) + P(B).
Следствие. Вероятность события , противоположного данному событию A, равна
P( A) 1 P( A) .
(5.2)
(5.3)
Для вероятности суммы 3 событий формула (5.1) обобщается так:
P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC).
Если события A, B, C попарно несовместны, то
P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C).
31
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий A и B равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого события, при условии, что первое
произошло, т.е.
P(AB) = P(A) P(B/A)=P(B) P(A/B).
(5.4)
Если события A и B независимы (т.е. появление одного из них не меняет вероятности появления другого), то
P(AB) = P(A)P(B).
(5.5)
Формула (6.4) верна и для любого конечного числа событий A1 , A2 ,..., A n :
P( A1 A2 ... An ) P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 ) ... P( An / A1 A2 ... An1 ).
(5.6)
Если события A1 , A2 ,..., A n взаимно независимы (в совокупности), то
P( A1 A2 ... An ) P( A1 ) P( A2 )... P( An ) .
(5.7)
Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий A1 , A2 ,..., A n равна
P( A1 A2 ... An ) 1 P( A1 ) P( A2 )...P( An ) .
(5.8)
Пример 5.2. Для производственной практики на 30 студентов представлено 15 мест в Минске, 8 – в
Гомеле и 7 – в Витебске. Какова вероятность того, что 2 определенных студента попадут на практику в
один город?
Решение. Рассмотрим события: A = {2 определенных студента попадут на практику в Минск}, B =
{2 определенных студента попадут на практику в Гомель}, C = {2 определенных студента попадут на
практику в Витебск}. Эти события попарно несовместны. Событие D = {2 определенных студента попадут в один город} есть сумма указанных событий. По формуле (5.2) имеем P(D) = P(A) + P(B) + P(C).
По классическому определению вероятностей
P( A)
C152
C82
C72
;
P
(
B
)
;
P
(
C
)
.
C302
C302
C302
Тогда
P( D)
C152 C82 C72 154
.
C302
435
Пример 5.3. Имеется блок, входящий в систему. Вероятность безотказной работы его в течение заданного времени T равна 0,85. Для повышения надежности устанавливают такой же резервный блок.
Определить вероятность безотказной работы за время Т с учетом резервного времени.
Решение. Введем события: А ={безотказная работа данного блока за время Т}, B = {безотказная работа резервного блока за время Т}. По условию P(A) = P(B) = =0,85. Пусть событие С = {безотказная
работа данного блока с учетом резервного за время Т}. Так как события А и В – совместны, но независимы, то по формулам (5.1), (5.5) получим
P(C) = P(A) + P(B) – P(A) P(B) = 0,85 + 0,85 – 0,85 0,85 = 0,9775.
Пример 5.4. Рабочий, обслуживающий 2 станка, вынужден был отлучиться на некоторое время. Вероятность того, что в течение этого времени станки не потребуют внимания рабочего, равны P1 0,7 и
P2 0,8 . Найти вероятность того, что за время отсутствия рабочего ни один станок не потребует его
внимания.
Решение. Пусть событие А ={первый станок не потребует внимания рабочего за время его отсутствия}, B ={второй станок не потребует внимания рабочего за время его отсутствия}. Эти события независимы, поэтому по формуле (5) получим: P(AB) = P(A) P(B) = 0,7 0,8 = 0,56.
Пример 5.5. У сборщика имеется 6 деталей без дефекта и 2 детали с дефектом. Сборщик берет подряд 2 детали. Найти вероятность того, что обе детали – без дефекта.
32
Решение. Пусть событие А = {первая деталь – без дефекта}, B = {вторая деталь – без дефекта}. Нас
интересует событие АВ. По теореме умножения вероятностей (5.4) имеем
6 6 1 3 5 15
P( A B) P( A) P( B / A)
.
8 8 1 4 7 28
Пример 5.6. 3 стрелка производят по одному выстрелу по цели, вероятности попадания в которую
равны: для первого стрелка – 0,6, для второго – 0,7, для третьего – 0,8. Найти вероятность одного попадания в цель.
Решение. Пусть Ai = {попадание i-го стрелка в цель), противоположные события Ai = {промах i-го
стрелка}, i = 1,2,3. Рассмотрим событие А = {одно попадание в цель при стрельбе 3 стрелков}. Это событие может наступить при наступлении одного из следующих несовместных событий:
A1 A2 A3 , A1 A2 A3 , A1 A2 A3 .
Тогда A A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 , а его вероятность
P( A) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 )
P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
0, 6 0,3 0, 2 0, 4 0, 7 0, 2 0, 4 0,3 0,8 0, 036 0, 056 0, 096 0,188.
Пример 5.7. Техническое устройство, состоящее из 3 узлов, работало в течение некоторого времени
Т. За это время первый узел оказывается неисправным с вероятностью 0,1, второй - с вероятностью 0,15,
третий – с вероятностью 0,12. Найти вероятность того, что за время работы хотя бы 1 узел технического
устройства выйдет из строя.
Решение. Пусть событие Ai = {выход из строя i-го узла технического устройства} (i 1,3) . Тогда
событие A A1 A2 A3 – выход из строя хотя бы одного из 5 узлов. События Ai (i 1,3) совместны и
независимы. Поэтому вероятность события А определяется по (7.8):
P( A) P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ).
Следовательно, P(A) = 1 - 0,9 0,85 0,88 = 1 - 0,6732 = 0,3268.
5.3. Формула полной вероятности и формула Байеса
Если событие А может произойти только совместно с одним из событий H1 , H 2 ,...H n , образующих
полную группу событий (гипотез), то вероятность события А определяется по формуле полной вероятности
n
P ( A) P ( H k ) P ( A / H k ) ,
(5.9)
k 1
где P( H k ) – вероятность гипотезы H k ; P( A / H k ) – условная вероятность события А при этой гипотезе,
n
P( H
k 1
k
) 1 . Вероятность P( H k / A) гипотезы H k после того, как появилось событие А, определяется
по формуле Байеса
P( H k / A)
P( H k ) P( A / H k )
n
P( H ) P( A / H )
i 1
i
, ( k 1, 2,..., n) .
(5.10)
i
Пример 5.8. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных заводом № 1, 20 деталей – заводом № 2
и 18 деталей – заводом № 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная заводом № 1, – отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах № 2 и № 3, эти вероятности соответственно равны
0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наугад деталь окажется отличного качества.
Решение. Пусть событие А – деталь отличного качества. Рассмотрим гипотезы: H1 – деталь изготовлена заводом № 1; H 2 – деталь изготовлена заводом №2; H 3 – деталь изготовлена заводом № 3. Ве-
33
12 6
20 2
18 9
; P( H 2 )
; P( H 3 )
. Условные вероятности:
50 25
50 5
50 25
P( A / H1 ) 0,9; P( A / H 2 ) 0,6; P( A / H 3 ) 0,9 . По формуле полной вероятности (9) при n = 3 нахо-
роятности этих гипотез: P( H1 )
3
6
2
9
0,9 0, 6 0,9 0, 78 .
25
5
25
k 1
Пример 5.9. Счетчик регистрирует частицы 3 типов: А, В и С. Вероятности появления этих частиц:
P(A) = 0,2; P(B) = 0,5; P(C) = 0,3. Частицы каждого из этих типов счетчик улавливает с вероятностями
P1 0,8; P2 0, 2; P3 0, 4 . Счетчик отметил частицу. Определить вероятность того, что это была чадим искомую вероятность P ( A) P ( H k ) P ( A / H k )
стица типа В.
Решение. Обозначим событие D – счетчик уловил частицу; гипотезы: H1 – появление частицы типа
А; H 2 – появление частицы типа В; H 3 – появление частицы типа С. Вероятности гипотез:
P( H1 ) 0, 2; P( H 2 ) 0,5;
P( H 3 ) 0,3 .
Условные
вероятности:
P( D / H1 ) 0,8;
P( D / H 2 ) 0, 2; P( D / H 3 ) 0, 4 . Искомую вероятность P (H 2 / D) определим по формуле Байеса (7.10)
P (H 2 )P (D / H 2 )
P (H 2 / D ) 3
P (H k )P (D / H k )
0,5 0, 2
0,1
5
.
0, 2 0,8 0,5 0, 2 0,3 0, 4 0,16 0,1 0,12 19
k 1
5.4. Повторение испытаний
Формула Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний вероятность появления события А
постоянна и равна p, то вероятность того, что в n испытаниях событие А произойдет ровно m раз, определяется по формуле Бернулли
Pn (m) Cnm p m q n m
n!
p m q n m , q 1 p .
m !(n m)!
(5.11)
Формула Пуассона. Если n велико, а p мало ( обычно p < 0,1; npq 9 ), то вместо формулы Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона
Pn (m)
m
m!
e ,
(5.12)
где = np.
Локальная теорема Лапласа. Если n велико, вероятность Pn ( m) может быть вычислена по приближенной формуле
Pn (m)
1
( x) ,
npq
(5.13)
2
m np
1 x2
, ( x)
e , ( p 0, p 1) .
где x
npq
2
Значения функции (x) определяются из таблицы ( ( x) ( x)) .
Вероятность Pn (m1 , m2 ) того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность
появления события А равна p(0 < p < 1), событие А наступит не менее m1 раз и не более m 2 раз, приближенно равна
Pn (m1 , m2 ) ( x2 ) ( x1 ) ,
2
(5.14)
t
1
m np
m np
2
e
dt - функция Лапласа; x1 1
, x2 2
. Значения ( x) определяются
2 0
npq
npq
из таблицы; ( x) =1/2 при x > 5, ( x ) = – ( x) .
x
где ( x)
34
Пример 5.10. В мастерской имеется 10 моторов. При существующем режиме работы вероятность
того, что в данный момент не менее 8 моторов работают с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент не менее 8 моторов работают с полной нагрузкой.
Решение. Рассмотрим события: А – не менее 8 моторов из 10 в данный момент работают с полной
нагрузкой; B, C, D – события, состоящие в том, что работают соответственно 8, 9 и 10 моторов. Тогда
A = B + C + D. Так как события B, C и D несовместны, P(A) = P(B) + P(C) + P(D). Найдем вероятности
событий B, C и D по формуле Бернулли (5.11):
P( B) P10 (8) C108 p8 q 2 C102 0,88 0, 22 45 0,88 0, 22 ;
P(C ) P10 (9) C109 p9 q C109 0,89 0, 2 10 0,89 0, 2;
P( D) P10 (10) C1010 p10 q 0 p10 0,810.
Тогда P( A) 45 0,83 0, 22 10 0,89 0, 2 0,810 0,88 4,04 0,678 .
Пример 5.11. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность
того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.
Решение. По условию n = 100, m = 75, p = 0,8, q = 0,2. Так как n = 100 велико, воспользуемся
формулой (7.13) локальной теоремы Лапласа. Для этого найдем x
найдем (–1,25)=0,1826. Искомая вероятность P100 (75)
75 100 0,8
1, 25 . По таблице
100 0,8 0, 2
0,1826
0, 04565 .
4
Пример 5.12. Предприятие отправило на базу 5000 изделий. Вероятность того, что в пути изделие
повредится, равна 0,0002.Найти вероятность того, что на базу прибудет ровно 3; не более 3 негодных изделий.
Решение. Воспользуемся формулой Пуассона (5.12). В данном случае m = 3, p = 0,0002, n = 5000,
= np = 1; P5000 (3)
1 1
e 0, 0613 . Вероятность того, что на базу прибудет не более 3 негодных изде3!
лий, равна
P5000 (0 m 3) P5000 (0) P5000 (1) P5000 (2) P5000 (3)
1 1 1 1 1 1 1 1
e e e e
0!
1!
2!
3!
1 1
8
1 1 e1 e1 0,9180 .
2 6
3
Пример 5.13. Имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга, в
одинаковом режиме, при включенном приводе, в течение 0,8 всего рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными от 70 до 86 станков?
Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа (формула (5.14))
Pn (m1 , m2 ) ( x2 ) ( x1 ) ,
где ( x) – функция Лапласа;
m1 np
m np 86 100 0,8 6
70 100 0,8
10
2,5 ;
x2 2
1,5 .
4
npq
100 0,8 0, 2
npq
100 0,8 0, 2 4
Искомая вероятность P100 (70;86) (1,5) (2,5) (1,5) (2,5) 0, 4332 0, 4938 0,927 .
x1
5.5. Наивероятнейшее число появлений события
Наивероятнейшее число m0 появления события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может появиться с вероятностью p ( и не появиться с вероятностью q = 1 – p ), определяется из
двойного неравенства
np – q m 0 np + p,
(5.15)
а вероятность появления события А хотя бы один раз вычисляется по формуле
P = 1 – qn.
(5.16)
35
Пример 5.14. Оптовая база снабжает 10 магазинов, от каждого из которых может поступить заявка
на очередной день с вероятностью 0,4, независимо от заявок других магазинов. Найти наивероятнейшее
число заявок в день и вероятность получения этого числа заявок.
Решение. Запишем двойное неравенство (5.15) при n = 10, p = 0,4, q = 0,6 для этого случая: 10
0,4-0,6 m 0 10 0,4 + 0,4 или 3,4 m0 4,4.
Так как число m 0 должно быть целым, положительным, то m 0 = 4. Найдем вероятность получения
этого числа по формуле Бернулли (5.11) P10 (4) C104 (0, 4) 4 (0, 6) 6 210 (0, 4) 4 (0, 6) 6 0, 2508 .
5.5. Случайные величины
Случайной величиной (СВ) называется числовая функция = (), заданная на пространстве
элементарных событий и такая, что для любого числа x определена вероятность
P( < x) = P{: () < x}.
Другими словами, случайная величина – это величина, которая в результате опыта может принять
то или иное значение, причем неизвестно, какое именно.
Обычно рассматриваются два типа СВ: дискретные и непрерывные. Дискретной называется такая СВ, которая принимает конечное или счетное множество значений. Возможные значения непрерывной СВ заполняют некоторый интервал (конечный или бесконечный).
Случайная величина считается заданной, если задан закон ее распределения.
Законом распределения дискретной СВ называется соотношение, устанавливающее связь между
ее возможными значениями и соответствующими им вероятностями.
Пусть дискретная СВ может принимать значения x1 , x2 ,..., xn . Обозначим pi P( xi ) – вероятность того, что СВ принимает значение xi .
Таблица
x
... x n
x1
x2
P p1
...
p2
pn
называется рядом распределения вероятностей дискретной СВ или законом распределения дискретной СВ .
Поскольку дискретная СВ обязательно принимает одно из значений x i , события {= x i } образуют
n
полную группу событий, поэтому
p
i 1
i
1 . Графическое изображение ряда распределения называется
многоугольником распределения.
Функцией распределения СВ (интегральной функцией СВ ) называется функция F(x), равная
вероятности P( < x) того, что СВ примет значение, меньшее, чем x, т.е. F(x) = P( < x).
Свойства функции распределения:
1. 0 F(x) 1.
2. F(x) – неубывающая функция, т.е. x 1 < x2 F( x1 ) F( x2 ).
3. Если СВ принимает возможное значение x i с вероятностью pi , то F( xi +0) – F( xi – 0)= pi .
Функция распределения F(x) в точке xi непрерывна слева.
4. lim F ( x) 0, lim F ( x) 1 .
x
x
5. P(a < b) = F(b) – F(a).
Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна.
6. Если – непрерывная СВ, то P( = x) = 0.
Плотностью распределения СВ ( дифференциальной функцией распределения СВ ) называется функция p(x), такая, что функция распределения F(x) выражается формулой
x
F ( x)
p(t )dt .
36
Свойства плотности вероятности:
1. p(x ) 0.
2. P(a b)
b
p(t )dt .
3.
p(t )dt 1 .
4. p(x)= F ( x ) .
a
Пример 5.15. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить
закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных, построить функцию распределения.
Решение. СВ – число стандартных деталей из 3 отобранных – может принимать следующие значения: x1 =1, x2 =2, x3 =3. Вероятности
возможных значений определим по формуле
P( k )
C4k C23k
C41C22 1
C42C21 3
C43C20 1
.
Итак,
P
(
1)
;
P
(
2)
;
P
(
3)
.
C63
C63
5
C63
5
C63
5
Составим ряд распределения:
xi
pi
1
2
3
1/5 3/5 1/5
Для построения функции распределения дискретной СВ воспользуемся тем свойством F(x), что
при xk 1 x xk
k
F ( x) p1 p2 ... pk 1 pi .
i 1
В точке x i функция F(x) имеет скачок pi = P( = xi ) = F( xi + 0) – F( xi – 0) и, значит, для всех
x ( xk , xk 1 ]
k
F ( x) P1 P2 ... PK 1 PK Pi .
i 1
Таким образом, функция распределения дискретной СВ – кусочно-постоянна, имеет скачки pi в
точках разрыва x i и непрерывна слева в точках разрыва x i . Для данной СВ функция F(x) и ее график
0 ï ðè
1 / 5 ï ðè
имеют вид F ( x)
4 / 5 ï ðè
1 ï ðè
x 1;
1 x 2;
2 x 3;
x 3.
F(x)
1
4/5
0
1/5
1
0
2
3
x
Рис. 2
5.6. Числовые характеристики случайных величин
К числовым характеристикам СВ относятся: математическое ожидание M(), дисперсия D(),
среднее квадратическое отклонение (), моменты и др.
Пусть – дискретная СВ, принимающая значения x1 , x2 ,... с вероятностями p1 , p2 , ... соответственно.
Математическим ожиданием СВ , или средним значением, называется число
M ( ) xi pi
i 1
в предположении, что этот ряд сходится абсолютно.
37
Если СВ - непрерывна с плотностью p(x), то математическое ожидание определяется интегралом
M ( )
xp( x)dx .
Дисперсией или рассеянием D() СВ называется математическое ожидание квадрата отклонения
СВ от ее математического ожидания, т.е. D( ) M ( M ( ))2 .
Для дискретной СВ дисперсия определяется равенством: D ( )
( x M ( ))
i 1
i
2
pi .
( x M ( ))
Для непрерывной СВ: D( )
2
p ( x )dx .
Из свойств дисперсии получается удобная рабочая формула для ее вычисления
D( ) M ( 2 ) ( M ( )) 2 .
Для дискретной СВ: D( )
x
i 1
Для непрерывной СВ: D( )
2
i
x
pi ( M ( )) 2 .
2
p( x)dx ( M ( )) 2 .
Среднее квадратическое отклонение ( ) D( ) .
Пример 5.16. Имеется 6 ключей, из которых только 1 подходит к замку. Составить ряд распределения числа попыток при открывании замка, если ключ, не подошедший к замку, в последующих опробованиях не участвует. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
Решение. Опробования открывания замка заканчиваются на k-й попытке, если первые k-1 попытки
не привели к успеху, а k-я попытка закончилась успешно.
Случайная величина – число попыток при открывании замка – может принимать следующие значения: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5, x6 = 6. Вероятности этих значений можно определить по
формуле
pk P ( k )
6 k 1
1
1
.
6
6 k 1 6
Таким образом, возможные значения случайной величины равновероятны. Запишем ряд распределения данной дискретной СВ.
1
2
3
4
5
6
xi
pi
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
На основании этого распределения получим
6
1
7
M ( ) xi pi (1 2 3 4 5 6) ;
6
2
i 1
6
1
91
M ( 2 ) xi2 pi (12 22 32 42 52 62 )
;
6
6
i 1
D( ) M ( 2 ) [ M ( )]2
91 49 35
35
; ( ) D( )
.
6 4 12
12
Пример 5.17. Случайная величина задана функцией распределения
x 0;
0 ï ðè
2
x
F ( x)
ï ðè 0 x 4; Найти M(), D(), ().
16
x4.
1 ï ðè
38
Решение.
0
x
1) p( x) F ( x)
8
0
ï ðè
x0 ;
4
4
x
x3
8
;
ï ðè 0 x 4 ; 2) M ( ) xp( x)dx x dx
8
24 0 3
0
ï ðè
x4 ;
3) дисперсию D() вычислим по формуле D() M ( 2 ) [M ()]2 . Тогда
4
4
x
x4
M ( ) x p( x)dx x dx
8 ;
8
32 0
0
2
2
2
2
64 8
8
D( ) 8 8
;
9 9
3
( ) D( )
2 2
.
3
5.7. Основные законы распределения случайных величин
Биномиальным называется закон распределения дискретной СВ , если она может принимать целые неотрицательные значения 0,1,...,n с вероятностями
P( m) Cnm p m q n m , ( p 0, q 0, p q 1) .
Математическое ожидание и дисперсия СВ , распределенные по биномиальному закону, вычисляются по формулам M() = np; D() = npq.
Пример 5.18. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается вероятностью 0,8. Составить
закон распределения всхожести для 5 посеянных семян и найти математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение этой случайной величины.
Решение. Случайная величина – число взошедших из 5 посеянных семян - может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4 и 5. По формуле (5.11) найдем соответствующие им вероятности:
P5 ( 0) C50 p 0 q5 0, 25 0, 00032 ;
P5 ( 1) C51 pq 4 5 0,8 0, 24 0, 0064 ;
P5 ( 2) C52 p 2 q 3 10 0,82 0, 23 0, 0512 ;
P5 ( 3) C53 p 3q 2 10 0,83 0, 22 0, 2048 ;
P5 ( 4) C54 p 4 q 5 0,84 0, 2 0, 4096 ;
P5 ( 5) C55 p 5 q 0 0,85 0,32768 .
Запишем закон распределения.
0
xi
Pi
0,00032
1
2
3
4
5
0,0064
0,0512
0,2048
0,4096
0,32768
Математическое ожидание
M() = np = 50,8 = 4;
дисперсия
D( ) npq 5 0,8 0, 2 0,8; ( ) D( ) 0,8 0,8944 .
Равномерным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, все значения которой лежат на некотором отрезке [a,b] и имеют постоянную плотность вероятности на этом отрезке. Таким образом, ее плотность вероятности
39
1
p( x) b a
0
a x b;
ï ðè
ï ðè
x a èëè
xb .
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое равномерно распределенной СВ
определяются формулами
M ( )
ab
(b a)2
ba
.
; D( )
; ( )
2
12
2 3
(5.17)
Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на интервал (,), представляющий собой часть промежутка [a,b], вычисляется по формуле
P( )
ba
.
(5.18)
Пример 5.19. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка:
а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.
Решение. Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину, которая распределена равномерно в интервале между соседними делениями. В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения, равна 0,2, поэтому
5 ï ðè
p ( x)
0 ï ðè
0 x 0, 2;
x 0 èëè x 0, 2 .
а). Очевидно, что ошибка отсчета не превысит 0,04, если она будет заключена в интервалах (0; 0,04)
или (0,16; 0,2). Тогда искомую вероятность получим по формуле (5.18)
p = P(0 < < 0,04) + P(0,16 < < 0,2) = 5 0,04 + 5 0,04 = 0,4.
б). Ошибка отсчета превысит 0,05, если она будет заключена в интервале (0,05; 0,15). Тогда искомую
вероятность получим по формуле (5.18)
p = P (0,05 < < 0,15) = 5 0,1 = 0,5.
Нормальный закон распределения. Распределение непрерывной случайной величины называется нормальным, если ее плотность вероятности имеет вид
1
p( x)
e
2
( x a )2
2 2
,
(5.19)
где a = M() - математическое ожидание; D( ) - среднее квадратическое отклонение СВ . Вероятность попадания нормально распределенной СВ в заданный интервал (, ) вычисляется по формуле
a
a
P( )
,
x
(5.20)
2
t
1
2
e
dt – функция Лапласа.
где ( x)
2 0
Вероятность того, что модуль отклонения случайной величины от своего математического ожидания меньше любого положительного числа :
P (| a | ) 2 .
40
(5.21)
Вероятность отклонения относительной частоты =m/n от постоянной вероятности p появления некоторого события в n независимых испытаниях выражается формулой
P(| p | ) 2 (
n
),
pq
(5.22)
где q = 1 - p.
Пример 5.20. Пусть случайной величиной является предел текучести данной марки стали, замеренный на некотором количестве проб. Из опыта известно, что величина распределена нормально с
математическим ожиданием a = 310МН/м2 и средним квадратическим отклонением = 32 МН/м2. Найти
вероятность того, что значение текучести заключено между 290 и 320 МН/м2.
Решение. Для решения этой задачи воспользуемся формулой (24). Вычислим значения
a
и
a
. В данной задаче = 320 МН/м2; = 290 МН/м2; a =310 МН/м2; = 32 МН/м2. Тогда
a 320 310 10
a 290 320
30
0,3125 ;
0,9375 .
32
32
32
32
Используя формулу (7.24), получим:
P(290 < < 320) = (0,3125) - (-0,9375) = (0,3125) + (0,9375) = 0,1217 + 0,3264 = 0,4481.
Пример 5.21. Диаметр втулок, изготовленных на заводе, можно считать нормально распределенной
случайной величиной с математическим ожиданием a = 2510-3 м и среднеквадратическим отклонением
= 10-4 м. В каких границах будет находиться величина диаметра втулки с вероятностью 0,98?
Решение. Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от своего
математического ожидания a меньше любого > 0, равна P (| a | ) 2
0,98 .
0, 49 . По таблице значений функции (x) находим:
4
10
Из этого равенства получим
10 4
2,33 . Отсюда = 2,3310-4 м. Тогда искомый интервал, в котором будет находиться диаметр
втулки с вероятностью 0,98, можно записать: (24,76710-3; 25,23310-3 ).
5.8. Статистические оценки параметров нормального распределения
Важнейшим среди законов непрерывных распределений является нормальный закон, плотность и
функция распределения которого имеют вид
1
p( x)
e
2
1
где ( x)
2
x
e
t 2 /2
( x a )2
2 2
(a M ( ), D( )); F0 ( x)
1
xa
;
2
dt – функция Лапласа.
0
Нормальный закон является предельным законом распределения и для ряда других законов распределения. Поэтому основные методы математической статистики разработаны применительно к нормальному закону.
Пусть F(x) – функция распределения изучаемой СВ . Обозначим через H0 гипотезу о нормальном
распределении СВ .
F ( x) F0 ( x)
1
xa
,
2
где a и – конкретные значения параметров нормального закона.
Эту гипотезу называют нулевой гипотезой. Для ее проверки производят серию из n независимых
испытаний. В результате получают выборочную совокупность x1, x2, ..., xn, по которой делают вывод о
41
правильности гипотезы H0. Так как СВ может принимать бесконечное множество значений, выборочная совокупность содержит неполную информацию о законе распределения СВ .
По этой причине при оценке гипотезы H0 может быть допущена ошибка. Вероятность ошибочного
отклонения правильной нулевой гипотезы называют уровнем значимости. Обычно при проверке гипотезы уровни значимости берут равными 0,001; 0,01; 0,05. Если уровень значимости взят 0,05, это значит, что примерно в 5% случаев может быть ошибочно отвергнута верная нулевая гипотеза.
Одним из методов статистической проверки гипотезы о законе распределения является критерий
согласия 2 (xu-квадрат).
Допуская нормальное распределение СВ , находим точечные оценки его параметров
ax
1 k *
1 k *
x
m
;
S
( xi x)2 mi ,
i i
n i 1
n 1 i 1
где x i* – середины частичных интервалов.
Пример 5.22. Даны 100 значений температуры масла двигателя БелАЗ при средних скоростях в виде
интервального статистического ряда частот:
xi
45; 47 47; 49 49; 51 51; 53 53; 55 55; 57
mi
1)
2)
3)
4)
4
13
34
32
12
5
Требуется:
построить полигон и гистограмму частостей СВ ;
по виду гистограммы и полигона и исходя из механизмов образования исследуемой СВ сделать
предварительный выбор закона распределения;
предполагая, что исследуемая СВ распределена по нормальному закону, найти точечные оценки
параметров нормального распределения, записать гипотетичную функцию распределения СВ ;
найти интервальные оценки параметров нормального распределения (доверительную вероятность
принять равной = 1 – = 0,95).
Решение. 1) Для получения гистограммы частостей на каждом из интервалов строим прямоугольник
высотой wi/h. Соединяя середины верхних сторон прямоугольников, получаем полигон частостей.
wi/h
0,17
Гистограмма
частостей
стостей
Полигон
частостей
стостей
0,16
0,1
0,065
0,06
0,025
0,02
0
45 47 49 51 53 55 57
x
Рис.
2) Вид полигона и гистограммы частостей напоминает кривую нормального распределения. Кроме
того, температура масла складывается под воздействием большого числа независимых случайных факторов (обороты двигателя, нагрузка двигателя, температура охлаждающей жидкости и др.), сравнимых по
своему рассеиванию. Сказанное позволяет сделать предположение о нормальном распределении СВ .
3) Вычисляем точечные оценки параметров нормального распределения.
ax
46 4 48 13 50 34 52 32 54 12 56 5
51 .
100
При вычислении удобно пользоваться формулой
42
S
n 2
1 k
462 4 482 13 502 34 522 32 54 2 12 562 5
260617
, ;
( x ) ( x)2 ; x 2 ( xi )2 mi
100
n 1
n i 1
S
100
(2606,17 2601) 2, 285 .
100 1
Записываем функцию распределения нормального закона
1
x 51
.
2
2, 285
4) Чтобы записать доверительный интервал для a = M(), из таблицы t - распределения (см. Прил. 5)
по данным = 0,95 и n = 100 выбираем t,n: t,n =1,984. Вычисляем
F0 ( x)
t ,n
S
n
1,984
2, 285
0, 4533 .
10
С вероятностью 0,95 неизвестное значение покрывается интервалом 51 - 0,4533 < a < 51 + 0,4533;
50,547 < a < 51,453. Чтобы записать доверительный интервал для D( ) , из специальной таблицы
(см. Прил. 6) по доверительной вероятности = 0,95 и числу = n – 1 = 100 – 1 = 99 , берем коэффициенты q1 = 0,878 и q2 = 1,161. С вероятностью 0,95 неизвестное значение покрывается интервалом
2,2850,878 < < 2,285 1,161; 2,006 < < 2,653.
43
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найти интегралы.
1.1. а)
tg
б)
x sin 2 xdx;
1.2. а)
x2 1 x
3 1 x dx ;
б)
ln xdx;
1.3. а)
4
2
cos x sin xdx;
б)
1.4. а)
7 x 2 4 x 20
x2 4 x 2dx ;
1.5. а)
x 2 e
1.6. а)
cos
1.7. а)
1.8. а)
1.9. а)
4
xdx;
xdx
2
x
x
dx
;
1
3x 2 6 x 1
б)
dx ;
x 1 x 2 4 x 5
;
x x
3
2
;
4
x ln xdx;
1.10. а)
cos3 x
sin 2 x dx;
1.11. а)
1.12. а)
dx
1 x
;
3
ctg
3
xdx;
x 3 dx
x
1.14. а)
1 2sin 3x
1.15. а)
4x 9
dx
x x
3
2
;
2
dx;
;
3x 2 8
x3 4 x2 4 xdx;
dx
;
1.17. а) 2
x 1 x 2 x
1.16. а)
1.18. а)
44
x ln xdx;
x
3
б)
x ln xdx ;
б)
sin x cos x ;
dx
dx
в)
x e
в)
arctg
в)
cos
в)
ctg
в)
sin
в)
x2
в)
cos5 x
sin 2 x dx .
2 2x
4
x
xdx .
x sin 3 xdx .
4
4
dx .
3 xdx .
xdx .
dx .
б)
x
б)
xarctgxdx;
в)
5 x
б)
x cos 5 xdx;
в)
sin
б)
x
в)
arcsin xdx.
б)
ctg
в)
x sec
б)
ln x
x 2 dx;
в)
x3 3x 1
x 1 x 2 dx.
б)
1 sin x ;
в)
x 3 dx .
в)
sin
x
1.13. а)
2
x3 3 x
6 3 x dx ;
dx
;
б)
3 5 cos x
б)
dx ;
1 4 x
1 x dx ;
x3 1 dx
3
2 x5 6 x3 1
в)
dx.
x 4 3x 2
cos3 x
в)
dx .
sin 2 x
б
4
3
1 x3
;
5x 8
dx;
4x2 4x
3
xdx;
sin xdx
x arctg 2 x
dx;
1 4x2
dx
2
1 x
.
x cos 4 xdx .
2
xdx.
x
3
x cos3 xdx.
б)
arccos xdx;
в)
cos
б)
x5 x 4 8
x3 4 x dx;
в)
cos3 x
sin 4 x dx.
5
xdx.
2 x2 x 7
1.19. а)
dx;
x 1 x 2 4
б)
x ln 1 x dx;
б)
ln x 1 dx;
2
1.20. а)
4 cos5x
1.21. а)
x cos xdx
sin 3 x ;
б)
1.22. а)
x
б)
1.23. а)
cos
xdx;
1.24. а)
e
cos xdx;
2
2
sin xdx;
x
4
dx
;
4x 5
dx
;
1.26. а)
sin x
x 3
1.25. а)
x
dx;
2
1.28. а)
tg
1.29. а)
arcsin x
1 x dx;
1.30. а)
x2 1 x
3 1 x dx;
3 2 x x2
5
xdx;
4
xdx.
x
2
5 x dx
x
в)
x x 1 ;
в)
cos
б)
ln
xdx;
в)
x 1 x 2
б)
cos
6
xdx;
в)
x
б)
x
ln xdx;
в)
cos
в)
ln xdx.
в)
arctg 3xdx.
в)
x e
в)
sin 3 xdx
cos4 x .
в)
ctg
2
4 x 2 12 x 12
x x 2
2
2
dx;
dx
2
2
2
dx
;
x2
dx
;
б)
cos 4 x
( x 2)dx
;
б) 3
x 2x2 x
x2 6
dx;
б) 3
x 2x2 x 2
dx;
tg
в)
б)
1.27. а)
в)
б)
x
4
arcsin x
dx;
x2
x 1 x 2
2
.
xdx
4
.
x3 1
4
x sin 2 xdx.
dx
2
.
5dx
.
4 x 1
2
7
xdx.
2 x
4
dx.
xdx.
Задание 2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
2.1.
х sin xdx .
0
х(ln x)
dx
2.5. 2
.
x 2 x 5
2.2.
e
2.6.
x cos 3xdx .
dx
2.13.
.
3
2 х ln x
2
x cos xdx .
2.21.
xe
0
x2
2.22.
x
2
dx
ln x
e arctg3 x
2.8.
dx .
2
0 1 9x
3 x
xe dx .
2.12.
2.15.
6
dx
x 6x 5
2
.
2.16.
dx
1 5 x 2 4 x 3 .
xdx
.
4x 2 8
dx
2.23.
.
x ln x ln 2 ln x
2
dx
.
x4
2.20.
arctgx
1 x
2
dx .
1
.
4
1
2.19.
x
0
2x 2 7x 1
dx .
2
( x 1)( x 1)
dx .
2.11.
2
2.18.
ln x
dx .
х
2
xdx
1 x 2 .
xdx
2.14. 2
.
0 х 4
dx .
2.17.
2x 3
dx .
2.7. 2
2 x 4 x 6
2.10.
2.4.
0
0
2 x
dx
2.3. 2
.
1 х (1 x )
.
3
2
( x 3)e
2.9.
dx
2.24.
0
dx
4 x
.
45
2.25.
xdx
1 (1 x)
2
.
arctgx
1 x2 dx.
2.29.
ln x
2.26. 2 dx.
1 õ
2.30.
dx
2.27. 2
.
2 x x2
2.28.
dx
1 x .
2
dx
1 x .
3
Задание 3. Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями с помощью определенного Интеграла. Сделать чертеж.
3.1. у 2 16 8 х; у 2 24 х 48 .
3.16. x 2 y 2 ; x 1 3 y 2 .
х2
1
3.2. у
; у 2 ; x 4.
16
х
3.17. y x 1; y cos x; y 0 .
3.3. у х 2 3; у
4
; x 1.
х2
3.18. x 2 y 2 25; 2 y 5 0 .
3.4. у х 2 1; х 2; у 0 .
3.19. y x 2 4 x 3; y x 3 .
3.5. ху 4; х у 5 .
3.20. у 8 х 2 ; у х 2 .
3.6. у 2 2 х 1; х у 1 0 .
3.21. y 4 x x 2 ; y 0 .
3.7. х 2 4 у; у
8
.
х 4
3.22. y
2
1
; y x2; y 4 .
x
3.8. у 1 cos x; x 0; y 0 .
3.23. y ln x; y ln x; x 3 .
3.9. y x 2 6 x 5; x 0; y 0 .
3.24. y 4 x 2 ; y x 2 2 x .
3.10. y 2 x 2 ; y
3.25. y 2 x; x 2 y 2 25; y 0, y 0 .
2 x; y 0 .
3.11. y e x ; y e x ; y 2 .
3.26. x 2 y 2 , x 1 3 y 2 .
3.12. y ( x 1) 2 ; x y 1; y 0 .
3.27. y 2x , y 2x x2 , x 0, x 2.
3.13. y x 2 4 x 3; y x 3 .
3.28. y 6 x x2 , y 0.
3.14. y ln x; y 0; x e.
3.29. x2 16x 4 y, y x 4.
3.15. y sin x; y 0; x
4
; x
3
.
4
3.30. y x2 1, x 2, y 0.
Задание 4. Проинтегрировать уравнение. При заданном начальном условии найти соответствующий частный интеграл или частное решение.
4.2. yy
4.1. y y 2 3 y 4 .
4.4. xy 2 x dx y x 2 y dy 0.
4.7.
46
dx
dy
.
2
2
xy x
2 y xy
1 2 y
.
y
4.5. y ' sin x y ln y.
4.3. xy y ln x 1, y 1 4 .
4.6. xy
4.8. 1 x 2 y xy xy 2 , y 0
1
.
2
y
x.
x 1
4.9. 2e y x y 1 .
y2
2y
dx
dy 0, y 1 2 .
2
x
x
4.10. x 2 y y 2 xyy .
4.11. 1
4.12. cos x x sin x ydx x cos x 2 y dy 0 .
4.13. ytgx y 1, y
1.
2
4.14. y 2 3x 2 dy 2 xydx 0 .
4.15. xy y xe x 0, y 1 0 .
14.6. 1 x y y e x .
4.17. 3 x 2 e y x 3e y 1 y 0 .
4.18. xdy 2 ydx x3 ln xdx .
4.19. y'2 xy xe x .
4.20. y xy y3e x .
4.21. y ytgx
y
2
2
x
2 y dy 0 .
y
4.22. ln y 2 x dx
4.24. xy y xe x 0. y 1
2
4.26. xy '
1
.
2e
1
, y 0 3 .
cos3 x
0.
2
4.23. y x y x cos x , y
4.25. xy y
y
x, y (1) 0.
x 1
4.28. xy ' y
ln x
, y 1 2 .
x
4.27. x2 y 2 2xyy ' 0.
1
ln x.
x2
4.29. xy ' y 1 ln
y
1
.
, y (1)
x
e
4.30. y ' y cos x sin x cos x, y (0) 1.
Задание 5. Найти общее решение уравнений.
5. 3. 3 y 2 y xe 3 .
5.2. y 3 y 2 y 2e x .
5.1. y 3 y 2 y x 2 .
2x
5.4. y 2 y 10 y 10 x 2 18 x 6 . 5.5. y 4 y y 4 .
5.6. y 6 y 3 y x 2 .
5.7. y 6 y 9 y 12e3 x .
5.8. y 4 y 4 xe4 x .
5.9. y 2 y x 2 x .
5.10. y 5 y 6 y 3x 2 e x .
5.11. y 2 y 2 y 2 x .
5.12. y 2 y 2 x .
5.13. y 3 y 3xe3 x .
5.14. y 5 y 6 y 10 1 x e2 x .
5.15. y 2 y y x3 .
5.16. y y 6 y xe2 x .
5.17. y y y x3 6 x .
5.19. y 2 y 8 y 12 x 20 e2 x . 5.20. y 4 y x 6e x .
5.22. y y x 2 6 e4 x .
5.23. y 4 y 2e2 x 4 x .
5.18. y 3 y 2 y x 2 x e3 x .
5.21. y 4 y 10e3 x .
5.24. y 6 y 9 y 16e x 9 x 6 .
5.25. y 3 y 10 y 10 x 2 4 x 5 . 5.26. y y 2 y e x .
5.27. y 3 y 2 y 26sin 3x.
5.28. y 7 y 10 y x 2 .
5.30. y 2 y 5 y 3cos x.
5.29. y 8 y 12 y cos 2 x.
47
Задание 6. Найти область сходимости степенного ряда.
6.1.
x 4
6.5.
x 8
6.9.
n 1
;
x 2
n
6.2.
n
n2
n 1
;
2n 1
n 1
2 n 1
n 1
2 x
6.6.
n
n
;
n2
n
;
6.15.
n 1
;
;
6.21.
1
2n
n 1
6.27.
n 1
6.30.
n 1
n
x 2
3
x 3
n
;
6.25.
x 1
n9
n 1
6.28.
n 1
n
5
n2
x 5
3
n 1
;
n
;
n 1
x 10 ;
6.11. n
n 1 10 2n 1
n
n
;
6.14.
n
2 x
;
6.17.
n
;
6.20.
6.23.
n
x 2
sin
x 5
n 1
2n 4 n
x 2
n 1
nn
1
6.26.
n 1 3
;
n
n2
n
;
2n
n
;
n2
n 1
n
n 0,5
3
n
n 1
n 0
2 n x 3
n
6.8.
x 1
n2
n
x 2 ;
n 1
n2
n 1
;
n 9
3
6.22.
n
2
x 1
;
2n1 n n
x 2
1
n
n 0
n
n 1
n 1
6.19.
2n 1 x 1
;
6.4.
n
x 1
3n 2 x 3
6.16.
2
n 1
n 1 2n1
n
n
n 1
6.24.
6.13.
x 2
;
n
n 1 2 n 1 2
ln 3 n 1
n 0
2n 5
;
n
6.18.
2n
x 1 ;
6.10. n
n 1 2 ln n 1
x 3
n 1
n
x 1 ;
6.7. n
n 1 2 n 3
n 0
x 5n
6.12.
n
n 1 n 1
x 2
n 1
2 x 2
6.3.
n
;
n
;
x 1
n
;
;
6.29.
n5
n
xn ;
n 1
n
n 3n
.
Задание 7. Для данной случайной величины (CB)ξ:
1) составить закон распределения CB;
2) найти математическое ожидание M(ξ) и дисперсию D(ξ);
3) найти функцию распределения F(x).
7.1. На участке имеется 5 одинаковых станков, коэффициент использования которых по времени составляет 0,8. СВ ξ – число работающих станков.
7.2. Охотник, имеющий 5 патронов, стреляет в цель до первого попадания или пока не расходует все патроны). Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. СВ ξ – число израсходованных патронов.
7.3. Охотник стреляет в цель до первого попадания, но успевает сделать не более 4 выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. СВ ξ – число выстрелов, производимых охотником.
7.4. В партии деталей – 10% нестандартных. Наудачу отобраны 4 детали. СВ ξ – число нестандартных
деталей среди четырех отобранных.
7.5. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. СВ ξ – число отказавших элементов в одном опыте.
48
7.6. Имеется 4 заготовки для одной и той же детали. Вероятность изготовления годной детали из каждой
заготовки равна 0,9. СВ ξ – число заготовок, оставшихся после изготовления первой годной детали.
7.7. Два стрелка стреляют по одной мишени независимо друг от друга. Первый стрелок выстрелил один
раз, второй – два раза. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка
равна 0,4, для второго – 0,3. СВ ξ – общее число попаданий.
7.8. Из урны, содержащей 4 белых и 2 черных шара, наудачу извлекают два шара. СВ ξ – число черных
шаров среди этих двух.
7.9. Партия, насчитывающая 50 изделий, содержит 6 бракованных. Из всей партии случайным образом
выбрано 5 изделий. СВ ξ – число бракованных изделий среди отобранных.
7.10. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. В городе 4
библиотеки. СВ ξ – число библиотек, которые посетит студент.
7.11. Испытуемый прибор состоит из четырех элементов. Вероятности отказа каждого из них соответственно равны: 0,2; 0,3; 0,4; 0,5. Отказы элементов независимы. СВ ξ – число отказавших элементов.
7.12. Батарея состоит из трех орудий. Вероятности попадания в цель при одном выстреле из I, II, III орудия батареи равны соответственно 0,5; 0,6; 0,8. Каждое орудие стреляет по цели один раз. СВ ξ –
число попаданий в цель.
7.13. Из ящика, содержащего 3 бракованных и 5 стандартных деталей, наугад извлекают 3 детали. СВ ξ –
число вынутых стандартных деталей.
7.14. Два стрелка стреляют по одной мишени, делая независимо друг от друга по два выстрела. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,5, для второго – 0,6. СВ ξ – общее число попаданий.
7.15. В группе из десяти изделий имеется одно бракованное. Чтобы его обнаружить, выбирают наугад
одно изделие за другим и каждое взятое проверяют. СВ ξ – число проверенных изделий.
7.16. Монету подбрасывают 6 раз. СВ ξ – число появлений герба.
7.17. На пути движения автомашины – 4 светофора, каждый из них либо разрешает, либо запрещает
дальнейшее движение с вероятностью 0,5. СВ ξ – число пройденных автомашиной светофоров до
первой остановки.
7.18. Из партии в 15 изделий, среди которых имеются 2 бракованных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки их качества. СВ ξ число бракованных изделий в выборке.
7.19. В некотором цехе брак составляет 5% всех изделий. СВ ξ – число бракованных изделий из 6 наудачу взятых изделий.
7.20. Вероятность выпуска нестандартного изделия равна 0,1. Из партии контролер берет изделие и проверяет его на качество. Если изделие оказывается нестандартным, дальнейшие испытания прекращаются, а партия задерживается. Если же изделие оказывается стандартным, контролер берет следующее и т.д. Всего он проверяет не более 5 изделий. СВ ξ – число проверяемых изделий.
7.21. В шестиламповом радиоприемнике (все лампы различны) перегорела одна лампа. С целью устранения неисправности наугад выбранную лампу заменяют заведомо годной из запасного комплекта,
после чего сразу проверяется работа приемника. СВ ξ – число замен ламп.
7.22. Рабочий обслуживает 3 независимо работающих станка. Вероятности того, что в течение часа 1-й,
2-й и 3-й станок не потребуют внимания рабочего, равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9. СВ ξ – число
станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа.
7.23. Срок службы шестерен коробок передач зависит от следующих факторов: усталости материала в
основании зуба, контактных напряжений, жесткости конструкции. Вероятность отказа каждого
фактора в одном испытании равна 0,1. СВ ξ – число отказавших факторов в одном испытании.
7.24. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны 2 детали. СВ ξ – число стандартных деталей среди отобранных.
7.25. Имеется 5 ключей, из которых только один подходит к замку. СВ ξ – число опробований при открывании замка при условии, что испробованный ключ в последующих испытаниях не участвует.
7.26. Вероятность успешной сдачи первого экзамена для данного студента равна 0,8, второго экзамена –
0,9, третьего – 0,6. СВ ξ – число сданных экзаменов.
7.27. Вероятность приема каждого из четырех радиосигналов равна 0,76. СВ ξ – число принятых радиосигналов.
7.28. Производятся четыре выстрела по мишени. Вероятность поражения мишени первым выстрелом
равна 0,7, вторым – 0,6, третьим – 0,5, четвертым – 0,4. СВ ξ – число поражений мишени.
7.29. Вероятность сдачи данного экзамена для каждого из трех студентов равна 0,9. СВ ξ – число студентов, сдавших экзамен.
49
7.30. Из 20 приборов, испытываемых на надежность, 4 высшей категории. СВ ξ – число приборов высшей категории среди взятых наугад 3 приборов.
Задание 8. Дан интервальный статистический ряд распределения частот экспериментальных значений случайной величины ξ. Требуется:
1) составить интервальный статистический ряд частостей (относительных частот) наблюденных
значений непрерывной СВ ξ;
2) построить полигон и гистограмму частостей СВ ξ;
3) по виду гистограммы и полигона и исходя из механизма образования исследуемой СВ ξ сделать
предварительный выбор закона распределения;
4) предполагая, что исследуемая СВ ξ распределена по нормальному закону, найти точечные
оценки параметров нормального распределения, записать функцию распределения СВ ξ;
5) найти интервальные оценки параметров нормального распределения (доверительную вероятность принять равной γ = 1 – α = 0,95).
8.1. В таблице приведены статистические данные о трудоемкости операции (в минутах) «ремонт валика
водяного насоса автомобиля ЗИЛ-130».
х1
Частота m1
0 – 10
7
10 – 20
25
20 – 30
36
40 – 50
8
30 - 40
24
8.2. Даны результаты определения содержания фосфора (в %) в 100 чугунных образцах.
х1, %
Частота m1
0,1 – 0,2
6
0,2 – 0,3
24
0,3 – 0,4
36
0,4 – 0,5
26
0,5 – 0,6
8
8.3. В таблице приведены статистические данные о трудоемкости операции (в мин.) «контроль механического состояния автомобиля ЗИЛ-130 после возвращения в гараж».
х1 –
Частота m1
2,0 – 3,0
8
3,0 – 4,0
22
4,0 – 5,0
38
5,0 – 6,0
26
6,0 – 7,0
6
8.4. Даны результаты измерения толщины (в мм) 100 слюдяных прокладок:
х1
Частота m1
2,4 – 2,8
9
2,8 – 3,2
16
3,2 – 3,6
45
3,6 – 4,0
22
4,0 – 4,4
8
37,5 – 42,5
21
42,5 – 47,5
6
32,5 – 37,5
21
37,5 – 42,5
7
50 - 60
21
60 – 70
8
8.5. Даны результаты испытаний стойкости 100 фрез (в часах):
х1
Частота m1
22,5 – 27,5
7
27,5 – 32,5
22
32,5 – 37,5
44
8.6. Даны результаты испытания стойкости 100 сверл (в часах):
х1
Частота m1
17,5 – 22,5
6
22,5 – 27,5
21
27,5 – 32,5
45
8.7. Даны результаты измерения твердости 100 фрез (по шкале HRC):
х!
Частота m1
20 – 30
7
30 – 40
20
40 – 50
44
8.8. Даны статистические данные о среднесуточном пробеге 100 автомобилей ЗИЛ-130 автоколонны (в
сотнях км):
х1
50
1,2 – 1,6
1,6 – 2,0
2,0 – 2,4
2,4 – 2,8
2,8 – 3,2
Частота m1
7
20
48
19
6
8.9. Даны результаты исследования 100 напыленных образцов на прочность напыленного слоя (в кг/мм2):
х1
2,0 – 2,2
2,2 – 2,4
2,4 – 2,6
2,6 – 2,8
2,8 – 3,0
Частота m1
8
18
45
20
9
8.10. Даны результаты измерения твердости 100 сверл (по шкале HRC):
х!
Частота m1
20 – 30
8
30 – 40
18
40 – 50
45
50 – 60
20
60 – 70
9
8.11. Даны результаты измерения диаметров втулок, обрабатываемых автоматом:
х!
Частота m1
20,00 – 20,04
8
20,04 – 20,08
18
20,08 – 20,12
45
20,12 – 20,16
20
20,16 – 20,20
9
8.12. Даны результаты исследования грануляции порошка (в мкм):
х!
Частота m1
0 – 40
8
40 – 80
18
80 – 120
39
120 – 160
26
160 – 200
9
9,80 – 9,82
14
9,82 – 9,84
6
8.13. Даны результаты измерения диаметров валиков (в мм):
х!
Частота m1
9,74 – 9,76
8
9,76 – 9,78
24
9,78 – 9,80
48
8.14. Даны результаты исследования 100 напыленных образцов на прочность напыленного слоя (в
кг/мм2):
х1
2,0 – 2,2 2,2 – 2,4
2,4 – 2,6
2,6 – 2,8 2,8 – 3,0
Частота m1
6
24
40
22
8
8.15. Даны результаты измерения диаметров валиков, обрабатываемых одношпиндельным автоматом:
х!
Частота m1
19,80 – 19,82
8
19,82 – 19,84
22
19,84 – 19,86
44
19,86 – 19,88
19
19,88 – 19,90
7
8.16. Даны результаты испытания на разрыв 100 образцов дюралюминия (в кг/мм2):
х!
Частота m1
42 – 43
7
43 – 44
25
44 – 45
37
45 – 46
23
46 – 47
8
8.17. Даны сведения о расходе воды, используемой заводом для технических нужд, в течение 100 дней:
х! , м3
Частота m1
8 – 10
8
10 – 12
24
12 – 14
36
14 – 16
23
16 – 18
9
8.18. Даны квартальные данные о среднесуточном пробеге 100 автомобилей:
х! , км
Частота m1
150 – 170
7
170 – 190
25
190 – 210
34
210 – 230
24
230 – 250
10
8.19. Даны результаты наблюдений за сроком службы 100 однотипных станков до выхода за пределы
норм точности (в месяцах двухсменной работы):
х!
Частота m1
20 – 25
9
25 – 30
24
30 – 35
35
35 – 40
22
40 – 45
10
51
8.20. Даны значения температуры масла в двигателе автомобиля ЗИЛ-130 при средних скоростях:
х!
Частота m1
40 – 42
8
42 – 44
25
44 – 46
35
46 – 48
22
48 – 50
10
8.21. Даны размеры диаметров 100 отверстий, просверленных одним и тем же сверлом:
х!
Частота m1
40,10 – 40,20
7
40,20 – 40,30
24
40,30 – 40,40
34
40,40 – 40,50
26
40,50 – 40,60
9
8.22. Даны размеры 100 деталей после шлифовки:
х!
Частота m1
3,45 – 3,65
8
3,65 – 3,85
22
3,85 – 4,05
38
4,05 – 4,25
25
4,25 – 4,45
7
8.23. Дана трудоемкость операции «проверка привода подачи топлива автомобиля БелАЗ»:
х!
Частота m1
8 – 10
7
10 – 12
16
12 – 14
54
14 – 16
15
16 – 18
8
8.24. Дана трудоемкость операции «смазка подшипников подвески БелАЗ»:
х!
Частота m1
30 – 35
8
35 – 40
24
40 – 45
36
45 – 50
22
50 – 55
10
8.25. Даны отклонения диаметров валиков, обработанных на станке, от заданного диаметра (в мкм):
х!
Частота m1
0–5
8
5 – 10
20
10 – 15
42
15 – 20
24
20 – 25
6
8.26. Даны размеры 100 деталей после шлифовки (х! – размер после шлифовка (в мм)):
х!
Частота m1
42,5 – 43,5
8
43,5 – 44,5
24
44,5– 45,5
36
45,5– 46,5
24
46,5– 47,5
8
8.27. Дана трудоемкость операции «проверка привода подачи топлива автомобиля БелАЗ»:
х! , с
Частота m1
7–9
8
9 – 11
15
11 – 13
55
13 – 15
14
15 – 17
8
8.28. Даны результаты наблюдений за сроком службы 100 однотипных станков до выхода за пределы
норм точности (в месяцах двухсменной работы):
х!
Частота m1
21 – 26
10
26 – 31
23
31 – 36
35
36 – 41
23
41 – 46
9
3,9 – 4,1
38
4,1 – 4,3
25
4,3 – 4,5
7
8.29. Даны размеры 100 деталей после шлифовки:
х! , мм
Частота m1
3,5 – 3,7
8
3,7 – 3,9
22
8.30. Даны квартальные данные о среднесуточном пробеге 100 автомобилей:
х! , км
Частота m1
52
160 – 180
7
180 – 200
25
200 – 220
34
220 – 240
24
240 – 260
10
53
Приложение 1
Значения функции ( x)
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
54
0
0,3989
3970
3910
3814
3683
3521
3332
3123
2897
2661
0,2420
2179
1942
1714
1497
1295
1109
0940
0790
0656
0,0540
0440
0355
0283
0224
0175
0136
0104
0079
0060
0,0044
0033
0024
0017
0012
0009
0006
0004
0003
0002
1
3989
3965
3902
3802
3668
3503
3312
3101
2874
2637
2396
2155
1919
1691
1476
1276
1092
0925
0775
0644
0529
0431
0347
0277
0219
0171
0132
0101
0077
0058
0043
0032
0023
0017
0012
0008
0006
0004
0003
0002
2
3989
3961
3894
3790
3652
3485
3292
3079
2850
2613
2371
2131
1895
1669
1456
1257
1j74
0909
0761
0632
0519
0422
0339
0270
0213
0167
0129
0099
0075
0056
0042
0032
0022
0012
0010
0008
0006
0004
0003
0002
3
3988
3956
3885
3778
3637
3467
3271
3056
2827
2589
2347
2107
1872
1647
1435
1238
1057
0893
0748
0620
0508
0413
0332
0264
0208
0163
0126
0096
0073
0055
0040
0030
0022
0016
0011
0008
0005
0004
0003
0002
4
3986
3951
3876
3765
3621
3448
3251
3034
2804
2565
2323
2083
1849
1626
1415
1219
1040
0878
0734
0608
0498
0404
0325
0258
0203
0158
0122
0093
0071
0053
0039
0029
0021
0015
0011
0008
0005
0004
0003
0002
5
3084
3945
3867
3752
3605
3429
3230
3011
2780
2541
2299
2059
1826
1604
1394
1200
1023
0863
0721
0596
0488
0396
0317
0252
0198
0154
0119
0091
0069
0051
0038
0028
0020
0015
0010
0007
0005
0004
0002
0002
1
e
2
6
3982
3939
3857
3739
3589
3410
3209
2989
2756
2516
2275
2036
1804
1582
1374
1182
1006
0846
0707
0584
0478
0387
0310
0246
0194
0151
0116
0088
0067
0050
0037
0027
0020
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
x2
2
7
3980
3932
3847
3726
3572
3391
3187
2966
2732
2492
2251
2012
1781
1561
1354
1163
0989
0833
0694
0573
0468
0379
0303
0241
0189
0147
0113
0086
0065
0048
0036
0026
0019
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
8
3977
3025
3836
3712
3555
3372
3166
2943
2709
2468
2227
1989
1758
1539
1334
1145
0973
0818
0681
0562
0459
0371
0297
0235
0184
0143
0110
0084
0063
0047
0035
0025
0018
0013
0009
0007
0005
0003
0002
0001
9
3973
3918
3825
3697
3538
3352
3144
2920
2685
2444
2203
1965
1736
1518
1315
1127
0957
0804
0669
0551
0449
0363
0290
0229
0180
0139
0107
0081
0061
0046
0034
0025
0018
0013
0009
0006
0004
0003
0002
0001
Приложение 2
x
t2
2
1
e dt
2 0
Значения функции Лапласа ( x)
x
(x)
(x)
x
(x)
x
(x)
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
x
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,1179
0,1217
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
0,4192
0,32
0,33
0734
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,6,
0,61
0,62
0,63
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2703
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,4750
0,4756
0,4761
0,4767
0,4772
0,4783
0,4793
0,4803
0,4812
0,4821
0,4830
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
2,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
0,3849
0,3869
0,3883
0,3907
0,3925
0,3944
2,50
2,52
1,54
2,56
2,58
2,60
2,62
2764
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
2,78
0,4938
0,4941
0,4945
0,4948
0,4951
0,4953
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
0,4973
55
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
0,4713
0,4719
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
2,30
2,32
2,34
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
0,4838
0,4846
0,4854
0,4861
0,4868
0,4875
0,4881
0,4887
0,4893
0,4898
0,4904
0,4909
0,4913
0,4918
0,4922
0,4927
0,4931
0,4934
2,80
2,82
2,84
2,86
2,88
2,90
2,92
2,94
2,96
2,98
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,50
5,00
0,4974
0,4976
0,4977
0,4979
0,4980
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
0,4986
0,49865
0,49931
0,49966
0,499841
0,499928
0,499968
0,499997
0,499997
Приложение 3
Значения функции ; ; P( ; )
2
\
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
56
0,20
1,642
3,219
4,642
5,989
7,289
8,558
9,803
11,030
12,242
13,442
14,631
15,812
16,985
18,151
19,311
20,465
21,615
22,760
23,900
25,038
26,171
27,301
28,429
29,553
30,675
31,795
32,912
34,027
35,139
36,250
0,10
2,706
4,605
6,251
7,779
9,236
10,645
12,017
13,362
14,684
15,987
17,275
18,549
19,812
21,064
22,307
23.542
24,769
25,989
27,204
28,412
29,615
30,813
32,007
33,196
34,382
35,563
36,741
37,916
39,087
40,256
0,05
3,841
5,991
7,815
9,488
11,070
12,592
14,067
15,507
16,919
18,307
19,675
21,026
22,362
23,685
24,996
26,296
27,587
28,869
30,144
31,410
32,671
33,924
35,172
36,415
37,652
38,885
40,113
41,337
42,557
43,773
2
0,02
5,412
7,824
9,837
11,668
13,388
15,033
16,622
18,168
19,679
21,161
22,618
24,054
25,472
26,683
28,259
29,633
30,995
32,346
33,687
35,020
36,343
37,659
38,968
40,270
41,566
42,856
44,140
45,419
46,693
47,962
2
0,01
6,635
9,210
11,345
13,277
15,086
16,812
18,475
20,090
21,666
23,209
24,725
26,217
27,688
29,141
30,578
32,000
33,409
34,805
36,191
37,566
38,932
40,289
41,638
42,980
44,312
45,642
46,963
48,278
49,588
50,892
0,001
10,827
13,815
16,266
18,467
20,515
22,457
24,322
26,125
27,877
29,588
31,264
32,909
34,528
36,123
37,697
39,252
40,790
42,312
43,820
45,315
46,797
48,268
49,728
51,179
52,620
54,052
55,476
56,893
58,302
59,703
Приложение 4
Распределение Стьюдента.
Значения t ; удовлетворяют условию P(t t ; )
S (t, )dt .
t ;
\
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
50
60
80
100
200
500
0,40
0,325
0,289
0,277
0,271
0,267
0,265
0,263
0,262
0,261
0,260
0,260
0,259
0,259
0,258
0.258
0,258
0,257
0,257
0,257
0,257
0,257
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,256
0,255
0,255
0,254
0,254
0,254
0,254
0,253
0,253
0,30
0,727
0,617
0,584
0,569
0,559
0,553
0,549
0,546
0,543
0,542
0,540
0,539
0,538
0,537
0,536
0,535
0,534
0,534
0,533
0,533
0,532
0,532
0,532
0,531
0,531
0,531
0,531
0,530
0,530
0,530
0,529
0,528
0,527
0,527
0,526
0,525
0,525
0,524
0,20
1,376
1,061
0,978
0,941
0,920
0,906
0,896
0,889
0,883
0,879
0,876
0,873
0,870
0,868
0,866
0,865
0,863
0,862
0,861
0,860
0,859
0,858
0,858
0,857
0,856
0,856
0,855
0,855
0,854
0,854
0,851
0,849
0,848
0,846
0,845
0,843
0,842
0,842
0,10
3,078
1,886
1,638
1,533
1,476
1,440
1,415
1,397
1,383
1,372
1,363
1,356
1,350
1,345
1.341
1,337
1,333
1,330
1,328
1,325
1,323
1,321
1,319
1,318
1,316
1,315
1,314
1,313
1,311
1,310
1,303
1,298
1,296
1,292
1,290
1,286
1,283
1,282
0,05
6,314
2,920
2,353
2,132
2,015
1,943
1,895
1,860
1,833
1,812
1,796
1,782
1,771
1,761
1,753
1,746
1,740
1,734
1,729
1,725
1,721
1,717
1,714
1,711
1,708
1,706
1,703
1,701
1,699
1,697
1,684
1,676
1,671
1,664
1,660
1,653
1,648
1,645
0,025
12,71
4,303
3,182
2,776
2,571
2,447
2,365
2,306
2,262
2,228
2,201
2,179
2,160
2,145
2,131
2,120
2,110
2,101
2,093
2,086
2,080
2,074
2,069
2,064
2,060
2,056
2,052
2,048
2,045
2,042
2,021
2,009
2,000
1,990
1,984
1,972
1.965
1,960
0,010
31,82
6,965
4,541
3.747
3,365
3,143
2,998
2,896
2,821
2,764
2,718
2,681
2,650
2,624
2,602
2,583
2,567
2,552
2,539
2,528
2,518
2,508
2,500
2,492
2,485
2,479
2,473
2,467
2,462
2,457
2,423
2,403
2,390
2,374
2,365
2,345
2,334
2,326
0,005
63,66
9,925
5,841
4,604
5,032
3,707
3,499
3,355
3,250
3,169
3,106
3,055
3,012
2,977
2,947
2,921
2,898
2,878
2,861
2,845
2,831
2,819
2,807
2,797
2,787
2,779
2,771
2,763
7,756
2,750
2,704
2,678
2,660
2,639
2,626
2,601
2,586
2,576
0,001
318,3
22,33
10,22
7,173
5,893
5,208
4,785
4,501
4,297
4,144
4,025
3,930
3,852
3,787
3,733
3,686
3,646
3,611
3,579
3,552
3,527
3,505
3,485
3,467
3,450
3,435
3,421
3,408
3,396
3,385
3,307
3,262
3,232
3,195
3,174
3,131
3,106
3,090
0,0005
636,6
32,60
12,94
8,610
6,859
5,959
5,405
5,041
4,781
4,587
4,437
4,318
4,221
4,140
4,073
4,015
3,965
3.922
3,883
3,850
3,819
3,792
3,767
3,745
3,725
3,707
3,690
3,674
3,659
3,646
3,551
3,495
3,460
3,415
3,389
3,339
3,310
3,291
Приложение 5
Значения функции t ;n ; x t ;n
n \
5
6
0,95
2,78
2,57
0,99
4,60
4,03
0,999
8,61
6,86
n\
20
25
S
S
a x t ;n
n
n
0,95
2,093
2,064
0,99
2,861
2,797
0,999
3,883
3,745
57
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
58
2,45
2,37
2,31
2,26
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,11
2,10
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
3,11
3,06
3,01
2,98
2,95
2,92
2,90
2,88
5,96
5,41
5,04
4,78
4,59
4,44
4,32
4,22
4,14
4,07
4,02
3,97
3,92
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
120
2,045
2,032
2,023
2,016
2,009
2,001
1,996
1,991
1,987
1,984
1,980
1,960
2,756
2,720
2,708
2,692
2,679
2,662
2,649
2,640
2,633
2,627
2,617
2,576
3,659
3,600
3,558
3,527
3,502
3,464
3,439
3,418
3,403
3,392
3,374
3,291
Приложение 6
Значения коэффициентов q1 и q2 ; q1S q2 S
0,99
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
23
24
25
26
27
29
30
40
50
60
70
80
90
100
200
0,98
0,95
0,00
q1
q2
q1
q2
q1
q2
q1
q2
0,356
0,434
0,483
0,519
0,546
0,569
0,588
0,604
0,618
0,630
0,641
0,651
0,660
0,669
0,676
0,683
0,690
0,696
0,702
0,707
0,712
0,722
0,726
0,730
0,734
0,737
0,744
0,748
0,774
0,793
0,808
0,820
0,829
0,838
0,845
0,887
15,0
14,1
6,47
4,39
3,48
2,98
2,66
2,440
2,277
2,154
2,056
1,976
1,910
1,854
1,806
1,764
1,727
1,695
1,668
1,640
1,617
1,576
1,558
1,541
1,526
1,512
1,487
1,475
1,390
1,336
1,299
1,272
1,250
1,233
1,219
1,15
0,388
0,466
0,514
0,549
0,576
0,597
0,616
0,631
0,644
0,656
0,667
0,676
0,685
0,693
0,700
0,707
0,713
0,719
0,725
0,730
0,734
0,743
0,747
0,751
0,755
0,758
0,765
0,768
0,792
0,810
0,824
0,835
0,844
0,852
0,858
0,897
79,8
9,97
5,11
3,67
3,00
2,62
2,377
2,205
2,076
1,977
1,898
1,833
1,779
1,733
1,694
1,659
1,629
1,602
1,578
1,556
1,536
1,502
1,487
1,473
1,460
1,448
1,426
1,417
1,344
1,297
1,265
1,241
1,222
1,207
1,195
1,13
0,446
0,521
0,566
0,599
0,624
0,644
0,661
0,675
0,688
0,699
0,708
0,717
0,725
0,732
0,739
0,745
0,750
0,756
0,760
0,765
0,769
0,777
0,781
0,784
0,788
0,791
0,796
0,799
0,821
0,837
0,849
0,858
0,866
0,873
0,878
0,912
31,9
6,28
3,73
2,87
2,45
2,202
2,035
1,916
1,826
1,755
1,698
1,651
1,611
1,577
1,548
1,522
1,499
1,479
1,460
1,414
1,429
1,402
1,391
1,380
1,371
1,361
1,344
1,337
1,279
1,243
1,217
1,198
1,183
1,171
1,161
1,11
0,510
0,578
0,620
0,649
0,672
0,690
0,705
0,718
0,729
0,739
0,748
0,755
0,762
0,769
0,775
0,780
0,785
0,790
0,794
0,798
0,802
0,809
0,812
0,815
0,818
0,820
0,825
0,828
0,847
0,861
0,871
0,879
0,886
0,892
0,897
0,925
15,9
4,40
2,92
2,37
2,090
1,916
1,797
1,711
1,645
1,593
1,550
1,515
1,485
1,460
1,437
1,418
1,400
1,385
1,370
1,358
1,346
1,326
1,316
1,308
1,300
1,293
1,279
1,274
1,228
1,199
1,179
1,163
1,151
1,141
1,133
1.09
59
Литература
1.Высшая математика. Общий курс/ Под ред. С.А. Самоля. – Минск: Вышэйшая шк., 2000.
2. Высшая математика для экономистов/ Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 1998.
3. В.С. Шипачев. Высшая математика. – М.: Высш. шк., 1985.
4. Гусак А.А. Высшая математика: Учебник для студентов вузов. В 2 т. Т.2. – 3-е изд., стереотип. – Мн.:
ТетраСистемс, 2001.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. –
М.: Высшая школа, 1980.
6. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. В 4 ч. Ч. 3, 4/ Под общей ред. А.П.Рябушко.
– Мн.: Вышэйшая школа, 1990.
60
Содержание
Стр.
П Р О Г Р А М М А .................................................................................................................................................3
Тема 1. Неопределённый интеграл .......................................................................................................................5
1.1. Понятие неопределённого интеграла .......................................................................................................5
1.2. Основные методы интегрирования ...........................................................................................................6
Тема 2. Определённый интеграл .........................................................................................................................14
2.1. Вычисление определённого интеграла ...................................................................................................14
2.2. Приложение определённого интеграла ..................................................................................................15
2.3. Несобственные интегралы .......................................................................................................................16
2.4.Интегралы с бесконечными пределами (I рода) .....................................................................................16
Тема 3. Дифференциальные уравнения ..............................................................................................................16
3.1. Дифференциальные уравнения первого порядка ..................................................................................17
3.1.1. Уравнение с разделяющими переменными ...................................................................................17
3.1.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. ...................................................18
3.1.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка................................................................18
3.1.4. Уравнение Бернулли ........................................................................................................................19
3.2. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка ...............................................................19
Тема 4. Ряды ..........................................................................................................................................................25
4.1. Числовые ряды. Основные определения. Сходимость ряда. Признаки сходимости числовых рядов
...........................................................................................................................................................................25
4.2. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами ............................................25
4.3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Теорема
Лейбница ..........................................................................................................................................................27
4.4. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда ......................................................................28
4.5. Свойства степенных рядов ......................................................................................................................29
Тема 5. Теория вероятностей и математическая статистика ............................................................................30
5.1. Пространство элементарных событий. Определение вероятности. Элементы комбинаторики .......30
5.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей ....................................................................................31
5.3. Формула полной вероятности и формула Байеса ..................................................................................33
5.4. Повторение испытаний ............................................................................................................................34
5.5. Наивероятнейшее число появлений события ........................................................................................35
5.5. Случайные величины ...............................................................................................................................36
5.6. Числовые характеристики случайных величин .....................................................................................37
5.7. Основные законы распределения случайных величин .........................................................................39
5.8. Статистические оценки параметров нормального распределения .....................................................41
Задания для самостоятельного решения ............................................................................................................44
Приложение 1........................................................................................................................................................54
Приложение 2........................................................................................................................................................55
Приложение 3........................................................................................................................................................56
Приложение 4........................................................................................................................................................57
Приложение 5........................................................................................................................................................57
Приложение 6........................................................................................................................................................59
Литература ............................................................................................................................................................60
61
Учебное издание
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ
К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 2 ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ
ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ
для студентов заочного отделения
специальности
Составители:
З.М.Алейникова, Л.И.Бородич, И.Г.Латышева, М.Н.Покатилова, А.Ф.Шидловская
Редактор
Подписано в печать _____________2010.
Формат 60 84 1 . Бумага офсетная.
16
Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс.
Усл.печ.л. ________Уч.-изд.л.________Тираж________. Заказ_______
Издатель и полиграфическое исполнение:
Белорусский национальный технический университет.
ЛИ № 02330/0131627 от 01.04.2004.
Проспект Независимости, 65, 220013, Минск.
62
