Zada4i_k_zanRtiu_3_neopredelennost

НИУ ВШЭ
МИЭМ
1 семестр, 2012-2013 уч. год
Дополнительные главы в микро- и макроэкономике.
МИКРОЭКОНОМИКА
Задания к занятию 3.
Тема: выбор потребителя в условиях неопределенности.
Задание 1. Предпочтения индивида, имеющего богатство w =$4, представимы элементарной функцией
полезности (функцией Бернулли) вида u ( x )  x . У него есть лотерейный билет, по которому индивид может
выиграть $12 с вероятностью 1 / 2 или не выиграть ничего.
(а) За какую минимальную цену индивид согласится продать этот билет? Проиллюстрируйте решение
графически.
(б) Если у индивида нет такого лотерейного билета, за какую максимальную цену он согласится купить такой
билет? Проиллюстрируйте решение графически.
Задание 2. Рассмотрите индивида, которому предложили выбрать между получением 175 руб. и участием в
лотерее, по которой можно выиграть 400 руб. с вероятностью 1 / 4 и 100 руб. с вероятностью 3 / 4 .
(а) Если известно, что индивид является рискофобом, то какую альтернативу он выберет?
(б) Предположим теперь, что индивиду предложили выбор между лотерей и получением 170 руб. Если
индивид предпочел участие в лотерее, то можно ли сделать однозначный вывод о том, что он является
рискофилом?
(в) Предположим теперь, что предпочтения индивида описываются ожидаемой функцией полезности с
элементарной функцией полезности u ( x )  x . Найдите денежный (гарантированный) эквивалент лотереи и
проиллюстрируйте его графически на двух рисунках, один из которых выполнен в осях контингентных
товаров, а другой в осях «богатство-полезность».
Задание 3. Верны ли следующие утверждения (если вы считаете, что утверждение верно, то докажите его;
если – неверно, то приведите контрпример):
(а) Агент-рискофоб никогда не будет рисковать;
(б) Агент-рискофил будет рисковать всегда?
Задание 4. Рассмотрите индивида, имеющего первоначальное богатство, равное 200 руб. Предположим, ему
предложили принять участие в игре «орел-решка» с несимметричной монетой, такой, что вероятность
выпадения «орла» равна 2 / 3 . Поставив 1 руб. индивид выиграет 3 руб., если выпадет «орел», и потеряет
свою ставку в противном случае. Пусть элементарная функция полезности индивида имеет вид: u ( x)  ln( x) .
Будем считать, что индивид может произвольно варьировать ставку и выигрыш пропорционален ставке.
Укажите все ставки, на которые индивид согласится играть, если они будут предположены, и ставки, на
которые индивид никогда не согласится. Изобразите графически.
Задание 5. Фермер на своих полях площадью 100 акров может выращивать зерно или картошку или обе
культуры. В случае хорошей погоды один акр земли зерновых приносит прибыль в $4, а один акр картофеля
приносит $2. При неблагоприятных погодных условиях один акр зерновых даст $1 прибыли, а один акр
картофеля принесет $2 прибыли. Хорошая и плохая погода равновероятны.
(а) Предполагая, что элементарная функция полезности фермера имеет вид u( x )  ln x , найдите, сколько
земли следует отдать под зерновые.
(б) Как изменился бы ваш ответ на пункт (а), если бы в случае хорошей погоды один акр зерновых приносил
не $4, а лишь $3 прибыли? (Попытайтесь ответить на вопрос, не решая вновь задачу потребителя).
(в) Предположим теперь, что отдача от зерновых такая же как в пункте (б), но элементарная функция
полезности фермера имеет вид u( x )  x 2 . Сколько земли будет отведено под зерновые в этом случае?
(Попытайтесь ответить на вопрос, не решая вновь задачу потребителя).
Задание 6. Рассмотрите модель спроса на страховку для индивида, предпочтения которого описываются
элементарной функцией полезности ux   ln x  1 . Пусть агент может потерять y % своего богатства,
равного 10000 долларов, с вероятностью  .
(а) Пусть агенту предлагается актуарно справедливая страховка. Если известно, что агент застраховался на
сумму 1500 долларов, что чему равно y ?
НИУ ВШЭ
МИЭМ
1 семестр, 2012-2013 уч. год
Дополнительные главы в микро- и макроэкономике.
МИКРОЭКОНОМИКА
(б) Считайте, что y равен величине, найденной в пункте (а), вероятность наступления страхового случая
равна 1/5, а цена страховки составляет $0,25 за каждый доллар страхового покрытия. На какую сумму
застрахуется индивид?
Задание 7. Предпочтения индивида представимы элементарной функцией полезности вида u ( x )  x . Его
богатство w составляет $10. У него есть возможность вложить свои деньги в безрисковый актив, который
принесет $2 на каждый вложенный доллар, кроме этого ему предлагается вложить деньги в актив, который
принесет $5 на каждый вложенный доллар с вероятностью 1/3 и вернет только вложенные деньги с
вероятностью 2 / 3 .
(а) Какой объем средств будет вложен данным агентом в рисковый актив?
(б) Если бы рисковый актив приносил индивиду при тех же вероятностях не $5 , а $4, то какой объем средств
был бы вложен в рисковый актив? Попробуйте ответить на данный вопрос, не решая вновь задачу
потребителя.
(в) Как изменится ответ на вопрос пункта (а), если элементарная функция полезности индивида имеет вид
u ( x)  x 2 ?
Задание 8. Окончив школу, выпускник решает, какую профессию ему выбрать. Если он станет
программистом, то его доход составляет 49 тыс. долларов в год. Если же он выберет профессию инженерастроителя, то станет зарабатывать 100 тыс. долларов, если будет рост жилищного строительства, и 16 тыс.
долларов в противном случае. Вероятность того, что рынок жилищного строительства будет на подъеме, равна
75%. Выпускник может обратиться к услугам консалтинговой фирмы для составления прогноза поведения
рынка, который с определенностью покажет, будет рост жилищного строительства или нет. Пусть
предпочтения выпускника описываются элементарной функцией полезности u  x   x . Какую
максимальную цену будет готов заплатить выпускник за услуги консалтинговой фирмы?