Средние отрезки в 4-х угольниках

Гимназия №8 им. Л. М. Марасиновой
ХIII Научно- практическая конференция
Рыбинской гимназической академии наук,
посвященная памяти В. Н. Кондратьева
Средние линии
четырехугольников.
Автор работы:
Смирнова Марина 9 «А» кл.
Научный руководитель:
Селезнева Н. Н.
г. Рыбинск
2006 г.
Гимназия №9 имени Л. М. Марисиновой
Экзаменационная работа по геометрии
Средние линии четырехугольников
Автор работы:
Смирнова Марина 9 «А» кл.
Научный руководитель:
Селезнева Н. Н.
г. Рыбинск
2006 г.
Содержание
Вступление………………………………………………………………1
Средние линии в четырехугольниках ………………………………..2
Теоремы о свойствах средних линий произвольного
четырехугольника………………………………………………………2
Примеры задач и их решение………………………………………….4
Вторая средняя линия трапеции………………………………………7
Теоремы о второй средней линии трапеции…………………………7
Примеры задач и их решение…………………………………………10
Заключение……………………………………………………………..11
Вступление
Изучая тему «Треугольники» школьного курса геометрии, такое
понятие, как средняя линия мы рассматриваем для произвольных
треугольников, а в теме «Четырехугольники» понятие средняя линия
вводится лишь для трапеции.
Возникает вопрос: нельзя ли ввести понятие средней линии для
произвольного четырехугольника (как выпуклого, так и не выпуклого) и
исследовать некоторые их свойства.
Работая над данной темой, я рассмотрела доказательства
некоторых свойств средних линий произвольных четырехугольников, с
помощью которых можно решить большое число геометрических задач.
Из рассмотренных в работе задач очень важными являются задачи,
позволяющие определить вид четырехугольника, так называемые
признаки параллелограмма, прямоугольника, трапеции, не изучаемые в
школьном курсе геометрии.
Значительное место в курсе школьной геометрии занимают задачи
о трапеции, и ее средней линии. Но, как и в произвольном
четырехугольнике, в трапеции можно рассматривать две средние линии.
При этом второй средней линией трапеции называется отрезок,
соединяющий середины ее оснований. В школьных учебниках теорем
или задач, в которых бы шла речь о двух средних линиях трапеции, нет.
В своей работе я рассмотрела несколько таких теорем и задач.
Средние линии в четырехугольниках.
Назовем средней линией четырехугольника отрезок, соединяющий
середины его противоположных сторон. Любой четырехугольник имеет
две средние линии. Отрезок Т Т и Т Т - средние линии
четырехугольника АВСD.
Рассмотрим доказательства некоторых свойств средней линии
произвольных четырехугольников.
Теорема 1:
Средние линии четырехугольника в точке пересечения делятся
пополам.
Дано: ABCD – четырехугольник.
Т Т и Т Т - средние линии.
АС и ВD – диагонали.
______________________
Т Т=ТТ и Т Т=ТТ
Доказательство:
1. Так как Т Т - средняя линия АВС, а Т Т - средняя линия
АDС, то Т Т параллельна АС и Т Т параллельна АС.
Следовательно, Т Т параллельна Т Т .
2. Так как Т Т - средняя линия АDB, а Т Т - средняя линия СDB,
то Т Т параллельна DB и Т Т параллельна DB.
Таким образом, Т Т Т Т - параллелограмм, следовательно, Т Т=Т Т
и Т Т=Т Т.
Теорема 2:
Средние линии четырехугольника равны тогда и только тогда,
когда его диагонали взаимно перпендикулярны.
Дано: ABCD – четырехугольник.
Т Т и Т Т - средние линии.
АС и ВD – диагонали.
АС=ВD
______________________
АС ВD
Доказательство:
Из теоремы №1 следует, что четырехугольник Т Т Т Т параллелограмм. Диагонали Т Т и Т Т параллелограмма равны тогда и
только тогда, когда он является прямоугольником, т. е. прямые Т Т и Т
Т перпендикулярны. А это означает, что АС перпендикулярно ВD.
Теорема 3:
Средние линии четырехугольника взаимно перпендикулярны тогда
и только тогда, когда его диагонали равны.
Дано: ABCD – четырехугольник.
Т Т и Т Т - средние линии.
АС и ВD – диагонали.
______________________
АС=ВD - ?
Доказательство:
Диагонали Т Т и Т Т параллелограмма Т Т Т Т взаимно
перпендикулярны тогда и только тогда, когда он является ромбом, т. е. Т
Т =Т Т , а это означает, что АС=2 Т Т =2 Т Т =ВD.
Средняя линия помогает в ряде задач определить вид
четырехугольника.
Рассмотрим две из них:
Задача 1:
Если в четырехугольнике одна из средних линий проходит через
точку пересечения его диагоналей, то этот четырехугольник – трапеция
или параллелограмм.
Дано: ABCD – четырехугольник.
Т Т - средняя линия.
О ТТ,
О – точка пересечения АС и ВD
______________________
АС=ВD - ?
Решение:
Пусть О – точка пересечения диагоналей АС и ВD и Т Т проходит
через точку О. Докажем, что АВ параллельно СD.
Допустим, что АВ и СD не параллельны. Через точку С проведем
прямую l, параллельную прямой АВ. Пусть l пересекает прямую ВD в
точке Н, прямую Т Т - в точке М.
Докажем, что СМ=МН
Из того, что АОТ = СОМ, АТ О= СМО, ВОТ = НОМ и
ВТ О= НМО, следует, что треугольники АОТ и СОМ подобны и
треугольники ВОТ и НОМ подобны, поэтому:
АТ :СМ=ОТ :ОМ и ОТ :ОМ=Т В:МН
Откуда АТ :СМ=Т В:МН
Так как АТ =Т В, то СМ=МН
Кроме того, по условию СТ =Т D.
Следовательно Т М – средняя линия треугольника DСН.
Тогда Т М параллельно DН. Но прямая Т М – пересекает прямую
DН в точке О.
Получили противоречие, следовательно АВ параллельно СD.
Из этой задачи вытекает несколько следствий:
Следствие 1: Если в четырехугольнике средние линии проходят через
точку пересечения диагоналей, то этот четырехугольник –
параллелограмм.
Следствие 2: Если в четырехугольнике средние линии равны между
собой и проходят через точку пересечения его диагоналей, то этот
четырехугольник – параллелограмм.
Следствие 2: Если в четырехугольнике средние линии взаимно
перпендикулярны и проходят через точку пересечения диагоналей, то
этот четырехугольник – прямоугольник.
Задача 2:
Если в четырехугольнике полусумма длин двух противоположных
сторон равна длине средней линии, соединяющей две другие стороны, то
этот четырехугольник – трапеция.
Дано: ABCD – четырехугольник.
Т Т - средняя линия.
Т Т =1/2 (АD+ВС)
М – середина диагонали АС.
_________________________________
АВСD – трапеция (параллелограмм)
Решение:
Докажем, что АD параллельна ВС.
М – середина диагонали АС, и Т Т =1/2(АD+ВС), тогда Т М –
средняя линия треугольника АВС, поэтому Т М=1/2ВС и Т М=1/2АD.
Из того, что Т М+МТ =1/2ВС+1/2АD=1/2(АD+ВС)=Т Т ,делаем
вывод, что точка М принадлежит отрезку Т Т .
Так как Т М параллельна ВС и Т М параллельна АD, то Т Т
параллельна ВС и АD.
Следовательно, АD параллельна ВС.
Из задач 1 и 2 получаем следствие:
Следствие 4: в четырехугольнике средняя линия имеет длину, равную
полусумме длин двух сторон, не имеющих с ней общих точек, и
проходит через точку пересечения его диагоналей, то этот
четырехугольник – параллелограмм.
С помощью рассмотренных свойств, средних линий произвольного
четырехугольника можно решить множество разных задач.
Например:
Задача 3:
Диагонали четырехугольника АВСD равны d и d , средние линии
равны между собой.
Найти длины средних линий и площадь четырехугольника АВСD.
Дано: ABCD – четырехугольник.
Т Т и Т Т - средние линии.
d и d – диагонали.
______________________
S - ?; Т Т - ?; Т Т - ?
Решение:
1. Пусть Т Т Т Т - прямоугольник (по теореме №2)
Учитывая,что Т Т =1/2АС=1/2 и Т Т =1/2ВD=1/2 получим
Т Т параллельно АС (из теоремы №2) и Т Т параллельно ВD
(из первого), Т Т перпендикулярно Т Т (из первого).
Следовательно, АС перпендикулярно ВD, значит ВЕ
перпендикулярно АС, и DЕ перпендикулярно АС.
2. S =S +S =1/2 АС ВЕ+1/2 АС DE=1/2 АС (ВЕ+DE)=1/2 d d .
Задача 4:
Средние линии четырехугольника равны между собой.
Доказать, что точки Т и Т принадлежат одной окружности.
Дано: ABCD – четырехугольник.
Т Т и Т Т - средние линии.
Т Т Т Т - прямоугольник
______________________
Решение:
Т Т Т Т - прямоугольник (по условию), а около всякого
прямоугольника можно описать окружность (ее центр – это точка Т
пересечения средних линий четырехугольника АВСD).
Вторая средняя линия трапеции.
Задачи о трапеции занимают видное место в школьной геометрии.
Изучая свойства средней линии в треугольниках, мне стало интересно,
какими свойствами этот компонент обладает в трапеции.
Рассмотрим группу задач, связанных со второй средней линией
трапеции.
Итак, второй средней линией трапеции называется отрезок,
соединяющий середины оснований.
Теорема 1:
Площадь трапеции равна произведению второй средней линии на
диагональ трапеции и на синус угла между ними.
Дано: ABCD - трапеция.
Т Т - средняя линия.
АС – диагональ.
______________________
S =AC Т Т Sin
Доказательство:
Соединив точки А и Т , С и Т , и рассмотрев треугольник AOT ,в
котором S =1/2 АО Т О Sin , S =1/2 Т О СО Sin , S =1/2 АО Т О Sin ,
S =1/2 Т О СО Sin , получим, что S = 1/2 Т Т АС Sin ,где - угол
между отрезками Т Т и АС.
Но треугольники АВТ и Т СТ , а также АСТ и СТ D равновелики.
Значит площадь трапеции АВСD равна удвоенной площади
трапеции АТ СТ , что и доказывает утверждение теоремы.
Теорема 2:
Средние линии трапеции в точке пересечения делятся пополам.
Дано: ABCD - трапеция.
Т Т и Т Т - средние линии.
АС – диагональ.
______________________
Т Т=ТТ и Т Т=ТТ
Доказательство:
Чтобы доказать, что в трапеции средние линии в точке пересечения
делятся пополам, надо доказать, что четырехугольник Т Т Т Т параллелограмм.
1. Рассмотрим АВС, в котором Т Т является средней линией.
Известно, что в треугольнике средняя линия параллельна
основанию, значит Т Т параллельна АС.
Рассмотрим АDС, в котором Т Т является средней линией.
Аналогично АС параллельна Т Т .
2. Рассмотрим АВС, в котором Т Т - средняя линия.
Известно, что в треугольнике средняя линия равна ½
основания, значит Т Т =1/2 АС
Рассмотрим АDС, в котором аналогично Т Т =1/2 АС.
Так как Т Т =1/2 АС и Т Т =1/2 АС, то Т Т =Т Т
Из первого и второго следует, что Т Т Т Т - параллелограмм,
значит утверждение верно.
Теорема 3:
В трапеции АВСD через точки Т и Т , а также точку X, взятую на
продолжении диагонали трапеции, проведены две прямые,
пересекающие боковые стороны трапеции в точках N и K.
Доказать, что середина отрезка NK принадлежит второй средней
линии.
Дано: ABCD - трапеция.
LX АВ=N
Т X DC=K
Т Т - средняя линия
______________________
F ТТ
Доказательство:
Докажем, что отрезок NK параллелен основаниям трапеции АВСD.
Обозначим через точку F точку пересечения Т Т с NK. Через L –
точку пересечения отрезков ХТ и AD.
Треугольники ANL и ВNT - подобны, т. к. NL ВТ .
Кроме того, отрезок Т С параллелен отрезку AL, значит
треугольник AXL подобен треугольнику РХС и из этого следует, что
AN:NВ=AL:ВТ =AL:СТ =АХ:СХ.
Аналогично DK:KC=AX:CX, значит AN:NB=DK:KC.
Следовательно, отрезки NK, АD и ВС параллельны и NF=FK.
Задача 1:
Площадь трапеции АВСD равна S. Найти площадь
четырехугольника Т Т Т Т .
Дано: ABCD - трапеция.
S =S
_____________________
S
-?
Решение:
Обозначим площадь треугольников Т ВТ , Т СТ , Т DТ , Т АТ
через S , S , S , S соответственно.
Тогда S +S =1/2 S =1/4 S
S +S =1/2 S =1/4 S
Значит S =S-(S +S +S +S )=1/2 S
Задача 2:
В трапеции АВСD сумма углов при меньшем основании равна 270 .
Найдите длину второй средней линии, если основания равны а и b
(a>b)
Дано: ABCD - трапеция.
ABC+ DCB=270 .
BC=b; AD=a.
_____________________
ТТ -?
Доказательство:
В треугольнике AED: EAD+ EDA=360 -270 =90 , значит
AED=90 , поэтому ET =a/2 и Т Т =ET –ET =(a-b)/2.
Заключение
Таким образом, используя понятие средней линии произвольного
четырехугольника, второй средней линии трапеции, можно значительно
расширить круг задач, решаемых в школьном курсе геометрии.
Рассмотренные в работе теоремы о свойствах средних линий
четырехугольника позволяют находить новые способы решения многих
геометрических задач; в отдельных задачах помогают определить вид
рассматриваемого четырехугольника, увеличивая тем самым число
изучаемых в школьном курсе геометрии признаков отдельных видов
четырехугольников: параллелограмма, прямоугольника, трапеции.
Работа над этой темой помогла мне обобщить и систематизировать
знания по решению планиметрических задач. Это поможет мне лучше
разобраться в курсе стереометрии, а также успешнее сдать единый
государственный экзамен по математике в 11 классе.
Эту работу можно использовать на факультативных занятиях,
предметном кружке, при подготовке к олимпиаде.