Задачи, ответы, решения по математике

Олимпиада Гимназии 1514
по математике
для учащихся 4 классов
(26 февраля 2012 года)
Решать задачи можно в любом порядке.
Необходимо не только написать ответ, но и привести решение
(то есть объяснить, как этот ответ получен).
(В скобках указан процент решивших данную задачу (возможно, с недочетами) от
общего числа участников олимпиады)
1. (37%)Сумма 2012 натуральных чисел равна 2013. Чему равно их произведение?
(Напоминаем, что натуральные числа – это числа 1, 2, 3, 4 и т.д.)
Ответ: 2.
Решение. Самое маленькое натуральное число равно 1. Поэтому если сложить 2012
единиц, то в сумме уже получим 2012. Значит, одно из чисел набора равно 2. Только в
этом случае сумма будет равна 2013. Произведение всех чисел набора равно
1111....... 1 2  2
2. (63%) Алиса и Белый Кролик в полдень вместе вышли из домика Кролика и
пошли на прием к Герцогине. Пройдя полпути, Кролик вспомнил, что забыл
перчатки и веер, и вернулся за ними домой. В результате Алиса пришла к
Герцогине за 5 минут до начала приема, а Кролик опоздал на 10 минут. Алиса
и Кролик шли с постоянными и одинаковыми скоростями. На какое время
был назначен прием у Герцогини?
Ответ: на 12 часов 20 мин.
Решение. Когда Алиса дойдет до дворца Герцогини, Кролик вернется обратно к
своему дому. Поскольку Кролик пришел во дворец на 15 мин. позже Алисы, на путь
от дома до дворца он потратил эти 15 мин. Следовательно, Алиса шла до дворца
также 15 мин. и пришла за 5 мин. до приема. Поскольку Алиса вышла из дома в
полдень, прием был назначен на 12 часов 20 мин.
3. (54%)Четыре ученика – Витя, Петя, Юра и Сережа заняли на
математической олимпиаде первые 4 места. На вопрос о том, какие места они
заняли, были даны следующие ответы:
 Петя – второе, Витя – третье;
 Сергей – второе, Петя – первое;
 Юра – второе, Витя – четвертое.
Кто же занял какое место, если в каждом ответе одна часть верна, а другая
– нет?
Ответ: 1-Петя, 2-Юра, 3-Витя, 4-Сергей.
Решение. Если правда, что Петя занял 2 место, то неверным будет утверждение,
что Сергей на 2 месте. Но тогда Петя должен оказаться на 1 месте, что
невозможно. Значит, верным должно быть утверждение «Витя занял 3 место», а
тогда Петя не должен оказаться на втором месте. Если бы при этом Сергей
занял бы 2 место (а тогда Петя не первое), то для Пети останется только 4 место.
Но тогда обе части последнего высказывания будут неверными. Значит, будет
верным «Петя занял 1 место», тогда Сергей не на 2 месте. Тогда Сергей
окажется только на 4 месте, а Юра – на 2.
4. (63%) Отрезок АВ пересечён ломаной линией, как показано на рисунке. При
этом получилось четыре квадрата. Чему равна длина ломаной, если длина
АВ равна 7 см?
Ответ: 21см.
Решение.Рассмотрим первый квадрат, находящийся над отрезком. Длина части
ломаной, образованной тремя сторонами первого квадрата, в три раза больше
левого кусочка отрезка АВ. Длина следующей части ломаной в три раза больше
следующего (второго) куска отрезка АВ. Аналогично для остальных частей ломаной.
Таким образом, длина всей ломаной в три раза больше длины отрезка АВ, то есть
равна 21 см.
5.(6%) Тому Сойеру было поручено покрасить забор. Четвертую часть работы он
выполнил сам, затем передал кисть Бену, который работал 15 минут, причем
водил кисточкой в два раза быстрее, чем Том. После Бена за дело взялся Билл,
который работал втрое быстрее, чем Том, и закончил всю работу за 5 минут.
Сколько времени потратили мальчики на покраску всего забора?
Ответ: 35 мин.
Решение. Если бы Том выполнял работу Бена, он затратил бы на это 30 минут,
поскольку работал в 2 раза медленнее, чем Бен. Если бы Том выполнял работу Билла,
он затратил бы на это 15 минут, поскольку работал в 3 раза медленнее, чем Билл.
Значит, Том выполнил бы оставшиеся ¾ всей работы за 45 минут. Стало быть,
свою четверть забора он красил 15 минут. Следовательно, на покраску забора ушло
на самом деле 15+15+5=35минут.