Волны в упругих средах

ТЕМА 9. ВОЛНЫ В УПРУГИХ СРЕДАХ
9.1. Уравнение плоской бегущей волны
Упругой волной называется явление (процесс) распространения
механических колебаний в упругих средах. Среда называется упругой, если
ее деформация, вызванная внешней силой, полностью исчезает после
прекращения действия этой силы. Согласно закону Гука, упругая
деформация пропорциональна величине внешней силы, т.е. зависит от нее по
линейному закону. Упругость среды обусловлена межмолекулярными
силами притяжения и отталкивания; тем не менее, рассматривая волновой
процесс, мы будем считать среду сплошной (непрерывной), отвлекаясь от ее
молекулярного строения.
Источником волны называется тело, совершающее колебания в
упругой среде. В процессе колебаний это тело воздействует на прилегающие
к нему слои среды; в результате этого они вовлекаются в вынужденные
колебания и деформируют прилегающие к ним соседние слои. Таким
образом в упругой среде распространяются механические колебания, т.е.
волна.
При распространении волны частицы среды лишь вовлекаются в
вынужденные колебания, не перемещаясь вместе с волной. Поскольку в
процессе распространения волны в колебательный процесс вовлекаются все
новые и новые области среды, распространение волны сопровождается
переносом энергии. Именно поэтому такие волны называются бегущими
(позже речь пойдет о стоячих волнах, которые не переносят энергию).
Лучом волны называется линия, касательная к которой в каждой
ее точке совпадает с направлением распространения волны, т.е. с
направлением переноса энергии. В однородной среде луч волны
представляет собой прямую линию. Упругая волна называется продольной,
если частицы среды колеблются вдоль направления ее распространения.
Продольные волны обусловлены объемной деформацией, поэтому они могут
распространяться в твердых, жидких и газообразных средах. Упругая волна
называется поперечной, если колебания частиц среды происходят
перпендикулярно направлению ее распространения. Поперечные волны
обусловлены деформацией сдвига, поэтому распространяются они только в
твердых телах. Волна называется синусоидальной (гармонической), если
колебания источника волны происходят по гармоническому закону, т.е. со
строго определенной частотой. Поперечные синусоидальные волны
характеризуются поляризацией, т.е. направлением колебаний частиц среды.
Если частицы колеблются вдоль отрезка прямой, поперечная волна
называется линейно поляризованной. Если же траектория движения частиц
представляет собой эллипс или окружность, волна называется эллиптически
поляризованной или циркулярно поляризованной.
1
Волновой поверхностью называется геометрическое место точек
среды с одинаковой фазой колебаний. Волна называется плоской, если
поверхности равных фаз представляют собой параллельные плоскости.
Если же поверхности равных фаз представляют собой концентрические
сферы, волна называется сферической.
Волновым фронтом в определенный момент времени называется
геометрическое место точек среды, до которых распространилась волна
к этому моменту. Иначе говоря, волновой фронт – это поверхность, которая
отделяет часть пространства, вовлеченную в колебательный процесс, от
части пространства, которая в этот процесс еще не вовлечена. Понятно, что
волновой фронт всегда один, волновых поверхностей – множество.
Уравнением бегущей волны называется функция, выражающая
зависимость от координат и времени смещения частиц среды из
положения равновесия, обусловленного распространением волны. Пусть
источник волны находится на оси OX в точке с координатой x  0 и
совершает колебания по закону S  A sin( t   0 ) . В результате этого в упругой
среде возникает волна, которая распространяется вдоль оси OX со скоростью
 . Вследствие конечности скорости, колебания частиц среды в точках с
абсциссой x возникнут спустя промежуток времени x /  после их начала в
точке x  0 , и будут происходить по закону S  A sin(  (t  x /  )   0 ) . По такому
же закону будут колебаться все частицы среды, находящиеся в плоскости,
перпендикулярной оси OX в точке с координатой x . Поэтому равенство
 

x
S ( x, t )  A sin    t     0 
  

(10.1)
можно рассматривать как уравнение плоской синусоидальной волны,
распространяющейся вдоль оси абсцисс. Зафиксируем в этом уравнении
значение координаты, положив x  x0 . В результате получим
  x 

S ( x0 , t )  A sin   t  0    0  ,
 
 

т.е. закон колебаний всех частиц среды с абсциссой x 0 . Если же
зафиксировать в (10.1) время, полагая t  t 0 , придем к уравнению
 

x
S ( x, t 0 )  A sin    t 0     0  .

 

(10.2)
Это равенство определяет отклонение от положения равновесия частиц
среды с различными координатами в момент времени t 0 , обусловленное
распространением волны. Можно сказать, что уравнение (10.2)
представляет собой «мгновенную фотографию волны» в рассматриваемый
момент времени.
Расстояние, проходимое волной за время, равное одному периоду
колебаний, называется длиной волны. Из определения следует, что   T
(здесь  - длина волны, T - период колебаний). Наряду с длиной волны, в
2
качестве ее характеристики используется волновое число k  2 /  и
волновой вектор
k
2

(10.2А)
n,
где n - единичный вектор, отложенный вдоль луча волны. Из определения
следует, что в системе СИ волновое число представляет собой количество
длин волн, укладывающихся на отрезке прямой длиной 2 метров (на
практике под волновым числом понимается количество длин волн на отрезке
в 1 см).
Преобразуем уравнение (10.1) следующим образом:
 


x


S ( x, t )  A sin    t     0   S ( x, t )  A sin  t  x   0  .



  

(10.3)
Нетрудно показать, что k   /  :
 2 
 2 T


:  
   k.

T T

T 

Заменив в (10.3) отношение  /  волновым числом, получим:
S ( x, t )  A sin t  kx   0  .
(10.4)
Далее составим уравнение плоской волны, распространяющейся из
начала трехмерной системы координат в направлении волнового вектора k .
На рис. 10.1 видно, что в точку среды с радиус-вектором r волна придет
Z

k 
r
Y
O
X
Рис. 10.1
после начала колебаний источника через промежуток времени t  r cos  /  .
Так как величину r cos можно рассматривать как скалярное произведение
(r, n) , искомое уравнение можно записать следующим образом:
  ( r n) 

   0   S (r , t )  A sin  t   (r , n)   0  .
S (r , t )  A sin    t 
 


 


 

(10.5)
Поскольку  /   k , по свойству скалярного произведения векторов
3

(r , n)  (k n, r )  (k , r ) . Следовательно, уравнение (10.5) примет вид:

S (r , t )  A sin t  (k , r )   0 .


(10.6)
Волновым уравнением называется дифференциальное уравнение
второго порядка в частных производных, которому удовлетворяет
уравнение волны:
2S 2S 2S
1 2S
.



x 2 y 2 z 2  2 t 2
(10.7)
Здесь S  S ( x, y, z, t ) – функция трех пространственных координат и времени,
которая по сути представляет собой уравнение волны,  - скорость ее
распространения. Можно сказать, что функция S  S ( x, y, z, t ) получается в
результате интегрирования (решения) волнового уравнения.
Волновое уравнение можно представить в более компактном виде,
если воспользоваться оператором Лапласа:

2
2
2
.


x 2 y 2 z 2
Подействовав этим оператором на функцию (10.6), получим:
S 
2S 2S 2S
.


x 2 y 2 z 2
С учетом этого равенства волновое уравнение (10.7) можно переписать
следующим образом:
S 
1 2S
.
 2 t 2
9.2. Фазовая и групповая скорость волн
Пусть в упругой среде вдоль оси OX распространяется плоская
синусоидальная волна
S ( x, t )  A sin t  kx   0  .
Предположим, что фаза колебаний, вызванных этой волной, в точке среды с
координатой x в момент времени t имеет значение  C :
 C  t  kx   0 .
Выразив из этого равенства переменную x , мы находим тем самым
зависимость от времени координаты точки среды, в которой фаза колебаний
имеет именно это значение:
x
1
(t   C   0 ) .
k
(10.8)
Иначе говоря, равенство (10.8) представляет собой закон, по которому фаза
колебаний, имеющая значение  C , «перемещается» вдоль оси абсцисс.
Исходя из этого понятно, что производная координаты x по времени дает
нам скорость перемещения фазы:
4
dx 
 .
dt k
(10.9)
Согласно (10.3А),  / k   ; следовательно, скорость распространения
синусоидальной волны совпадает со скоростью перемещения фазы
колебаний. Именно поэтому скорость, определяемая равенством (10.9),
получила название фазовой скорости волны.
Опыт показывает, что любой колебательный процесс, протекающий в
природе, ограничен во времени. В соответствии с этим в природе не
существует идеальных синусоидальных волн, т.е. волн бесконечной
протяженности со строго определенной частотой; любая реальная волна
представляет собой т.н. волновой цуг, т.е. «отрезок» волны. Если
механические свойства среды не изменяются в процессе распространения
упругой волны, то при распространении нескольких волн выполняется
принцип суперпозиции: результирующее возмущение в некоторой точке
среды равно сумме возмущений, вызванных в этой же точке каждой волной в
отдельности. Если, например, смещение определенной точки среды,
обусловленное i -ой волной, равно S i , то результирующее смещение этой же
точки, вызванное n волнами, представляет собой сумму:
n
S   Si .
i 1
Принцип суперпозиции не выполняется лишь в том случае, если амплитуда
волн больше некоторого значения, характерного для каждой среды (в этом
случае имеет место нарушение закона Гука).
В математике доказывается, что любой волновой цуг можно
представить в виде суперпозиции синусоидальных волн, частоты и волновые
числа которых имеют значения в определенных промежутках
протяженностью  и k . Такой набор синусоидальных волн называется
волновым пакетом, или группой волн. В пределах пакета синусоидальные
волны взаимно усиливаются, за его пределами – гасят друг друга вследствие
интерференции. Зависимость амплитуды колебаний частиц среды от
координаты в пределах пакета определяет его форму. Если волновой пакет
распространяется вдоль какого-то направления (например – вдоль оси OX ),
то его пространственная протяженность x связана с протяженностью
промежутка k выражением x  k  2 . Из этого соотношения видно, что
чем меньше x , тем шире промежуток k и, соответственно, промежуток  .
При распространении волнового пакета весьма существенное влияние
на его форму имеет дисперсия, т.е. зависимость фазовой скорости
синусоидальных волн, образующих пакет, от их частоты. В отсутствие
дисперсии все синусоидальные волны, образующие пакет, распространяются
с одинаковой скоростью    / T . С такой же скоростью перемещается и
пакет, при этом его форма с течением времени не изменяется. На рис. 10.2,а
изображена форма волнового пакета, т.е. зависимость амплитуды колебаний
от координаты частиц среды в начальный момент времени. При наличии
дисперсии пакет деформируется (расплывается), и его пространственная
5
протяженность увеличивается (рис. 10.2,б). Если дисперсия невелика,
деформация пакета происходит достаточно медленно; в этом случае пакету
можно приписать скорость перемещения точки с максимальной амплитудой,
которая называется групповой скоростью. Если волновой пакет образован
A
A
а)
б)
xm
X
X
Рис. 10.2
суперпозицией волн с непрерывно изменяющейся частотой, то групповая
скорость представляет собой производную:
u
d
.
dk
(10.10)
Необходимо подчеркнуть, что мы нашли групповую скорость как скорость
перемещения точки волнового пакета с максимальной амплитудой.
Поскольку энергия колебаний пропорциональна квадрату ее амплитуды,
величина u характеризует также скорость переноса волной энергии.
Далее найдем соотношение между групповой и фазовой скоростью.
Согласно (10.3А) и (10.10) имеем:
  k ; u 
d
k   u    k d .
dk
dk
(10.11)
Умножим числитель и знаменатель второго слагаемого в правой части
последнего равенства на d и выполним элементарные тождественные
преобразования:
u   k
d d
d d

 u   k

.
dk d
d dk
Согласно (10.2А)   2 / k ; поэтому
d
2
 2 .
dk
k
(10.12)
Сделав в выражении (10.11) замену (10.12), получим:
2 d
d
, u   .
k d
d
Легко видеть, что в случае отсутствия дисперсии ( dv / d  0 ) u   , т.е.
u  
групповая скорость совпадает с фазовой.
9.3. Энергия упругих волн
Упругая среда, в которой распространяется волна, обладает
кинетической энергией колебательного движения частиц и потенциальной
энергией, обусловленной упругой деформацией среды. Для того чтобы найти
6
потенциальную энергию среды, вычислим вначале энергию упруго
деформированного стержня, расположенного вдоль оси OX , как работу,
которую необходимо совершить для увеличения его длины на x (рис. 10.4).
Если растяжение стержня производить достаточно медленно, внешняя
(деформирующая) сила по модулю будет равна силе упругости. Тогда в
соответствии с законом Гука зависимость модуля внешней силы от
координаты x торца стержня, который перемещается при удлинении,
F
O
x0
x
X
Рис. 10.4
определяется равенством F ( x)  k ( x  x0 ) , а работа этой силы равна
определенному интегралу:
A
x0  x
 F ( x)dx .
(10.18)
x0
Используя равенство (10.13А), выразим силу через модуль Юнга:
 
 x

x  x0 F ( x  x0 ) E
F
,
,

 F  Es   1 .
s
s
x0
x0
 x0

(10.19)
Сделаем в в подынтегральном выражении (10.18) замену (10.19), вычислим
интеграл и выполним элементарные тождественные преобразования:
x0  x
2
 x  x
 x

(x) 2  x0
(x) 2
 A  Es 
 A  Es   0 .
A   Es   1dx  A  Es
2 x0  x0
2 x0
 x0  2
 x0

x0
x
1
Поскольку x / x0   , A  Es 2 0  A  E 2 ( s  x0 ) . Произведение в скобках
2
2
равно начальному объему стержня: s  x0  V . Поэтому
1
A  E 2 V .
(10.20)
2
При возвращении в недеформированное состояние стержень может
совершить такую же работу над внешними телами; следовательно, равенство
(10.20) определяет потенциальную энергию упруго деформированного
стержня. Разделив это выражение на объем, получим объемную плотность
потенциальной энергии:
WPV 
 2E
2
.
Выберем на стержне участок с координатами сечений x и x  x . Пусть
этот участок длиной x имеет деформацию S . Понятно, что деформации в
различных сечениях отличаются, но отношение S / x - это усредненное
значение относительной деформации рассматриваемого участка. Для того
7
чтобы найти относительную деформацию  в сечении с координатой x ,
необходимо перейти к пределу:

lim S
S
 
x  0 x
x
(10.13)
(здесь мы используем символ частной производной, поскольку численное
значение относительной деформации в любом сечении стержня зависит как
от координаты, так и от времени).
Пусть в рассматриваемом стержне распространяется плоская
продольная волна
(10.20А)
S ( x, t )  A cost  kx   0  .
Выделим в стержне объем V , малый настолько, что скорость движения всех
его частиц и относительную деформацию в каждом его сечении можно
считать одинаковой. Поскольку скорость колебательного движения частиц
среды равна производной S / t , выделенный объем массой m  V обладает
кинетической энергией
WK 
V  S 
2
  .
2  t 
Кроме того, этот объем обладает и потенциальной энергией
E  S 
WP    V .
2  x 
2
(10.21)
Используя формулу (10.17А), выразим модуль Юнга через скорость волны и
подставим в (10.21):
E


 E   , WP 
2
 2  S 
2
  V .
2  x 
Полную энергию выделенного объема стержня найдем как сумму его
кинетической и потенциальной энергии:
  S 
 2  S 
2
2
  V 
  V .
2  t 
2  x 
Разделив это равенство на V , получим выражение для объемной плотности
W 
энергии стержня:
WV 
  S 
2
  
2  t 
 2  S 
2
2
  .
 x 
(10.22)
Из уравнения волны (10.20А) найдем производные S / t , S / x и подставим
в (10.22):
S
S
 A sin( t  kx   0 ) ,
 kAsin( t  kx   0 ) ,
t
x
WV 

2

2

A 2 sin 2 (t  kx   0 )  k 2 2 A 2 sin 2 (t  kx   0 ) .
Поскольку k   ,
8
WV 

2
sin 2 (t  kx   0 )( 2 A 2   2 A 2 )  WV   2 A 2 sin 2 (t  kx   0 ) . (10.23)
Таким образом, объемная плотность энергии среды, в которой
распространяется волна, пропорциональна плотности среды, квадрату
частоты и амплитуды колебаний в определенный момент времени. Заменив в
(10.23) квадрат синуса его средним за период значением, равным ½, найдем
среднюю по времени объемную плотность энергии:
WV 
1
 2 A 2 .
2
(10.23А)
9.4. Вектор Умова
Выберем в упругой среде поверхность, площадь которой мала
настолько, что ее можно считать частью плоскости, в каждой точке которой
направление распространения, амплитуда колебаний и скорость волны
одинаковы. Пусть через такую поверхность площадью ds (далее мы будем
называть ее элементарной поверхностью) за промежуток времени dt волной
переносится энергия dW . Количество энергии, переносимой через
элементарную поверхность в единицу времени, называется потоком
энергии через эту поверхность:
d 
dW
.
dt
Из определения следует, что единицей измерения потока энергии в СИ
является 1 Дж/с =1 Вт. Поскольку в различных точках среды направление
распространения волны и ее скорость, вообще говоря, могут различаться, в
качестве характеристики энергии, переносимой волной, используется вектор
плотности потока энергии:
j
dW
n.
ds  dt
(10.24)
Здесь ds  - площадь проекции поверхности на плоскость, перпендикулярную
лучу волны, n - единичный вектор вдоль направления луча. Легко видеть, что
модуль вектора j равен потоку энергии через поверхность единичной
площади, перпендикулярной направлению распространения волны;
единицей измерения служит 1 Вт/м2.
Энергию, переносимую волной через элементарную поверхность
площадью ds за промежуток времени dt , можно представить следующим
образом:
dW  WV ds dt
(здесь WV - объемная плотность энергии среды,  - скорость волны).
Подставим это выражение в формулу (10.24):
j
WV ds  dt
 n  j  WV  n  j  WV  .
ds  dt
(10.25)
9
Вектор плотности потока энергии, переносимой упругой волной, называется
вектором Умова. Заменив в (10.25) объемную плотность энергии ее средним
за период значением (10.23А), получим усредненный по времени вектор
плотности потока энергии:
j 
1
 2 A 2  .
2
(10.25А)
Модуль этого вектора называется интенсивностью волны:
I
1
 2 A 2 .
2
(10.25Б)
Для того чтобы найти поток энергии, переносимой волной, через
произвольную поверхность площадью s , ее следует разделить на
элементарные поверхности. За промежуток времени dt через одну из них
площадью ds пройдет энергия
dW  jdsdt cos  .
(10.26)
Здесь j - модуль вектора Умова в точке среды, где находится
рассматриваемая поверхность,  - угол между нормалью к ней и вектором j
(рис. 10.5). Если площадь элементарной поверхности считать вектором
ds  ds  n , то равенство (10.26) можно представить в виде скалярного
произведения: dW  ( j,ds)dt . Разделив это равенство на dt , получим поток
энергии через элементарную поверхность: d  ( j, ds) . Поток энергии
n
dS

j
Рис. 10.5
через всю поверхность площадью s , который равен сумме потоков через все
элементарные поверхности, выражается интегралом:
   ( j , dS ) .
S
Опыт показывает, что в процессе распространении упругих волн
энергия колебаний частиц среды частично превращается в ее внутреннюю
энергию (тепло). Это явление, обусловленное различными
неконсервативными силами, называется поглощением волны. В частности,
поглощение волны в жидкостях и газах обусловлено силами внутреннего
трения. В результате поглощения амплитуда волны уменьшается по мере ее
распространения. В частности, в однородной среде амплитуда плоской
волны, распространяющейся вдоль оси OX , уменьшается по закону
A  A0 e x .
(10.28)
Здесь A0 - амплитуда волны при x  0 ,  - коэффициент линейного
поглощения среды, зависящий от ее свойств и частоты волны. Полагая в
10
(10.28) A  1/ e , найдем расстояние, на котором амплитуда уменьшится в e
раз:
A0
1
 A0 e l  l  .
e

Следовательно, коэффициент линейного поглощения среды можно найти как
величину, обратную расстоянию, на котором амплитуда волны уменьшается
в e раз.
9.5. Стоячие волны
Как уже отмечалось, если разность фаз колебаний любой точки среды,
вызванных несколькими волнами, не изменяется во времени, такие волны
называются когерентными. В результате суперпозиции двух или большего
количества когерентных волн в определенной области среды может
наблюдаться явление интерференции. Оно состоит в том, что этой области
возникает устойчивая картина увеличения амплитуды колебаний в одних
точках и уменьшения ее в других точках. Важное в практическом отношении
явление интерференции имеет место в случае суперпозиции двух встречных
плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий при этом
колебательный процесс называется стоячей волной.
Пусть вдоль оси OX распространяются в противоположных
направлениях две плоские когерентные волны c одинаковыми амплитудами и
нулевыми начальными фазами:
S1  A cos(t  kx) , S 2  A cos(t  kx) .
В результате их суперпозиции возникает колебательный процесс, уравнение
которого
S  A cos(t  kx)  A cos(t  kx) .
Выполнив ряд тождественных преобразований, получим:
(10.29)
S  2 A cos kx  cos t .
Сделаем здесь замену k  2 /  :
2x 

S   2 A cos
 cos t .
 

(10.30)
Поскольку выражение в скобках не зависит от переменной t , его модуль
можно рассматривать как амплитуду колебательного процесса. Из уравнения
(10.30) следует, что в каждой точке среды, вовлеченной в колебательное
движение, частота колебаний равна частоте волны, амплитуда же колебаний
зависит от координаты точки. В тех точках среды, координаты которых
удовлетворяют условию
2
x

 m  x 

2
m , mZ ,
амплитуда колебаний максимальна; эти точки называются пучностями
волны. Если же координаты точек удовлетворяют условию
11
2
1

1

   m    x   m  , m  Z ,

2
2
2

x
амплитуда колебаний в них равна нулю (узлы волны). Легко показать, что
расстояние между соседними узлами, как и между пучностями, равно  / 2 .
Из уравнения (10.30) следует, что в начальный момент времени ( t 0  0 )
cos t  1, поэтому отклонения частиц среды от положения равновесия имеют
максимальные значения. Уравнение волны в этот момент времени
S ( x, t 0 )  2 A cos
2x

,
(10.31)
график функции (10.31) изображен на рис. 10.6 сплошной линией. Спустя
S
2A
X
O
 2A
Рис. 10.6
четверть периода cos t 0  T / 4  0 , поэтому отклонение всех частиц среды от
положения равновесия равно нулю. Понятно, что график соответствующего
уравнения волны ( S  0) на рис. 10.6 совпадает с осью абсцисс. Спустя еще
четверть периода cos t 0  T / 2  1 , т.е. отклонения частиц от положения
равновесия максимальны, однако противоположны по направлению
отклонениям частиц при t 0  0 . Уравнение волны в этот момент времени
T
2x

S  x, t 0    2 A cos
,
2


(10.32)
график функции (10.32) изображен на рис. 10.6 пунктирной линией.
Теперь сформулируем отличия колебаний частиц среды в случае
распространения одной плоской волны и двух плоских волн
противоположного направления. Если в среде распространяется одна волна,
любая частица совершает колебания с амплитудой, равной амплитуде волны
( A ). При наличии двух встречных волн амплитуда колебаний различных
частиц зависит от их координаты: существуют точки с нулевой амплитудой
(узлы), а также точки с максимальной амплитудой, равной 2 A (пучности
волны). Иначе говоря, амплитуда колебаний промодулирована по координате
частиц среды.
Производная уравнения (10.30) по переменной t дает скорость
колебательного движения частиц среды с различными координатами:
12
  2A cos
2x

sin t .
(10.33)
Продифференцировав функцию (10.30) по переменной x , найдем
относительную деформацию среды в момент времени t :
 2x 
sin 
(10.34)
 cos t .

  
В начальный момент времени ( t 0  0 ) sin t 0  0 , cos t 0  1 . Согласно (10.31),
 
4A
(10.33) и (10.34), скорость всех частиц равна нулю, их отклонение от
равновесного положения и относительная деформация среды максимальна:
S ( x, t 0 )  2 A cos
2x

,  ( x, t 0 )  
4A
 2x 
sin 
.

  
(10.35)
Следовательно, в этот момент времени энергия среды сосредоточена
главным образом в окрестности тех ее точек, где относительная деформация
имеет наибольшее значение. На графиках функций (10.35), приведенных на
рис. 10.7,а, эти точки отмечены черными кружками. Можно показать, что
б)
a)
S
S
X
O
X
O


X
O

O



4
2


3 
4
X


O


4

3
4
X
O
X
Рис. 10.7
спустя четверть периода, т.е. в момент t  t 0  T / 4 , отклонение частиц от
положения равновесия и относительная деформация равны нулю, скорость
частиц - максимальна. Следовательно, в этот момент времени энергия среды
локализована преимущественно в тех точках, где наибольшее значение имеет
скорость колебательного движения. На графике скорости (см. рис. 10.7,б)
13
видно, что эти точки, отмеченные светлыми кружками, отстоят на четверть
длины волны от точек, где в момент t 0  0 наибольшее значение имела
деформация среды. Можно показать также, что спустя еще четверть периода
скорость частиц вновь станет равной нулю, относительная деформация
максимальна, а энергия среды будет сосредоточена в точках, обозначенных
черными кружками.
Таким образом, через каждые четверть периода энергия упругой среды
меняет место локализации – она смещается на четверть длины волны в
противоположных направлениях. Поэтому суммарный поток энергии через
любую плоскость, перпендикулярную лучу волны, за промежуток времени,
не меньший полупериода колебаний, равен нулю. Именно поэтому волновой
процесс, возникающий в упругой среде в результате суперпозиции двух
встречных когерентных волн с одинаковой амплитудой, называется стоячей
волной.
9.6. Звуковые волны
Звуковыми волнами (звуком) называются упругие волны,
воспринимаемые человеческим ухом; их частота находится в промежутке
16…20000 Гц. Если частота меньше 16 Гц, волны называются инфразвуком,
если же частота больше 20000 Гц - волна называется ультразвуковой.
Человеческое ухо различает звуки по высоте, тембру и громкости.
Любая реально существующая в природе звуковая волна представляет собой
суперпозицию множества волн различных частот; совокупность всех частот
называется акустическим спектром волны. Если в звуковой волне
присутствуют все колебания со всеми частотами из некоторого промежутка,
такой спектр называется сплошным. Если же в волне имеются колебания
лишь строго определенных частот, такой спектр называется дискретным
(линейчатым). Различного рода шумы обладают, как правило, сплошным
акустическим спектром. Звуковые волны с дискретным спектром
характеризуются высотой (тоном); такие звуки называются тональными.
Высота звука определяется наименьшей частотой колебаний, тембр –
амплитудой колебаний различных частот.
Уровнем громкости звука называется десятичный логарифм отношения
интенсивности звуковой волны к интенсивности, принятой за единицу (порог
слышимости):
L  lg
I
.
I0
(10.36)
Порог слышимости составляет 1∙10-12 Вт/м2 на частоте 1000 Гц. Из
определения (10.36) следует, что уровень громкости, соответствующий
порогу слышимости, равен нулю. Если же L  1 , то I  10I 0 , т.е.
интенсивность звуковой волны в 10 раз превышает порог слышимости.
Единицей измерения уровня громкости является 1 Белл – интенсивность
14
звуковой волны, в 10 раз превышающей порог слышимости. На практике
чаще используется 1 децибелл (1дБ), составляющий 0,1 Белл.
В децибеллах можно выразить уменьшение интенсивности (затухание)
звуковой волны. Пусть, например, на некотором отрезке распространения ее
интенсивность уменьшилась от I 1 до I 2 , причем затухание составляет 10 дБ.
Поскольку 10 дБ составляет 1 Белл, в соответствии с (10.36) имеем:
lg
I1
I
 1  1  10 ,
I2
I2
т.е. интенсивность волны уменьшилась в 10 раз.
Как уже отмечалось, скорость распространения продольных звуковых
волн в стержне определяется модулем упругости и плотностью материала, из
которого стержень изготовлен:

E

.
(10.37)
Если вместо E использовать аналогичную величину для газовой среды, с
помощью этой же формулы можно вычислять скорость звука в газе. Для того
чтобы найти «газовый аналог» модуля упругости, сравним деформацию
упругого стержня с деформацией столба газа в горизонтально
расположенной трубке, закрытой подвижным поршнем. Под влиянием
внешней силы F , действующей на поршень площадью s , столб газа
получает объемную деформацию dV ; при этом в газе создается избыточное
(над атмосферным) давление dP  F / s . Понятно, что эту величину можно
использовать в качестве аналога нормального механического напряжения,
отношение dV / V - в качестве относительной деформации газа. Обозначив
dV / V  K , в соответствии с (10.13А) имеем:
dP   K
dV
.
V
(10.38)
Знак «минус» в этом равенстве пишется потому, что величина K , как и
модуль упругости, по определению положительна, отношение dV / V при
сжатии газа – отрицательно. Подставив (10.38) в (10.37), получим:
 
V dP
.
 dV
(10.39)
Для вычисления производной dP / dV необходимо знать зависимость P  P(V ) .
Если газ считать идеальным, процесс распространения звуковой волны –
изотермическим, из уравнения Клапейрона-Менделеева для одного моля газа
следует:
PV  RT  P 
RT
dP
P

 .
V
dV
V
(10.40)
Сделаем в (10.39) замену (10.40):
 
V  P
   
 V
P

.
Подставив в эту формулу численные значения атмосферного давления и
плотности воздуха при нормальных условиях, получим, что   294 м/с. Как
15
известно, экспериментально измеренное значение скорости звука в воздухе
при нормальных условиях составляет 340 м/с. Разница обусловлена тем, что
на частоте звуковых колебаний объемная деформация газа при
распространении волны происходит в условиях адиабатического (не
изотермического) процесса. Позже мы убедимся в том, что если для
вычисления производной dP / dV использовать уравнение адиабаты, расчет
дает значение скорости звука, хорошо согласующееся с результатами
измерений.
9.7. Эффект Доплера
Эффект заключается в том, что при перемещении источника звука
относительно приемника (либо приемника относительно источника) частота
звуковой волны, попадающей в приемник, отличается от частоты волны,
излучаемой ее источником.
Пусть частота колебаний источника волны равна  , количество
колебаний, воспринимаемых ее приемником за 1 с –  ' . Будем полагать для
упрощения рассуждений, что движение источника и приемника колебаний
относительно упругой среды происходит вдоль соединяющей их прямой.
Условимся считать скорость источника u относительно среды
положительной, если он приближается к приемнику (в противном случае она
отрицательна). Аналогично этому скорость приемника  считается
положительной, если он приближается к источнику, и отрицательной, если
приемник удаляется от источника. Скорость распространения волны в среде
обозначим V .
Пусть источник колебаний и приемник неподвижны, т.е. u  0 ,   0 . В
этом случае приемник за единицу времени воспримет столь колебаний,
сколько длин волн пройдет мимо него за 1 с. Поскольку за единицу времени
волна проходит расстояние, равное V , то  '  V /  . Так как   VT ,
 '
V
 ' ,
VT
т.е. частота волны, регистрируемой приемником, совпадает с частотой
колебаний источника.
Предположим теперь, что приемник приближается к источнику. При
этом мимо него в единицу времени пройдет большее количество длин волн,
чем в случае, когда он неподвижен. Действительно, движение приемника
навстречу волне со скоростью  эквивалентно ситуации, в которой волна
мимо неподвижного приемника перемещается со скоростью V   .
Следовательно, в этом случае
 '
V 
V 
 
 '
   '  1 
VT
V
 V

 ,

(10.41)
т.е. частота волны, регистрируемая приемником, больше частоты колебаний
источника. Если же приемник удаляется от источника (   0) ,


 '  1 

   '   .
V
16
Теперь пусть источник приближается к приемнику ( u  0) . Поскольку
скорость распространения волны зависит лишь от свойств среды, при
неподвижном источнике она переместилась бы за один период по
направлению к приемнику на расстояние   VT (рис. 10.8, штриховая линия).
Так как источник за это же время приблизится к приемнику на расстояние
uT , фактическая длина волны, попадающей в приемник, будет меньше, чем в
случае неподвижного источника:
 '    uT   '  (V  u )T .
(10.42)
Следовательно, частота волны, регистрируемая приемником, будет больше
частоты колебаний источника:
'
uT

Рис. 10.8
 '
V
'
 '
V
V
.
  '
V u
(V  u )T
Понятно, что если источник удаляется от приемника,
 '
V
,
V u
т.е. частота регистрируемой волны окажется меньше частоты колебаний
источника.
Наконец, рассмотрим более общий случай, когда источник и приемник
перемещаются навстречу друг другу одновременно. При этом вследствие
движения источника длина регистрируемой волны уменьшится, а
вследствие движения приемника количество колебаний, попадающих в него,
увеличится (см. формулы (10.41) и (10.42)). Поэтому частота
регистрируемой волны будет больше частоты источника:
V 
V 
V 
  '
  '
 .
  uT
VT  uT
V u
Если же векторы скоростей u и  направлены под углом к прямой,
соединяющей источник и приемник, для вычисления частоты  ' следует
 '
использовать их проекции на эту прямую.
Изменение частоты волны, обусловленное движением ее источника
либо приемника, легко заметить при восприятии звука даже на слух. Как уже
отмечалось, частота колебаний определяет тон звука – чем больше частота,
тем выше тон. Когда сигналящий автомобиль с большой скоростью
приближается к наблюдателю, отчетливо слышно изменение тона сигнала в
тот момент, когда автомобиль, поравнявшись с наблюдателем, начинает от
него удаляться.
17