10-2_Ð

Физика, 10 класс
Горбанева Лариса Валерьевна
ст. преподаватель кафедры физики ДВГГУ
Соединения конденсаторов. Энергия электрического поля
конденсатора
Конденсатор – устройство для накопления заряда и энергии
электрического поля. Конденсатор состоит из двух проводников (обкладок) с
одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку зарядами, форма и
расположение которых таковы, что поле сосредоточено в узком зазоре между
обкладками. Конденсатор является пассивным электронным компонентом.
Свойство конденсаторов накапливать и сохранять электрические
заряды и связанное с ними электрическое поле характеризуется величиной,
называемой электроемкостью конденсатора. Электроемкость конденсатора
равна отношению заряда одной из пластин q к напряжению между ними U:
𝑞
𝐶 = . Единица измерения емкости в системе СИ называется Фарадой.
𝑈
Фарада (Ф) – это емкость такого уединенного проводника, потенциал
которого повышается на 1 Вольт при сообщении ему заряда в 1 Кулон: 1Ф =
1Кл
1В
. Электрическая емкость зависит от диэлектрической проницаемости
окружающей среды, формы и размеров проводника, не зависит от
проводимости вещества и его агрегатного состояния
В обозначении конденсатора фигурирует значение номинальной
ёмкости, в то время как реальная ёмкость может значительно меняться в
зависимости от многих факторов. Реальная ёмкость конденсатора определяет
его электрические свойства. Так, по определению ёмкости, заряд на обкладке
пропорционален напряжению между обкладками (q = CU). Типичные
значения ёмкости конденсаторов составляют от единиц пикофарад до тысяч
микрофарад. Однако существуют конденсаторы (ионисторы) с ёмкостью до
десятков фарад.
Ёмкость плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных
металлических пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d
друг от друга, в системе СИ выражается формулой: С =
𝜀𝜀0 𝑆
𝑑
, где ε –
диэлектрическая проницаемость среды, заполняющая пространство между
пластинами (в вакууме равна единице), ε0 – электрическая постоянная,
численно равная 8,854187817·10−12 Ф/м. Эта формула справедлива лишь
когда d намного меньше линейных размеров пластин.
В зависимости от формы обкладок, конденсаторы бывают плоскими,
сферическими и цилиндрическими. Формулы для расчета емкостей этих
конденсаторов приведены в таблице.
Название
Ёмкость
Плоский конденсатор
С=
Схема
𝜀𝜀0 𝑆
𝑑
Цилиндрический
конденсатор
Сферический
конденсатор
Для увеличения емкости и варьирования ее возможных значений
конденсаторы соединяют в батареи, при этом используется их параллельное
и последовательное соединения.
Рассмотрим параллельное соединение конденсаторов.
При параллельном соединении обкладки конденсаторов
соединяют попарно, т.е. в системе остается два
изолированных проводника, которые и представляют собой
обкладки нового конденсатора
Напряжение на всех обкладках одинаковое 𝑈1 = 𝑈2 = 𝑈. Заряды q1 и
q2 складываются (согласно закону сохранения заряда): 𝑞 = 𝑞1 + 𝑞2 .
Тогда емкость батареи равняется 𝐶𝑈 = 𝐶1 𝑈1 + 𝐶2 𝑈2 = (𝐶1 + 𝐶2 )𝑈.
Таким образом, емкость батареи конденсаторов, соединенных параллельно
равняется сумме емкостей отдельных конденсаторов C = C1 + C2.
Общая емкость больше емкости любого из параллельно соединенных
конденсаторов, поэтому для получения больших ёмкостей конденсаторы
соединяют параллельно. При этом напряжение между обкладками всех
конденсаторов одинаково.
Можно сформулировать общее правило нахождения ёмкости батареи
параллельно соединённых конденсаторов:
С = ∑ С𝑖 или 𝐶 = 𝐶1 + 𝐶2 + ⋯ + С𝑛 .
Рассмотрим
последовательное
соединение
конденсаторов.
При последовательном соединении конденсаторов заряды всех
конденсаторов одинаковы, так как от источника питания они поступают
только на внешние электроды, а на внутренних электродах они получаются
только за счёт разделения зарядов, ранее нейтрализовавших друг друга. При
последовательном соединении заряд на обкладках всех конденсаторов
одинаков 𝑞 = 𝑞1 = 𝑞2 , а напряжение батареи равняется сумме напряжений
отдельных конденсаторов 𝑈 = 𝑈1 + 𝑈2 .
Учитывая, что 𝑈 =
𝑞
𝐶
получим
𝑞
𝐶
=
𝑞1
𝐶1
+
𝑞2
𝐶2
1
1
1
2
= ( + ) 𝑞. Тогда общая
𝐶
𝐶
емкость двух конденсаторов, соединенных последовательно
1
𝐶
=
1
𝐶1
1
+ .
𝐶2
Таким образом, при последовательном соединении конденсаторов
общая емкость меньше емкости любого из последовательно соединенных
конденсаторов. Емкость всей системы последовательно соединенных
конденсаторов рассчитывается из соотношения:
1
𝐶
=
1
𝐶1
+
1
𝐶2
+ ⋯+
1
С𝑛
.
Энергия заряженного плоского конденсатора.
Энергия заряженного конденсатора сосредоточена в его электрическом
поле. Под энергией электрического поля конденсатора будем понимать
энергию одной его обкладки, находящейся в поле, созданном другой
𝐸
𝑞𝑈
2
2
обкладкой. 𝑊 = 𝑞 𝑑 =
=
𝐶𝑈 2
2
=
𝑞2
2𝐶
.
Эти формулы справедливы для любого конденсатора.
Рассмотрим примеры решения задач.
Пример 1. На рисунке представлен замкнутый
контур некоторой разветвленной электрической цепи.
Определите заряды конденсаторов C1, C2 и C3. Если
C1 = C3 = С, C2 = 2С, R1 = R, R2 = 2R, сила тока
задана и направлена слева направо.
Решение. После зарядки конденсаторов на них появится заряд q1, q2, q3
и токи в них прекратятся. Сила тока будет протекать на участке цепи abd
через сопротивления R1 и R2.
Знаки зарядов на обкладках конденсаторов возьмем произвольно. В
выделенном замкнутом контуре aoba сумма разностей потенциалов на
элементах контура равна нулю: 𝑈𝐶1 + 𝑈𝐶2 + 𝐼𝑅 = 0
Аналогично для контура dobd: 𝑈𝐶3 + 𝑈𝐶2 − 2𝐼𝑅 = 0
Согласно закону сохранения электрических зарядов их алгебраическая
сумма в узле «o» равна нулю: 𝑞1 + 𝑞2 − 𝑞3 = 0
Используя соотношение
𝑞1
получаем
𝐶
𝑞3
и
𝐶
+
+
𝑞2
2𝐶
𝑞2
2𝐶
𝑞 = 𝐶𝑈, сделаем замену в уравнениях и
+ 𝐼𝑅 = 0
− 2𝐼𝑅 = 0
Решая систему этих уравнений, находим заряды конденсаторов
3
𝑞1 = 𝐼𝑅𝐶,
4
1
𝑞2 = 𝐼𝑅𝐶,
2
5
𝑞3 = 𝐼𝑅𝐶
4
Если знак заряда на одном из конденсаторов окажется отрицательным,
то необходимо на схеме на этом конденсаторе поменять полярность.
Пример 2.
Определить напряжение между
точками А и В (см. рис.), если напряжение между
точками С и D равно U.
Решение.
Падение напряжения между точками С и D связано с падением
напряжения на конденсаторах С1 – С4 следующим образом: UСАD=UCBD=U,
где UСАD=U1+U2, UCBD=U3+U4.
Тогда U=U1+U=U3+U4.
Заряды на конденсаторах С1 и С2 одинаковы: 𝑞1 = 𝑞2 = 𝐶1 𝑈1 = 𝐶2 𝑈2 .
Аналогично для конденсаторов С3 и С4: 𝑞3 = 𝑞4 = 𝐶3 𝑈3 = 𝐶4 𝑈4 .
Решая систему уравнений:
U=U1+U2=U3+U4.
𝐶1 𝑈1 = 𝐶2 𝑈2
𝐶3 𝑈3 = 𝐶4 𝑈4 .
Получаем: 𝑈1 =
. 𝑈3 =
𝑈𝐶2
𝐶1 +𝐶2
𝑈𝐶4
𝐶3 +𝐶4
,
𝑈2 =
𝑈4 =
𝑈𝐶1
𝐶1 +𝐶2
𝑈𝐶3
𝐶3 +𝐶4
.
Очевидно, что напряжение между точками А и В:
𝑈𝐴𝐵 = 𝑈4 − 𝑈2 = 𝑈1 − 𝑈3
Подставляя значения, получаем 𝑈𝐴𝐵 = 𝑈 (𝐶
𝐶2 𝐶3 −𝐶1 𝐶4
1 +𝐶2 )(𝐶3 +𝐶4 )
.
Пример 3. Два плоских конденсатора емкостью С1 и С2 соединили
последовательно, подключили к источнику, напряжение на клеммах
которого U, и зарядили. Найти напряжение на пластинах конденсаторов
после отключения от источника, если их пересоединить параллельно. Чему
будет равна работа при перезарядке конденсаторов?
Решение. При последовательном включении конденсаторов их общая
емкость равна: С =
С1 С2
С1 +С2
.
Заряды конденсаторов одинаковы и равны 𝑞1 = 𝑞2 = 𝑞 = 𝐶𝑈 =
𝐶1 𝐶2 𝑈
𝐶1 +𝐶2
.
Напряжение на каждом из конденсаторов:
𝑈1 =
𝑞
𝐶1
=
𝐶2 𝑈
𝐶1 +𝐶2
, 𝑈2 =
𝑞
𝐶2
=
𝐶1 𝑈
𝐶1 +𝐶2
.
При параллельном соединении емкость конденсаторов С` = С1 + С2 .
Заряд системы конденсаторов 𝑞 ` = 2𝑞.
Напряжение на пластинах обоих конденсаторов
𝑈` =
𝑞`
𝐶`
2𝑞
=
2𝐶1 𝐶2 𝑈
𝐶1 +𝐶2
= (𝐶
2
1 +𝐶2 )
.
Работа при перезарядке, согласно закону сохранения энергии,
𝐴 = 𝑊 − 𝑊 ` , где 𝑊 и 𝑊 ` – энергии системы конденсаторов до и после
перезарядки.
Энергия системы конденсаторов до перезарядки
𝑊 = 𝑊1 + 𝑊2 =
𝑞2
2𝐶1
+
𝑞2
2𝐶2
=
𝐶1 𝐶2 𝑈 2
(𝐶1 + 𝐶2 ) =
2
2(𝐶1 +𝐶2 )
𝐶1 𝐶2 𝑈 2
.
2(𝐶1 +𝐶2 )
Энергия системы конденсаторов после перезарядки
`
𝑊 =
𝐶 ` (𝑈 ` )
2
2
1
4𝐶 2 𝐶22 𝑈 2
= (𝐶1 + 𝐶2 ) (𝐶 1
2
1 +𝐶2 )
4
2𝐶 2 𝐶22 𝑈 2
= (𝐶 1
Тогда работа при перезарядке 𝐴 =
3
1 +𝐶2 )
𝐶1 𝐶2 𝑈 2
2(𝐶1 +𝐶2
.
2𝐶 2 𝐶22 𝑈 2
1
−
)
(𝐶
1 +𝐶2 )
3
=
𝐶1 𝐶2 𝑈 2 (𝐶1 −𝐶2 )2
2(𝐶1 +𝐶2 )3
.
Пример 4. Плоский воздушный конденсатор емкостью C заряжается
от батареи, разность потенциалов на зажимах которой равна U.
Определите разность потенциалов на обкладках конденсатора после
увеличения расстояния между пластинами в n раз и работу внешних сил по
раздвижению пластин, если: 1) после зарядки конденсатор отключается от
источника; 2) конденсатор остается подключенным к источнику.
Решение. 1) При зарядке конденсатора на пластинах его появился заряд
q=CU. Если конденсатор отключается от источника, заряд остается
неизменным. При раздвигании пластин на расстояние, в n раз большее
𝐶
емкость конденсатора, становится равной 𝐶1 = . Разность потенциалов на
𝑛
пластинах после их раздвигания 𝑈1 =
𝑞
𝐶1
=
𝑛𝑞
= 𝑛𝑈.
𝐶
Согласно закону сохранения энергии формула A=W2 – W1, где W2 –
энергия поля конденсатора в конечном состоянии, W1 – в начальном
состоянии, причем 𝑊2 =
𝑞2
2𝐶1
=
𝑛𝑞 2
2𝐶
; 𝑊1 =
После подстановки получаем 𝐴 =
𝑞2
2С
𝑛𝑞 2
2𝐶
.
−
𝑞2
2𝐶
=
𝑞2
2𝐶
1
(𝑛 − 1) = 𝐶𝑈 2 (𝑛 − 1).
2
2) Если конденсатор не отключается от источника, разность
потенциалов на его обкладках остается постоянной, а при их раздвигании
меняется емкость конденсатора и заряд его пластин.
Аналогично вышеприведенному
1
1
1
𝐶
1
1−𝑛
2
2
2
𝑛
2
𝑛
𝐴 = 𝑊2 − 𝑊1 = 𝐶1 𝑈 2 − 𝐶𝑈 2 = 𝑈 2 ( − 𝐶) = 𝐶𝑈 2 (
).
Задачи для самостоятельного решения.
Ф.10.2.1.
Найти
емкость
системы
конденсаторов.
Ф.10.2.2. Конденсатор состоит из трех
металлических пластин площадью S каждая, разделенных двумя слоями
диэлектрика толщиной d каждый. Крайние пластины соединены между
собой. Какова емкость такого конденсатора, если диэлектрическая
проницаемость диэлектрика – ε.
Ф.10.2.3. Два конденсатора емкостью С1 и С2 соединены
последовательно и подключены к источнику ЭДС с напряжением U. Во
сколько раз изменится напряжение на конденсаторах, если конденсатор 1
опустить в диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью ε?
Ф.10.2.4. Пластины плоского конденсатора изолированы друг от друга
слоем диэлектрика. Конденсатор заряжен до разности потенциалов 1кВ и
отключен от источника напряжения. Определить диэлектрическую
проницаемость диэлектрика, если при его удалении разность потенциалов
между пластинами конденсатора возрастает до 3кВ.
Ф.10.2.5. Определите заряд q на конденсаторе C.
Внутреннее сопротивление источника пренебрежимо
мало.
Ф.10.2.6. К источнику ЭДС E присоединены
цепочка сопротивлений и конденсатор емкостью C
согласно схеме, представленной на рисунке. Найдите
энергию, которая выделится на сопротивлении 2R,
присоединенном к точке B, после отключения источника
размыканием ключа К.
Ф.10.2.7. Схема, изображенная на рисунке,
состоит из трех сопротивлений R1, R2, R3, двух
конденсаторов с емкостями C1, C2 и источника ЭДС E.
Найти установившийся в цепи ток I и заряды на
конденсаторах q1, q2.
Ф.10.2.8. Две соединенные проводником пластины
плоского конденсатора площадью S каждая, находятся на
расстоянии d друг от друга (см. рис.) во внешнем однородном

электрическом поле, напряженность которого E . Какую
работу надо совершить, чтобы медленно сблизить пластины
𝑑
до расстояния ?
2
Ф.10.2.9. Между клеммами А и В включены
конденсаторы емкостями С1=2 мкФ и С2=1 мкФ (см.
рис.). Вычислить емкость системы.
Ф.10.2.10. Расстояние между пластинами плоского воздушного
конденсатора, присоединенного к источнику напряжения с ЭДС 180 В равно
5 мм. Площадь пластин конденсатора 175 см2. Найдите работу по
раздвижению пластин до расстояния 12мм в двух случаях: 1) конденсатор
перед раздвижением пластин отключен от источника; 2) конденсатор в
процессе раздвижения пластин все время соединен с источником.
Ф.10.2.11. Три конденсатора емкостями 1, 2 и 3 мкФ соединены
последовательно и присоединены к источнику напряжения с разностью
потенциалов 220В. Каковы заряд и напряжение на каждом конденсаторе?
Ф.10.2.12. Конденсатор емкостью 1 мкФ при напряжении 1200 В
применяют для импульсной стыковкой сварки медной проволоки. Найти
среднюю полезную мощность разряда, если он длится 10-6с. КПД установки
4%.