Аксиомы стереометрии Аксиома (греч. αχιομα – авторитетное предложение «то, что приемлемо») – утверждение, принимаемое без доказательства. Теорема (греч. τεορεμα – рассматривать, обдумывать) – утверждение, требующее доказательства. Теоремы доказываются на основании аксиом и ранее доказанных теорем. Аксиома 1. Какова бы ни была прямая, существуют точки пространства, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Если точка А лежит на прямой а, то говорят, что прямая а проходит через точку А, и записывают Аа. Если точка В не лежит на прямой а, то говорят, что прямая а не проходит через точку В (Ва). Аксиома 2. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. Если точка А лежит в плоскости α, то говорят, что плоскость α проходит через точку А (Аα). Если точка В не лежит в плоскости α, то говорят, что плоскость α не проходит через точку В или точка В не принадлежит плоскости (Вα). Аксиома 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Если прямая а – общая прямая плоскости α и плоскости β, то говорят, что плоскости α и β пересекаются по прямой а и записывают а= α∩β. Аксиома 4. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Если а∩b, то аα, bα. Аксиома 5. Через две точки пространства проходит единственная прямая. Примеры решения задач Задача № 1. Квадрат ABCD и треугольник ADF лежат в разных плоскостях. Точка О принадлежит отрезку CD, точка К – отрезку АВ. По какой прямой пересекаются плоскости FKO и ADF? Дано: ABCD – квадрат, ADF – треугольник, ОСD, КАВ. Найти: (FKO)(ADF) Решение: Прямая КО пересекает плоскость ADF в точке Т. Прямая TF принадлежит плоскостям (ADF) и (FKO), следовательно, плоскости FKO и ADF пересекаются по прямой TF (TF=(FKO)(ADF)). Ответ: TF Задания для самостоятельной работы 1. Укажите на рисунке… 1) точки, лежащие на прямой а. 2) точки, принадлежащие плоскости … 3) прямую, проходящую через точку А… 4) точки, определяющие плоскость 5) точки, не принадлежащие плоскости … 6) прямые, лежащие в плоскости … 7) прямую, по которой пересекаются плоскости и 8) точку пересечения прямых а и b… 9) точками, определяющие плоскость … 10) плоскость, не проходящую через точку О 2. Установите истинность высказывания… 1) Если точка А принадлежит прямой ВС, то точка В принадлежит прямой АС 2) Если точки А и В принадлежат плоскости , а точка С принадлежит прямой АВ, то точка С принадлежит плоскости 3) Если точки А, В и С принадлежат плоскости , то точка С принадлежит прямой АВ 4) Если прямая АВ пересекает плоскость в точке С, то точка В не принадлежит плоскости 5) Плоскости АВС и ВСА совпадают 6) Если прямые АВ и CD не пересекаются, то прямая АС принадлежит плоскости ABD 7) Если прямая а пересекает прямые b и с, то прямые а, b и с лежат в одной плоскости 8) Если точка А лежит на прямой ВС, то точка С не лежит на прямой АВ 9) Если две прямые имеют одну общую точку, то через них нельзя провести плоскость 10) Если точки А, В и С лежат в одной плоскости, то через них можно провести прямую 3. Установите истинность записи… 1) Если А и В, то АВ 2) Если А и В, то АВ 3) Если А, В и С, то (АВС) 4) Если АВС, то ВАС 5) Если АВ, то А 6) Если , то = 7) Если А и В, то АВ 8) Если А, В и С, то (АВС)= 9) Если А, В, А, В, то АВ 10) Если а=В, то В= 4. Вычислите длину пространственной ломаной… 1). ABCDAC, если длина ребра тетраэдра АВСD равна 4 см. 2) ABCDA1B1C1D1 – куб, длина ребра которого равна 5 см. Вычислите длину пространственной ломаной ABCC1B1A1D1. 3) ABCDS – правильная четырехугольная пирамида. Сторона основания равна 4 см, длина бокового ребра – 7 см. Вычислите длину пространственной ломаной ABCSADS. 4) АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма, сторона основания которой равна 3 см, а высота призмы – 4 см. Вычислите длину пространственной ломаной ABCC1B1BAA1. 5) ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, стороны основания которого AB=3 см и BC=4 см, а высота – 6 см. Вычислите длину пространственной ломаной ABCDD1A1B1. 6) ABCDA1B1C1D1 – куб, длина ребра которого равна 4 см. Вычислите длину пространственной ломаной ABB1A1D1C1CB. 7) АВСD – тетраэдр. Вычислите длину пространственной ломаной ABDACB, если длина ребра тетраэдра равна 5 см. 8) ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, стороны основания которого равны 3 см и 4 см, а высота – 7 см. Вычислите длину пространственной ломаной BB1A1D1DCC1. 9) ABCDS – правильная четырехугольная пирамида, все стороны которой равны 6 см. Вычислите длину пространственной ломаной ABCDSB. 10) АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма, сторона основания которой равна 4 см, а высота призмы – 3 см. Вычислите длину пространственной ломаной ABCAA1C1B1.