Теория рядов

83
Часть 5. Теория рядов
Глава 1. Числовые ряды
Последовательность
В теории пределов было рассмотрено понятие последовательности и понятие предела
последовательности. Введем следующее определение.
Определение 1. Точка x называется предельной точкой последовательности xn  ,
если в любой  -окрестности данной точки содержится бесконечно много членов
последовательности.
Определение 2. Точка x называется предельной точкой последовательности, если из
этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к пределу x .
Можно доказать следующее утверждение.
Теорема 1. Указанные определения эквивалентны.
Лемма. Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную
точку, совпадающую с пределом этой последовательности.
Можно привести примеры последовательностей, которые имеют несколько
предельных точек, а также последовательности, имеющей бесконечно много предельных
точек. Дадим определение.
Определение 3. Верхним пределом последовательности называется наибольшая
предельная точка этой последовательности.
Обозначается x  lim xn .
n
Определение 4. Нижним пределом последовательности называется наименьшая
предельная точка этой последовательности.
Обозначается x  lim xn .
n
Определим наиболее существенные свойства верхнего и нижнего предела
последовательности.
Теорема 2. У всякой ограниченной последовательности существуют верхний и
нижний пределы и существует хотя бы одна предельная точка.
Теорема 3. Для того чтобы ограниченная последовательность имела предел,
необходимо и достаточно, чтобы ее верхний и нижний пределы совпадали.
При исследовании последовательности на сходимость в указанных теоремах
требуется знать значение предела этой последовательности, более удобным для применения
является признак, который позволяет оценивать сходимость последовательности, исходя из
анализа ее элементов.
Определение 5. Последовательность xn  называется фундаментальной, если
  0Nn  Np : xn p  xn   .
Установим основные свойства фундаментальной последовательности.
Теорема 4. Для любого положительного  найдется такой член фундаментальной
последовательности xN , что в  -окрестности этой точки будут лежать все члены этой
последовательности с номерами n  N .
Теорема 5. Фундаментальная последовательность является ограниченной.
Сформулируем одну из важнейших теорем теории последовательностей.
Теорема 6. (Критерий Коши сходимости последовательности) Для того чтобы
последовательность xn  была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была
фундаментальной.
Критерий Коши можно записать несколько в иной форме.
84
Теорема 6`. (Критерий Коши сходимости последовательности) Для того, чтобы
последовательность xn  была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
условие   0Nm, n  N : xn  xm  
Понятие числового ряда
Пусть дана последовательность a1 , a2 , a3 ,..., an ,...
Определение 6. Бесконечным рядом называется сумма бесконечного числа членов
последовательности. Обозначается

a
n 1
n
.
Число a n называют общим членом ряда.
Сумму ряда невозможно считать так же, как конечную сумму. Поэтому следует
дополнительно ввести определение суммы ряда.
Будем называть частичной суммой ряда выражение вида Sn  a1  a2  ...  an . В
результате можно составить бесконечную последовательность частичных сумм
S1 , S 2 , S 3 ,..., S n ,... .
Определение
7.
Говорят,
что
бесконечный

a
ряд
n 1
n
сходится,
последовательность его частичных сумм стремится к какому-нибудь числу S .
Число S  lim S n называется в этом случае суммой ряда.
если
Если
n
же
последовательность частичных сумм стремится к бесконечности или вообще не имеет
никакого предела, то говорят, что ряд расходится.
Одной из основных задач теории рядов является решение вопроса о сходимости ряда.
Во многих случаях не удается найти сумму ряда в явном виде, более того, сумма ряда может
не выражаться через элементарные функции. С другой стороны при решении различных
задач не требуется находить сумму ряда, достаточно установить факт его сходимости или
расходимости. Ответ на поставленный вопрос дает ряд теорем.
Простейшие свойства сходящихся рядов
Рассмотрим некоторые свойства сходящихся рядов.
Теорема 7. Если ряд

a
n 1
Следствие. Если ряд
n
сходится и имеет сумму S , то сходится и ряд

 ca
n 1

 an расходится и c  0 , то ряд
n 1

 ca
n 1
n
n
 cS .
также расходится.
Таким образом, если все члены ряда умножить на одно и тоже число, отличное от
нуля, то сходимость ряда при этом не изменится.
Теорема 8. Если ряды

 an и
n 1
то сходится ряд

 (a
n 1
n

b
n 1
n
сходятся и их суммы соответственно равны S , S  ,
 bn ) , причем его сумма равна S  S  .
Замечание. В теореме рассматривается алгебраическая сумма рядов.
Следовательно, сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.
Теорема 9. Если в сходящемся ряде произвольно объединить члены ряда в группы, не
меняя при этом порядка следования членов, то сходимость ряда от этого не нарушится и
сумма ряда не изменится.
Обратное утверждение в общем случае не верно.
85
Рассмотрим произвольный ряд и отбросим конечное число первых его членов.
Определение 8. Бесконечный ряд, который получается из данного ряда

a
n 1
n
путем
отбрасывания некоторого конечного числа членов, взятых подряд, начиная с первого,
называется остатком данного ряда.
Сходимость исходного ряда и его остатка тесно связаны между собой.
Теорема 10. Ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится какой-либо остаток
ряда.
Следствие 1. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю при n   .
Следствие 2. Отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его
сходимость.
Необходимый признак сходимости рядов
Установить факт сходимости ряда можно при помощи непосредственного отыскания
частичной суммы ряда, однако такой метод применим только для отдельных типов рядов.
Существуют необходимые и достаточные признаки сходимости рядов, но их удобно
использовать если речь идет о теоретических выкладках. На практике не существует единого
простого признака, позволяющего исследовать ряд на сходимость. Однако существует ряд
достаточно удобных признаков, которые позволяют довольно просто проводить
исследование ряда на сходимость.
В первую очередь рассмотрим необходимый признак сходимости ряда.
Теорема 11. Если ряд

a
n 1
n
сходится, что предел его n -го члена стремится к нулю
( lim an  0 ).
n 
Следствие. Если предел n -го члена отличен от нуля, то ряд расходится.
Однако, обратное утверждение в общем случае не является верным, из того что
lim an  0 не следует, что ряд будет сходящимся.
n 
В качестве примера можно взять следующий ряд

1
n.
Этот ряд называют
n 1
гармоническим, можно показать, что он расходится.
Рассмотрим ряд вида a  aq  aq 2  ...  aq n  ... – бесконечная геометрическая
прогрессия. Из курса школьной математики известно, что если q  1 , последовательность
является сходящейся и ее сумма равна S 
a
. Нетрудно показать, что при q  1
1 q
последовательность является расходящейся.
Критерий Коши
Рассмотрим важный для теоретических рассуждений необходимый и достаточный
признак сходимости рядов.
Теорема 12. (Критерий Коши сходимости рядов) Для того чтобы ряд

a
n 1
необходимо и достаточно, чтобы   0Nn  Nm : xn1  xn2  ...  xnm   .
Знакоположительные ряды
n
сходился,
86
Из всех числовых рядов на практике достаточно часто рассматривают ряды, все члены
которых положительны. Докажем ряд признаков, позволяющих исследовать такие ряды на
сходимость.
Теорема 13. Чтобы положительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы
все его частичные суммы были ограничены сверху некоторым числом.
Данный признак редко применяется на практике, однако очень удобен для
теоретических рассуждений.
Рассмотрим ряд признаков, более доступных для практического применения.


n 1
n 1
 an ,  bn .
Теорема 14. (Признак сравнения) Пусть даны два положительных ряда
Если, начиная с некоторого N , выполняется неравенство a n  bn , то из сходимости ряда

 bn следует сходимость ряда
n 1

a
n 1
n
.
Следствие. В условиях данной теоремы из расходимости ряда

a
n 1
расходимость ряда
следует
n

b
n 1
n
.
В некоторых случаях признак сравнения можно использовать в более удобной форме.
Теорема 15. (Предельный признак сравнения) Пусть даны два положительных ряда


an
a
,
 A , то оба ряда

n  bn . Если существует конечный, отличный от нуля предел lim
n  b
n 1
n 1
n
ведут себя одинаково в смысле сходимости и расходимости.
В некоторых случаях найти ряд для сравнения бывает не всегда просто, рассмотрим
признаки, которые позволяют проводить исследование ряда на сходимость без привлечения
дополнительного ряда.
Теорема 16. (Предельный признак Даламбера). Дан положительный ряд

a
n 1
существует предел отношения последующего члена к предыдущему lim
n 
n
. Если
a n1
 A , то при
an
A  1 ряд сходится, при A  1 ряд расходится.
Замечание. В тех случаях, когда A  1 признак Даламбера не дает ответа на вопрос
о том, сходится ряд или нет.
Теорема 17. (Предельный признак Коши) Дан положительный ряд

a
n 1
n
. Если
существует предел lim n a n  A , то при A  1 ряд сходится, при A  1 ряд расходится.
n 
Замечание. Этот признак так же, как и признак Даламбера, не позволяет судить о
сходимости ряда в том случае, когда A  1 , так как A может равняться единице как для
сходящихся, так и для расходящихся рядов.
Теорема 18. (Интегральный признак сходимости Коши). Дан положительный ряд

a
n 1
что
n
. Если существует невозрастающая положительная функция, заданная при x  1, такая,
f (n)  a n , то для сходимости ряда необходимо и достаточно существование

несобственного интеграла
 f ( x)dx .
1
Для сходящихся положительных рядов справедлив еще ряд интересных свойств.
87
Теорема 19. Положительные ряды обладают переместительным свойством (любая
перестановка членов ряда не окажет влияния на его сходимость и сумму ряда).
Для положительных рядов можно ввести понятия умножения, аналогичное
умножению
конечных
сумм,
в
результате
получаем
ряд:
a1b1  a1b2  a2 b1  a2 b2  a1b3  a3b1  a2 b3  ....
Для удобства можно использовать запись в виде бесконечное прямоугольной
таблицы:
a1b1 a1b2 a1b3 ...
a2b1 a2b2 a2b3 ...
a3b1 a3b2 a3b3 ...
...
...
... ...
Сумма всех элементов такой таблицы дает произведение одного положительного ряда
на другой.
Теорема 20. Если два сходящихся положительных ряда перемножить по правилу
умножения конечных сумм, то полученный в результате ряд также сходится и его сумма
равна произведению сумм исходных рядов.
Знакочередующиеся ряды
Определение 9. Ряд называется знакочередующимся, если всякие два соседних члена
ряда являются числами разных знаков.
Будем для определенности предполагать, что первый член ряда положителен.
Теорема
21.
(признак
Лейбница)
Если
знакочередующийся
ряд

 (1)
n 0
n
an
удовлетворяет
условиям: 1) последовательность его членов монотонно убывает по
абсолютной величине ( an1  an ); 2) a n стремится к нулю, то ряд сходится.
Из доказательства данной теоремы следует следующий важный результат: если в
качестве суммы знакочередующегося ряда взять некоторую частичную сумму, то
погрешность полученного результата не превосходит первого из отброшенных членов ряда,
т.е. rn  an1 .
Понятие условной и абсолютной сходимости
Рассмотрим ряды с произвольными членами. Будем считать, что количество как
положительных, так и отрицательных слагаемых в нем бесконечно, а расположение их
произвольно. Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов ряда, он, очевидно, является
положительным. Возникает вопрос, как связана между собой сходимость указанных рядов.
Определение 10. Сходящийся ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд
составленный из модулей сходится.
Теорема 22. Из сходимости ряда, составленного из модулей, следует сходимость
исходного ряда.
Абсолютно сходящиеся ряды обладают особыми свойствами.
Теорема 23. Сумма абсолютно сходящегося ряда равна разности сумм двух
положительных рядов, составленных соответственно из положительных и модулей
отрицательных членов ряда.
Теорема 24. Абсолютно сходящиеся ряды обладают переместительным свойством.
Теорема 25. Если два абсолютно сходящихся ряда перемножить по правилу
умножения, то полученный ряд сходится абсолютно и его сумма равна произведению сумм
исходных рядов.
88
Теорема 26. Для абсолютно сходящегося ряда

a
n 1
n
 S справедливо неравенство.

S   an .
n 1
Определение 11. Если исходный ряд сходится, а ряд составленный из модулей
расходится, то ряд называют условно сходящимся.
Такой ряд не обладает основными свойствами сходящихся рядов, при перестановке
его членов сумма ряда изменяется.
89
Глава 2. Функциональные ряды
Понятие функционального ряда
Обобщением понятия числового ряда является понятие функционального ряда.
Определение 1. Последовательность вида u1 ( x), u2 ( x),..., un ( x),... , где u n (x) –
некоторая функция называют функциональной последовательностью.
При этом предполагается, что все члены функциональной последовательности
определены на некотором множестве X .
Фиксируя некоторое значение x , получаем обычную числовую последовательность.
Тогда сходимость последовательности  f n (x) в точке будем понимать в обычном смысле.
Определение 2. Говорят, что последовательность функций  f n (x) сходится на
промежутке, если она сходится как числовая последовательность при каждом значении x из
этого промежутка.
В таком случае получаем, что lim f n ( x)  f ( x) . Такая функция называется предельной
n 
функцией последовательности функций.
Рассмотрим сумму всех членов функциональной последовательности.
Определение 3. Функциональным рядом называют сумму членов функциональной
последовательности u1 ( x)  u2 ( x)  ...  un ( x)  ... .
Зафиксируем некоторое значение x , в результате получим обычный числовой ряд,
который можно исследовать на сходимость. В таком случае будем понимать сходимость и
расходимость ряда в точке x в обычном смысле.
Определение 4. Множество всех значений x , при которых ряд сходится называется
областью сходимости функционального ряда.
Пусть все члены ряда определены на некотором промежутке.
Определение 5. Говорят, что функциональный ряд сходится на промежутке X , если
он сходится как числовой ряд при каждом значении x из этого промежутка.
Рассмотрим последовательность частичных сумм функционального ряда
S1 ( x), S 2 ( x), S3 ( x),... , определенных на этом промежутке.

Определение 6. Функциональный ряд
u
n 1
n
( x ) называется сходящимся на некотором
промежутке, если на этом промежутке последовательность его частичных сумм
является сходящейся к некоторой функции S ( x)  lim S n ( x) .
Sn (x)
n
При каждом фиксированном значении x можно записать следующее утверждение
  0Nn  N : Sn ( x)  S ( x)   .
Таким образом, можно заметить, что номер N зависит не только от  , но и от x .
Рассмотрим случай, когда последовательность сходящихся в промежутке функций
обладает той особенностью, что для них номер N зависит только от  .
Определение 7. Говорят, что последовательность функций  f n (x) сходится
равномерно к некоторой предельной функции в некотором промежутке, если
  0Nn  Nx : f n ( x)  f ( x)   .
Существует теорема, которая позволяет установить равномерную сходимость
последовательности.
Теорема 1. (Критерий Коши равномерной сходимости последовательности) Для того
чтобы функциональная последовательность S n (x) равномерно сходилась на некотором
90
промежутке
к
функции
S (x ) ,
необходимо
и
достаточно,
чтобы
  0Nn  Npx : S n p ( x)  S n ( x)   .
Определение 8. Если последовательность частичных сумм ряда равномерно сходится
на некотором промежутке к предельной функции, то говорят, что ряд сходится равномерно к
этой функции на этом промежутке.
Определение 9. Говорят, что сходящийся ряд сходится равномерно в некотором
промежутке, если   0Nn  Nx : rn ( x)   .
Можно показать, что данные определения эквивалентны.
Возникает вопрос об исследовании ряда на равномерную сходимость. Его можно
решить при помощи следующей теоремы.
Теорема 2. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда) Для того чтобы

u
функциональный ряд
n 1
n
( x ) равномерно сходился на промежутке, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось условие
  0Nn  Npx : u n1 ( x)  u n2 ( x)  ...  u n p ( x)   .
Данный критерий можно записать в другой форме.
Теорема 2`. (Признак Коши равномерной сходимости ряда) Для того чтобы
функциональный ряд был равномерно сходящимся на a, b, необходимо и достаточно,
чтобы для последовательности частичных сумм ряда S n (x) выполнялось условие:
  0Nn, m  Nx : Sn ( x)  Sm ( x)   .
Однако данный критерий удобен для теоретических рассуждений, но мало применим
на практике. Для конкретных рядов более удобно использовать признак Вейерштрасса.
Теорема 3. (Признак Вейерштрасса) Если существует положительный сходящийся
числовой ряд

b
n 1
n
такой, что для всех x из отрезка a, b для функционального ряда
выполняется неравенство
un ( x)  bn , то данный функциональный ряд равномерно и
абсолютно сходится в отрезке a, b .
Замечание1. Данный признак справедлив и для произвольного промежутка.
Замечание2. Ряд

b
n 1

 un ( x) . Сам ряд
n 1

u
n 1
n
n
называют мажорирующим (мажорантным) рядом для ряда
( x ) называют мажорируемым.
Признак Вейерштрасса является достаточным, но не необходимым. Существуют
примеры функциональных рядов, которые являются сходящимися, но при этом для них не
существует мажорирующего ряда.
Некоторые свойства равномерно сходящихся рядов
Суммой функционального ряда является некоторая функция. Свойства этой функции
зависят от свойств ряда. Покажем связь между равномерной сходимостью и непрерывностью
суммы ряда.
Теорема 4. Если функции u n (x) непрерывны на a, b и ряд

u
n 1
сходится на a, b, то сумма ряда является непрерывной на a, b функцией.
Замечание 1. Теорема справедлива и для промежутков другого типа.
n
( x ) равномерно
91
Замечание 2. Требование равномерной сходимости ряда является достаточным, но не
является необходимым для непрерывности суммы ряда, составленного из непрерывных
функций.
Из курса интегрального исчисления известно, что сумму конечного числа функций
можно почленно интегрировать и дифференцировать. Выясним, в каких случаях такое
правило справедливо для бесконечных сумм.
Теорема 5. Пусть дан сходящийся ряд

u
n 1
n
( x)  S ( x) , который составлен из
непрерывных на отрезке a, b функций. Если такой ряд равномерно сходится на a, b, то
 

справедливо равенство   un ( x)dx     un ( x) dx   S ( x)dx (говорят, что ряд можно
n1 a

a  n1
a
почленно интегрировать на a, b).
 b
Теорема 6. Пусть дан ряд
b

u
n 1
n
b
( x)  S ( x) , сходящийся на a, b, причем:
1. функции u n (x) дифференцируемы на a, b,
2. функции u n (x) непрерывны на a, b,
3. ряд

 u  ( x) сходится равномерно на a, b.
n 1
n

 

Тогда справедливо равенство  un ( x)    un ( x)   S ( x) (говорят, что ряд можно
n1
 n1

почленно дифференцировать).

Степенные ряды
Из всех функциональных рядов одними из наиболее распространенных являются так
называемые степенные ряды.
Определение 10. Ряд вида

 a (x  x )
n 1
n
n
0
называют степенным рядом.
Будем рассматривать ряд, в котором сделана замена вида x  x0  y . В таком случае
получаем ряд вида

a x
n 1
n
n
. В дальнейшем для простоты будем исследовать ряд этого вида.
В первую очередь выясним вопрос о сходимости степенного ряда.

Теорема 7. (Абеля) Дан степенной ряд
a x
n 1
n
n
. Если он сходится для некоторого
значения x  x0  0 , то ряд сходится и притом абсолютно для всех значений x таких,
что x  x0 ; если ряд расходится для некоторого значения x  x1 , то он расходится и для
всех значений x , удовлетворяющих условию x  x1 .
Замечание. Очевидно, что в точке x  0 сходится всякий числовой ряд.
Рассмотрим случай, когда число точек сходимости и расходимости ряда бесконечно.
Теорема 8. Если степенной ряд сходится не на всей числовой оси, но и не только в
точке x  0 , то существует такое число R  0 , что ряд сходится абсолютно для x  R и ряд
расходится для x  R .
Определение 11. Число R называют радиусом сходимости степенного ряда,
промежуток  R, R – интервалом сходимости.
92
Способ нахождения радиуса сходимости в зависимости от коэффициентов самого
ряда устанавливает следующая теорема.
Рассмотрим последовательность  n  n an . Обозначим наибольший предел этой
последовательности через   lim
n
n 
an .
Теорема 9. Радиус сходимости степенного ряда

a x
n 0
n
n
наибольшему пределу  последовательности  n  n an , т.е. R 
1

есть величина, обратная
. При этом если   0 , то
R   , если    , то R  0 .
Таким образом, всякий степенной ряд имеет радиус и интервал сходимости. Что
касается сходимости на концах интервал, то в общем случае ничего сказать нельзя,
поскольку ряд может как сходится так и расходится на концах интервала.
Для сходящихся степенных рядов справедлив ряд теорем.
Теорема 10. Степенной ряд

a x
n 1
n
n
с радиусом сходимости R сходится равномерно
во всяком замкнутом промежутке  r, r , 0  r  R .
Теорема 11. Сумма степенного ряда есть непрерывная функция внутри интервала
сходимости.
Теорема 12. Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому промежутку
внутри интервала сходимости.
Теорема 13. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке
интервала сходимости.
Замечание. Радиусы сходимости рядов, полученных интегрированием и
дифференцированием, совпадают с радиусом сходимости исходного ряда.
Ряд Тейлора
Ранее решалась следующая задача: дан ряд, требуется исследовать его на сходимость
и найти сумму ряда. Для случая степенных рядов рассмотрим обратную задачу: дана
некоторая функция, требуется найти степенной ряд такой, что на некотором промежутке ряд
имел бы эту функцию своей суммой.
Определение 12. Говорят, что функция разлагается в степенной ряд на промежутке,
если существует такой степенной ряд

 a ( x  c)
n 0
n
n
, что на этом промежутке он сходится к
данной функции. В таком случае считают, что функция разложена по степеням x  c .
Очевидно, что решение данной задачи имеет важное практическое значение, так как
представление функции в виде более простой по устройству функции может быть
использовано для практических расчетов: вычисления значений функции в точке,
определенных интегралов, приближенных корней уравнений и т.д.
Возникает вопрос, в каких случаях и каким образом можно представить некоторую
функцию числовым рядом. Ответ на этот вопрос дает ряд теорем.
Теорема 14. Если в некотором интервале функция f (x) разлагается в степенной ряд
по степеням x , то это разложение единственно.
f ( n ) (0)
Определение 13. Степенной ряд с коэффициентами вида an 
, вычисленными
n!
для некоторой функции f (x) называется рядом Тейлора этой функции.
Таким образом, если функция является бесконечно дифференцируемой, то для нее
можно построить ряд Тейлора. Очевидно, что при x  0 этот ряд будет сходящимся.
93
Возникает два вопроса, во-первых, будет ли такой ряд сходится в какой-либо точке,
отличной от нуля; во-вторых, если ряд сходится в некотором промежутке, то какая функция
является суммой ряда.
В курсе дифференциального исчисления выводится формула Тейлора
f (0)
f (0) 2
f ( n ) (0) n
f ( n1) (c) n1
f ( x)  f (0) 
x
x  ... 
x  Rn ( x) , где Rn ( x) 
x .
1!
2!
n!
(n  1)!
Теорема 15. Для того чтобы ряд Тейлора, составленный для функции f (x) сходился
на отрезке  h, h и имел своей суммой f (x) , необходимо и достаточно, чтобы
дополнительный член формулы Тейлора Rn (x) стремился к нулю при n   для всех
значений из указанного промежутка.
В некоторых случаях, особенно на практике, бывает не удобно пользоваться этим
признаком, так как выражение для Rn (x) может быть громоздким и трудно установить,
стремится ли оно к нулю при n   или нет. Можно дать достаточный признак, условия
которого иногда оказываются более удобными для проверки сходимости ряда Тейлора к
породившей его функции.
Теорема 16. Если функция f (x) бесконечно дифференцируема на промежутке
 h, h и все производные на этом промежутке ограничены одним и тем же числом
f ( n ) ( x)  M , то ряд Тейлора сходится в  h, h к функции f (x ) .
Все доказанные выше утверждения полностью справедливы для случая разложения по
степеням x  c .
Можно показать, что не всякая бесконечно дифференцируемая функция разлагается в
ряд Тейлора.
Рассмотрим разложение в ряд Тейлора некоторых наиболее распространенных
функций.
1. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Рассмотрим функцию
1
f ( x) 
. При x  1 ее можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей
1 x
1
 1  x  x 2  ...  x n  ... , сходящийся при x  1 .
геометрической прогрессии. Тогда
1 x
1
 1  x  x 2  ...  (1) n x n  ... , сходящийся при x  1 .
Очевидно, что
1 x
2. Дробно-рациональные функции. Разложение некоторой дробно-рациональной функции
в ряд Тейлора можно осуществить следующим приемом:
a. разложить функцию на элементарные дроби;
b. каждую из дробей привести к бесконечно убывающей геометрической
прогрессии;
c. найти промежуток, в котором сходится каждая из прогрессий.
В некоторых случаях к прогрессии можно перейти при помощи элементарного
интегрирования или дифференцирования.
x x 2 x3
xn
  ... 
 ... , сходится для всех
3. Показательная функция f ( x)  e x : e x  1  
1! 2! 3!
n!
значений x .
x3 x5
x 2 n1
4. Тригонометрические функции. f ( x)  sin x : sin x  x    ...  (1) n1
 ... ,
3! 5!
(2n  1)!
2n
x2 x4
n x
сходящийся при всех значениях x . f ( x)  cos x : cos x  1  
 ...  (1)
 ... ,
2! 4!
(2n)!
сходящийся при всех x .
94
5. Логарифмическая функция. Рассмотрим функцию f ( x)  ln( 1  x) . Такая функция и все
ее производные определены при
x  0 . Функция раскладывается в ряд
2
3
n
x
x
x
ln( 1  x)  x 
  ...  (1) n1
 ... , сходящийся при x   1, 1.
2
3
n
6. Степенная функция. Рассмотрим функцию f ( x)  (1  x) ,  отлично от натурального.
На
промежутке
функция
раскладывается
в
степенной
ряд
 1, 1

1  x   1    (  1)(  2)...(  n  1) x n . Для значений x  1 исследование должно
n!
n 1
проводится отдельно для каждого конкретного значения  .
7. Обратные тригонометрические функции. f ( x)  arctg x :
2 n1
x3 x5
n x
arctg x  x    ...  (1)
 ... , сходящийся при x  1 .
3
5
2n  1

(2n  1)!! x 2 n1
Пусть f ( x)  arcsin x . Тогда arcsin x  x  
, сходящийся при x  1 .

(2n)!! 2n  1
n1
Применение рядов к приближенным вычислениям
Практическим приложением разложения функции в ряд является применение рядов к
приближенным вычислениям. Используется такое разложение для решения различных задач.
1. Вычисление значений функций.
Разложение функций в ряд можно использовать для вычисления значений функций.
Допустим, что некоторая функция на промежутке представлена рядом Тейлора

f ( x)   an x n . Пусть в точке x0 в качестве значения функции возьмем частичную сумму
n 0
соответствующего ряда. Получаем, что f ( x0 )  S n ( x0 )  rn ( x0 ) . Находя в каждом конкретном
случае оценку для величины rn (x) получим оценку величины f ( x0 )  Sn ( x0 )  rn ( x0 ) , что
позволяет найти значение функции с любой степенью точности. Однако при этом следует
обратить внимание на два существенных момента. Для знакопеременных рядов оценка
остатка ряда известна ( rn  an1 ), что приводит достаточно к простому расчету: вычислять
значение до тех пор пока очередной член ряда не станет меньше заданной точности. Если же
ряд является знакоположительным, то в таком случае требуется дополнительная оценка
величины rn (x) .
x  0 для разложения функции
x
x

.
f ( x)  e x справедлива оценка остатка ряда Rn ( x) 
n! n  1  x
Кроме того, можно заметить, что далеко не каждый ряд удобен для практических
расчетов.
2. Приближенное вычисление определенных интегралов.
Разложение функции в ряд можно использовать для приближенного вычисления
определенных интегралов. Для этого подынтегральную функцию раскладывают в степенной
ряд, так как он является сходящимся, то его можно интегрировать. в результате в качестве
значения интеграла можно взять сумму бесконечного числового ряда. Применяя известные
оценки сходимости числового ряда, получаем приближенное значение определенного
интеграла.
Пример.
Можно
показать,
что
при
n
95
Глава 3. Ряды Фурье
Понятие о тригонометрическом ряде
Значительное распространение получил еще один вид функциональных рядов, так
называемые тригонометрические ряды.
0 
   n cos nx   n sin nx  , где
Определение 1. Функциональный ряд вида
2 n1
 0 ,  n ,  n – действительные числа, называется тригонометрическим рядом.
Выделим ряд некоторых существенных свойств тригонометрических рядов.
Можно показать, что каждый член тригонометрического ряда является периодической
функцией с периодом 2 . Следовательно из сходимости тригонометрического ряда
вытекает, что его сумма является периодической функцией с периодом 2 .
Прежде чем переходить к следующему свойству, введем понятие ортогональной
системы функций.
Определение 2. Система функций 1 ( x), 2 ( x), 3 ( x), ... , заданных на некотором
отрезке a, b называется ортогональной системой в a, b, если выполняются условия
b
b
  ( x)  
n
m
( x)  0, n  m ,   n ( x)   m ( x)  0, n  m .
a
a
Теорема 1. Система функций 1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x, ..., cos nx, sin nx, ... является
ортогональной системой в   ,  .
Ряд Фурье
Выделим из всех тригонометрических рядов ряд, построенный по следующему
принципу. Пусть дана некоторая функция f (x) , определенная хотя бы на отрезке   ,  .
Составим следующие числа:



1
1
1
 0   f ( x)dx ,  n   f ( x) cos nxdx ,  n   f ( x) sin nxdx .






Определение 3. Тригонометрический ряд с коэффициентами  0 
n 

1

 f ( x) cos nxdx , 

n



 f ( x)dx ,


1

1
 f ( x) sin nxdx называется рядом Фурье функции
f (x ) , а сами

коэффициенты называются коэффициентами Фурье функции f (x) .
Можно показать, что справедливо утверждение.
Теорема 2. Если функция f (x) разлагается на   ,   в равномерно сходящийся
тригонометрический ряд, то этот ряд есть ее ряд Фурье.
Можно показать, что в зависимости от свойств исходной функции f (x) ряд Фурье
можно представить различным образом.
Если функция f (x) является четной, тогда соответствующий ряд Фурье имеет вид
0
2

   n cos nx , где  0 
n 1
2



0
f ( x)dx ,  n 
2


 f ( x) cos nxdx .
0
Если же функция
f (x )
96
является нечетной, то ряд Фурье для этой функции имеет вид


n 1
n 
2

n
sin nx , где

 f ( x) sin nxdx .
0
Сходимость ряда Фурье
Как и в случае степенных рядов, для ряда Фурье возникает вопрос о том, сходится ли
ряд Фурье функции f (x) , и, если сходится, то к какой функции. Можно показать, что
существуют достаточные условия, наложенные на функцию f (x) , при которых ряд Фурье
сходится к породившей его функции.
Теорема 3. (Дирихле) Если функция f (x) удовлетворяет следующим условиям:
1. f (x) имеет в   ,   разве лишь конечное число точек разрыва первого рода,
2. f (x) имеет конечный правосторонний предел в точке x   и конечный
левосторонний предел в точке x   ,
3. промежуток   ,   можно разбить на конечной число частей, внутри каждой
из которой f (x) изменяется монотонно.
Тогда ряд Фурье функции f (x) сходится на отрезке   ,   причем его сумма равна:
f ( x  0)  f ( x  0)
, x    ,   ,
1. числу
2
f (  0)  f (  0)
, x   , x   .
2. числу
2
Замечание 1. Сумма ряда Фурье совпадает с функцией f (x) всюду, где f (x)
непрерывна.
Замечание 2. Ряд Фурье сходится на всей числовой оси при указанных условиях.
Замечание 3. Если функция f (x) сама является периодической с периодом 2 , то
теорема справедлива не только на отрезке   ,  , но и на любом отрезке
(2k  1) , (2k  1) , k  1,  2, ...
Замечание 4. Если функция, для которой составляется ряд Фурье, задана на всей
числовой оси и непериодическая, то за пределами отрезка   ,   утверждения теоремы
Дирихле уже не имеют места.