Что важно знать, решая задачи на проценты? p

Что важно знать, решая задачи на проценты?
1% - это сотая часть числа.
1% = 0,01.
Правило 1. Для того чтобы записать проценты десятичной дробью, нужно число, которое стоит
перед знаком %, разделить на 100.
Например: 1) 15% = 15 : 100 = 0,15; 2) 300% = 300 : 100 = 3; 3) 1,3% = 1,3 : 100 = 0,013
Правило 2. Для того чтобы выразить число в процентах, нужно его умножить на 100%.
Например: 1) 0,17=0,17∙100%=17%; 2) 7,9=7,9∙100%=790%; 3) 0,006=0,006∙100%=0,6% .
Правило 3. За 100% принимается та величина, с которой мы сравниваем.
Основные типы задач на проценты.
I. Нахождение процента p% от числа b.
Если число a составляет p% от числа b, то эти числа связаны равенством
.
Чтобы найти проценты от числа, можно проценты представить в виде десятичной
дроби и число умножить на полученную десятичную дробь.
Задача-образец.
Предприятие изготовило за квартал 300 велосипедов, из которых 70 % имели высшую
категорию качества. Сколько велосипедов высшей категории качества изготовило предприятие?
Решение. Найдём 70 % от 300 (общее количество велосипедов).
70 % = 0,70 = 0,7
300 • 0,7 = 210 (велосипедов) – высшей категории качества.
Ответ: 210.
II. Нахождение числа a по данному проценту p%.
Если p% какого-нибудь числа a равно b, то эти числа связаны равенством
.
Чтобы найти число по его процентам, можно проценты представить в виде десятичной
дроби и данное число разделить на полученную десятичную дробь.
Так как задачи «процент по числу» и «число по его проценту» очень похожи и часто не
сразу понятно какой тип задачи перед нами, старайтесь внимательно читать текст. Если вам
встречаются слова «который», «что составляет» и «который составляет», скорее всего перед
вами задача «число по его проценту».
Задача-образец.
Андрей прочитал 85 страниц, что составляет 17 % числа всех страниц в книге. Сколько
страниц в книге?
Решение. Итак, нам неизвестно сколько всего страниц в книге. Но мы знаем, что часть,
которую прочитал Андрей (85 страниц) составляет 17 % от общего количества страниц в книге.
– в книге.
Проверка: 500 >85 (это означает, что 85 является частью 500).
Ответ: 500.
III. Нахождение процентного отношения чисел a и b
Число a составляет
от числа b.
1
Чтобы найти сколько процентов одно число составляет от другого можно одно число
разделить на другое и полученное произведение умножить на 100%.
Задача-образец.
Из 200 арбузов 14 оказались незрелыми. Сколько процентов всех арбузов составили
незрелые арбузы?
Решение. О чем спрашивают? О незрелых арбузах. Значит, 14 делим на общее
количество арбузов, то есть на 200 и умножаем на 100 %.
Ответ:7.
IV. Увеличение на p%.
Если число a увеличено на p%, то оно увеличено в
число
раз, то получится
.
Задача-образец.
Клиент взял на год в Промсвязьбанке100 000 рублей под 17,9% годовых. Какова будет
общая сумма долга?
Решение.
.
Значит, общая сумма долга составит – 117 900 рублей.
Ответ: 117 900.
V.
Уменьшение на q%.
Если число a уменьшено на q%, где
получится число
, то оно уменьшено в
раз, то
.
Задача-образец:
Пылесос стоил 4500 рублей. В условиях акции его цена понизилась на 8%. Какова новая
цена пылесоса?
Решение.
1 способ.
2 способ.
4500 р. – 100%
х р. – 8%
х=
= 360 (р) – понижение цены.
4500 - 360 = 4140 (р) – новая цена пылесоса.
Ответ: 4140.
Вывод:
– формула, с помощью которой решаются задачи на
изменение процентов, где S0 — начальное значение, Sn — конечное, p — процент изменения,
который участвует в формуле с плюсом, когда величина растёт (например, подорожание
товара), либо с минусом, когда величина уменьшается (например, скидка на товар).
2
VI. Начисление простых процентов.
При многократном изменении простых процентов начисление делается по отношению
к исходной величине и представляет собой каждый раз одну и ту же величину:
, где S0 - исходная величина, Sn – конечная величина, p% - процент
изменения, n - число периодов.
Задача-образец:
Банк «Триумф» выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесённой суммы. Клиент
сделал вклад в размере 200 000 рублей. Какая сумма будет на его счёте через полгода?
Решение. Для решения задачи достаточно подставить в формулу величину процентной
ставки p = 2, числа месяцев n = 6 и первоначального вклада S = 500:
Значит, через полгода на вкладе будет 224000 рублей.
Ответ: 224000.
VII. Начисление сложных процентов.
При многократном начислении сложных процентов начисление каждый раз делается
по отношению к сумме с уже начисленными ранее процентами:
1) Если изменение происходит на разное число процентов
, то формула
выглядит так:
, где S0 - исходная величина, Sn –
конечная величина.
2) Если в конце каждого этапа времени начисляется одно и то же постоянное количество
процентов, p%, то формула выглядит так:
, где S0 - исходная
величина, Sn – конечная величина, n - число периодов.
Задача-образец:
Какая сумма будет на срочном счёте вкладчика через 3 года, если банк начисляет 7%
годовых и внесённая сумма равна 100 000 рублей?
Решение. Подставим в формулу значения процентной ставки p = 10, количество лет n =
4 и величину первоначального вклада S = 2000, получим:
Значит, через 3 года на счёте будет сумма 122504,3 руб.
Ответ: 122504,3.
Задача-образец:
Вклад, положенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 131250 рублей.
Каков был первоначальный вклад при 25 % годовых?
Решение.
1 способ.
2 способ.
Решим с помощью пропорции:
Пусть х – первоначальный вклад.
131250 руб. – 125%
Можно решить задачу, используя
y руб. – 100%
формулу для сложных процентов
3
Откуда y = 105000.
105000 руб. – 125%
z руб. – 100%
Откуда z =84000.
Ответ: 84000.
131250 = х · (1+ 0,25)2 ,
х = 84000.
Задача-образец из Проекта Демонстрационного варианта контрольных измерительных
материалов единого государственного экзамена 2016 года по математике. Профильный уровень.
4