Урок алгебры в 9 классе «Повторение. Решение задач на проценты» Цели урока: •

Урок алгебры в 9 классе
«Повторение. Решение задач на проценты»
Цели урока:
Образовательные:
• организовать деятельность учащихся по актуализации знаний и умений по теме
«Проценты» и обеспечить их применение при решении задач на проценты вариантов
ГИА;
• повторить способы решения задач на проценты с помощью формул «сложных
процентов», формировать умения решать задачи повышенной сложности;
• усвоение учащимися практической значимости этого понятия в различных сферах
деятельности человека.
Развивающие:
• содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умения анализировать,
выделять главное, сравнивать;
• формировать и развивать у учащихся общеучебные умения решения задач:
анализировать условие задачи, искать способ решения, составлять план решения,
излагать решение, формулировать ответ задачи.
Воспитательные:
• формировать и развивать нравственные качества учащихся: гордость, чувство
собственного достоинства, дисциплинированность;
• способствовать формированию самостоятельности и активности, настойчивости, умения
преодолевать трудности, максимальной работоспособности, гражданской позиции.
Тип урока: урок применения знаний и умений.
Структура урока:
I. Организационный момент.
II. Актуализация ранее изученного материала.
III. Применение знаний на практике для углубления и расширения ранее усвоенных знаний
IV. Самостоятельная работа – решение задач по группам (работа в парах).
V. Проверка и обсуждение полученных результатов.
VI. Информация о домашнем задании.
VII. Подведение итогов урока.
Ход урока:
I. Организационный момент
Учитель: Тема нашего урока – решение задач на проценты. Я думаю, всем вам будет
интересно познакомиться с задачами на проценты, которые предлагаются на экзамене, и
применить ваши знания и умения для их решения. Реализовывать эту цель я предлагаю по
следующему плану. В начале урока имеет смысл, вспомнить все, что мы знаем о процентах.
Далее все вместе будем анализировать условия предложенных задач, искать способы решений,
составлять планы решения, оформлять решение задач. Будет предложено для самостоятельного
решения задачи (работа в парах). Полученные результаты проверим и обсудим. Получите
инструктаж по выполнению домашнего задания, и подведем итоги урока.
II. Актуализация ранее изученного материала
Устная фронтальная работа по заданиям, записанным на доске.
Ученики отвечают на вопросы.
1) Что называется процентом? (Процент - это одна сотая часть)
2) Каким образом проценты перевести в дробь? (Поскольку проценты являются
разновидностью дробей, то задачи на проценты являются по существу теми же задачами на
дроби)
3) Выразить проценты в виде десятичных дробей: 65%; 150%; 600%; 1,3%? Сформулировать
правило перевода процентов в десятичную дробь?
4) Выразить десятичные дроби или натуральные числа в виде процентов: 0,7 5; 1; 1,2; 10?
Сформулировать правило перевода чисел в проценты?
В простейших задачах на проценты некоторая величина «а» принимается за 100% (целое), а ее
часть «b» выражается числом «p%»
5) (Задача № 1) Как найти несколько процентов (p%) от числа «а»?
а – 100%
p
a
b
b – p%
100
(Чтобы найти несколько процентов от числа, надо это число умножить на соответствующую
дробь)
6) (Задача № 2) Как найти число по его проценту?
а – 100%
p
b:
а
b – p%
100
(Чтобы найти число по его проценту, надо часть, соответствующую тому проценту, разделить
на соответствующую дробь)
7) (Задача № 3) Как найти процентное соотношение двух чисел, или узнать, сколько
процентов число «b» составляет от целого числа «а»?
а – 100%
b
100  p %
b – p%
a
(Чтобы узнать, сколько процентов число «b» составляет от числа «а» надо «b» разделить на «а»
и результат умножить на 100%)
Мы повторили алгоритмы решения трех простейших задач, это «три кита», на которых
строится теория процентов. Сегодня мы будем использовать эти алгоритмы.
8) Банк начисляет ежегодно p% от суммы вклада. Через 5 лет сумма вклада будет …?
(Пусть некоторая величина A увеличивается n раз и каждый раз на p%. Значение Аn находится
n
p 

по формуле: Аn  A  1 
 ).
 100 
9) Цену на некоторый товар увеличили сначала на 30%, потом на 20%, а спустя некоторое
время еще на 50%. Выразите в процентах окончательное изменение цены по сравнению с
первоначальной.
(Пусть некоторая величина А увеличивается n раз последовательно на p1 % , p2 % , …, pn % .
p  
p 
p 


Значение Аn находится по формуле: Аn  A  1  1   1  2   ...  1  n  ).
 100   100 
 100 
Это формулы сложных процентов.
III. Применение знаний на практике для углубления и расширения ранее усвоенных
знаний
Фронтальная беседа по анализу условия и составлению плана решения задач на сложные
проценты
Учитель: Давайте попробуем применить наши знания и умения для решения экзаменационных
задач.
Но
вначале
поговорим
о
самом
процессе
решения
задачи.
Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического
развития, глубины освоения учебного материала. Задача представляет собой требование или
вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в
задаче. Первое, что нужно сделать при решении задачи – это провести анализ условия задачи.
Из анализа условия задачи уяснить является ли данная задача стандартной или нестандартной.
Для решения стандартной задачи нужно:
• установить вид задач, к которому принадлежит заданная задача;
• применить общее правило (алгоритм) для решения задач данного вида к условиям
данной задачи.
Нестандартные задачи – это такие, для которых нет общих правил, определяющих точную
программу их решения. Решение нестандартных задач есть искусство, которым можно овладеть
лишь в результате постоянной тренировки в решении разнообразных задач. Чтобы решить
задачу, надо найти план решения задачи. Поиск плана решения задачи составляет центральную
часть
всего
процесса
решения.
План
–
это
идея
решения.
Осуществив решение по составленному плану, необходимо провести анализ найденного
решения (установить, нет ли другого, более рационального способа решения, нельзя ли задачу
обобщить, сделать из нее выводы). Итак, переходим к решению задач.
Тексты задач у каждого учащегося на парте.
Задача № 1.
Два года подряд население города увеличивалось ежегодно на 20%. На сколько процентов
увеличилось население за два года?
Учащиеся проводят анализ условия задачи, отвечая на вопросы учителя:

Что в содержании задачи является условием?

Увеличение населения во второй год идет от начального значения или от предыдущего?

Значит нужно воспользоваться формулой...

Что требуется найти в задаче?

Какой является данная задача: стандартной или нестандартной?
Учитель подводит учащихся к выводу, что данная задача является стандартной, так как для
ее решения нужно применить две известные учащимся формулы: формулу сложного
процентного роста и формулу процента изменения величины.
Учитель просит изложить решение на доске.
Предполагаемая запись решения:
Пусть первоначальное население города равно S. Тогда через два года население города станет.
2
2
p 
20 


S 2  S  1 
  S  1 
  1,44S .
 100 
 100 
Население города увеличится на
1,44 S  S
100%  44% .
S
Учитель: Давайте проведем анализ решения этой задачи. Попытаемся установить, нет ли
другого, более рационального способа решения, какие выводы можно сделать из этого
решения. У кого будут предложения по этому поводу? Ни у кого? Тогда ответьте мне на
вопрос. Можно ли было воспользоваться этим способом, если бы население города
увеличивалось ежегодно не на одинаковое число процентов? Как бы мы тогда решали задачу?
Давайте население города примем за 100%.
Вопросы учителя, подводящие учащихся к решению задачи вторым способом:

Тогда через год население города составит…

А через два?

Население города увеличится за два года на...
Учитель просит изложить решение на доске.
Предполагаемая запись решения:
1) 100 +100 • 0,2 = 120 (%) – составило население через год;
2) 120 + 120 • 0,2 = 144 (%) – население города через два года;
3) 144 – 100 = 44 (%) – увеличилось население за два года.
Ответ: население города увеличилось за два года на 44% .
Учитель: Есть ли у кого еще предложения по решению данной задачи? Нет. Тогда давайте,
сравним данные способы решения. Пожалуйста.
Учащиеся сравнивают эти решения, приходя к выводу, что каждый способ имеет свои плюсы
и минусы, в зависимости от условий задачи. Первый способ применим, когда население города
увеличивается на одинаковое число процентов в течение многих лет, а второй, когда
увеличение происходит на разное число процентов в течение небольшого количества лет.
Учитель: Я думаю, мы неплохо поработали над этой задачей. Если в будущем вам встретится
задача такого типа, то мне кажется, у вас проблем не будет. Переходим к следующей задаче.
Задача № 2.
Влажность сухой цементной смеси на складе составляет 18%. Во время перевозки из-за
дождей влажность смеси повысилась на 2%. Найдите массу привезенной смеси, если со
склада было отправлено 400 кг.
Учащиеся проводят анализ условия задачи, поиск способа решения, отвечая на вопросы
учителя:
• Как вы понимаете выражение: влажность смеси составляет 18%?
• Чему равно количество воды в смеси?
• Чему равна масса сухого цемента в смеси?
• Чему стала равна влажность смеси после перевозки?
• Изменилась ли масса сухого цемента после перевозки?
Учитель подводит учащихся к выводу, что задача свелась к нахождению числа по его
проценту и предлагает изложить решение задачи на доске.
Предполагаемая запись решения:
1) 400 • 0.18 = 72 (кг) – масса воды в смеси;
2) 400 – 72 = 328 (кг) – масса сухого цемента в смеси;
3) 18 + 2 = 20 (%) – влажность привезенной смеси;
4) 100 – 20 = 80 (%) – сухого цемента в смеси;
5) 328 : 0,8 = 410 (кг) – масса привезенной смеси.
Ответ: масса привезенной смеси равна 410 кг.
Учитель: Хорошо. Может кто-то предложит иной способ решения? Можно ли эту задачу
решить с помощью пропорции? Пусть х кг – масса привезенной смеси.
Вопросы учителя, подводящие к решению задачи с помощью пропорции:
• Тогда масса воды в этой смеси будет равна?..
• Кто запишет условие задачи в виде таблицы, установит вид связи между величинами,
запишет пропорцию и найдет ее неизвестный член?
Учитель предлагает учащимся выполнить это на доске.
Предполагаемая запись:
х – 328 кг – 20%
х кг – 100%
х  328 20
х  328 1

 ; х = 5(х – 328); х = 5х – 1640; 4х = 1640; х = 410.
;
х
100
х
5
Ответ: масса привезенной смеси равна 410 кг.
Учитель: Сравним эти решения.
Учащиеся сравнивают эти два решения, приходя к выводу, что второе решение несколько
более громоздкое.
Учитель: Есть ли еще какие-либо замечания, предложения по решению задачи? Нет. Тогда
переходим к третьей задаче.
Задача № 3.
Набор химических реактивов состоит из трех веществ. Масса первого, второго и третьего
веществ в этом наборе относятся как 5:8:12. Массу первого вещества увеличили на 8%, а
второго – на 4%. На сколько процентов надо уменьшить массу третьего вещества, чтобы
масса всего набора не изменилась?
Вопросы учителя, побуждающие к поиску плана решения задачи:
• К какому виду задач относится эта задача?
• Если коэффициент пропорциональности обозначим х, то массы веществ будут равны...
• Чему равна масса всего набора?
• После увеличения на 8%, масса первого вещества стала…
• После увеличения на 4%, масса второго вещества стала...
• Пусть массу третьего вещества надо уменьшить на р%. Тогда она станет равной...
• Чему равна масса нового набора? Изменилась ли она?
Учитель предлагает записать решение на доске.
Предполагаемая запись решения:
Пусть х – коэффициент пропорциональности. 5х, 8х и 12х – массы первого, второго и третьего
веществ.
1) 5х + 8х +12х = 25х – масса всего набора;
8 

2) 1 
  5 х  5,4 х – масса первого вещества после увеличения на 8%;
 100 
4 

3) 1 
  8 х  8,32 х – масса второго вещества после увеличения на 4%;
 100 
p 

4) 1 
  12 х – масса третьего вещества после уменьшения на р%
 100 
p 

По условию задачи 25 х  5,4 х  8,32 х  1 
 12 х .
 100 
Решая это уравнение, получаем p = 6.
Ответ: массу третьего вещества надо уменьшить на 6%.
Учитель: Хорошее решение! Понятна логика рассуждений. А давайте подумаем, возможен ли
немного другой подход к этой задаче. Можно ли определить процентный состав третьего
вещества в первоначальном наборе и измененном?
Подводящий к плану решения диалог:
• Как определить процентный состав каждого вещества в наборе?
• Как определить процентный состав каждого вещества в измененном наборе?
• Можно ли тогда найти процент изменения третьего вещества?
После обсуждения решение задачи записывается на доске.
Предполагаемая запись решения:
5
100  20(%) – процентный состав первого вещества в наборе;
5  8  12
8
 100  32(%) – процентный состав второго вещества в наборе;
2)
25
4 

3) 1 
  8 х  8,32 х – процентный состав третьего вещества в наборе;
 100 
8 

4) 1 
  20  21,6(%) – процентный состав первого вещества в новом наборе;
 100 
4 

5) 1 
  32  33,28(%) – процентный состав второго вещества в новом наборе;
 100 
6) 100 – 21,6 – 33,28 = 45,12(%) – процентный состав 3 вещества в новом наборе;
45,12  48
 100  6(%) –процент изменения третьей величины.
7)
48
Ответ: массу третьего вещества надо уменьшить на 6%.
Учащиеся сравнивают эти решения.
1)
Учитель: Друзья мои! Мы с вами совместно решили задачи на проценты. Я думаю, у вас
сложилось представление об уровне требований, предъявляемых к учащимся на Едином
государственном экзамене, при решении задач на проценты. Сейчас вы попробуете
самостоятельно решить две задачи такого уровня.
IV. Самостоятельная работа – решение задач по группам (работа в парах)
На доске написаны тексты двух задач.
Задача № 4.
Кусок сплава меди с оловом массой 15 кг содержит 20% меди. Сколько чистой меди
необходимо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 40% олова?
Задача № 5.
Два числа относятся как 4 : 3 . Первое число увеличили на 5%, второе уменьшили на 2%.
На сколько процентов изменилась сумма?
Для решения этих задач объединяются учащиеся, сидящие за соседними партами. Каждая
группа решает по выбору одну из задач.
V. Проверка и обсуждение решений задач
Учитель: Дорогие друзья! В проверке решений участвует весь класс. Какая из групп готова
предложить нам свое решение?
Представители от групп у доски излагают решения своих задач различными методами,
проводят анализ решений. Учащиеся класса проверяют и обсуждают решения.
Предполагаемые решения задачи № 4:
Первый способ:
1) 15  0,2 = 3 (кг) – меди в сплаве;
2) 15 – 3 = 12 (кг)– олова в сплаве;
3) 12 : 0,4 = 30 (кг) – масса нового сплава;
4) 30 – 15 = 15(кг) – масса добавленной меди.
Ответ: необходимо добавить 15 кг чистой меди.
Второй способ:
х кг – масса добавленной меди, 15  0,8 = 12 (кг) – масса олова. Масса олова в сплаве не
меняется, следовательно, 40% олова в новом сплаве равны 12 кг.
Составим уравнение: (15 + х)  0,4 = 12
15 + х = 12 : 0,4
х = 15
15(кг) – масса добавленной меди.
Ответ: необходимо добавить 15 кг чистой меди.
Предполагаемое решение задачи № 5:
Пусть х – коэффициент пропорциональности. Тогда первое число будет 4х, а второе – 3х.
Их сумма равна 7х.
Первое число после увеличения на 5% станет равным 4х + 4х  0,05 = 4,2х, а второе после
уменьшения на 2% станет 3х – 3х  0,02 = 2,94х
Сумма полученных чисел равна 4,2х + 2,94х = 7,14х.
Процент изменения суммы равен (7,14х – 7х) : 7х = 0,02 ; 0,02  100 = 2%
Ответ: сумма увеличилась на 2%.
Учитель: Друзья мои! Спасибо за общение в ходе проверки и обсуждения решений задач.
Вспомним начало урока. Я немного волновалась: сможете ли вы решить предложенные задачи.
Сейчас все волнения исчезли. Вы с достоинством справились. Я рада за вас.
VI. Информация о домашнем задании
Задача № 6. Число х увеличили на 15%, получили 109,25. Отсюда следует, что значение х
равно…
Предлагаемые ответы:
1) 93,05
2) 95
3) 96
4) 93,08
5) 92,86.
Есть ли вопросы по задаче? Нет.
Задача № 7. На сколько процентов увеличится объем куба, если каждое ребро увеличить на
10%?
В этой задаче имеет смысл принять ребро куба за единицу. Формулу объема куба помним?
V  a 3 , где а – сторона куба. Находим ребро нового куба, старый и новый объемы куба и
процент изменения объема.
Задача № 8 . В классе число мальчиков составляет 80% от числа девочек. Сколько
процентов составляет число девочек в этом классе от числа мальчиков?
Задача № 9 . Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда грибы
подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса этих грибов после
подсушивания?
VII. Подведение итогов урока
Учитель: Подведем итоги нашего урока. На сегодняшнем уроке мы с вами повторили
основной материал по теме « Проценты» и постарались применить наши знания и умения для
решения экзаменационных задач. Для этого мы совместно решили две задачи такого уровня,
проведя анализ условий, поиск решений, составление планов решений, изложение решений.
Работая в группах, вы самостоятельно смогли различными способами решить две задачи.
Я думаю, что у вас сложилось представление о задачах на проценты, предлагаемых учащимся
на ГИА, а у меня появилась уверенность, что с задачами такого типа большинство из вас
справится.
Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:
• Что нового узнали на уроке?
• Что полезного извлекли из урока?
• Достаточно ли знаний было, чтобы решить эти задачи?
• Какие из задач оказались наиболее трудными?
• Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?
• Какие проблемы породил этот урок?
С учетом работы в течение всего урока комментируются и оцениваются ответы учащихся.
Учитель: Дорогие друзья! Спасибо вам за приятное общение. Я благодарю всех, кто принял
активное участие в работе. Вы очень помогли мне провести этот урок. Надеюсь на дальнейшее
сотрудничество. Урок окончен.