Радиотехнические системы

1. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РАДИОСИСТЕМАХ
Все радиотехнические системы (РТС) - информационные и подразделяются на
1) системы передачи информации;
2) системы извлечения информации;
3) системы управления движением;
4) комбинированные системы;
5) системы разрушения информации.
Характерным признаком радиотехнической системы передачи информации (РТС
ПИ) является наличие отправителя и получателя информации. Причем отправитель формирует определенным образом информацию в сообщение и с помощью носителя - радиосигнала передает по каналу связи получателю, который, в свою очередь, принимает радиосигнал, выделяет из него переданное сообщение и использует информацию в сообщении по своему целевому назначению.
В РТС извлечения информации (системы радиолокации и радионавигации) информация, как таковая, не передается, а формируется в процессе прохождения излученного
(или переизлученного) радиосигнала по каналу связи и извлекается из принимаемого радиосигнала.
В РТС управления движением информация, переданная с помощью радиосигнала,
используется для управления подвижными объектами.
Комбинированные РТС представляют собой сочетание РТС ПИ и РТС извлечения
информации. РТС разрушения информации предназначены для создания преднамеренных
помех системам передачи или извлечения информации с учетом их специфики.
Для всех указанных РТС важным и наиболее ответственным фактором является
выбор формы радиосигнала как носителя информации. От выбора формы радиосигнала
зависит по существу структура всей РТС а, следовательно, и ее основные характеристики:
точность действия, помехоустойчивость, разрешающая способность, надежность, сложность и т.д.
Все многообразие радиосигналов, используемых в РТС по типу описывающих их
функций времени, можно разделить на детерминированные, случайные и псевдослучайные. Детерминированными называются сигналы, значения параметров которых (амплитуда, фаза, частота) в любые моменты времени являются известными величинами. Сигналы
называются случайными, если значения их параметров неизвестны и являются случайными величинами. Псевдослучайными называют детерминированные сигналы, которые, не
являясь случайными, по своим статистическим свойствам подобны случайным процессам.
Радиосигналы каждой из названных групп, в свою очередь, могут подразделяться
на непрерывные и дискретные. Непрерывным называется сигнал, принимающий все возможные значения на некотором интервале времени Т и в диапазоне, ограниченном его
максимальным - S м акс и минимальным - S м ин значениями. Дискретным называется сигнал,
квантованный по уровню или по времени, или по уровню и времени одновременно.
1.1. ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ
При аналитическом анализе и синтезе РТС требуется определенное математическое
описание сигнала, которое отражало бы основные свойства. 6 зависимости от конкретного
назначения РТС и целей исследования один и тот же сигнал может иметь различное описание (или представление), позволяющее наиболее просто решить поставленную задачу.
Правильный выбор формы представления сигнала во многом предопределяет не только
простоту аналитических расчетов, но и его результаты. Этот факт наиболее очевиден при
использовании в РТС сложных сигналов. Ниже дается краткая характеристика основным
формам представления сигналов, характерных для РТС.
1.1.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА КАК ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ВРЕМЕНИ
Для одиночного сигнала длительности T , по которому производится отсчет измеряемого параметра, описание имеет вид
(1)
S (t )  A(t )  cos[ (t )  t  1 (t )]  A(t )  cos[0  t  1 (t )] .
Здесь A( t ) , ( t ) и 1 (t ) - законы изменения соответственно амплитуды, частоты и
фазы сигнала на интервале определения 0  t  T .
В зависимости от количества переменных и постоянных параметров различают
следующие виды информационной модуляции: амплитудную (AM), частотную (ЧМ), фазовую (ФМ), амплитудно-частотную (АМ-ЧМ), фазочастотную (ФМ-ЧМ) и т.д.
Эта форма представления сигнала отличается простотой и физической наглядностью.
Основным недостатком такого описания является неоднозначность в оценке вида
модуляции.
Например, изменение фазы сигнала на 0,  ; и радиан равносильно изменению амплитуды сигнала с положительного значения на отрицательное и наоборот.
1.1.2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Наиболее обоснованный путь устранения неоднозначности вида модуляции, присущей описанию сигнала как действительной функции времени, приводит к введению
аналитического сигнала. При этом вещественная функция S (t ) дополняется мнимой компонентой Sˆ (t ) и образуется комплексный сигнал
S (t )  S (t )  jSˆ (t )
(1а)
Компонента Ŝ( t ) зависит от S( t ) и связана с ней преобразованием Гильберта:
1
Sˆ (t ) 

S( f )
 t 
d
(2)
 
Справедливо и обратное преобразование Гильберта:

1 Sˆ ( )
S (t )  
d
(3)
  t  
Такой выбор мнимой компоненты связан с определением основных характеристик
сигнала - его амплитудной огибающей, фазы и мгновенной частоты. Кроме того, для каждой синусоидальной составляющей в спектре Ss (ω) функции S( t ) имеется такая же по
амплитуде синусоидальная составляющая в спектре Sŝ (ω) функции Ŝ( t ) . Поэтому спектр
Ss (ω) комплексного сигнала S ( t ) отличается от нуля только при положительных ω . И в
этой области спектра Ss (ω) и Ss (ω) совпадают по форме и отличаются только масштабным коэффициентом:
2S s ( ) , при   0;

(4)
S s ( )  S s , при   0;
0, при   0.

При записи аналитического сигнала в форме
S (t )  A(t )  e j (t )
(5)
огибающая и фаза определяются единственным образом:
Sˆ (t )
,
S (t )
а вещественная часть сохраняет заданную форму
S (t )  Re S (t )  A(t )  cos (t ).
Фаза θ( t ) представляется в виде суммы двух слагаемых:
 (t )  0t   (t ).
A(t )  S 2 (t )  Sˆ 2 (t ) ,
 (t )  arctg
 
(6)
Множитель e j0t только перемещает спектр сигнала на величину 0 , а свойства
комплексной огибающей, определяющей форму сигнала, сохраняются.
К недостаткам аналитического представления можно отнести сложность математических преобразований при анализе прохождения сигнала через линейные и нелинейные
цепи.
1.1.3. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Так как сигнал в РТС в большинстве случаев является сложной функцией времени
и частоты, целесообразно определить его через линейные комбинации простых функций

S (t )   Ci  i (t ),
i 1
T
T
где   t  ; C i - безразмерные коэффициенты (в общем случае они могут зави2
2
сеть от какого-то параметра  );  i (t ) - базисные функции, определяемые в том же промежутке времени, что и сигнал.
Основные свойства базисных функций:
T /2
1) ортогональность -
  (t )  
i
j
(t )dt  0, при i  j;
T / 2
T /2
2) энергетическая эквивалентность -

(t ) dt  E ;
2
k
T / 2
0, при i  j ,
f i (t )  f j (t )dt  
1, при i  j ,
T / 2
 (t )
 (t )
 (t )
f1 (t )  1 , f 2 (t )  2 , ..., f k (t )  k
E
E
E
T /2

3) ортонормированность где семейство функций
ортогональны и нормированы.
Представление сигнала S (t ) в виде ряда по ортонормированным функциям:

S (t )   d i f i (t )
(8)
i 1
где d i 
Ci
E
T /2

 S (t )  f (t )dt
i
- некоторые числовые коэффициенты или спектраль-
T / 2
ные коэффициенты в данном базисе.
Примером спектрального представления периодического сигнала является разложение его в ряд Фурье. Для аналитического сигнала
t
j 2k
1 
(9)
S (t )   A k  e T ,
2 k 
где A  A  e  jk  a  jb , A  A .
k
k
k
k
k
k
Комплексная амплитуда A k находится по формуле
t
T /2
 j 2k
2 
T
(10)
A k 
S (t )  e
dt

T T / 2
Структура спектра периодического сигнала полностью определяется амплитудами
и фазами гармоник ( A k и k ).
Разложение в ряд Фурье может быть обобщено на случай непериодического сигна2
2k
 d ,
 :
ла путем предельного перехода при T   ,
T
T
S ( j ) 

 S (t )  e
 jt
dt

и

1
S ( j )  e jt d
(11)

2 
Пара преобразований Фурье (11) связывает между собой аналитическую функцию
сигнала S ( t ) и его комплексную спектральную функцию S ( j ) . Спектральная функция
сигнала
S ( j )  A( )  jB( )  S ( )  e  j ( ) ,
где
S (t ) 

A( )   S (t )  cos t dt ,


B( )   S (t )  sin t dt ,

B( )
.
A( )
Функция S* ( jω) называется комплексно-сопряженной со спектральной функцией
сигнала
(12)
S * ( j )  A( )  jB( )  S ( )  e j ( )
Аналогичным образом любой сигнал можно представить в базисах функций Радемахера, Хаара, Уолша и т.д.
Спектральные представления чаше всего используются при анализе сложных сигналов и в экспериментальных исследованиях.
S ( )  S ( j )  A 2 ( )  B 2 ( ) ,  ( )  arctg
1.1.4. ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Оно основано на теореме отсчетов (теореме Котельникова) и формулируется следующим образом: любой непрерывный сигнал S (t ) , ограниченный верхней частотой FВ ,
полностью определяется последовательностью своих значений в моменты, отстоящие
друг от друга на Δt  1/ nF0 , где F0  FВ ; n  2 10 , и зависит от особенностей сигналов
[1]:
sin 2F0 [t  k  Δt ]
S (t )   S (k  Δt ) 
,
(13)
2F0 [t  k  Δt ]
Для большинства сигналов при дискретном представлении достаточно брать n  2 .
Однако для некоторых сигналов, например гармонических и узкополосных, величину коэффициента "И" необходимо принимать не менее 4, чтобы исключить существенные информационные потери. Для сигналов с конечной длительностью Т количество отсчетов
равно nFВT .
Если сигнал S( t ) ограничен частотами F1 и F2 (радиосигнал), то теорема отсчетов
записывается в следующем виде:
 k
sin F  t  

k
 F   cos   t  k     k  ,
S (t )   S   
(14)
 0  F   F 
k





k    F 


F  t  
 F
k
k
где S   и    - отсчетные значения амплитуды и фазы соответственно,
F
F
F  F2
F  F2  F1 , 0  2 1
.
2
Дискретное представление широко используется при аналого-цифровом преобразовании сигнала. Оно позволяет единым образом рассматривать передачу любого сигнала
как передачу чисел и лежит в основе всех видов модуляции.
1.1.5. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

Сигнал задается в виде вектора S и m-мерном евклидовом пространстве [1]:

S  ( s1 , s2 , s3 , ..., sm )
(I5)
с координатами s i .
Длина, или норма, вектора определяется как
m

S   si2
(16)
i 1


Расстояние между векторами S1 и S 2
 
d1, 2  S1  S 2 
m
 (s
1i
i 1
 s2i ) 2
(17)
Обобщением евклидова пространства является гильбертово пространство с бесконечным числом измерений. Если S( t ) - непрерывная функция, заданная в интервале
0  t  T , то для гильбертова пространства имеем
T

(18)
S   S 2 (t ) dt .
0
 
d1, 2  S1  S 2 
T
 [s (t )  s (t )]
1
2
2
dt
(19)
0
Если учесть, что энергия сигнала
T
E   S 2 (t )dt
(20)
0
то для сигналов S1 ( t ) и S2 (t ) с одинаковой энергией
 1T

d 21, 2  2 E 1   S1 (t )  S 2 (t )dt   2 E (1  1, 2 ) .
 E0

T
(21)
1
S1 (t )  S 2 (t )dt - коэффициент различимости (коэффициент взаимной корреляE 0
ции). Геометрическое представление используется при анализе двоичных кодов. Причем
расстояние между векторами в конечно-мерном пространстве, определяющее метрику
пространства, задается в виде
где 1, 2 
m
d12, 2   s1i  s 2i .
(22)
i 1
В кодовом пространстве (координаты только 0 и I) геометрической моделью кода
является куб с ребром, равным 1, и размерностью, равной значности кода (количеству координат). Любой кодовый вектор совпадает с одной из вершин куба, число которых равно
2 m , где m - значность кода (количество элементов). Расстояние между двумя векторами в
кодовом пространстве - это число позиций в комбинациях, на которых стоят различные
знаки:
m
d i j  d k  (1   k ) ,
(23)
2
где коэффициент различимости  k представляет собой разность между числом позиций с
совпадающими символами (знаками) и числом позиций с отличающимися символами
(знаками), отнесенные к общему числу позиций.
Коэффициенты различимости сигналов и кодов имеют некоторые общие свойства и в
частности для равноудаленных сигналов и кодов принимают значения
1

  1
(24)
M 1
где М - число векторов.
Геометрическое представление широко используется в системах передачи информации.
1.2. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ
Количество известных к настоящему времени сигналов настолько велико, а задачи,
решаемые РТС, настолько сложны и разнообразны, что оказывается необходимым уметь
предварительно выбрать радиосигналы для конкретной РТС, пользуясь лишь их основными характеристиками. Ниже рассматриваются следующие характеристики сигналов, определяющие его качественные показатели: длительность Т, занимаемая полоса частот F,
энергия E; вид информационной модуляции, корреляционная функция, коэффициент частотно-временной связи, база.
1.2.1. ДЛИТЕЛЬНОСТЬ СИГНАЛА
Для одиночного сигнала, следующего с периодом TП (TП  T ) не всегда определенно можно указать его длительность Т. Это характерно для сигналов простых форм:
трапецеидальной, колокольной (гауссовой), экспоненциальной и др. Длительность таких
сигналов можно определить через активную длительность - Ta , которая измеряется на
уровне 0,5 от максимальной амплитуды сигнала. Однако в теории оценки параметров сигналов получила применение эффективная длительность Tэф [1]. Если комплексная огибающая одиночного сигнала - A (t ) , то

Tэф  2
t
2
2
A (t ) dt

2
A (t ) dt
(25)
В (25) эффективная длительность является статистическим параметром и трактуется как корень квадратный из нормированного второго момента квадрата модуля аналитической функции сигнала относительно начала наблюдения t  0 .
В качестве примера приведем значения Tэф для сигналов с прямоугольной и гауссовой огибающих.
Для одиночного сигнала с прямоугольной огибающей длительности T
T
T

1
,


t


2
2
A(t )  
T
T
0,   t 

2
2
(26)
имеем
T /2
t
Tэф  2
2
T / 2
T /2
dt
 dt

T
6
 1.2T
(27)
T / 2
Для одиночного сигнала с гауссовой огибающей

 t 2 
A(t )  exp  2.8 2  .
 Ta 

(27а)
имеем

 t 
2
  dt
t
exp

5
.
6


Ta
 Ta 
T / 2

 2

 1.3Ta .
T /2

5. 6
 t 
 exp  5.6 Ta  dt
T / 2


T /2
T0.7 Г
(28)
Для непрерывных сигналов, а они, как правило, в РТС периодические, длительность сигнала Т чаще определяется периодом следования TП . Исключение составляют
гармонические, шумовые и некоторые виды шумоподобных сигналов, В последних двух
видах периодичность нарушается информационной модуляцией.
1.2.2. ЗАНИМАЕМАЯ ПОЛОСА ЧАСТОТ
Большинство сигналов в РТС - широкополосные, т.е. имеющие ширину спектра,
стремящуюся к  . Характер спектра зависит от вида модуляции и в базисе Фурье описывается спектральной функцией S ( j ) , отражающей амплитудно-частотную S ( ) и  ( )
фазочастотную характеристику сигнала. В практике полосу частот, занимаемую сигналом,
ограничивают до величины, в пределах которой сосредоточивается большая часть мощности сигнала и обеспечивается максимальное отношение мощности сигнала к мощности
шума, на входе приемника РТС. Отсюда и возникли два понятия ширины спектра сигнала:
энергетическая и эффективная.
Энергетическая ширина спектра Fэ определяется по спектральной плотности сигнала F ( )

1
F ( )d
2 0
(29)
Fэ 
,
F ( )
где F ( ) - максимальное значение спектральной плотности при некоторой частоте  0
(для видеосигнала 0  0 ).
По определению спектральная плотность стационарной функции выражается через
спектральную функцию [3]
1
2
F ( )  lim S ( j ) .
(30)
T  T
Для реальных сигналов длительности Т связь между F ( ) и S ( j ) устанавливается через равенство Парсеваля:

T /2

1
1
1
2
2
(31)
F ( )d 
S (t ) dt 
S ( j ) d



2 
T T / 2
2T 
Эффективная (среднеквадратическая) полоса частот Fэф сигнала используется в
теории оптимальной оценки неэнергетических параметров сигналов и для симметричного
по спектру сигнала определяется следующим выражением:

Fэф 

2
S ( j ) d
2

(32)

 S ( j )
2
d

На рис. 1 приведены графики функций времени и частоты простых и цифрового
сигналов
Для прямоугольной огибающей радиоимпульса (рис. 1,а)
T
sin
2
S ( )  A0T
и
(33)
T
2
2
соответствующее значение Fэф  .
T
2
2
Примерно 85% мощности сигнала сосредоточено в полосе от 
до
, поэтому
T
T
примерно такую же величину будет иметь и энергетическая полоса.
Для гауссовой огибающей радиосигнала (рис. 1,б)
 t2 
A0
(34)
A(t ) 
exp  2 
2 2
 2 
и
 1

S ( j )  A0  exp   2 2  ,
 2

1.7
2
, а Fэ  .
эффективная полоса Fэф 
Ta
Ta
Здесь T0  2.36 зависит только от коэффициента  . При   0 сигнал S (t ) вырождается в дельта-функцию, спектральная функция которой является равномерной. Для
цифрового сигнала (рис. 1,в)
N 1
A(t )  A0  ai rect[t  i 0 ]
i 0
и
N 1
S ( j )  S 0 ( j )  A0  an cos n 0 ,
n 0
где an  {1,  1} , N - число элементарных символов длительностью  0 , rect[t  n 0 ]  {0,1},
S0 ( j ) -модуль спектральной функции прямоугольного импульса единичной амплитуды
и длительностью  0 .
Эффективная и энергетическая полосы частот цифрового сигнала примерно одинаковы и оцениваются соотношением
S( t )
S( ω )
A0
A0 T
ω
t
T
2
0
2π
T
T
2
0
2π
T
4π
T
6π
T
a
S( ω )
S( t )
A0
A0
2πσ 2
A0
-1.8σ
Ta
2 2πσ 2
t
1 .8 σ
A0
12.2
ω
0.85
2π
Ta
0.85
- 2π
Ta
б
S( ω )
S( t )
A0
τ0
A0 T
t
0
- A0
T
0
в
Рис. 1
2π
T
4π
T
6π
T
8π
T
2π ω
τ0
Fэф  Fэ 
2
0
.
1.2.3. ЭНЕРГИЯ СИГНАЛА
Исходя из определения, энергия сигнала Е длительностью T равна
T /2

1
1
2
2
E   S (t ) dt 
S ( j ) d

2 T / 2
4 
(37)
Если S (t ) - действительная функция времени, то
T /2
E
S
2
(38)
(t )dt
T / 2
Мощность сигнала (его дисперсия) вычисляется через спектральную плотность

1
Pc c2   F ( )d
(39)
2


Среднюю мощность сигнала Pc можно выразить через его энергию:
E
Pc  .
T
1.2.4. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ СИГНАЛА
Из корреляционной теории случайных процессов вытекают понятия автокорреляционной функции и функции взаимной корреляции. Автокорреляционная функция (АКФ)
- функция корреляции между значениями одного случайного процесса x(t ) в два разных
момента времени записывается формулой
(40)
r ( )  x(t1 )  x(t 2 )  m 2 ,




где   t 2  t1 ,  x(t1 )  x(t 2 )   x(t1 ) x(t 2 ) P1 ( x)dx, матожидание m   x(t )    xPi ( x)dx , Pi
- одномерная плотность распределения случайного процесса x(t ) .
Для стационарных эргодических случайных процессов при времени наблюдения Т
T
1 T

1
r ( )   x(t )  x(t   )dt    x(t )dt 
T0
T 0

2
(41)
Считая далее реальный сигнал S (t ) длительности Т в РТС стационарным и эргодическим случайным процессом, по аналогии (40) и (41) введем понятие АКФ реального
сигнала как
T
R( )   S (t )  S (t   )dt
(42)
0
Такая запись отражает статистическую связь между различными временными сдвигами сигнала и соответствует математическому описанию операции оптимального корреляционного приемника.
Основные свойства АКФ реального сигнала S (t ) длительности Т :
а) R ( ) - функция четная, т.е. R( )   R( ) ;
б) Rмакс ( )  R(0)  E ;
в) при   0 , R( )  R(0) ;
г) lim R( )  0 , практически при   T R( )  0 ;
 
д) если R ( )  0 при 0    T , то между значениями S (t ) и S (t   ) не существует
статистической связи, т.е. они ортогональны;


1
F
(

)
exp[
j

t
]
d

,
F
(

)

е) R( ) 
 R( ) exp[  jt ]dt .
2 

Иногда удобно пользоваться понятием нормированной АКФ сигнала  ( ) :
R( ) 1
(43)
 ( ) 
 R( )
R(0) E
При корреляционном анализе цифровых сигналов используют решетчатую АКФ.
Если S (t ) - цифровой сигнал, состоящий из набора символов ai длительностью  0 ,
где i  1, 2, ..., N , то решетчатая АКФ одиночного цифрового сигнала (непериодического)
вычисляется следующим образом:
N k
R (k 0 )   ai  ai  k ,
(44)
i 1
где k=0, 1, 2, ... , T  1 .
Решетчатая АКФ периодического цифрового сигнала определяется выражением
N
RП (k 0 )   ai  ai  k ,
(45)
i 1
где при сдвигах кратных  0 и не превышающих длительности сигнала Т, "k" принимает те
же значения, что и в (44).
Соответственно выражения для нормированных решетчатых АКФ цифрового сигнала примут вид
1 N k
 ( k   0 )   ai  ai  k ,
N i 1
1 N
 п ( k   0 )   ai  ai  k .
(47)
N i 1
Если в (44), (45) и (46) ai  {0,1} , то все нулевые символы заменяются символом
"-1". В РТС интерес представляют сигналы с хорошими АКФ - максимальный уровень бокового остатка существенно ниже основного пика.
Эффективная протяженность функции АКФ называется временем корреляции

 k    ( )d
(47)

На рис. 2 приведены АКФ некоторых сигналов: АКФ прямоугольного видеоимпульса длительностью Т (рис. 2,а) описывается выражением

  
 A0T 1   ,   T ,
(48)
R( )  
 T

0 ,   T .
АКФ прямоугольного радиоимпульса длительностью Т (рис. 2,б) представляет собой гармоническое колебание на частоте несущей, амплитуда которого изменяется по закону (48).
АКФ комбинированного сигнала из трех прямоугольных импульсов одинаковой
длительности, но разных амплитуд изображена на рис. 2,в. На рис. 2,г приведена АКФ
цифрового сигнала и демонстрируется метод вычисления решетчатой АКФ.
Для установления статистической связи между двумя сигналами S1 (t ) длительности T1 и S2 (t ) длительности T2 рассмотрим функцию взаимной корреляции (ВКФ):
S( t )
S( t )
A0
A0
t
-
T
2
t
T
2
0
-
0
T
2
R(  )
T
2
R(  )
A0T 2
A0T 2

0
-T

T
T
-T
a
S( t )
A3
A2
A1
t / 0
0
1
2
3
4
5
6
R(  )
( A1  A2  A3 ) 0
A2 A3  0
-6
-5
-4
-3
-2
0
-1
1
3
2
4
A1 A3  0
5
6
б
S( t )
A0
t /0
0 1 2 3 4 5 6 7
-A0
R(  )
+ - + + - - - - + - - + + +
- + - - + +
- + - - +
+
+ - + +
+
+ - +
- +
+
+
7 A0  0
2
0 1 2 3 4 5 6 7
-A02 0
t /0
в
Рис. 2
+
+
+
-
+
+
- + + +
+ - - -
T
R1, 2 ( )   S1 (t )  S 2 (t   )dt ,
(49)
0
где T - время анализа.
Если длительности сигналов S1 (t ) и S2 (t ) одинаковы, то T1  T2  T , в противном
случае T - минимальное значение, кратное T1 и T2 .
Нормированную ВКФ двух сигналов с энергиями E1 и E2
T
1
(50)
1, 2 
 S1 (t )  S 2 (t )dt
E1 E2 0
называют коэффициентом взаимной корреляции (коэффициентом различимости).
Для произвольного ансамбля сигналов {S2 (t )} равных энергий, где l  1, 2, ... z :
T
1
Si (t )  S j (t )dt
E 0
Основные свойства ВКФ сигналов:
1)  ij ( )   ij ( ) , i  j ;
ij (0) 
(51)
2)  1   ij  1, i  j ;
3) при  ij (0)  1 , S j (t )   S i (t ) ;
4) при  ij (0)  0 , S j (t ) и S i (t ) ортогональны на всем промежутке наблюдения;
5) при  ij (0)  0 , S i (t ) и S j (t ) взаимно зависимые функции, степень зависимости
которых определяется величиной  ij (0) ;
6)
для системы z равноудаленных сигналов (такие сигналы называют симплексными)
1


, если z четно, i  j,

 ( z  1)
(52)
 ij (0)  
1
 , если z нечетно, i  j.

 z
На рис. 3 приведены ВКФ сигналов ортогональных (а) симплексных (б) и зависимых (в). Если по ФАК судят о точности и неопределенности временного положения сигнала, разрешающей способности и однозначности сигнала во времени, то вид ВКФ характеризует степень различимости сигналов, их разделимости при совместном приеме.
При работе РТС с подвижными объектами или размещением РТС на подвижных
объектах, помимо временной неопределенности сигнала, появляется неопределенность в
оценке частоты сигнала в связи с доплеровским набегом.
Обобщенной функцией, устанавливающей связь между элементами сигнала во
временной и частотной областях, является двумерная корреляционная функция
R( , Ω) 

 A (t )  A (t   )  e
*
jΩ t
dt ,
(53)

где A (t ) и A * (t   ) соответственно комплексная огибающая сигнала и сопряженная с ней
функция.
Обычно информацию о фазе принимаемого сигнала при оценке его потенциальных возможностей не используют и анализируют модуль нормированной двумерной корреляционной функции сигнала
 ( , Ω) 
или
1
2

 A (t )  A (t   )e
*
jΩt
dt

(54)
S( t )
t
0
T
S( t )
t
0
T
 1,2 (  )
0.25
-T

T
 0.25
a
S( t )
t
0
T
S( t )
t
0
T
 1,2 (  )
0.5

T
-T
б
S( t )
t
0
T
S( t )
t
0
T
 1,2 (  )
0.5

T
-T
-0.5
в
Рис. 3
 ( , Ω) 
1
4E

 S ( j )  S[ j (  Ω)]e
j
d ,

который называют функцией неопределенности (ФН) сигнала.
Основные свойства ФН:
1)  ( , Ω) макс   (0,0)  1 ;
2)  ( , Ω)   ( ,Ω) ;
3)  ( , Ω) 

1
E  A (t ) A * (t   )dt есть модуль нормированного АКФ сигнала;
2 

1
4)  (0, Ω)  E  S ( j ) S * [ j (  Ω)d есть модуль спектральной функции квад4 
рата огибающей сигнала, определяющей точность, разрешающую способность и однозначность при оценке частоты сигнала;
 
1
2
 ( , Ω) ddΩ  1 объем, ограниченный ФН, есть величина постоянная и
5)


2 
не зависит от формы сигнала.
Последнее свойство в радиолокации известно как принцип неопределенности. Для
простых сигналов он сводится к тому, что повысить точность и разрешающую способность по  (Ω ) можно лишь за счет ухудшения точности и разрешающей способности по
Ω ( ) , так как почти весь объем тела неопределенности сосредоточен в области высокой
корреляции. Только сложные сигналы позволяют получить тело неопределенности, близкое к игольчатому, с равномерным распределением "излишка объема" в области низкой
корреляции плоскости  , Ω .
На рис. 4 в качестве примера приведено тело неопределенности и его сечения соответствующие прямоугольному импульсу длительностью T. На рис. 5 представлена кнопочная ФН, характерная для шумовых или шумоподобных сигналов.
1.2.5. ВИД ИНФОРМАЦИОННОЙ МОДУЛЯЦИИ
Используя гармоническое колебание как переносчик информации, модулированный сигнал в общем виде представляется как
S (t )  A(t ) cos (t )
(55)
Из (55) вытекает два основных вида информационной модуляции: амплитудная
(AM) и угловая (УМ). Угловая модуляция в свою очередь подразделяется на фазовую
(ФМ) и частотную (ЧМ). Для указанных видов информационной модуляции выражение
(55) запишется в следующих видах:
AM - S (t )  A0 [1  M AM  (t )] cos(0t   0 ) ,
ФМ - S (t )  A0 cos[0t  Δ M  (t )  0 ) ,
T
ЧМ - S (t )  A0 cos[0t  ΔM   (t )dt  0 ) ,
(56)
0
В (56) M AM - коэффициент амплитудной модуляции, ΔM - девиация частоты,
Δ M - приращение фазы,  (t ) - информационное сообщение.
Модулированные колебания имеют сложный спектр, структура которого зависит от
спектра передаваемого сообщения и вида модуляции. Рассмотрим каждый вид модуляции

 (  , )

0
T
2
T

 (  , ) 1
4
T
а
 (  , )
 0
  /T
  2 / T
  4 / T
0.5
0.2
а
6
T
T
0
б
4
T
2
T
Рис. 4
 (  , )
 0
0.5

-T
1
1


4Fэф
2Tэф
Рис. 5
0
в
 T / 2
2
T
4
T
6
T

в плане помехозащищенности передаваемого сообщения. Пусть  (t )  cos Ωt - гармоническое колебание частотой Ω .
Для AM
S (t )  A0 (1  M AM cos Ωt ) cos(0t   0 ) 
(57)
AM
AM
A0 cos(0t   0 )  0 AM cos[(0t  Ω)t   0 ]  0 AM cos[(0t  Ω)t   0 ]
2
2
На рис. 6 изображен спектр сигнала с AM, содержащий две боковые составляющие
0  Ω и 0  Ω информационного сообщения. Достаточно подавить эти две информационные составляющие, как сообщение будет стерто или искажено. Ширина спектра сигнала
равна Ω /  . В общем случае, когда сообщение  (t ) ограничено сверху частотой FM , то
ширина спектра AM сигнала будет F  2FM . С целью сокращения расхода энергии, кроме
обычной АМ, применяется однополосная АМ и AM без несущей. При однополосной AM
передается только одна боковая полоса, например, верхняя. АМ без несущей осуществляется с применением балансной модуляции. Сигналы с AM модуляцией имеют низкую информационную помехозащищенность, но просты в формировании.
Для УМ
(58)
S (t )  A0 cos[0t  m cos Ωt   ],
Δ M
где m - индекс модуляции: при ФМ  mфм  Δ M , при ЧМ  mфм 
.
Ω
После соответствующих тригонометрических преобразований выражение (58)
примет вид


k 1
k 1
S (t )  A0 J 0 (m) cos 0 t  A0  J k (m) cos(0 t  kΩt )  A0  (1) k J k (m) cos(0 t  kΩt ), (59)
где J k (m) - функция Бесселя первого рода k-го порядка от аргумента m. Теоретически
спектр такого сигнала безграничен. В двух боковых полосах 0  kΩ даже для гармонического сообщения содержится множество информационных составляющих, подавить
которые весьма трудно. Практически эффективная ширина спектра сигнала с УМ ограничена, так как при k  m амплитуды боковых частот быстро убывают и ими можно пренебречь. Ширина спектра колебаний при УМ, таким образом, определяется выражением
F  2mFM , где FM  Ω / 2 для гармонического сообщения и верхняя граничная частота
Δ M
для широкополосного сообщения. Для ФМ сигнала F  2Δ M FM , а для ЧМ  F 
.

При малых индексах модуляции ( m  1 ) спектр сигнала с УМ мало чем отличается от
спектра AM сигнала. На рис. 7 приведен спектр сигнала с УМ (  (t )  cos Ωt ) для m  5 .
В РТС ПИ широкое применение находят импульсные виды информационной модуляции: амплитудно-импульсная (АИМ), широтно-импульсная (ШИМ), фазоимпульсная
(ФИМ), частотно-импульсная (ЧИМ) и кодово-импульсная (КИМ). В качестве первичного
переносчика сообщения в импульсной модуляции используется периодическая импульсная последовательность, амплитуда, длительность и период повторения которой соответственно модулируются информационным сообщением. На рис. 8 показаны формы
сигналов при различных видах импульсной модуляции.
При разложении периодической последовательности импульсов f (t ) в ряд Фурье
получим
k1


 sin


A
2
f (t ) 
1  2 k  cos k1t ,
TП 
1
k 1

2


(60)
M AM  A0
2
0  
A0
0
M AM  A0
2

0  
Рис. 6
A0 J 4 ( 5 )
0  6 
0  4 
A0 J 1 ( 5 )
A0 J 1 ( 5 )
A0 J 0 ( 5 )
0  2
0   0  0  
 0  2
A0 J 4 ( 5 )
0  4 
0  6 
Рис. 7
( t )
f (t )
t
0
0
АИМ
t
Tп0
t
ШИМ
t
ФИМ
t
ЧИМ
t
КИМ
t
Рис. 8

АИМ  A  A0  ΔA   (t ),    0 , TП  TП 0 ;
ШИМ     0  Δ   (t ), A  A0 , TП  TП 0 ;
ЧИМ  TП  TП 0  ΔTП   (t ), A  A0 ,    0 .
ФИМ и КИМ являются производными от ШИМ и ЧИМ. В частности при КИМ
каждый уровень сообщения (при дискретном представлении) передается своей кодовой
комбинацией, длительность которой равна TП 0 . Сигналы с импульсными видами модуляции обладают высокой информационной помехозащищенностью благодаря сложности
спектра, его насыщенности информационными составляющими, В этом можно убедиться
на примере с АИМ, взяв для упрощения  (t )  sin Ωt .
При модуляции одним током
k 0


sin



A
TП 0
t 
 
f АИМ (t )  0 0 (1  M AM sin Ωt ) 1  2
cos 2k
k 0
TП 0
TП 0 

k 1



TП 0
где для
k 0


sin



A
TП 0
t  M AM A0 0
 
(61)
 0 0 1  2
cos 2k
sin Ωt 

k

TП 0 
T
TП 0
0
k 1
П 0 



TП 0


k 0
k 0
sin
sin


 2k
 M A
 2k

M AM A0 0
TП 0
TП 0
sin 
 Ω  t  AM 0 0 
sin 
 Ω  t

k 0
k 0
TП 0
TП 0
k 1
k 1
 TП 0

 TП 0

TП 0
TП 0
На рис. 9 приведены графики спектров последовательности импульсов (а) и модулированной по амплитудной последовательности импульсов (б). Сравнение графиков
спектров показывает, что при АИМ каждая составляющая немодулированным импульсом
последовательности модулируется информационным сообщением. Нетрудно себе представить, что спектры сигналов для других видов импульсной модуляции будут более
сложными. Следует отметить, что эффективная полоса частот, занимаемая такими сигналами, практически не зависит от вида модуляции и определяется лишь длительностью и
формой импульса.
1.2.6. КОЭФФИЦИЕНТ ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННОЙ СВЯЗИ. БАЗА СИГНАЛА
При совместной оценке ошибок измерения частоты и времени запаздывания вводится коэффициент частотно-временной связи. Он получается из анализа ФН сигнала.
Рассматривая ФН сигнала только в области сильной корреляции, можно разложить ФН
вблизи начала координат в ряд Тейлора, отбросив слагаемые третьего и более высокого
порядка малости [5]:
2
f 2 ''
 ( , f )  1  ' ' (0,0) 
 ff (0,0)  ' ' f (0,0).
(62)
2
2
В (62)
 2  ( , f )
 2  ( , f )
''
2
''
 (0,0) 
  Fэф ,  ff (0,0) 
 Tэф2 ,
2
2
 0
 0

f
f 0
' ' f (0,0) 
f 0
  ( , f )
 FэфTэф K f ,
 f  0
2
f 0
 (  ,0 )
S( t )
1
A0

t

1

F
T
2
T
2
1
F
0
а
а
( 0 , f )
S( t )
1
f
t
T

2
0
б
T
2
1

T
0
б
1
T
Рис. 11
S( t )
f
F
1/ T

t
T

2
T
2
0
T
1/ T
 F
в
Рис. 10

T
tg 
Рис. 12
F
T
K
где K f - коэффициент частотно-временной связи.
Таким образом,

2
1
 2  ( , f )

K f 


t  ' (t ) S (t ) dt

Tэф Fэф
 f  0 Tэф Fэф E 
(63)
f 0
В (62)  (t ) - функция фазовой модуляции сигнала, характеризующей набег фазы за
длительность сигнала. Если мгновенная частота постоянна, то K  f  0 и оценки  и f
оказываются некоррелированными.
Произведение эффективной полосы частот, занимаемой сигналом, на его эффективную длительность называют базой сигнала В:
B  FэфTэф
(64)
В зависимости от величины B различают сигналы простые и сложные:
B  1 , сигнал простой;
B  1 , сигнал сложный.
Например, база импульса прямоугольной формы длительности Т (рис. 1,а) равна 1,
1
1
так как Fэф  , Tэф  T ; а база цифрового сигнала (рис. 1, в) равна 5, так как Fэф  ,
T
0
Tэф  5 0 .
Все сложные сигналы можно с помощью специальных согласованных фильтров
сжать по длительности. Коэффициент сжатия определяется базой сигнала. Ряд сложных
сигналов можно сжать и по частоте. Ниже рассматриваются некоторые классы сложных
сигналов, нашедших широкое применение в РТС.
1.3. РАЗНОВИДНОСТИ СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКА
Все сложные сигналы подразделяются на шумовые и детерминированные. В качестве шумовых сигналов используются реализации случайных процессов. С точки зрения
корреляционно-спектральных характеристик шумовые сигналы являются идеальными, так
как их ФН являются кнопочными. Однако на практике высокие потенциальные возможности шумового сигнала реализовать достаточно трудно из-за сложности организации оптимальной обработки в виду невозможности формирования копии сигнала. Поэтому в современных РТС со сложными сигналами получили наибольшее распространение детерминированные методы формирования сигнала. Среди детерминированных сложных сигналов различают сигналы с непрерывной модуляцией и дискретной. Из всего многообразия сложных сигналов в данном разделе рассматриваются сигналы с линейной частотной
модуляцией (ЛЧМ) и класс шумоподобных сигналов с дискретной фазовой и дискретной
частотной модуляциями.
1.3.1. СИГНАЛЫ С ЛИНЕЙНОЙ ЧАСТОТНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ
ЛЧM сигналы - это класс сложных сигналов, расширение спектров которых осуществляется за счет девиации частоты по линейному закону в пределах длительности сигнала.
Принимая за точку отсчета t  0 середину сигнала длительности Т, ЛЧМ сигнал с
прямоугольной огибающей запишется в виде следующей функции времени:
T
S (t )  A0 cos[ 2f 0 t  kt 2 ], t 
(65)
2
где f 0 - центральная частота, Kt  F (t ) - закон изменения частоты, A0 - амплитуда сигнала, К - коэффициент, учитывающий крутизну изменения частоты.
На рис. 10 показаны примерный вид ЛЧМ сигнала, законы изменения его частоты и
фазы. При этом фаза сигнала
 (t )  2 ( f 0t  ΔFt 2 / 2T ),
где ΔF  KT - девиация частоты.
Если (ΔF T )  1 , эффективная ширина спектра сигнала Fэф  ΔF . В противном
случае Fэф определяется значением 1/ T . Следовательно, база сигнала B  T  ΔF . Возможности ЛЧМ сигнала выявляются из рассмотрения его ФН. Аналитическое выражение
ФН комплексной огибающей ЛЧМ сигнала имеет вид
  
 ΔF


  f [T   ]
 1   sin  

 T

 T 
,   T,

 ΔF

 ( , f )  
(66)

  f [T   ]

 T


0,   T .

При f  0 (сечение ФН плоскостью f  0 ) выражение (66) примет вид
 
sin ΔF 1  
 
 T
 ( ,0)  1   
(67)
 
 T
ΔF 1  
 T
и является модулем нормированной АКФ комплексной огибающей ЛЧМ сигнала.
Для ΔF T  1 выражение (67) упростится
sin ΔF
 ( ,0)   ( ) 
.
(68)
ΔF
При   0 (сечение ФН плоскостью   0 ) выражение (66) представляет собой модуль спектральной функции прямоугольного видеоимпульса длительностью T:
sin FT
 (0, f ) 
(69)
FT
На рис. 11 приведены сечения ФН ЛЧМ сигнала соответственно плоскостями f  0
(68) и   0 (69), Анализ сечения (рис. 11,а) показывает, что длительность основного лепестка корреляционной функции вдоль оси задержек имеет порядок 1/ ΔF и не зависит от
длительности огибающей сигнала Т, а определяется только максимальной девиацией ча1 .2
стоты. Если время корреляции  к оценивать на уровне 0,6 от максимума АКФ, то  к 
ΔF
T TΔF

 K сж можно рассматривать как коэффициент сжатия ЛЧМ сигнаи отношение
 к 1.2
ла по времени. Возможность ЛЧM сигнала при корреляционной обработке сжиматься по
оси времени позволяет увеличить точность и разрешающую способность при оценке временного положения. Точность и разрешающая способность при оценке частоты (рис. 11,б)
определяется в основном длительностью сигнала Т. Однако при неизвестной задержке
сигнала (   0 ) показатели качества ухудшаются. Этот эффект удобно наблюдать на диаграмме неопределенности ЛЧМ сигнала - сечение ФН плоскостью параллельной плоскости (  , f ) на уровне 0.5 от максимального значения ФН (рис. 12). Сложные ЛЧМ сигналы
нашли применение в системах радиолокации.
Менее примитивным является сложный сигнал с зигзагообразной частотной модуляцией (ЗЧМ), в котором закон частотной модуляции формируется из набора линейных
отрезков. Если в сигнале с ЗЧМ имеет место изменение длительности элементов линей-
ных отрезков совместно с изменением частотных сдвигов, то можно получить кнопочную
ФН.
1.3.2. СЛОЖНЫЕ СИГНАЛЫ С ДИСКРЕТНОЙ ФАЗОВОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ
(ДФМ)
Из всех сложных сигналов с ДФМ наибольший интерес для РТС представляют шумоподобные или псевдослучайные сигналы (ПС-сигналы), у которых фаза несущего колебания изменяется по закону дискретной псевдослучайной видеопоследовательности
(ПСП).
Статистические характеристики ПСП и случайной видеопоследовательности похожи, что и определило название детерминированной видеопоследовательности. Аналитически ПС-сигнал с ДФМ длительности Т записывается в виде
N
S (t )  A0  rect[t  (i  1) 0 ] exp[ j (0 t   i   i )] ,
(70)
i 1
где 0  t  N 0 ;  0 - длительность элементарного символа ПСП; N - количество
элементарных символов на длительности Т ( N 0  T ); i - дискретные значения фазы,
привязанные к соответствующим дискретным значениям модулирующей ПСП; а функция
1, при (i  1) 0  t  i 0 ,
rect [t  (i  1) 0 ]  
0, при (i  1) 0  t  i 0 .
(71)
Комплексная огибающая сигнала (70) и закон фазовой манипуляции определяются
соответственно следующими выражениями:
N
A (t )  A0  rect[t  (i  1) 0 ] exp[ j i ],
(72)
i 1
 
N
A(t )  Re A (t )  A 0  cos  i  rect[t  (i  1) 0 ] .
(73)
i 1
Функцию cos i удобно выразить через символ ai длительности  0 (cos i  ai ) , а
ПСП - как ансамбль символов {ai } , где i  1, 2, ..., N . Если ai {1,  1} (i {0,  }) то ПСП
будет двухуровневой или бинарной. При больших значениях ai ПСП - многоуровневая
или многофазная. Очевидно, что спектрально-корреляционное свойство ПС-сигнала с
ДФМ полностью будут определяться модулирующей ПСП.
Ансамбли видеопоследовательностей можно отнести к классу ПСП, руководствуясь следующими свойствами:
1. Взвешенность. Характеризуется примерным равенством различных символов
{ai } на длительности Т.
2. АКФ последовательности близка к огибающей кнопочной функции, т.е. максимальный уровень бокового остатка существенно ниже уровня основного пика АКФ.
3. Спектральная плотность видеопоследовательности в пределах ее эффективной
полосы должна быть по возможности равномерной.
Существующие классы ПСП можно разбить на две группы: бинарные и небинарные.
К числу небинарных ПСП относятся линейные рекуррентные последовательности
(ЛРП) с основанием P  2 , (основание характеризует количество различных уровней в
последовательности) последовательности Цырлера [3,7], последовательности символов
Дежандра, многофазные коды Фрэнка [6], последовательности Де Лонга, E - коды Велти
[8] и др. Отличительной особенностью небинарных ДСП является низкий уровень боковых остатков АКФ, модуль которых для одиночной последовательности не превышает
1/ N (АКФ нормированная), а для периодической стремится к нулю. Однако большие ап
СЧ
1
fН
4
БМ
ПС  сигнал
3
fТ
2
ГПСП
а
1
t
2
t
3
t
4
t
б
Рис. 13
паратурные затраты, которые требуют многоуровневые ПСП при их формировании и обработке, привели к ограниченному их применению в РТС.
Широкое применение в современных РТС с ПС-сигналами нашли бинарные ПСП.
Из множества классов бинарных ПСП ниже рассматриваются два класса, имеющие хорошие спектрально-корреляционные характеристики и отличающиеся простотой формирования. На рис. 13 приведена структурная схема формирования ПС-сигнала с ДФМ для бинарной ПСП. Указанные на рис. 13,а обозначения соответствуют следующим узлам: СЧ синтезатор двух когерентных частот f н ,и f г , ГПСП - генератор ПСП, БМ - балансный
модулятор.
На рис. 13,б приведены эпюры, поясняющие процесс формирования ПС-сигнала с
ДФМ. Для простоты изображения взята f н  3 f г .
1.3.3. М – ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
М - последовательности [7] - это класс ЛРП максимального периода (отсюда и
название М - максимальное) с основанием p  2 удовлетворяющий рекуррентному правилу ai  c1ai 1  c2 ai 2    cn ai n ,
(74)
где ci {0,1} , n - порядок, определяющий память последовательности; при ai {0,1} умножение логическое, a сложение - по модулю 2.
Задаваясь начальной комбинацией из n символов по правилу (74),можно формировать М-последовательность. ЛРП описываются полиномами n-й степени вида
c0  c1 x  c2 x 2    cn x n  0
(75)
М-последовательность порядка n как последовательность максимального периода,
описывается неприводимым и примитивным полиномом степени n из всех заданных выражением (75). Количество ненулевых коэффициентов c i в полиноме (75) за исключением
c0  1 определяют количество символов n-значной комбинации, участвующих в формировании по правилу (74), причем число их всегда четное. Например, неприводимый и примитивный полином x 3  x 2  1  0 описывает М-последовательность порядка n=3 и рекуррентное правило формирования символов имеет вид
ai  ai 2  ai 3
(76)
По полиному x 5  x 4  x 3  x 2  1  0 рекуррентную формулу генерирования Мпоследовательности порядка n=5 записывают так:
ai  ai 2  ai 3  ai 4  ai 5
(77)
На рис. 14 приведены структуры генераторов М-последовательностей порядков 3 и
5 по правилам (76) и (77) соответственно. В качестве n-разрядной памяти используются
регистры сдвига, управляемые генераторами тактовых импульсов (ГТИ).
Значность N (количество символов ai в одном периоде) М-последовательности зависит от порядка n и определяется формулой
N  2n 1
(78)
На рис. 15 демонстрируется формирование М-последовательности значности
.
N  7 Двоичные символы, расположенные столбцами справа, от линии, являются символами М-последовательности, сформированными на выходе генератора при начальной
комбинации 111. При построении генератора М-последовательности необходимо учесть,
что запрещенной начальной комбинацией в регистре сдвига является комбинация из всех
нулей. Генератор М-последовательности позволяет формировать как периодическую, так
и одиночную последовательность.
Иногда при анализе свойств М-последовательности удобно представлять символы
ai {1,  1} .
ГТИ
1
2
Вых.
3
+
а
ГТИ
1
2
3
4
5
+
б
Рис. 14
0 такт
1 такт
2 такт
3 такт
4 такт
5 такт
6 такт
7 такт
111
011
001
100
010
101
110
111
Рис. 15
1
1
1
0
0
1
0
Вых.
В этом случае рекуррентные формулы (76) и (77) примут вид
ai  ai 2  ai 3
(79)
и
ai  ai 2  ai 3  ai 4  ai 5 ,
(80)
где умножение алгебраическое.
Рассмотрим основные структурные и спектрально-корреляционные свойства Мпоследовательности.
1. В периоде последовательности число символов 1 отличается от числа символов 0
на единицу.
2. В периоде последовательности содержатся все n-значные комбинации двоичного кода, кроме нулевой.
3. В периоде последовательности из общего числа 2 n1 серий 2 n2 содержат один
символ, 2 n3 - два символа, 2 n4 - три символа и т.д., пока это число не станет равным 1.
Здесь сериями называются комбинации, состоящие из одинаковых символов.
Например, в периоде N  2 n  1  31 ( n  5 , генератор соответствует рис. 14,б) последовательности
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11111
00
11
0
1
00
1
0000
1
0
1
0
111
0
11
000
содержится 16 серий. Из них восемь серий (4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 14) имеют только по одному символу, четыре (2, 3, 6, 15) - по два символа, две (13, 11) по три символа и по одной
серии (8) - четыре символа, (1) - пять символов. Среди всех серий ровно половина единичных, а другая половина - нулевых. Данное свойство характерно для случайных последовательностей, у которых частота появления серий должна уменьшаться с увеличением
числа символов в серии или ее значности.
4. При суммировании по модулю 2 любой М-последовательности с ее циклическим
сдвигом меньше периода получается та же М-последовательность, но с другим циклическим сдвигом. Например, при сложении последовательности (рис. 15) с ее циклическим
сдвигом на два символа вправо получим
+
1110010
1011100
0101110
(81)
последовательность, которая отличается от первоначальной циклическим сдвигом на три
символа вправо. Данное свойство является определяющим при анализе корреляционных
характеристик периодической М-последовательности.
5. Количество М-последовательностей одной значности определяется выражением
 (2 n  1)
z
,
(82)
n
где  (x ) ,Фи - функция Эйлера, равна количеству целых положительных чисел, включая
единицу, меньших x и взаимно простых с x. Причем, если x - простое число, то
 ( x)  x  1 . Например, при 2 n  1  15 x принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
12, 13, 14 и  (15)  8 (взаимно простые числа с числом 15 отмечено курсивом). В таблице
1 даны значения Z для М-последовательностей различных порядков.
Таблица 1
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Z
1
2
2
6
6
18
26
48
60
176 144 630
14
15
756 1800
В [7] приведены таблицы порождающих полиномов М-последовательностей.
6. АКФ одиночной М-последовательности.
Основным показателем корреляционных свойств одиночных последовательностей
является уровень максимальных остатков АКФ. АКФ М-последовательности сложная
функция времени и в общем виде может быть записана следующим образом:
   N k
 N k 1
(83)
R(k 0   )  1    ai ai k 
 ai aik 1 ,
 0 i 0
  0  i 0
где 0  k  ( N  1), 0     0 , ai {1,1}, k 0     . Анализ нормированных АКФ Мпоследовательностей
различных значностей N с различными циклическими сдвигами
1.25
показывает, что модуль максимального бокового остатка не превышает величины
,
N
т.е.
1.25
(84)
 ( ) 
, при    0 .
N
Среди последовательностей одной значности N, сформированных по одному полиному, но при разных начальных комбинациях (различные циклические сдвиги), существуют последовательности с минимальным уровнем модуля максимального остатка
АКФ, которые называются минимаксные, например, у минимаксной М-последовательности, полученной по рекуррентной формуле (79)
1
 ( ) м акс  , при    0 .
(85)
N
Эта последовательность совпадает с кодом Баркера значности 7. У кодов Баркера
модуль боковых остатков нормированных АКФ не превышает значения (85). Кодов Баркера всего 6 (N=3, 4, 5, 7, 11 и 13).
Интересно отметить, что сумма всех боковых остатков решетчатой АКФ одиночной М-последовательности определяется выражением
N 1
N 1
R(k 0 )  
(86)

2
k 1
На рис. 16 приведены нормированные АКФ одиночных М-последовательностей
значностей 7 (а и б) и 15 (в), причем АКФ (рис. 16,а) принадлежит минимаксной Мпоследовательности.
7.
АКФ периодической М-последовательности. АКФ любой периодической Мпоследовательности связана со свойством 4, является периодической функцией с тем же
N 0
периодом, что и М- последовательности в пределах одного периода
определяется
выражением
 
1  1  N ,    0 ,
 0
 п ( )  
 1 ,     N  1 .
0
 N
(85)
На рис. 17 приведена нормированная АКФ периодической М-последовательности .
8.
Энергетический спектр.
Выражения для энергетических спектров одиночной и периодической Мпоследовательности можно найти, воспользовавшись преобразованием Винера-Хинчина:

F     R e  j d

.
Для одиночной М-последовательности энергетический спектр имеет вид
(86)
N 1

2
F    S 0  j   N  2 R(i 0 ) cos i 0 
i 1

 ;
(87)
 
где S 0 j - .спектральная функция огибающей элементарного символа последова-
тельности длительностью  0
Из выражения (87) следует, что ширина спектра М-последовательности определяется спектром элементарного символа последовательности длительности  0 и при   0 с
учетом свойства (85), F (0) = / So (0) /2 , т.е. постоянная составляющая энергетического
спектра последовательности совпадает с постоянной составляющей спектральной плотности одиночного символа. На рис.18 (кривая I) в качестве примера показан энергетический спектр одиночной М-последовательности значности N= 15 (АКФ соответствует рис.
16,в). Очевидно, что различные циклические перестановки этого сигнала дадут различные
спектры вследствие различия АКФ.
 ( )
1
N 7
1110010
2 0 4 0
0
1
7
6 0
a
 ( )
1
N 7
0111001
2
7
2 0 4 0
6 0
0
3
б
7
 ( )
1
N  15
111101011001000
2
7
10 0 13 0
0
0
3
Рис.16
7
5 0
в
F ( )
 ( )
1 1
1
1
N
F ( )  1
N
N=15
Fп( )  2

0
1
N 0
N
1

N2
2
0
2
N 0
0
Рис.17
Рис.18
Выражение для энергетического спектра периодической М-последовательности
имеет вид
  0 
sin
  

N  1 
2
2     2i   1   
Fn   

N   0  i  
N 0  N

 i 0
 2 
.
(88)
2
 sin x 


x

 такую
Энергетический спектр (88) линейчатый и имеет огибающую вида
же, как и огибающая энергетического спектра прямоугольного импульса длительности  0 .
2
Расстояние между линиями спектра равно N  0 , а мощность i-й гармоники (исключая i=0
) равна
 2i  N  1 2 i
  2 2 sin
F 
N

N
 0  i
.
(89)
Мощность постоянной составляющей одностороннего спектра
1
F ( 0)  2
N .
(90)
На рис. 18 (кривая 2) показан энергетический спектр периодической М- последовательности значности N =15. Если значность последовательности увеличивается (без изме
нения 0 ), огибающая энергетического спектра остается неизменной, возрастает количество линеек спектра (его густота). При этом неизменной остается и эффективная по1
Fэф 
0 .
лоса частот, занимаемая видеопоследовательностью →
9. Функция неопределенности (ФН).
Вид ФН М-последовательности позволяет оценить потенциальные возможности
ПС -сигнала в области  , f , а именно: точность и разрешающую способность, однозначность и способность к синхронизации. Исходя из общего определения ФН через нормированную двумерную АКФ, получим для одиночной М-последовательности значности N[7]:
  , f  
1

N 0


1
A (t ) A * (t   ) exp[  j 2ft ]dt 
2 E 
N
N 0
N
 a a  rect t   i  1rect t   l  1 exp  j 2ftdt 

i 1 l 1
i
e
1 N N
1
ai a e

N i 1 l 1
0
0
0
N 0
 rect t rect t   exp  j 2f t   i  1dt 
1
0

1  N n
1
   ai ai n exp j 2f 0 i  1  exp j 2ft dt 
N  i 1
0 0

N  n 1
a a
i 1

(91)
i
i  n 1
0



exp

j
2

ft
dt

 0 

exp j 2f 0i 
1
N  n 1
N n
1
 0  , f  ai ain exp  j 2f 0 i  1   0  0 , f   ai ain1 exp  j 2f 0i ,
N
i 1
i 1

0    n 0    N 0 , n  0,1,2,..., ( N  1); i  l  n
где
,
0     0 ,  0  1 , f  - двумерная корреляционная функция импульса прямоуголь-
ной формы длительности
0
и единичной амплитуды.
  
sin f 0 1  1 
  
 0 
 0  1 , f   1  1 
  0  f 1   1 
0

 0  .
(92)
В конечном виде выражение (91) получено в результате соответствующих подстановок и учета реальных пределов интегрирования. Оно справедливо для любых бинарных
N 0 .
последовательностей длиной
При   n 0   0
0 n 0 , f  
1 sin f 0
N f 0
N n
a a
i 1
i in
exp  j 2f 0 i  1
(93)
 n , f  плоскостью f=0 дает нормированную решетчатую АКФ одиСечение 0 0
ночной последовательности
 0 n 0 ,0  
1
N
N n
a a
i 1
i
in
.
(94)
При   0 ( сечение плоскостью   0 )
sin fN 0
1 sin f 0 N 2
0 0, f  
ai exp  j 2f 0 i  1 

N f 0 i 1
fN 0 ,
(95)
1
f 
N 0 определяющей разрешающую
где первый нуль имеет место на частоте
способность ПС-сигнала по частоте.
На рис. 19 приведена диаграмма сечений ФН М-последовательности значности N =
15, вычисленных по формуле (93) при  и f принимающих положительные значения.
Уровень максимальных выбросов в плоскости  , f , в этих сечениях не превышает ве-
2
личины N . Однако в ФН любой М- последовательности имеются устойчивые выбросы,
значения которых достигают 30% от основного пика. Это имеет место в сечениях ФН
 0
плоскостями
, причем максимальные значения выбросов отмечаются в плоскости
0
 
2
Воспользуемся выражением (93), предварительно представив каждый символ М0
последовательности через два одинаковых, но с длительностью 2
1
 0  0 2 , f  



1
2N
sin
f 0
2N
sin
f 0
2 N 1
a a
2
f 0
i 1
i
i 1



exp  j 2f 0 i  1 
2


2
2 N 1
2 exp jf  a a exp jf ш  
0  i i 1
0
f 0
i 1
2
sin
f 0
N
2 exp  jf  a 2 exp  jf i  
0  i
0
f 0
 i 1
2
N 1

 exp  jf 0  ai ai 1 exp  jf 0i .
i 1


1
2N
(96)
1
f 
0 .
Анализ выражения (96) на максимум показывает, что он имеет место при
Подставив это значение в (96) и учитывая (83), получим
1
 0  0 2 , 1  
0

2N

sin

N
N 1
2 cos   a 2  cos  a a  

i i 1 
 i

i 1
 i 1

2
1 1
 1 N  1.25   1
N 
N 

(97)
Рис.19
Рис.20
Результат в (97) говорит о том, что в спектре произведения М-последовательности
  0
на её циклический сдвиг, равный
; содержится ярко выраженная составляющая на
1
f  1
 0 , амплитуда которой принимает максимальное значение, равное  , отчастоте 
  0



0
.
0
2 .
носительно
при
На рис. 20 приведена фотография спектра произведения М-последовательности с ее

  0
2 (N= 255). Максимальные выбросы соответствуют
циклическим сдвигом
f  1
0 .
Свойство(97) является очень важным при когерентной обработке ПС-сигнала на
этапе синхронизации. Благодаря интересным структурным и хорошим спектральнокорреляционным свойствам класс бинарных М-последовательностей нашел широкое применение в системах радиолокации и радионавигации, системах передачи информации и
командно-измерительных комплексах.
1.3. 4. Четверично-кодированные последовательности
Четверично-кодшрованные последовательности (ЧКП), в [8,9] их называют Дкодами, относятся, как и М-последовательности, к классу бинарных ПСП. В отличие от
М-последовательностей семейство ЧКП формируются нелинейным способом и имеют
значность N=2к , где К= 1,2,3... .
Наиболее наглядно процесс формирования ЧКП можно проследить, проанализировав порождающее выражение
K 1
А j   Bi ( k 1)i Bi 1
k
k i
i 1
K
  X i Bi
i 1
j
k 1i
(98)
А j  (a1 , a2 ,..., a N )
k
где
- условная запись одиночной ЧКП длительности
k 1i
T  N 0 порядка К номера j , символы которой ai  0,1 ; Bi
- функция Радемахера
(меандровая функция), определяемая на длительности Т с номером i и порядком [(k+1)-i] ;
k
j
X i  0,1 значение I -го разряда номера последовательности А j представленного в
двоичном виде (для ЧКП порядка К номер определяется К-разрядным двоичным числом).
В (98) суммирование осуществляется по модулю 2, умножение - логическое, черта сверху
- негатив.
А43 (
На рис. 21 приведены эпюры, поясняющие процесс формирования ЧКП
-
N=23=8,- номер последовательности 4 в двоичной форме - 100).
3
Выражение (98) для ЧКП А4 примет вид
А43  В13 В22  В22 В31  0 В22  1В31  В13 В22  В22 В31  В31
Второй член выражения (98) при изменении номера j описывает строки матрицы
Адамара. Матрица Адамара — ортогональная квадратичная матрица (обозначается НN )
размера N=2k ;
К =1, 2, 3,… составленная из символов 0,1 или  1,1. Строки матрицы Адамара
образуют полную ортонормированную систему с количеством функций N=2k Эти функции называются функциями Уолша, упорядоченные по Адамару. Простейшей матрицей
Адамара является матрица размера 2:
Н2 
1
1
1
0
(100)
Любую малицу Адамара размера 2N можно получить из матрицы размера N , используя следующее преобразование:
Н
НN
Н 2N  N
НN НN
,
(101)
НN
где
- матрица Адамара размера N , у которой значение символов изменены
на противоположные.
j
Если в выражении (98) все разряды номера X i равны кулю, то остается только
первый член выражения, формирующий нулевую ЧКП:
K 1
А0k   Вi( k 1)1 Вik1i
i 1
(102)
Следовательно, для получения ЧКП любого номера j достаточно сложить по модуАk
лю 2 0 с каждой строкой матрицы Адамара:
Аkj   А0k  H N .
(103)
(103)
В качестве примера получим семейство ЧКП значности N=8 на основе матрицы
Адамара.
Матрица Адамара размера N=8 имеет вид
X ij
000
001
010
011
1
1
1
1
1
1
1
1
j
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
2
Н8  1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
3
4
5
100
101
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
6
7
110
111
(104)
А03
В соответствии с (102)
примет вид
11101101 .
(105)
Подставив в (103) значения (104) и (105), получим квадратную матрицу размера N=
8, строки которой являются полным семейством ЧКП значности N = 8:
1
1
1
3
АJ  0 0 0 1 0 0 1 0  1
1
1
1
1
 
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
j
0
1
2
3
4
5
6
7
X ij
000
001
010
011
100
101
110
111.
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
(106)
B1
t
0
T
B2
t
B
3
ФТИ
t
BB
1 2
ДСЧ
…………..
t
B2 B3
t
...
...
ФПН
КН
...
A43
С
t
Рис.21
Вых.
Рис.22
Вых.
M2
&
&
&
&
&
1
ФТИ
1
fT
T
T
R
1
R
1
2p
T
1
Уст.”0"
1p
R
3p
1
Рис.23
Из выражения (98) следует, что ЧКП порядка К формируются из функций Радемахера, которые, в свою очередь, получаются с выходов разрядов К -разрядного двоичного
счетчика. На рис. 22 приведена структура генератора, формирующего любую ЧКП из семейства заданной значности. В состав генератора входит формирователь тактовых импульсов с периодом
 0 (ФТИ) , двоичный счетчик на К- разрядов (ДСЧ) , формирователь
нулевой последовательности (ФНП), функции которого может выполнить дешифратор,
коммутатор номера последовательности (КН) и сумматор по модулю 2 (с ). В реальных
генераторах узлы ФНП, КН и С совместно минимизируются. На рис. 23 в качестве примера приведена схема генератора семейства ЧКП значности N=8.
Ниже рассматриваются основные структурные и спектрально-корреляционные
свойства семейства ЧКП.
I. Количество последовательностей одной значности равно N , причем все они взаимно ортогональны, как и строки матрицы Адамара.
2. Разность А между количеством разных символов в ЧКП зависит от порядка Кпоследовательности и определяется соотношением
 к 1 
2 2 если  к  нечетно;

  0 
 к
2 2 , если  к  четно.

(107)
Последовательностям с   0 соответствует нечетное количество "I", стоящих на
нечетных позициях в двоичном номере последовательности. Например, при К = 3, выра3
3
A3
A3
жение (106), уравновешенными являются ЧКП A1 ; ; 3 , A4 , 6 .
~
Aik  A jk
i  j  2 k 1
Akj
Aik
3.
Каждой ЧКП
соответствует парная
, причем
и
.
~k
k
A
A
У парных последовательностей j и j первые 2к-1 символа совпадают, а последующие
3
A3
2к-1 - противоположны. Например, 0 - 11101101 и A4 - 11100010
Ak
j l 1
Ak
4.
Каждой ЧКП j соответствует смежная l , причем
. У смежных
последовательностей символы, стоящие на нечетных позициях совпадают и не совпадают
k
A
символы, стоящие на четных позициях (или наоборот). Если обозначить через j инверсk
Ak
Ak
ную к j (порядок следования символов обратный), а через A j негативную j (символы противоположны), то смежная последовательность обозначается
 ~ k а)количество 1 в двоичном j нечетно, при К  нечетно;
A j 
 б )количество 1 в двоичном j четно, при К  четно;
k
Al  
~ k а)количество 1 в двоичном j четно, при К  нечетно;
A
 j б )количество 1 в двоичном j нечетно, при К  четно;
 
Например:
~3
~3
3
A3
а) A2 → 11011110 и 3 → 10001011, парная A2 → 11010001, инверсия парной A 2
~3
A 2  А33
→ 10001011, т.е.
;
~3
~3
3
A
A3
б) 6 → 11010001 и 7 → 10000100, парная A6 → 11011110, инверсия парной A 6
~3
~3
A 6  А73
A
6
→ 01111011, негатив инверсии парной
→ 10000100, т.е.
.
5. Любая ЧКП значности N получается из двух парных последовательностей значности N/2 путем их присоединения иди двух снежных той же значности путем чередования их символов.
2
A3
A2
Например, ЧКП 0 можно получить из двух парных 0 и A2 или двух смежных
A02 A12
и
путем присоединения или чередования соответственно
A02
2
2
A3
→ 1110, A2 → 1101, A1 → 1011, 0 → 11101101.
Из данного свойства вытекает алгоритм формирования ЧКП по ее двоичному номеру j: если первый разряд двоичного номера "I" - записываются первых два символа - II,
если первый разряд двоичного номера "0" - записываются - 10, а для всех последующих
разрядов номера нулю соответствует приписывание к полученной комбинации ей парную,
единице - негатива парной.
A4
Рассмотрим этот алгоритм на примере формирования ЧКП 10 : номер последовательности в двоичном виде 1010,
разряд номера 0 → 11,
разряд номера I → 1101,
разряд номера 0 → 11011110,
разряд номера I →1101111000101110.
6. Особенностью АКФ одиночной и периодической ЧКП является равенство нулю

боковых остатков при сдвигах  , кратных четным величинам длительности символов 0
Общее выражение для нормированной АКФ одиночной ЧКП имеет вид
  
1
1  1   , 0     0
 0  N 
     N
   2i  1 0 
 2
1 
 , 0    2i  1 0   0





2
i

1


0




i

1
0



(109)
На рис. 24 приведены примеры АКФ некоторых одиночных ЧКП. На рис.25 представлены зависимости, отражающие характер изменения модуля максимального уровня
бокового остатков АКФ одиночной ЧКП от ее порядка log 2 N  K  . Причем зависимость
I дает представление о верхнем уровне модуля максимального остатка, а зависимость 2 - о
возможном нижнем уровне. Для сравнения пунктирная зависимость 3 характеризует модуль максимально возможного уровня бокового остатка АКФ одиночной Мпоследовательности.
Для минимаксных ЧКП одной значности модель максимального бокового остатка
АКФ определяется следующим выражением:
k 4
 

k 4
1
 k  42 2  2 2 1  2 i 1  , K  четно, К  4;

N 

i 0
 

 м ин м акс  
k 3

 
k 3
2
1
 k  32 2  2 1  2 i 1  , K  нечетно, К  3.

N 
i 0

 
(110)
В табл. 2 приведены значения максимальных боковых остатков АКФ одиночных
минимаксных ЧКП.
Таблица 2
N
16
32
64
12
26
51
10
8
5
2
24
P
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
мин макс 187
219
14
135
098
08
063
7. ЧКП значности N=2к, отличающиеся своими номерами на величину 2к-2 , имеют одинаковые по величине и знаку боковые остатки АКФ, однако порядок следования
остатков относительно основного пика обратный (рис. 26).
 ( )
1
A43

0
3
8
a
 ( )
1
A24
3
16

0
б
 ( )
1
7
A55
32

0
в
Рис.24
   макс
 0
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
3
0,4
1
0,3
2
0,2
0,1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
log 2
Рис.25
8. Сумма боковых остатков решетчатой АКФ одиночной ЧКП принимает следующие значения:
0, k  четно,

 n 0    1

n 1
 2 , k  нечетно.
N 1
(112)
В справедливости соотношения (112) можно убедиться, рассмотрев АКФ рис. 24 и
рис, 26.
9. АКФ парных и смежных ЧКП имеют боковые остатки, при одинаковых сдвигах
равные по величине и противоположные по знаку (рис. 27).
Если
Aik
и
Akj
, парные (смежные) последовательности, а их нормированные
 Ak  Akj
i
АКФ соответственно
и
, то
   
21   , 0     0 ,
 Ak     Ak       0 
i
j

0 ,    0 .
(113)
Соотношение (113) характерно для дополнительных последовательностей (серий),
описанных Голеем [9]. Все свойства присущие дополнительным последовательностям,
справедливы и для семейства ЧКП.
10. Если боковые остатки АКФ одиночной ЧКП значности N определяются функN
цией взаимной корреляции парных последовательностей значности 2 , образующих эту
последовательность, то уровень боковых остатков периодической ЧКП той же значности
определяется суммой двух функций взаимной корреляции образующих одиночных парных последовательностей, вычисленных "справа" и "слева".
Математический этот факт можно представить в следующем виде:
~
~
Rп (n 0 )  Ak  Ak п,n  Ak  Ak п,n0  Ak 1  A k 1 п1  A k 1  Ak 1 п1
, (114)
где
n=0,1,2,…,(2к-1);
n=-(2к-1),
-(2к-2),…,
0,
1,…,
(2к-1);
~ k 1
~ k 1
k 1
k 1
A  A п1 и A  A п1 решетчатые функции взаимной корреляции парных по-








 


следовательностей, вычисленных на интервале п1 соответственно "справа" и "слева", причем дискретному интервалу п1 , во времени соответствует дискретный интервал
n=0,1,2,…,(2к-1).
 ( )
 ( )
1
3
0,5
A03
8

2
3
4
5
6

0,25
0
1
A04
1
7
8
0
0
12
2
4
6
8
0
16
10
а
а
 ( )
14
 ( )
1
1
3
A23
8
~
A04  A84
0,5
0

7
1
2
3
4
5
6
8

0,25
0
0
2
4
6
8
10
12
14
0
16
б
б
Рис.26
Рис.27
3
Продемонстрируем процесс построения решетчатой АКФ периодической ЧКП А2
 
в соответствии с (114), приняв для наглядности аi   1, 1 записывая только знаки символов (при этом умножение и сложение - алгебраические).
А23 → (++-++++-) состоит из образующих парных последовательностей А22 →(++~2
2
3
R 0   A k  A k   8
+) и А1  А2 → (++++-), АКФ периодической А2 при n=0→ n
. ВКФ
~2
2
2
2
одиночных А2 и А1 (вычислена "справа") → А2  А2 n1 , n1=-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, имеет


вид:
   

   

   

   

~2
А  А2 n1  1

2
2
   

0
3
1
(115)
~2
2
2
2
ВКФ одиночных А1 и А2 (вычислена "слева") → А2  А2 n1 , n1=-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,
имеет вид:
   

   

0
0


   

   

~2
А2  А22 n1  1

1

  
0
1
0
3

0 1
Результирующее значение периодической АКФ в соответствии с (114) :
(115)
n
0
n1
Rп(
0)
А
А~

 А n
2
2
~
 А22 n1
2
2
2
2
Rп n 0 
8
1
2
3
4
5
6
7
-
-2
-1
0
1
2
3
-
0
3
0
1
0
1
1
0
1
0
3
0
-1
0
0
4
0
4
0
0
3
1
1
8
3
График АКФ периодической А2 согласно (117) приведен на рис. 28,а.
Обобщенное выражение для нормированной АКФ периодической ЧКП имеет вид
    Nn 0 
 , 0    Nn 0   0
  1 

0
 

 п 0

3
 0 , (nN  1) 0    nN 0 и
Nn 0     ( Nn  1) 0
4
4




N
 N
    Nn   2i  1 0 

4
4
 N

 

 
 п      n   2i  1 0 1 
,
4



n

0
i

1


0










N


0     Nn  4  2i  1 0   0






(118)
Совместный анализ (114) и (118) показывает:
а-) боковые остатки АКФ периодической ЧКЛ порядка К полностью определяются
боковыми остатками АКФ одиночной ЧКП порядка (K-2) и равны их учетверенным значениям;
б)
в окрестностях основного пика АКФ периодической ЧКП, в пределах четТ  N 0 , боковые остатки равны нулю ;
верти периода следования последовательности
в)
нахождение периодической ЧКП порядка К с наилучшими АКФ сводится к
нахождению образующих парных последовательностей порядка ( К -2 ) одиночных ЧКП с
наилучшими АКФ.
Наилучшие АКФ имеют минимаксные последовательности.
3
5
A4
На рис. 28 приведены АКФ периодических ЧКП A2 , 0 и A2 .
II. Энергетический спектр периодической ЧКП описывается следующим выражением
1  sin f 0 

F  f   
N  f 0 
При f=0
2
 N 4

 N
2p 

 
N
    



1

Rn

2
i

1

cos
2

f

2
i

1







0
0      2f 
 4
N 0 
 
4
   P  
 i 1 



(119)
2
 N  , К  нечетно;
 
F 0  0 
1

, К  четно.
N
(120)
и определяется свойством 2, соотношением (107).
Огибающие модуля спектральной функции и энергетического спектра как одиночной, так и периодической ЧКП, ничем не отличаются от огибающих соответствующих
функций М-последовательности. Эффективная полоса частот Fэф, занимаемая четверич2
 0  Fэф 
0
но-кодированным ПС-сигналом, определяется длительностью символа
 п ( )
1
0,5

0
Т
а
 п ( )
1
0,25

0
Т
б
 п ( )
1
0,37

0
Т
в
Рис.28
На рис. 29 приведена спектрограмма ЧКП значности N= 256. Степень изрезанности
огибающей спектра зависит от боковых остатков АКФ последовательности и с увеличением значности последовательности уменьшается, так как вид АКФ приближается к кнопочной форме.
12. Описание двумерной АКФ ЧКП в общем виде записывается аналогично (92, 91
,93). Ярко выраженной особенностью ФН ЧКП в отличие от М-последовательностей и
других бинарных последовательностей является наличие выброса в сечении ФН плоско-
f
1
 T
4 0
4 . Этот выброс является следствием четверичной
стью    0 на частоте
структуры ЧКП - последовательности составляются из 4-х кодовых структур: парных последовательностей и их негативов.
f 
При    0 ,

  0 ,

1
4 0 и ai   1, 1 имеем (10)
f 

1  1 sin 4 N 1
 

 
ai ai 1 exp  j i  1 


4 0  N
2


4 i 1

1 sin 4 N 1
N 
  i 1 

jai ai 1 exp  j    0.9 j  1  j    0.45

N 
2  N
2 


4 i 1
(121)
Конечный результат (121) справедлив при N >>1 и получен с учетом структурных и
корреляционных свойств ЧКП: нечетным значениям i соответствует знакопеременное

j sin i   j
a
a
i i 1
2
произведение
и знакопеременное
, четным значениям
i N 1
i
ai ai 1 cos
 1

2
i 1
. На рис. 30 приведена спектрограмма сечения.

 0 2
При
,
выброс (рис. 20 )
f 
1
0
ФН ЧКП, как и М-последовательность, имеет устойчивый

N 1
 0 1 
1 sin 2 
2
  ,  
cos

ai cos 2 i 


i 1
 2  0  2N  2 
N 1
1

N  1  1
  ai ai 1 cos 2 i  

i 1
 N
Рис.29
(122)
Рис.30
Свойства сечений (121) и (122) можно использовать для ускоренной синхронизации при обработке ПС-сигнала.
В качестве примера на рис. 31 приведены сечения ФН ЧКП значности N = 16.
Специфические особенности структурных и спектрально-корреляционных свойств
семейства ЧК11 особенно в последнее время привлекают разработчиков систем радиолокации и радионавигации, систем передачи информации и управления.
Рассмотренные два класса ПСП, благодаря простоте генерирования, хорошим
спектрально-корреляционным характеристикам, большим ансамблям, нашли наибольшее
распространение в ПС-сигналах с ДФМ, обеспечивая возможность реализации ускоренных алгоритмов обработки сигналов при минимальных аппаратурных затратах. На базе
этих классов ИСП синтезируются системы комбинированных сигналов, повышающих эффективность систем со сложными сигналами,
1.3. 5. Шумоподобные сигналы с дискретной частотной модуляцией (ДЧН)
Прямым следствием развития сигналов с частотной модуляцией явились дискретные частотно-модулированные (ДЧМ) сигналы. ДЧМ- сигнал состоит из радиоимпульсов,
которые имеют одинаковые огибающие A0(t) , разные частоты, расположенные во времеN i , i= 1, 2,
ни в соответствии с периодической последовательностью случайных чисел
3,…,N- номер элемента в последовательности. Псевдослучайность ДЧМ- сигналов достигается равномерной спектральной плотностью распределения по частоте за счет равномерного разброса дискретных значений частоты в пределах Fэф и случайностью скорости
изменения частоты, благодаря псевдослучайности следования частот.
Различают ДЧМ- сигналы с произвольным шагом дискретности по частоте и времени и с постоянным шагом по частоте и времени. Кроме того, в зависимости от соотношения между фазами  i случайно чередующихся радиоимпульсов различают:
   2  ...   N ;
а)
ДЧМ - сигнал "без разрыва фазы", т.е. 1
б)
ДЧМ - сигнал "с разрывом фазы", при смене сигнала с последующим вос t   const , 1   2  ...   N ;
становлением, т.е. i
в) ДЧМ - сигнал "с разрывом фазы", при смене сигнала без ее восстановления;
Рис.31
г) ДЧМ - сигнал "с разрывом фазы" в каждом такте.
Случаи «а» и «б» относятся к когерентным ДЧМ - сигналам, а случаи «в» и «г» - к
некогерентным.
В настоящее время наиболее исследованными из ПС - сигналов с ДЧМ являются
сигналы постоянной амплитуды (А0)с постоянным шагом дискретности по частоте F , с
 
 
постоянной длительностью элемента 0 , с постоянной начальной фазой 0 и ортогональностью элементов по частоте и времени [5] . Аналитически такой сигнал в пределах
N 0  T
одного периода
может быть записан в виде
N
S t   A0  rect t  i  1 0 exp  j 0 t  N i  N n 2Ft   0 
i 1
,
(123)
где Ni- номер числовой последовательности на позиции i;
N - число дискретных частот (число элементов числовой последовательности);
N 1
, если N  нечетно;
 2
F 0   
 N , если N  четно.
 2
1
F , F  f l  f l 1 , l  1, 2, 3,..., N
На рис. 32-структурная схема формирователя ПС - сигнала с ДЧМ. В состав схемы
входят синтезатор сетки ( N+1 ) когерентных частот (СЧ), генератор случайных чисел
(ГСЧ), цифровой коммутатор (ЦК). Генератор случайных чисел с частотой fT формирует
параллельный двоичный код (число последовательности в двоичной форме).
Число различных кодов равно N . Цифровой коммутатор ставит в соответствие
каждому двоичному коду (числу последовательности) конкретно закрепленное за ним
значение дискретной частоты, и только сигнал этой частоты в течение времени
1 0
fг
пропускается на выход формирователя ПС - сигнала.
Основные структурные и спектрально-корреляционные свойства ДЧМ - сигналов
вида (123) изложены ниже.
I. Максимально возможное число ДЧМ - сигналов определяется числом различных
N 
числовых последовательностей i :
  N  1 !
Для обеспечения независимости оценок частоты и запаздывания ДЧМ - сигнала
K 0
(псевдослучайность сигнала  f
) необходимо, чтобы порядок перебора чисел в по 
следовательности N i удовлетворял Диофантову уравнению [ 7]:
0 
N
 iN
i 1
i
 0.25 N ( N  1) 2
.
(125)
Решая уравнение (125), можно отыскать ряд требуемых числовых последовательностей, которые называются псевдочетными.
Рассмотренные ранее генераторы М - последовательностей позволяют получить
псевдослучайную последовательность чисел, причем код числа снимается с разрядов регистра сдвига. Например, М-последовательности значности N= 7 → 1110010 соответствует последовательность чисел в двоичном виде 111, 011, 001, 100, 010, 101, 110, а в десятичном - 7,3,1,4,2,5,6.
2.Амплитудный спектр модуляции периода ДЧМ сигнала представляет собой сумму спектров элементов с различными fi :
sin  FNi  f  0

 1 
exp  j 2f 0  i  
 2  .
i 1  FNi  f  0

N
S ( j 2f )   0 
(126)
Полный нормированный спектр модуляции имеет вид
N 1 N
 sin  FN i  f  0 
sin  FN i  f  0 sin  FN i  f  0
F( f )  

cos 2f 0 (i  n)
  2 
 FN i  f  0
i 1   FN i  f  0
n 1 i  n 1  FN i  f  0

(127)
Из (127) следует, что энергетический спектр ДЧМ - сигнала содержит два слагаемых: первое слагаемое определяет регулярную часть спектра, инвариантную к порядку
перебора чисел Ni в последовательности; второе слагаемое - нерегулярную часть, зависящую от порядка перебора (разности i-n ) и определяющую тонкую структуру спектра.
На рис. 33 приведена форма энергетического спектра ДЧМ - сигнала при N = 7 для
N 
числовой последовательности i = 4, 7, 3, 1, 6, 2, 5, ∆F =1 МГц.
N
2
ПС-сигнал
ЦК
ГСЧ
СЧ
Рис.32
F( f )
   4,7,3,1,6,2,5
1
0,5
f
1
2
3
4
5
6
7
8
0
0
0
0
0
0
0
0
Рис.33
В общем случае спектр ПС - сигнала с ДЧМ может быть сильно изрезан, что может
несколько ухудшить корреляционные свойства. Однако с ростом N степень изрезанности
убывает, а форма спектра приближается к прямоугольной. Эффективная полоса частот,
F  NF
B  FkpT  N 2
занимаемая ПС - сигналом с ДЧМ, эф
, а база
.
3. Двумерная АКФ комплексной огибающей ПC- сигнала с ДЧМ записывается следующим образом [7]:

  , f    At A t   exp j 2ft dt 


1  sin  F N i l  N i   f  0   
exp j F N i l  N i   f 2 0 i  l     

N i 1   F N i l  N i   f  0   


sin  F N i l 1  N i   f 
exp j F N i l 1  N i   f 2 0 i  l    exp  j 2FNi 
 F N i l 1  N i   f 

N
(128)
0     0   l 0   l  0, 1, 2,..., N 1
где
,
,
.
Анализ (128) показывает, что характер двумерной АКФ зависит от значений разноN i l  N i  l  N i
стей модулирующих чисел
т.е. числовой псевдослучайной (псевдочетN i l  N n l i  n
ной) последовательности. При условии
,
(i, n=1, 2, …, N) максимальные
1
  , f м акс 




0
N.
боковые остатки
достигают своего минимального уровня
Сечение двумерной АКФ плоскостью   0 , для прямоугольной огибающей сигнала с ДЧМ описывается функцией
sin fN 0
 0, f  
fN 0 ,
(129)
f  1
N 0 , не зависит от вида модулирукоторая имеет первые нули на частотах
ющей числовой последовательности (рис. 34) и полностью совпадает с аналогичной
функцией для ПС- сигналов с ДФМ.
Сечение двумерной АКФ ПС - сигнала с ДЧМ - плоскостью f =0 дает выражение
для одномерной АКФ во временной плоскости:
   sin fN 0
  ,0  1  
exp  j N  1F  
  0  fN 0

 N  sin F N i 1  N i l 
exp  jF N i 1  N i l  

N 0 i 1  F N i 1  N i l 
(130)
   0 , а
Второе слагаемое в (130) определяет форму АКФ. в основном при малых
первое слагаемое - при    0 • Основной пик АКФ во временной плоскости принимает ну 
0
N , т.е. интервал корреляции (разрешающая способность по
левые значения в точках
 ) для ПС -сигналов с ДЧМ в N раз короче длительности одного элемента модулирующей
последовательности чисел (рис.35). Приведенная на рис. 35 форма АКФ вычислена при
 
N=7 и N i = 4,7,3,1,6,2,5.
Результаты расчетов по формуле (130) позволяют сделать следующие выводы:
0
    N  1 0
  ,0
а)
боковые остатки
при N
зависят от вида модулирую1
N 
щей числовой последовательности i , соизмеримы по величине с N и совпадают для
N  Ni
ДЧМ – сигналов с одинаковыми распределениями i 1
, при l =0,1,2...(N-1)


i

1




i



0
0 симметричен относительно ордиб)
вид   ,0 на интервале
наты в точке
  i  0.5 0 , i=1, 2, 3,…,(N-1)
  ,0
для уменьшения уровня боковых остатков
необходимо выбирать моN i  с большими величинами N i1  N i при
дулирующие числовые последовательности
l=1, 2, 3,…,(N-1)
4. Коэффициент частотно-временной связи ПС - сигнала с ДЧМ согласно ( 62 )
определяется так
в)
K f  


T
  2   , f    0 
1
Re


f  0
4 2Tэф Fэф  f
2
 tt  At  dt 
EB T
2
2
2
4 2  N
N N  1 
iN

 i

NB  i 1
4

,
(131)
N 1

t   2F  N i 

2


где
- производная функции фазовой модуляции ДЧМ
сигнала, B - база сигнала.
K f
определяет величины ошибок измерения по  и f. Для их уменьшения
K
необходимо уменьшать  f путем увеличения базы B и уменьшения разности в квадратных скобках выражения (131), путем выбора соответствующих числовых последовательностей.
 0. f 
1
0,5
f
0
2
N 0
1
N 0
3
N 0
4
N 0
5
N 0
Рис.34
 0. f 
1
  4,7,3,1,6,2,5
0,5


0
0
1
2
3
Рис.35
Исходя из описанных основных свойств ПС - сигналов с ДЧМ, отметим основные
достоинства и недостатки этого класса сигналов. Основные достоинства:
возможность получения большого ансамбля квазиортогональных сигналов;
база сигнала В равна квадрату значности ( N2) модулирующей числовой последовательности;
спектр сигнала в пределах Fзф близок к равномерному и обеспечивает лучшее использование выделенной полосы;
ширина основного пика АКФ сигнала на уровне 0,5 не npeвышает величины
т.е. коэффициент сжатия по временной оси пропорционален N2 ;
0
N,
1
возможность получения боковых остатков АКФ, не превышающих величины N ;
высокая
структурная
скрытность.
Основные недостатки:
сложность формирования ансамбля когерентных ПС - сигналов, связанная с аппаратурными трудностями получения сетки когерентных дискретных частот;
сложность реализации когерентной цифровой; обработки сигнала.
ПС - сигналы с ДЧМ из-за указанных недостатков находят пока ограниченное
применение в РТС, но их потенциальные возможности, вероятно, будут реализованы с совершенствованием элементной базы РТС.
1.4. Помехи в радиотехнических системах
По происхождению помехи делят на организованные и неорганизованные. Организованные помехи могут быть активными, пассивными и комбинированными. Активные
помехи создаются системами радиопротиводействия (разрушения информации). По характеру воздействия на РТС активные помехи делятся на маскирующие и имитационные.
Маскирующая помеха создает мешающий фон, затрудняя обнаружение сигналов, их различение и оценку параметров. Маскирующие помехи могут быть шумовыми или детерминированными, непрерывными во времени или импульсными. Непрерывная шумовая
помеха используется для подавления РТС с любым типом сигнала. В зависимости от соотношения эффективной полосы частот сигнала Fзф и помехи Fn различают прицельные
Fn  Fэф  и заградительные ( Fn »F*j,) шумовые помехи. Прицелься помеха при том же
мешающем действии, что и заградительная, имеет меньшую мощность, но требует информацию о спектре подавляемого сигнала. Эффективным видом случайной импульсной
помехи является хаотическая импульсная помеха (ХИП), представляющая собой случайную последовательность импульсов, параметры которой близки к параметрам сигнала подавляемой РТС.
Имитационная помеха похожа на сигнал РТС, отличаясь от него значением информационного параметра. Пассивная помеха создается за счет отражения, поглощения или
преломления радиоволн, излучаемых подавляемой РТС. Неорганизованные помехи делят
на естественные (не связанные с работой других радиоэлектронных средств), индустриальные (исключение составляют радиоэлектронные средства) и взаимные (за счет работы
других радиоэлектронных средств).
Основные виды естественных помех:
- внутренний шум РТС, атмосферные помехи, космические помехи (излучения
солнца, звезд, ионосферы и других космических объектов); помехи, возникающие в процессе распространения радиоволн (амплитудные, фазовые, поляризационные флюктуации
сигнала, затухание, преломление, отражение радиоволн и другие явления).
Неорганизованные помехи, как и организованные, могут быть шумовыми и детерминированными, непрерывными и импульсными.
По характеру взаимодействия с радиосигналами помех де;/ят на аддитивные и модулирующие:
Х t   S t,    nt  ,
(132)
Х t   nt S t,   ,
(133)
где S t ,   - полезный радиосигнал и nt  -помеха. Случай (132) соответствует аддитивной помехе nt  , а случай (133)-модулирующей или мультипликативной.
Модулирующая помеха оказывает влияние на энергетику сигнала, поэтому информационные параметры сигнала нужно выбирать неэнергетические, например,  ,  ,  .
Кроме того, совершенствуя приемно-передающие тракты РТС и выбирая соответствующий частотный диапазон радиолинии, можно существенно снизить влияние модулирующей помехи.
Сложнее приходится с аддитивной помехой.
Если спектры радиосигнала и аддитивной помехи перекрываются, то необходимо
применять оптимальные методы приема радиосигналов, учитывающие статистические характеристики сигнала и помех, априорные и апостериорные (послеопытные) вероятности.
В классической теории оптимальных методов приема радиосигналов основной помехой является аддитивная флюктуационная.
Нормальный случайный процесс - основная модель непрерывной флюктуационной
помехи.
Случайный процесс h(t) называется нормальным, если при любом К и любых t1 t
г ,..., tк из области изменения аргумента t многомерная плотность вероятности для совоn  nti  , i= 1, 2, …, k подчиняется гауссовскому закону:
купности случайных величин i
 1 k
n  mi nl  ml 
1
Pk n1 , n2 ,..., nk  
exp 
Dil i


 i l
 2 D i ,l 1

 1... k 2 k D
(134)
mi  nti   - математическое ожидание случайной величины nti  ,
где
 i 2  ni  mi 2  - дисперсия случайной величины nti  ; D - определитель K го
порядка,
составленный
из
коэффициентов
корреляции
 ni  mi nl  ml  
 i l   ti , tl  
D

 i l
; i l алгебраическое дополнение элемента i l определителя D

 1
Для стационарного случайного нормального процесса i l =0 при i  l , i i
,
2
2
2
mi  nti   m , -  i    nt   m  , D=1, Dil  0 при i  l , Dil  1  i  l и многомерная плотность распределения определяется так:
1
 1 k 2
Pk n1 , n2 ,..., nk  
exp

 ni .
2 2 k 2  2 2 i1 
(135)
Важной моделью стационарного нормального случайного процесса является белый
шум. Для белого шума m=0 и многомерная плотность распределения будет
1
 1 k 2
Pk n1 , n2 ,..., nk  
exp

 ni .
2 2 k 2  2 2 i1 
(136)
Энергетический спектр белого шума является равномерным в очень широком диаN
F    0
2 , то коррепазоне частот и равен некоторой постоянной величине N0/2 . Если
ляционная функция такого процесса определяется как


N0 1
N
1
j
R  
F  e d 
e j d  0   


2 
2 2 
2
(137)
где
   - дельта-функция, равная нулю всюду, за исключением точки   0 ,
где
 0   , причем

   d  1

.
(138)
Белый шум следует рассматривать как идеализацию, так как реальные процессы
всегда имеют энергетический спектр, убывающий с частотой, и, следовательно, обладают
конечным временем корреляции  k  0 и ограниченной средней мощностью. Эта идеализация применима в тех случаях, когда в пределах полосы пропускания системы спектральную плотность воздействующего реального шума можно приближенно считать постоянной.
Если полоса пропускания приемника РТС F  f 2  f1 , то дисперсия шума с по-
N0
2 в этой полосе составит
2 f 2
N0
N
1
2
n 
d  0 F

2 2 f1 2
2
,
(139)

F
а корреляционная функция шума, ограниченного полосой
примет вид
2 f 2
N
1
sin F j  f1  f 2 
Rn   
Fn  e j d  0 F
e

2 2 f1
2
F
,
(140)
R  
Огибающая n ограниченного по полосе белого шума принимает первые нуле   1 F
вые значения при
.
Для интервала наблюдения 0  t  T , переходя от дискретных значений белого
шума к непрерывным, получив из (136) следующее выражение для плотности вероятности:
 1 T 2

 1 k 2 
1
Pnt   lim
exp

n


k
exp

n (t )dt 


i


k

k 
 N 0 i 1

N  2
 N0 0

 0 
 2 0 
2 

,
(141)
стоянной спектральной плотностью
n
2
N
 0
2 ,
 N 
k  lim   0 
 0
  
k
2
  (ti 1  ti )
где
дискретизации по времени,
- масштабный коэффициент, зависящий только от ∆.
Выражение (141) обычно называют функционалом плотности вероятности белого
шума.
Если гауссово распределение характерно для широкополосного нормального случайного процесса, то огибающая узкополосного нормального шума будет иметь релеевское распределение.
Случайный процесс называется узкополосным, когда ширина спектра процесса относительно мала по сравнению со средней частотой этого спектра. Такого рода процессы
имеют место на выходе устройств, работающих на высоких и промежуточных частотах.
X t   At cos0t   t 
Пусть
- нормальный узкополосный шум, у которого оги


t
бающая A(t) и фаза
медленно меняющиеся во времени функции по сравнению с ко-
лебаниями на несущей частоте
 0 тогда плотность распределения огибающей A(t)
P( A) 
A

2

e
A2
2 2
(142)
есть распределение Релея.
Плотность распределения фазы нормального узкополосного шума имеет равномерP( )  1
2 . Для смеси синусоидального колебания S (t )  S 0 sin 0t и
ное распределение нормального узкополосного шума A(t ) cos(0t   (t )) плотность распределения огибающей случайного процесса примет вид
P( A) 
 A2  S 0 2   S 0 A 
exp


I0 
2
2 2    2 

,
A
(143)
где I 0 x  - модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
Выражение (143) носит название обобщенного распределения Релея или распредеS 0 A   2
ления Райса. При
и А > 0 в (143), используя асимптотическое разложение
модифицированной функции Бесселя, получим приближенное распределение Раиса, которое близко к гауссову распределению:
 A 2  S 0 2 
S0 A 
A
 S0 A 
P( A)  2 exp 
 2 2  exp  2  
2

2
   


1
 A2  S 0 2 
exp 

2 2 

(144)
Среди импульсных случайных помех (ХИП) наиболее просто описываются законами распределения случайный телеграфный сигнал, представляющий собой последовательность прямоугольных импульсов с одинаковой амплитудой А0 , характеризуемая тем,
что в любой момент времени t равновероятны значения А0 и нуля.
Если Т - время наблюдения, n - количество скачков за время Т , а  . - среднее
число скачков в единицу времени, то плотность распределения случайного телеграфного
сигнала задается законом Пуассона:
T n e T
PT (n) 
n!
(145)

A 

 
2 
2

S

0


2
Вся классическая теория оптимальных методов приема радиосигналов построена
на представлении аддитивной помехи как нормального случайного процесса.
Повышенное внимание, проявленное к нормальным процессам, объясняется тем,
что реальная радиопомеха часто оказывается суперпозицией большого число некоторых
случайных элементарных колебаний и ее многомерные плотности вероятности удается
аппроксимировать нормальным законом на основании центральной предельной теоремы
теории вероятностей. Смысл последней сводится к утверждению о нормализации суммы
случайных слагаемых с произвольными плотностями вероятности по мере увеличения их
числа.
Реальные сигналы и помехи представляют собой случайные процессы. Между сигналами и помехами иногда нет принципиальной разницы. Помеха - это сигнал, но нежелательный для данной РТС. Поэтому часто математический аппарат, используемый для описания сигналов, применяют при анализе помех.
ВОПРОСЫ ДОЯ САМОПРОВЕРКИ
Почему радиотехнические системы являются информационными?
Какое место при проектировании РТС занимает радиосигнал?
По каким признакам классифицируются радиосигналы, применяемые в РТС?
Почему при описании сигнала используют несколько форм его представления?
Укажите основные достоинства и недостатки аналитического представления радиосигнала.
Каковы особенности спектрального представления сигнала?
В чем суть дискретного представления сигнала и где эта форма описания сигнала
находят применение?
Какая форма представления используется для описания цифрового сигнала?
Каковы особенности геометрического представления сигналов?
Какие характеристики радиосигнала влияют на качественные показатели РТС?
В чем состоит отличие активной длительности сигнала от эффективной?
Какая связь между спектральной функцией и спектральной плотностью сигнала?
Дайте определение спектральной плотности сигнала.
Как определяется энергетическая полоса частот, занимаемая сигналом?
Как оценить эффективную полосу частот, занимаемую сигналом?
Каков физический смысл эффективной полосы?
Почему сигналы с угловыми видами информационной модуляции имеют высокую
потенциальную помехоустойчивость?
Где применяются сигналы с импульсными видами информационной модуляции?
Перечислите разновидности импульсной модуляции.
Какие достоинства имеют сигналы с импульсными видами информационной модуляции?
Как оценить энергии сигнала при различных формах его описания?
Какая смысловая информация заложена в корреляционной характеристике сигнала?
Перечислите основные свойства АКФ - сигнала.
Какие свойства присущи ВКФ - сигналов?
Что понимается под решетчатой корреляционной функцией? Как вычисляются решетчатые АКФ и ВКФ – сигналов?
Дайте определение понятию "время корреляции".
Какую характеристику дает сигналу его двумерная АКФ? Приведите формы записи
двумерной АКФ - сигнала.
Что понимается под функцией неопределенности сигнала? Основные свойства
функции неопределенности.
В чем суть принципа неопределенности?
Какую информацию дают сечения ФН сигнала плоскостями   0 и f  0 ?
Дайте определение понятию база сигнала.
Какую смысловую информацию несет коэффициент частотновременной связи сигнала?
Какие преимущества дают сложные сигналы по сравнению с простыми, при их использовании в РТС?
Укажите достоинства и недостатки сигналов с ЛЧМ.
Укажите особенности, характерные для псевдослучайных (шумоподобных) сигналов.
Дайте общую характеристику ПС - сигналам с ДФМ.
Какие критерии применяются для отбора псевдослучайных видеопоследовательностей из всего ансамбля видеопоследовательностей?
Как формируются М-последовательности?
х4  х3 1  0
По характеристическому Полиному
сформируйте Мпоследовательность, вычислите ее решетчатую АКФ и выделите модуль максимального
бокового остатка, сравнив его верхним статистическим уровнем.
Какие структурные свойства характерны для М – последовательностей?
Перечислите основные особенности АКФ одиночной и периодической М последовательности.
Что представляет собой энергетический спектр М-последовательности?
Какие особенности характерны для ФН М-последовательности?
Как генерируется семейство четверично-кодированных последовательностей?
4
Сформируйте ЧКП А4 , вычислите ее решетчатую АКФ и выделите модуль максимального бокового остатка, сравнив его с верхним статистическим уровнем.
Какие структурные свойства характерны для семейства ЧКП?
Какими свойствами обладают парные и смежные ЧКП?
Укажите на особенности АКФ одиночной и периодической ЧКП.
Чем отличается спектр ЧКП от спектра М-последовательности?
Какие особенности характерны для ФН ЧКП?
Дайте характеристику ПС - сигналам с ДЧМ.
Какие трудности встречаются при построении генератора ПС - сигнала с ДЧМ?
Какие требования к модулирующей функции предъявляются при построении сигналов с ДЧМ?
Какие особенности характерны для АКФ когерентного ПС - сигнала с ДЧМ?
Какие особенности у энергетического спектра ПС – сигнала с ДЧМ?
Перечислите основные достоинства и недостатки ПС - сигналов с ДЧМ.
Дайте сравнительную характеристику ПС - сигналов с ДФМ и ДЧМ.
Как классифицируются помехи в РТС?
Основные преимущества модели флюктуационной помехи "белый шум".
Почему нормальный шум является основной помехой теории оптимального приема.
ЛЕРАТУРА
I. Радиотехнические системы./Под ред. Ю. М. Казаринова. – М.: Высш. школа,
1990.
2. В.А.Чердынцев. Радиотехнические системы. - Мн.: Вышэйшая школа, I988.
3. В.И.Тихонов. Статистическая радиотехника. - М.: Радио и связь, 1982.
4. Ю.С. Лезин. Введение в теорию и технику радиотехнических систем. - М.: Радио
и связь, I986.
5. Г.И.Тузов. Статистическая теория приема сложных сигналов. - М. : Сов. радио,
1971.
6. Ч.Кук, М. Бернфельд. Радиолокационные сигналы. - м.: Сов, радио, 1971.
7. А.И.Алексеев, Шереметьев А.Г., Г. И. Тузов, Б.И.Глазов. Теория и применение
псевдослучайных сигналов. -М.: Наука, 1969.
8. Э.М.Карпушкин, В.С.Беляев. Генерирование четверичных последовательностей.
Известия АН БССР, серия физико-технических наук, № 3, 1975.
9. Э.М.Карпушкин. Анализ автокорреляционных функций Д-кодов. Известия АН
БССР, серия физико-техническая, № 3, 1973.
10. Э.М.Карпушкин. Особенности функции неопределенности четверичнокодированных сигналов. - М. ; Межвузовский тематический сборник Н.Т., № 107, МЭИ
1986
СОДЕРЖАНИЕ
1. Сигналы и помехи в радиосистемах
1. 1. Формы представления сигналов
1. 1. 1. Представление сигнала как действительной функции времени
1. 1. 2. Аналитическое представление
1. 1. 3. Спектральное представление
1. 1. 4. Дискретное представление
1. 1. 5. Геометрическое представление
1.2. Основные характеристики сигналов
1. 2. 1. Длительность сигнала
1. 2. 2. Занимаемая полоса частот
1. 2. 3. Энергия сигнала
1. 2. 4. Корреляционная функция сигнала
1. 2. 5. Вид информационной модуляции
1. 2. 6. Коэффициент частотно-временной связи. База сигнала
1. 3. Разновидности сложных сигналов и их характеристики
1. 3. 1. Сигналы с линейной частотной модуляцией
1. 3. 2. Сложные сигналы с дискретной фазовой модуляцией
1. 3. 3. М-последовательности
1. 3. 4. Четрерично-кодированные последовательности
1. 3. 5. Шумоподобные сигналы с дискретной частотной модуляцией
1. 4. Помехи в радиотехнических системах
Вопросы для самопроверки
Литература