Перпендикулярность плоскостей
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если
какая-либо плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей,
пересекает их по перпендикулярным прямым.
Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними
равен 90О.
Теорема (признак перпендикулярности плоскостей). Если одна из двух
плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то
эти плоскости перпендикулярны.
Доказательство. Пусть точка О – точка пересечения прямой b с
плоскостью α.
Точка О – общая точка плоскостей α и β, следовательно, данные плоскости
пересекаются по прямой с, проходящей через точку О.
В плоскости α через точку О проведем прямую а, перпендикулярную
прямой с.
Прямые а и с лежат в плоскости α и по условию bα, следовательно, ba и
bс.
Таким образом, b принадлежит плоскости β, bс и а принадлежит
плоскости α, ас, значит, (α, β)= (а, b)=90о, т.е. βα.
Теорема доказана.
Теорема. Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных
плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и
другой плоскости.
Доказательство. Пусть точка О – точка пересечения прямых b и с.
В плоскости α через точку О проведем прямую а, перпендикулярную
прямой с.
Прямые а и b перпендикулярны прямой с, по которой пересекаются
плоскости α и β.
Следовательно, угол между прямыми а и b равен углу между плоскостями
α и β, значит, равен 90о.
Таким образом, прямая b перпендикулярна пересекающимся прямым а и с
плоскости α.
Следовательно, bα.
Теорема доказана.
Примеры решения задач
Задача № 1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точки Т, К
и F – середины ребер SC, BC и CD соответственно. Докажите, что плоскость
TFK перпендикулярна плоскости основания.
Дано: SABCD – пирамида, ST=TC,
BK=KC, CF=FD.
Доказать: (TFK)(ABCD)
Доказательство:
Пусть О=АСBD, E=ACKF. Так как SOАС и SOBD, то SO(ABC).
Точки Т и Е – середины отрезков SC и ОС, следовательно, ТЕ║SO.
Таким образом, ТЕ(АВС).
Плоскость TKF проходит через прямую ТЕ, перпендикулярную к плоскости
основания, следовательно, она перпендикулярна плоскости основания.
Ответ: (TFK)(ABCD)
Задача № 2. SABCD – правильная четырехугольная пирамида, все ребра
которой равны между собой. Периметр сечения пирамиды плоскостью,
проходящей через середины смежных боковых ребер и перпендикулярной
плоскости основания, равен 8( 3 +3) см. Вычислите площадь боковой
поверхности пирамиды.
Дано: SABCD – правильная
четырехугольная пирамида, Рсеч=8(
3 +3) см.
Найти: Sбок
Решение:
Сечение является трапецией KFEM. Sбок=4SASD=4AD2 3 /4=AD2 3 .
Рсеч=2FM+EF+KM, EF=AD/2, KM=AD, FM=ST/2=AD 3 /4.
Таким образом, Рсеч=AD 3 /2+ AD/2+AD=AD( 3 +3)/2=8( 3 +3).
Отсюда AD=4 см.
Следовательно, Sбок=AD2 3 =16 3 см2.
Ответ: 16 3 см2
Задача № 3. Докажите, что прямая, проведенная через точку одной из
перпендикулярных плоскостей перпендикулярно второй плоскости, лежит в
первой плоскости.
Дано: , =k, A, AA1
Доказать: AA1
Доказательство:
Предположим, что прямая АА1 не лежит в плоскости .
Проведем в плоскости  прямую АА0k, а в плоскости  ВА0k. Тогда АА0В
естть линейный угол двугранного угла k.
Так как , то АА0В=90о, т.е. АА0ВА0.
Прямая АА0 перпендикулярна двум пересекающимся прямым k и ВА0,
лежащим в плоскости , значит АА0.
Это противоречит существованию единственной прямой, проходящей через
точку и перпендикулярной плоскости.
Предположение, что прямая АА1 не лежит в плоскости  неверное, а значит,
АА1 лежит в плоскости .
Задания для самостоятельной работы
Вариант 1
1. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если…
1) Существует третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения данных
плоскостей
2) Какая-либо плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей,
пересекает их по перпендикулярным прямым
3) Третья плоскость перпендикулярна прямой пересечения данных плоскостей
2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите перпендикулярные
плоскости…
1) (АВС) и (А1В1С1)
2) (АВС) и (АВВ1)
3) (АВВ1) и (ВСС1)
3. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой
плоскости, то эти плоскости…
1) Параллельны
2) Перпендикулярны
3) Пересекаются под углом
4. Укажите верные высказывания…
1) У куба все грани перпендикулярны
2) У куба основания параллельны
3) У куба противолежащие боковые грани перпендикулярны
4) У куба смежные боковые грани перпендикулярны
5. Точка А находится на расстоянии 12 см и 5 см от двух перпендикулярных плоскостей,
найдите расстояние от этой точки до линии пересечения плоскостей.
6. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры
АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АС=6 см,
BD=7 см, CD=6 см.
7. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой а. Из точки М
проведены перпендикуляры МА и MB к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость
АМВ в точке С. Найдите расстояние от точки М до прямой а, если АМ=4 см, ВМ=3 см.
8. ABCDA1B1C1D1 – куб со стороной 4 см. Найдите длину отрезка АО, где точка О – точка
пересечения диагоналей грани ВСС1В1.
9. Основанием призмы АВСАВС является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом
В. Через ребро ВВ1 проведено сечение ВВ1D1D перпендикулярное к плоскости грани
АА1С1С. Найдите площадь сечения, если АА1=10 см, AD=27 см, DC=12 см.
10. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12 см, а перпендикулярным
сечением является ромб со стороной 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Вариант 2
1. Если прямая перпендикулярна плоскости, то…
1) Через прямую проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной
плоскости
2) Через прямую проходит бесконечное множество плоскостей, перпендикулярных
данной плоскости
3) Через прямую проходит две плоскости, перпендикулярные данной плоскости
2. Дана прямая призма ABCA1B1C1. Укажите перпендикулярные плоскости…
1) (АВС) и (ВСС1)
2) (АВС) и (А1В1С1)
3) (ВСС1) и (А1В1С1)
3. Прямая, проведенная в одной из двух перпендикулярных плоскостей перпендикулярно
прямой, по которой они пересекаются…
1) Параллельна другой плоскости
2) Пересекает другую плоскость под углом
3) Перпендикулярна другой плоскости
4. Укажите верные высказывания…
1) У прямой призмы основания перпендикулярны
2) У прямой призмы боковые грани перпендикулярны основаниям
3) У правильной четырехугольной призмы смежные грани перпендикулярны
4) У правильной треугольной призмы смежные грани перпендикулярны
5. Точка К находится на расстоянии 17 см от линии пересечения двух перпендикулярных
плоскостей. Найдите расстояние от точки К до другой плоскости, если расстояние от точки К
до первой плоскости равно 8 см.
6. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры
АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АD, если АB=8 см,
BС=7 см, CD=1 см.
7. Точка С лежит на прямой пересечения двух перпендикулярных плоскостей α и β.
Расстояние от точки А до плоскостей 9 см и 3 7 см. Найдите расстояние между точками А
и С, если расстояние от точки С до проекции точки А на плоскость α равно 9 2 см.
8. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед. Найдите длину отрезка АО, где точка
О – точка пересечения диагоналей грани A1B1C1D1, если АА1=4 см, а в основании
параллелепипеда лежит квадрат со стороной 3 2 см.
9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 боковая грань DD1C1C – квадрат.
Точка М делит отрезок D1C в отношении 1:5, считая от вершины D1. Найдите площадь
сечения параллелепипеда плоскостью, содержащей точку М и перпендикулярной плоскостям
BCD1 и DCC1, если DD1=6 см, BD1=12 см.
10. В наклонной треугольной призме два боковые грани взаимно перпендикулярны, а их
общее ребро, отстоящее от двух других боковых ребер на 12 см и 35 см, равно 24 см.
Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Вариант 3
1. Две плоскости перпендикулярные третьей между собой параллельны…
1) Всегда; 2) Иногда; 3) Не всегда
2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Укажите перпендикулярные плоскости…
1) (АВС) и (АВВ1)
2) (АВС) и (А1В1С1)
3) (АВВ1) и (А1D1С1)
3. Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная наклонной…
1) Перпендикулярна и ее проекции на эту плоскость
2) Параллельна и ее проекции на эту плоскость
3) Перпендикулярна плоскости
4. Укажите верные высказывания…
1) У правильной четырехугольной пирамиды диагональное сечение перпендикулярно
основанию
2) У правильной треугольной пирамиды диагональное сечение перпендикулярно
основанию
3) У правильной четырехугольной пирамиды смежные грани могут быть
перпендикулярными
4) У правильной четырехугольной пирамиды смежные грани перпендикулярны
5. Расстояние от линии пересечения двух перпендикулярных плоскостей до точки О равно 10
см. Найдите расстояние от одной из плоскостей до дочки О, если расстояние от другой
плоскости до точки О равно 6 см.
6. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры
АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АС=3 см,
BD=4 см, CD=12 см.
7. Точки А и В лежат в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Найдите расстояние
между точками А и В, если расстояния от точек А и В до линии пересечения плоскостей
равны 8 см и 9 см соответственно, а расстояние между проекциями этих точек на линию
пересечения равно 12 см.
8. АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма со стороной основания 6 3 см. Найдите
длину отрезка АО, где точка О – точка пересечения диагоналей грани ВСС1В1, если СС1=24
см.
9. В наклонной призме АВСА1В1С1 грань ВСС1В1 перпендикулярна основанию. Найдите
площадь сечения, проходящего через сторону АВ основания призмы и перпендикулярного
ребру СС1, если АВ=3 см, ВС=4 см, АС=5 см, а угол наклона бокового ребра к плоскости
основания составляет 30о.
10. Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция ABCD. АВ=CD=13 см,
ВС=11 см, AD=21 см. Площадь ее диагонального сечения равна 180 см2. Вычислить полную
поверхность призмы.
Вариант 4
1. Величина угла между прямой и плоскостью заключена в пределах…
1) От 0 до 360
2) От 0 до 90
3) От 0 до 180
2. Дана прямая призма ABCDЕA1B1C1D1Е1. Укажите перпендикулярные плоскости…
1) (АВВ1) и (АВЕ)
2) (А1В1С1) и (А1Е1Е)
3) (АВВ1) и (ВСС1)
3. Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту
плоскость…
1) Параллельна плоскости
2) Перпендикулярна плоскости
3) Перпендикулярна наклонной
4. Укажите верные высказывания…
1) У прямоугольного параллелепипеда все грани перпендикулярны
2) У прямоугольного параллелепипеда основания перпендикулярны
3) У прямоугольного параллелепипеда основания параллельны
4) У прямоугольного параллелепипеда противолежащие грани параллельны
5. Точка О находится на расстоянии 16 см от одной из двух перпендикулярных плоскостей.
Найдите расстояние от точки О до линии пересечения плоскостей, если расстояние от точки
О до другой плоскости равно 12 см.
6. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры
АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка CD, если АD=BС=5 см,
AB=7 см.
7. Точка В лежит в одной из двух перпендикулярных плоскостей, точка С – на линии
пересечения плоскостей. Найдите расстояние от точки А, лежащей в другой плоскости, до
точки С, если АВ=17 см, СВ=15 см, а расстояние от точки В до линии пересечения
плоскостей равно 9 см,
8. ABCDA1B1C1D1 – куб со стороной 9 см. Найдите длину отрезка D1О, где точка О – точка
пересечения диагоналей грани ВСС1В1.
9. В правильной треугольной пирамиде SABC АВ=12 см, SA=13 см. Вычислите площадь
сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину Т ребра SC, перпендикулярной
плоскости основания и параллельной прямой ВС.
10. В наклонном параллелепипеде проекция бокового ребра на плоскость основания равна 5
дм, а высота равна 12 дм. Сечение, перпендикулярное боковому ребру, есть ромб с
площадью 24 дм2 и диагональю, равной 8 дм. Найти боковую поверхность параллелепипеда.
Вариант 5
1. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен…
1) 180
2) 0
3) 90
2. Дана правильная пирамида ABCDТ. Укажите перпендикулярные плоскости…
1) (АВС) и (АСТ)
2) (АВС) и (BTD)
3) (АВТ) и (ВТС)
3. Через любую точку пространства можно провести…
1) Сколько угодно плоскостей, параллельных данной плоскости
2) Две плоскости, параллельных данной плоскости
3) Только одну плоскость, параллельную данной плоскости
4. Укажите верные высказывания…
1) У пирамиды смежные грани могут быть перпендикулярны
2) У пирамиды основание перпендикулярно боковым граням
3) У пирамиды основание может быть перпендикулярно боковой грани
4) У пирамиды боковые грани могут быть параллельны
5. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях опущены перпендикуляры
АС и ВС на линию пересечения плоскостей. Найдите расстояние между точками А и В, если
АС=5 см, ВС=12 см.
6. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры
АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АD=4 см,
BС=7 см, CD=1 см.
7. Точка С лежит на прямой пересечения двух перпендикулярных плоскостей α и β.
Расстояние от точки А до плоскости α равно 3 7 см. Найдите расстояние от точки А до
линии пересечения плоскостей, если расстояние от точки С до этой точки равно 9 см, а
расстояние между точками А и С равно 15 см.
8. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед. Найдите длину отрезка АО, где точка
О – точка пересечения диагоналей грани A1B1C1D1, если АА1=4 см, АВ=4 см, ВС=2 5 см.
9. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 8 см, сторона основания 4 см.
Через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, перпендикулярная к
нему. Найдите площадь сечения.
10. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Площади диагональных сечений
равны 4 см2 и 2 5 см2. Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.
Вариант 6
1. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой
плоскости, то эти плоскости…
1) Совпадают
2) Параллельны
3) Перпендикулярны
2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите перпендикулярные
плоскости…
1) (А1В1С1) и (А1ВВ1)
2) (АВС) и (А1ВВ1)
3) (АВВ1) и (DСС1)
3. Если две плоскости параллельны третьей, то они…
1) Пересекаются
2) Параллельны
3) Перпендикулярны
4. Укажите верные высказывания…
1) У наклонного параллелепипеда основания перпендикулярны
2) У наклонного параллелепипеда смежные грани могут быть перпендикулярны
3) У наклонного параллелепипеда противолежащие грани могут быть параллельны
4) У наклонного параллелепипеда основания перпендикулярны боковым граням
5. Точка А находится на расстоянии 8 см от одной из двух перпендикулярных плоскостей.
Найдите расстояние от точки А до линии пересечения плоскостей, если расстояние от точки
А до другой плоскости равно 15 см.
6. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры
АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка CD, если АС=6 см,
BD=7 см, AB=11 см.
7. α, β и γ – три взаимно перпендикулярные плоскости. Линии пересечения плоскостей
пересекаются в точке С. Найдите расстояние от точки А до плоскости α, если расстояние от
точки А до плоскостей β и γ равны 4 см и 4 см соответственно, а длина отрезка АС=9 см.
8. АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма со стороной основания 4 3 см. Найдите
длину отрезка ВО, где точка О – точка пересечения диагоналей грани АСС1А1, если СС1=16
см.
9. В треугольной пирамиде ТАВС боковая грань ТАС перпендикулярна к плоскости
основания. Вычислите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро ТВ
и перпендикулярной плоскости основания, если ТА=ТС=5 см, АС=6 см, СВ=4 см, АВ=2 13
см.
10. Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция ABCD. АВ=CD=13 см,
ВС=11 см, AD=21 см. Найдите площадь ее диагонального сечения, если полная поверхность
призмы равна 906 см2.
Вариант 7
1. Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна
их линии пересечения, то она…
1) Параллельна другой плоскости
2) Перпендикулярна другой плоскости
3) Лежит в другой плоскости
2. Дана прямая призма ABCA1B1C1. Укажите перпендикулярные плоскости…
1) (АВС) и (ВСС1)
2) (ВСС1) и (А1В1С1)
3) (А1В1С1) и (АВС)
3. Если две плоскости перпендикулярны прямой, то они…
1) Перпендикулярны
2) Параллельны
3) Скрещиваются
4. Укажите верные высказывания…
1) У правильной треугольной призмы боковые грани перпендикулярны основаниям
2) У правильной четырехугольной призмы боковые грани перпендикулярны
3) У четырехугольной призмы боковые грани перпендикулярны
4) У правильной треугольной призмы смежные боковые грани перпендикулярны
5. Точка М находится на расстоянии 4 см и 3 см от двух перпендикулярных плоскостей,
найдите расстояние от этой точки до линии пересечения плоскостей.
6. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры
АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка BD, если АС=3 см,
CD=12 см, АВ =13 см.
7. Точки А и В лежат в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Найдите расстояние
между проекциями точек А и В на линию пересечения плоскостей, если расстояния от точек
А и В до линии пересечения плоскостей равны 8 см и 9 см соответственно, а расстояние
между этими точками равно 17 см.
8. ABCDA1B1C1D1 – куб со стороной 9 см. Найдите длину отрезка СО, где точка О – точка
пересечения диагоналей грани ADD1A1.
9. Основанием треугольной пирамиды ТАВС служит равнобедренный прямоугольный
треугольник АВС (АВС=90о, АС=24 см). Вычислите площадь сечения пирамиды
плоскостью, проходящей через ребро ТВ и перпендикулярной плоскости основания, если
ТА=ТС=2 61 см, а ТВ=10 см.
10. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12 см, а перпендикулярным
сечением является ромб со стороной 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Вариант 8
1. Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости…
1) Параллельна каждой из плоскостей
2) Перпендикулярна каждой из плоскостей
3) Параллельна одной плоскости и перпендикулярна другой
2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Укажите перпендикулярные плоскости…
1) (АВС) и (АDD1)
2) (АВС) и (А1В1С1)
3) (АDD1) и (А1D1С1)
3. Отрезки параллельных прямых, расположенные между параллельными плоскостями…
1) Перпендикулярны
2) Равны
3) Не равны
4. Укажите верные высказывания…
1) У усеченной пирамиды основания перпендикулярны
2) У усеченной пирамиды основания параллельны
3) У усеченной пирамиды смежные грани могут быть перпендикулярны
4) У усеченной пирамиды противолежащие грани могут быть перпендикулярны
5. Точка В находится на расстоянии 8 см от одной из двух перпендикулярных плоскостей.
Найдите расстояние от точки В до другой плоскости, если расстояние от этой точки до линии
пересечения плоскостей равно 10 см.
6. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры
АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АD=BС=5 см,
CD=1 см.
7. α, β и γ – три взаимно перпендикулярные плоскости. Линии пересечения плоскостей
пересекаются в точке С. Найдите расстояние от точки А до плоскости β, если расстояние от
точки А до плоскостей α и γ равны 7 см и 4 см соответственно, а длина отрезка АС=9 см.
8. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед. Найдите длину отрезка АО, где точка
О – точка пересечения диагоналей грани ВB1C1С, если СС1=12 см, АВ=6 см, ВС=2 7 см.
9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основание ABCD – квадрат со
стороной 4 см. Точка К делит отрезок АС в отношении 1:3, считая от вершины А. Найдите
площадь сечения параллелепипеда плоскостью, содержащей точку К и перпендикулярной
плоскостям АВС и АА1С, если АС1=8 см.
10. В наклонном параллелепипеде проекция бокового ребра на плоскость основания равна 5
дм, а высота равна 12 дм. Сечение, перпендикулярное боковому ребру, есть ромб с
площадью 24 дм2 и диагональю, равной 8 дм. Найти боковую поверхность параллелепипеда.
Вариант 9
1. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она…
1) Лежит в плоскости
2) Параллельна плоскости
3) Перпендикулярна плоскости
2. Дана прямая призма ABCDЕA1B1C1D1Е1. Укажите перпендикулярные плоскости…
1) (АВВ1) и (АВC)
2) (АВВ1) и (ВСС1)
3) (А1В1С1) и (D1Е1Е)
3. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то прямые их пересечения…
1) Параллельны
2) Перпендикулярны
3) Скрещиваются
4. Укажите верные высказывания…
1) У куба основания перпендикулярны
2) У куба диагональное сечение перпендикулярно основанию
3) У куба диагональные сечения перпендикулярны
4) У куба диагональное сечение перпендикулярно боковой грани
5. Из точек К и Е, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, к линии пересечения
плоскостей опущены перпендикуляры КМ и ЕМ. Расстояние между точками К и Е равно 20
см. Найдите длину отрезка КМ, если ЕМ=16 см.
6. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры
АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка BC, если АD=4 см,
AB=8 см, CD=1 см.
7. Точки А и В лежат в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Расстояние между
этими точками равно 17 см, а расстояние между проекциями этих точек на линию
пересечения плоскостей равно 12 см. Найдите расстояние от точки А до линии пересечения
плоскостей, если расстояние от точки В до линии пересечения плоскостей равно 9 см.
8. ABCDA1B1C1D1 – прямая призма, в основании которой лежит ромб. Найдите расстояние
от точки А до точки пересечения диагоналей верхнего основания, если АА1=15 см, АВ=10
см, BD=12 см.
9. Высота правильной четырехугольной пирамиды ABCDS равна 2 см. Найдите площадь
сечения, проходящей через диагональ основания и перпендикулярной боковому ребру, если
длина бокового ребра равна 4 см.
10. В наклонной треугольной призме два боковые грани взаимно перпендикулярны, а их
общее ребро, отстоящее от двух других боковых ребер на 12 см и 35 см, равно 24 см.
Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Вариант 10
1. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость,
перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по…
1) Перпендикулярным прямым
2) Параллельным прямым
3) По одной прямой
2. Дана правильная пирамида ABCDТ. Укажите перпендикулярные плоскости…
1) (BTD) и (АВD)
2) (АВТ) и (DТС)
3) (АВС) и (АСТ)
3. Прямая, проведенная через точку одной из перпендикулярных плоскостей
перпендикулярно второй плоскости…
1) Пересекает первую плоскость
2) Не лежит в первой плоскости
3) Лежит в первой плоскости
4. Укажите верные высказывания…
1) У треугольной пирамиды все грани перпендикулярны
2) У треугольной пирамиды боковые грани могут быть взаимно перпендикулярны
3) У треугольной призмы боковая грань может быть перпендикулярна основанию
4) У треугольной призмы боковые грани могут быть параллельны
5. Из точки С, лежащей в одной из двух перпендикулярных плоскостей, проведен
перпендикуляр СА=8 см. Чему равно расстояние от точки А до линии пересечения
плоскостей, если расстояние от точки с до этой линии равно 15 см?
6. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры
АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка CD, если АС=3 см,
BD=4 см, АВ =13 см.
7. α, β и γ – три взаимно перпендикулярные плоскости. Линии пересечения плоскостей
пересекаются в точке С. Найдите расстояние от точки А до точки С, если расстояние от
точки А до плоскостей равны 4 см, 4 см и 7 см.
8. ABCDA1B1C1D1 – прямая призма, в основании которой лежит равнобокая трапеция,
диагонали которой пересекаются под прямым углом. Найдите расстояние от точки А до
точки пересечения диагоналей верхнего основания, если АА1=9 см, а длина большего
основания равна 8 2 см.
9. Боковая грань МАВ пирамиды МАВС перпендикулярна плоскости основания.
Треугольники МАВ и ABC являются прямоугольными, и АС=ВС=МА=МВ. Найдите
площадь сечения пирамиды плоскостью, перпендикулярной плоскости ABC и проходящей
через прямую СР, точка Р которой взята на ребре MB, если МР:МВ=3:4 и АС=8 см.
10. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Площадь боковой поверхности
параллелепипеда равна 12 см2. Найдите площадь меньшего диагонального сечения
параллелепипеда, если площадь большего диагонального сечения равна 2 5 см2.
Ответы
Вариант
1
Вариант
2
Вариант
3
Вариант
4
Вариант
5
Вариант
6
Вариант
7
Вариант
8
Вариант
9
Вариант
10
1
2
2
1
2
3
3
2
2
3
1
2
2, 3
1, 3
1, 3
1, 2
1, 2
1, 2
1, 2
1, 3
1, 3
1, 3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
3
4
2, 4
2, 3
1, 3
2, 4
1, 3
2, 3
1, 2
2, 4
2, 3
2, 3
5
13
15
8
20
13
17
5
6
12
17
6
11
4
13
1
8
6
4
7
7
12
7
5
15
17
8
12
7
12
4
8
9
8
4
5
15
9
5
10
1
10
17
15
9
180
24
3
44
3
10
48
16
2
5
10
240
2016
906
260
12
180
240
260
2016
4
Скачать

Перпендикулярность плоскостей