Параллельность плоскостей

Параллельность плоскостей
Рассмотрим две плоскости α и β. В пространстве они могут располагаться
следующим образом:
1. Совпадать, если они имеют три общие точки, не принадлежащие одной
прямой. α=β
2. Пересекаться, если они различны и имеют одну общую точку. α∩β=а.
3. Быть параллельными. α║β.
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются (не
имеют общих точек).
Теорема (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся
прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой
плоскости, то эти плоскости параллельны.
Доказательство. Пусть даны две плоскости α и β. В плоскости α лежат
пересекающиеся в точке A прямые а и b, а в плоскости β – прямые а1 и b1 такие,
что а║а1 и b║b1. Каждая из прямых а и b параллельна плоскости β (а║β, b║β).
Предположим, что плоскости α и β не параллельны. Пусть они пересекаются
по прямой с.
Тогда плоскость α проходит через прямую а, параллельную плоскости β, и
пересекает плоскость β по прямой с.
Аналогично плоскость α проходит через прямую b, параллельную
плоскости β, и пересекает ее по прямой с, значит, прямая b параллельна прямой
с.
Исходя из предположения получили, что через точку A проходит две
прямые а и b, параллельные прямой с.
Но это противоречит теореме о том, что через точку A проходит
единственная прямая, параллельная прямой с. Следовательно, предложение
неверно и плоскости α и β параллельны.
Теорема доказана.
Теорема. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то
прямые их пересечения параллельны между собой.
Доказательство. Пусть α и β – параллельные плоскости, которые
пересекает плоскость γ по прямым а и b. Докажем, что а║b.
Действительно, эти прямые лежат в одной плоскости γ и не пересекаются.
Если бы прямые а и b пересекались, то их общая точка принадлежала бы
плоскостям α и β, чего не может быть, так как по условию они параллельны.
Таким образом, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Значит, прямые а и b параллельны.
Теорема доказана.
Теорема. Отрезки параллельных прямых, расположенные
параллельными плоскостями, равны. Если а║b и α║β, то AD=BC.
между
Доказательство. Пусть АD и BС – отрезки параллельных прямых а и b,
расположенные между параллельными плоскостями α и β. Докажем, что
АD=BС.
Плоскость γ, проходящая через параллельные прямые а и b, пересекает
плоскости α и β по параллельным прямым АB и DC.
Следовательно, четырехугольник АВСD – параллелограмм, так как в нем
противолежащие стороны попарно параллельны. В параллелограмме
противолежащие стороны равны, значит, АD=BC.
Теорема доказана.
Теорема. Через точку все данной плоскости можно провести плоскость,
параллельную данной, и притом только одну.
Доказательство. Пусть точка О не лежит в данной плоскости α.
Рассмотрим в плоскости α какие-либо две пересекающиеся прямые а и b.
Проведем через точку О прямые а1 и b1, параллельные прямым а и b
соответственно. Рассмотрим плоскость β, проходящую через прямые а1 и b1.
Плоскость β – искомая, так как она проходит через точку О и по признаку
параллельности двух плоскостей параллельна плоскости α.
Допустим, что существует другая плоскость β1, проходящая через точку О
и параллельная плоскости α.
Плоскость γ, проходящая через точку О и прямую а, пересекает плоскости
β и β1, так как с каждой из них плоскость γ имеет общую точку О.
Следовательно, линии пересечения k и k1 плоскости γ с плоскостями β и β1,
проходят через точку О, не лежащую на прямой а, проходят две прямые,
параллельные прямой а. Это противоречит теореме о том, что через точку вне
прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной.
Значит, предположение неверно и плоскость β единственная.
Теорема доказана.
Примеры решения задач
Задача № 1. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые а и b
можно провести две параллельные плоскости α и β (аα, bβ), и притом такая
пара плоскостей – единственная.
Дано: а и b – скрещивающиеся
прямые, аα, bβ
Доказать: α║β
Доказательство:
Пусть а и b – скрещивающиеся прямые.
Возьмем произвольные точки Аа, Bb и проведем через них прямые b1║b,
a1║a, Аа1, Bb1. Пары a, b1 и b, a1 пересекающихся прямых определяют
плоскости α и β соответственно. Тогда по признаку параллельности плоскостей
плоскости α и β параллельны.
Докажем единственность существования такой пары плоскостей.
Допустим, что существует еще пара плоскостей α1 и β1 таких, что α1║β1, аα1,
bβ1.
Через точку В и прямую а проведем плоскость γ. Пусть эта плоскость
пересекает плоскости β и β1 по прямым с и с1 соответственно. Так как Вb,
bβ, bβ1, то прямые с и с1 проходят через точку В. Тогда a║c, a║c1, что
противоречит тому, что через точку В вне данной прямой а можно провести
единственную прямую, параллельную данной.
Полученное противоречие говорит о том, что предположение неверное,
следовательно, существует единственная пара плоскостей, удовлетворяющих
условию.
Задача № 2. SABCD – четырехугольная пирамида. Точки О и F –
середины ребер SA и SC соответственно, а точка Т лежит на продолжении
ребра SD так, что точка D – середина отрезка ST. Докажите, что плоскости DOF
и ТАС параллельны.
Дано: SABCD – четырехугольная
пирамида, ТSD, SD=DT.
Доказать: (DOF)║(ТАС)
Доказательство:
Точки F и D – середины отрезков SC и ST соответственно, следовательно,
отрезок DF есть средняя линия треугольника SCT, а, значит, DF║СТ.
Точки О и D являются серединами сторона SA и ST треугольника SAT
соответственно, значит, отрезок OD – средняя линия треугольника SAT, т.е.
OD║АТ.
Таким образом, две пересекающиеся прямые OD и DF плоскости ODF
соответственно параллельны двум прямым АТ и ТС плоскости АТС,
следовательно, по признаку параллельности плоскостей, плоскости DOF и ТАС
параллельны.
Задача № 3. АВСА1В1С1 –треугольная призма. Точка К лежит на ребре
ВВ1 так, что В1К:КВ=2:1. Вычислите радиус окружности, вписанной в сечение
призмы плоскостью, проходящей через точку К и параллельной плоскости
АВС, если радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, равен 9 см.
Дано: АВСА1В1С1 – правильная
треугольная призма, rАВ1С=9 см,
В1К:КВ=2:1.
Найти: rKFT
Решение:
Сечением призмы плоскостью является треугольник KFT. Так как две
параллельные плоскости пересекают третью плоскость по параллельным
прямым, то FK║AB1, KT║CB1 и FT║АС.
Треугольник СВ1В подобен треугольнику ТКВ, следовательно
СВ1:ТК=В1В:КВ=3:1. Так как треугольники АВВ1 и FBK подобны, то
AB1:FK=BB1:KB=3:1. Из подобия треугольников АВС и FBD следует, что
АС:FT=АВ:FB=3:1.
Таким образом, СВ1:ТК=АВ1:FK=АС:FT=3:1, следовательно, треугольники
АВ1С и FKT подобные.
1
3
Из подобия треугольников следует, что rAB1C:rKFT=AC:FT=3:1, т.е. rKFT= rAB1C=3
см.
Ответ: 3 см.
Задача № 4. Точка О лежит между параллельными плоскостями α и β.
Прямые а и b, проходящие через точку О, пересекают плоскость α в точках А 1 и
В1, а плоскость β – в точках А2 и В2 соответственно. Вычислите длину отрезка
ОВ1, если А1О:А1А2=1:3, В1В2=30 см.
Дано: А1О:А1А2=1:3, В1В2=30 см.
Найти: ОВ1
Решение:
Пересекающиеся прямые а и b лежат в одной плоскости, следовательно,
прямые А1В1 и А2В2, по которым эта плоскость пересекает плоскости α и β,
параллельные.
Так как А1В1║А2В2, то треугольник ОА1В1 подобен треугольнику ОА2В2. Пусть
ОВ1=х, ОВ2=30-х.
Из подобия треугольников ОА1В1 и ОА2В2 следует, что ОВ1:ОВ2=ОА1:ОА2=1:2,
т.е. х:(30-х)=1:2. Отсюда находим, что х=10, значит, ОВ1=10 см.
Ответ: 10 см.
Задача № 5. Основание прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 –
квадрат со стороной 1 см. Точка О лежит на продолжении ребра АА 1 так, что
АА1:А1О=2:1. Вычислите площадь сечения параллелепипеда плоскостью,
проходящей через точку О и параллельной плоскости А1С1D, если длина
бокового ребра параллелепипеда равна 2 см.
Дано: ABCDA1B1C1D1 – прямой
параллелепипед, АВ=ВС=CD=DA=1
см, АА1:А1О=2:1, АА1=2 см.
Найти: Sсеч
Решение:
Построим сечение. Т=k1A1D1, F=k1DD1, k1║AD1, Ok1. K=k2D1C1,
k2║A1C1, Tk2. Треугольник TKF – искомое сечение.
Точки Т, F и К – середины соответствующих ребер, а TF=FK.
1
2
В треугольнике TD1F (TD1F=90o, TD= A1D1=
1
1
см, D1F= DD1=1 см) TF=
2
2
5
2
1
см,
ТК=
А
см.
TD 2 D F2 =
1С1=
1 1
2
2
2
Пусть точка Р – середина отрезка ТК, тогда медиана PF является высотой
1
2
равнобедренного треугольника TFK, следовательно, его площадь STFK= TKPF.
2
5
, FK= ) длина катета PF=
4
2
3 2
1
3
FK 2 PK 2 =
см. Таким образом, STFK= TKPF= см2.
2
8
4
1
2
В треугольнике KPF (EPK=90o, PK= TK=
Ответ:
3
см2
8
Задания для самостоятельной работы
Вариант 1
1. Если две плоскости в пространстве имеют три общие точки, то эти
плоскости…
1) Параллельны; 2) Пересекаются; 3) Совпадают
2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Укажите параллельные плоскости…
1) (АВС) и (А1В1С1); 2) (ABC) и (ABB1); 3) (АВВ1) и (С1СD)
4) (АВВ1) и (СBD)
3. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения
плоскостей…
1)
Пересекаются;
2)
Скрещиваются;
3)
Параллельны;
4) Перпендикулярны
4. Сколько пар параллельных плоскостей у куба…
1) 2; 2) 3; 3) 4; 4) 6
5. Параллельные плоскости пересекают сторону АВ угла АВС в точках А1 и А2,
а сторону АС этого угла – соответственно в точках В1 и В2. Найдите АА2, если
А1А2=2А1А, А1А2=12 см, АВ1=5 см.
6. Сторона АВ треугольника АВС лежит в плоскости β. Через середину отрезка
АС – точку Р проведена плоскость α, параллельная плоскости β и
пересекающая ВС в точке Е. Найдите АВ, если РЕ=7 см.
7. Параллельные прямые АС и BD пересекают плоскость соответственно в
точках А и В. Точки С и D лежат по одну сторону от плоскости. Прямая СD
пересекает плоскость в точке Е. Найдите длину отрезка ВЕ, если АС=8 см,
АВ=4 см, BD=6 см.
8. Дан тетраэдр KLMN. Точки Е, О и F – середины отрезков LM, MA и МК.
Найдите площадь треугольника EOF, если площадь треугольника LKA равна 24
см2.
9. ТАВС – правильная треугольная пирамида. Точки D и Е – середины ребер
АВ и ТА соответственно. Треугольники ЕКС и TDP – параллельные сечения,
проходящие через СЕ и TD соответственно. Найдите площадь треугольника
TDP, если площадь треугольника ЕКС равна 9 см2.
10. SABC – треугольная пирамида. Точка О делит боковое ребро SA пирамиды
в отношении 2:3 (считая от вершины). Треугольник ОЕК – сечение пирамиды
плоскостью, проходящей через точку О и параллельной плоскости АВС.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды SOEK, если площадь
боковой поверхности пирамиды SABC равна 50 см2.
Вариант 2
1. Если две плоскости имеют одну общую прямую, то эти плоскости…
1) Совпадают; 2) Параллельны; 3) Пересекаются
2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите параллельные
плоскости…
1) (ABC) и (ABB1); 2) (АВВ1) и (С1СD); 3) (АВС) и (А1В1С1)
4) (АВВ1) и (СBD)
3. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными
плоскостями…
1) Равны; 2) Не равны; 3) Не всегда равны; 4) Перпендикулярны
4. Сколько плоскостей можно провести через вершину правильной
четырехугольной пирамиды параллельно основанию…
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4
5. Отрезок АВ длиной 8 см лежит в плоскости α. Расстояние от точки В до
плоскости β, параллельной плоскости α равно 9 см. Найдите длину отрезка АС,
где точка С – точка пересечения плоскости β и перпендикуляра, проведенного к
этой плоскости из точки В.
6. Диагональ АС квадрата ABCD лежит в плоскости α. Через середину стороны
АВ – точку К проведена плоскость β, параллельная плоскости α и
пересекающая ВС в точке Р. Найдите диагональ квадрата, если КР=6 см.
7. Через точку К проведены две прямые а и b, пересекающие две параллельные
плоскости α и β: первую в точках А1 и В1, вторую в точках А2 и В2
соответственно. Вычислите КА1, если А1А2:В1В2=3:4, А1В1=7 см, КА2=12 см, а
плоскости лежат по одну сторону от точки К.
8. SABCD – правильная четырехугольная пирамида, а угол при вершине S
грани DSC равен 60о. Через точку О, взятую на ребре AD, проведено сечение
плоскостью, параллельной грани SDC. Найдите периметр этого сечения, если
длина его диагонали равна 7 см, а АО=3 см.
9. Точка В не лежит в плоскости треугольника ADC, точки М, N и Р – середины
отрезков ВА, ВС и BD соответственно. Найдите площадь треугольника MNP,
если площадь треугольника ADC равна 48 см2.
10. На ребрах В1С1 и C1D1 куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р и
Q - середины этих ребер. Через точку О - центр грани ABCD - и прямую PQ
проведена секущая плоскость. Найдите площадь сечения куба плоскостью,
параллельной плоскости OPQ и проходящей через точку С1, если ребро куба
равно 8 см.
Вариант 3
1. Если плоскости не имеют общих точек, то они…
1) Пересекаются
2) Совпадают
3) Параллельны
2. Дана прямая призма АВСА1В1С1. Укажите параллельные плоскости…
1) (ABC) и (ABB1)
2) (АВС) и (А1В1С1)
3) (АВВ1) и (СBС1)
4) (А1В1С1) и (АВС)
3. Сколько пар параллельных плоскостей у куба…
1) 6; 2) 8; 3) 3; 4) 2
4. Сколько пар параллельных плоскостей у прямоугольного параллелепипеда…
1) 6; 2) 4; 3) 3; 4) 2
5. Параллельные плоскости пересекают сторону АВ угла АВС в точках А1 и А2,
а сторону АС этого угла – соответственно в точках В1 и В2. Найдите АВ2, если
А1А2=2А1А, А1А2=12 см, АВ1=5 см.
6. Сторона AD трапеции ABCD лежит в плоскости α. Через середину стороны
АВ – точку Р проведена плоскость β, параллельная плоскости α и
пересекающая CD в точке R. Найдите длину отрезка PR, если AD=8 см, а ВС=6
см.
7. Параллельные плоскости α и β пересекают стороны угла АВС в точках А1, С1,
А2 и С2 соответственно. Найдите ВС2, если А1В:А1А2=1:3, ВС1=3 см.
8. Треугольник ТКО – сечение правильной треугольной пирамиды DABC,
проходящей через точку О (ВО:ОА=1:2) И параллельной плоскости DBC.
Найдите периметр треугольника ТКО, если длина стороны основания
пирамиды равна 3 см, а длина бокового ребра – 9 см.
9. Боковое ребро четырехугольной пирамиды разделено на три равные части, и
через точки деления проведены плоскости, параллельные плоскости основания.
Найдите сумму площадей сечений, если площадь основания равна 81 см2.
10. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка М – середина ребра АА1. Найдите
площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М
параллельно плоскости AB1D1, если площадь треугольника AB1D1 равна 56 см2.
Вариант 4
1. Две параллельные плоскости…
1) Пересекаются по прямой; 2) Не пересекаются; 3) Имеют одну общую
точку
2. Дана прямая призма АВСDEА1В1С1D1E1. Укажите параллельные плоскости…
1) (А1В1С1) и (АВС); 2) (ABB1) и (DCC1); 3) (АВE) и (А1В1С1)
4) (CВВ1) и (AEE1)
3. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно
параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости…
1) Перпендикулярны; 2) Параллельны; 3) Совпадают; 4) Пересекаются
4. Сколько пар параллельных плоскостей у правильной пятиугольной призмы…
1) 4; 2) 3; 3) 2; 4) 1
5. Катет АВ прямоугольного треугольника АВС (В=90о) лежит в плоскости α,
точка С – в плоскости β, параллельной плоскости α. Найдите расстояние между
плоскостями, если АВ=8 см, АС=10 см, а ВСα.
6. Сторона АВ треугольника АВС лежит в плоскости α. Через середину отрезка
АС – точку М проведена плоскость β, параллельная плоскости α и
пересекающая ВС в точке N. Найдите АВ, если MN=8 см.
7. Через точку К проведены две прямые а и b, пересекающие две параллельные
плоскости α и β: первую в точках А1 и В1, вторую в точках А2 и В2
соответственно. Вычислите КВ2, если А1А2:В1В2=3:4, А1В1=7 см, КА2=12 см, а
точка К лежит между плоскостями.
8. В основании пирамиды лежит ромб со стороной 15 3 см и острым углом 30о.
Найти площадь сечения, параллельного основанию, если сечение делит высоту
основания в отношении 4:1 (считая от вершины).
9. Площадь сечения пирамиды плоскостью, делящей боковое ребро пирамиды в
отношении 1:2 (считая от вершины) и параллельной основанию, равна 5 см 2.
Найдите площадь основания пирамиды.
10. На сторонах АВ и АС основания пирамиды МАВС взяты соответственно
точки N и Р - середины этих ребер. Найдите площадь сечения пирамиды
плоскостью, проходящей через точку Р параллельно плоскости MCN, если в
основании пирамиды лежит треугольник с прямым углом при вершине С,
AC=BC/2=8 см, боковое ребро МС перпендикулярно плоскости основания и
MC=4 5 см.
Вариант 5
1. Если две плоскости имеют одну общую точку, то эти плоскости…
1) Параллельны; 2) Совпадают; 3) Пересекаются
2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Укажите параллельные плоскости…
1) (АВВ1) и (СBD)
2) (ABC) и (ABB1)
3) (АВВ1) и (С1СD)
4) (АВС) и (А1В1С1)
3. Через точку все данной плоскости можно провести плоскость, параллельную
данной, и притом…
1) Только одну; 2) Две; 3) Три; 4) Ни одной
4. Сколько пар параллельны плоскостей у усеченной пирамиды…
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4
5. Параллельные плоскости пересекают сторону АВ угла АВС в точках А1 и А2,
а сторону АС этого угла – соответственно в точках В1 и В2. Найдите А2В2, если
А1В1=18 см, АА1=24 см, АА2=1,5А1А2.
6. Диагональ АС прямоугольника ABCD лежит в плоскости α. Через середину
стороны АВ – точку К проведена плоскость β, параллельная плоскости α и
пересекающая ВС в точке М. Найдите сторону АВ прямоугольника, если
КМ=2,5 см, а ВС=4 см.
7. На параллельных плоскостях α и β выбрано по паре точек А 1, А2, В1 и В2 так,
что прямые А1В1 и А2В2 пересекаются в точке К. Найдите КА1, если А1В1=16
см, КА2=2 см, КВ2:КА2=3.
8. В треугольной пирамиде DABC сечение, параллельное плоскости АВС, делит
боковое ребро в отношении 1:3 (считая от вершины). Вычислите площадь
сечения, если площадь треугольника АВC равна 32 см2.
9. В тетраэдре DABC точки К, Е и М являются серединами ребер АС, DC и ВС.
Найдите площадь треугольника ADB, если площадь треугольника КЕМ равна
27 см2.
10. На ребрах В1С1, C1D1 и АА1 куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно
точки Р, Q и R - середины этих ребер. Через точку О - центр грани ABCD - и
прямую PQ проведена секущая плоскость. Найдите площадь сечения куба
плоскостью, параллельной плоскости OPQ и проходящей через точку R, если
ребро куба равно 8 см.
Вариант 6
1. Прямые, лежащие в параллельных плоскостях…
1) Могут быть параллельны; 2) Всегда параллельны; 3) Могут
пересекаться
2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите параллельные
плоскости…
1) (А1В1С1) и (АВС); 2) (ABB1) и (CBB1)
3) (АDD1) и (С1СB1); 4) (АВВ1) и (СBD)
3. Если две плоскости параллельны одной и той же прямой, то они…
1) Обязательно параллельны; 2) Могут быть параллельными
3) Могут пересекаться; 4) Обязательно пересекаются
4. Сколько плоскостей можно провести через вершину тетраэдра, параллельно
его основанию…
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4
5. Плоскость α║β, β║γ. Найдите расстояние между плоскостями α и β, если
расстояние между плоскостями α и γ равно 10 см, а расстояние между
плоскостями β и γ равно 3 см.
6. Сторона AD трапеции ABCD лежит в плоскости α. Через середину стороны
АВ – точку М проведена плоскость β, параллельная плоскости α и
пересекающая CD в точке N. Найдите длину отрезка AD, если MN=8 см, а
ВС=6 см.
7. Через точку К проведены две прямые а и b, пересекающие две параллельные
плоскости α и β: первую в точках А1 и В1, вторую в точках А2 и В2
соответственно. Вычислите КВ2, если А1А2:В1В2=3:4, А1В1=7 см, КА2=12 см, а
плоскости лежат по одну сторону от точки К.
8. В правильной четырехугольной пирамиде плоскость сечения, параллельного
основанию, разделила высоту пополам. Найти сторону основания пирамиды,
если площадь сечения равна 36 см2.
9. В тетраэдре DABC точка К – середина ребра AD. Найдите площадь сечения
тетраэдра плоскостью, проходящей через точку К параллельно грани DBC, если
площадь грани равна 124 см2.
10. В правильной треугольной пирамиде угол наклона бокового ребра к
плоскости основания 30о. Через центр основания проведено сечение пирамиды
плоскостью, параллельной двум непересекающимся ребрам. Найдите длину
основания пирамиды, если площадь сечения равна 12 см2.
Вариант 7
1. Если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей, то она…
1) Параллельна другой плоскости
2) Перпендикулярна другой плоскости
3) Пересекает другую плоскость
2. Дана прямая призма АВСА1В1С1. Укажите параллельные плоскости…
1) (АВС) и (А1В1С1); 2) (ABB1) и (BB1C)
3) (А1В1С1) и (АВС); 4) (АВВ1) и (СBС1)
3. Если прямая пересекает одну из двух пересекающихся плоскостей, то она…
1) Обязательно пересекает другую плоскость
2) Может не пересекать другую плоскость
3) Может пересекать обе плоскости в разных точках
4) Может быть параллельной прямой пересечения плоскостей
4. Сколько пар параллельных плоскостей у прямой треугольной призмы…
1) 4; 2) 3; 3) 2; 4) 1
5. Параллельные плоскости пересекают сторону АВ угла АВС в точках А1 и А2,
а сторону АС этого угла – соответственно в точках В1 и В2. Найдите АА2, если
А1В1=18 см, АА1=24 см, АА2=1,5А1А2.
6. Сторона АС треугольника АВС лежит в плоскости α. Через середину ВА –
точку N проведена плоскость, параллельная плоскости α и пересекающая ВС в
точке К. Найдите NК, если АС=20 см.
7. Параллельные плоскости α и β пересекают стороны угла АВС в точках А1, С1,
А2 и С2 соответственно. Найдите ВС1, если А1В:А1А2=1:3, ВС2=24 см.
8. В пирамиде DABC сечение, параллельное основанию, делит боковое ребро в
отношении 2:3 (считая от вершины). Найдите площадь сечения, если его
площадь на 84 см2 меньше площади основания.
9. Точка О не лежит в плоскости треугольника АВС, точки М, К и Р – середины
отрезков ОА, ОВ и ОС соответственно. Найдите площадь треугольника АВС,
если площадь треугольника МКР равна 4 см2.
10. Точка О делит ребро A1D1 прямоугольного параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1 в отношении 2:3 (А1О:OD1=3:2). Найдите площадь сечения
параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку О и параллельной
плоскости АВ1С, если площадь треугольника АВ1С равна 50 см2.
Вариант 8
1. Прямая, лежащая в одной из параллельных плоскостей…
1) Параллельна другой плоскости
2) Перпендикулярна другой плоскости
3) Параллельна любой прямой другой плоскости
2. Дана прямая призма АВСDEА1В1С1D1E1. Укажите параллельные плоскости…
1) (CВВ1) и (AEE1); 2) (ABB1) и (DCC1)
3) (АВE) и (А1В1С1); 4) (АВС) и (А1В1С1)
3. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения
плоскостей…
1) Перпендикулярны; 2) Пересекаются
3) Параллельны; 4) Скрещиваются
4. Сколько граней параллельно диагональному сечению прямоугольного
параллелепипеда…
1) 4; 2) 2; 3) 1; 4) 0
5. Две параллельные прямые пересекают две параллельные плоскости α и β в
точках А, В и А1, В1 соответственно. Чему равен периметр четырехугольника
АВА1В1, если АВ=5 см, АА1=3 см.
6. Диагональ АС квадрата ABCD лежит в плоскости α. Через середину стороны
АВ – точку М проведена плоскость β, параллельная плоскости α и
пересекающая ВС в точке N. Найдите сторону квадрата, если МN=3 2 см.
7. Через точку К проведены две прямые а и b, пересекающие две параллельные
плоскости α и β: первую в точках А1 и В1, вторую в точках А2 и В2
соответственно. Вычислите КА1, если А1А2:В1В2=3:4, А1В1=7 см, КА2=12 см, а
точка К лежит между плоскостями.
8. В пирамиде сечение, параллельное основанию, делит высоту в отношении
1:1. Площадь основания больше площади сечения на 381 см 2. Найдите площадь
основания.
9. В тетраэдре DABC точка М – середина ребра AD. Найдите площадь грани
DBC, если площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М
параллельно этой грани, равна 31 см2.
10. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 9 см, угол
наклона бокового ребра к плоскости основания 30о. Через центр основания
проведено
сечение
пирамиды
плоскостью,
параллельной
двум
непересекающимся ребрам. Определить площадь сечения.
Вариант 9
1. Если две плоскости параллельны третьей, то они…
1) Перпендикулярны; 2) Параллельны; 3) Совпадают
2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Укажите параллельные плоскости…
1) (АDD1) и (BB1C); 2) (ABB1) и (CBB1)
3) (А1В1C1) и (DCB); 4) (АВС) и (D1CС1)
3. Если прямая лежит в одной из двух параллельных плоскостей, то…
1) Она перпендикулярна второй плоскости; 2) Она параллельна второй
плоскости; 3) Она пересекает вторую плоскость; 4) Она лежит и во второй
плоскости
4. Сколько пар параллельных плоскостей у правильной шестиугольной
призмы…
1) 2; 2) 4; 3) 6; 4) 8
5. Противолежащие стороны квадрата ABCD лежат в параллельных плоскостях.
Расстояние между плоскостями 3 см. найдите периметр квадрата, если его
плоскость составляет с плоскостями угол в 30о.
6. Сторона AD трапеции ABCD лежит в плоскости α. Через середину стороны
АВ – точку K проведена плоскость β, параллельная плоскости α и
пересекающая CD в точке T. Найдите длину отрезка BC, если KT=5 см, а AD=6
см.
7. Точка К лежит между параллельными плоскостями α и β. Прямые а и b,
проходящие через точку К, пересекают плоскость α в точках А1 и В1, а
плоскость β в точках А2 и В2 соответственно. Найдите КВ1, если А1К:А1А2=1:3,
В1В2=15 см.
8. В пирамиде сечение, параллельное основанию, делит высоту пополам.
Найдите площадь сечения, если площадь основания 508 см2.
9. SАВС – правильная треугольная пирамида. Точки М и Е – середины ребер
АВ и SА соответственно. Треугольники ЕКС и SМP – параллельные сечения,
проходящие через СЕ и SD соответственно. Найдите площадь треугольника
ЕКС, если площадь треугольника SМP равна 12 см2.
10. На стороне АС основания пирамиды МАВС взята точка Р – середина этого
ребра. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через
точку Р параллельно плоскости МВС, если в основании пирамиды лежит
треугольник с прямым углом при вершине С, AC=BC/2=5 см, боковое ребро
МС перпендикулярно плоскости основания и MC=4 см.
Вариант 10
1. Если прямая, перпендикулярна одной из параллельных плоскостей, то…
1) Она параллельна другой плоскости; 2) Она перпендикулярна другой
плоскости; 3) Она лежит в другой плоскости
2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите параллельные
плоскости…
1) (ABB1) и (CBB1); 2) (D1CС1) и (АВС)
3) (BB1C) и (АDD1); 4) (DCB) и (А1В1C1)
3. Две плоскости параллельны, если одна из них параллельна…
1) Какой-либо прямой другой плоскости
2) Двум пересекающимся прямым другой плоскости
3) Двум параллельным прямым другой плоскости
4) Двум скрещивающимся прямым
4. Сколько плоскостей, параллельных основанию куба можно провести через
середины его боковых ребер…
1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3
5. Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В одной из плоскостей
проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А1
и В1. Чему равен отрезок А1В1, если АВ=17 см?
6. Сторона АС треугольника АВС лежит в плоскости α. Через середину ВА –
точку М проведена плоскость, параллельная плоскости α и пересекающая ВС в
точке К. Найдите МК, если АС=10 см.
7. Параллельные плоскости α и β пересекают стороны угла АВС в точках А1, С1,
А2 и С2 соответственно. Найдите ВС1, если А1В:А1А2=1:3, ВС2=12 см.
8. Четырехугольник ОТЕК – сечение правильной четырехугольной пирамиды
SABCD плоскостью, проходящей через точку О (SO:OA=2:3) и параллельной
плоскости SDC. Вычислите периметр сечения, если CD=30 см, SD=25 см.
9. Точка О не лежит в плоскости треугольника АВС, точки Т, К и Е – середины
отрезков ОА, ОВ и ОС соответственно. Найдите площадь треугольника ТКЕ,
если площадь треугольника АВС равна 16 см2.
10. На ребрах В1С1 и C1D1 куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р и
Q - середины этих ребер. Через точку О - центр грани ABCD - и прямую PQ
проведена секущая плоскость. Найдите площадь сечения куба плоскостью,
параллельной плоскости OPQ и проходящей через точку D1, если ребро куба
равно 8 см.
Ответы
Вариант
1
Вариант
2
Вариант
3
Вариант
4
Вариант
5
Вариант
6
Вариант
7
Вариант
8
Вариант
9
Вариант
10
1
3
3
3
2
3
1
3
1
2
2
2
1, 3
2, 3
2, 4
1, 3
3, 4
1, 3
1, 3
3, 4
1, 3
3, 4
3
2
1
3
2
1
2, 3
2, 3
3
2
2
4
2
1
3
4
1
1
4
4
2
2
5
18
10
15
9
54
7
72
16
24
17
6
14
12
7
16
3
10
10
6
4
5
7
12
21
12
16
4
16
6
3
5
3
8
6
19
13
216
2
12
16
508
127
72
9
12
12
45
45
108
31
16
124
9
4
10
8
24
14
10
6
9
8
12
5
72