Список задач № 1

Список задач № 1
Тема 1. Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в
задачах на доказательство
Задачи
1. Докажите, что две плоскости, перпендикулярные к одной прямой,
параллельны (второй признак параллельности плоскостей).
2. Докажите, что если плоскости перпендикулярны, и в одной из них проведен
перпендикуляр к линии пересечения, то он служит перпендикуляром к другой
плоскости (свойство перпендикулярных плоскостей).
3. Прямая 𝑎 параллельна плоскости 𝛼. Доказать, что если плоскость 𝛽 пересекает
прямую 𝑎, то она пересекает и плоскость 𝛼.
4. Плоскости 𝛼 и 𝛽 параллельны, 𝐴 – точка плоскости 𝛼. Доказать, что любая
прямая, проходящая через точку 𝐴 и параллельная плоскости 𝛽, лежит в
плоскости 𝛼.
5. Две плоскости 𝛼 и 𝛽 параллельны плоскости 𝛾. Докажите, что плоскости 𝛼 и
𝛽 параллельны.
6. Даны две пересекающиеся прямые 𝑎 и 𝑏 и точка 𝐴, не лежащая в плоскости
этих прямых. Докажите, что через точку 𝐴 проходит плоскость, параллельная
прямым 𝑎 и 𝑏, и притом только одна.
7.Докажите, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой
пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих
плоскостей.
8.Плоскости 𝛼 и 𝛽 взаимно перпендикулярны. Через некоторую точку плоскости
𝛼 проведена прямая, перпендикулярная к плоскости 𝛽. Докажите, что эта прямая
лежит в плоскости 𝛼.
9.Плоскости 𝛼 и 𝛽 пересекаются по прямой 𝑎 и перпендикулярны к плоскости 𝛾.
Докажите, что прямая 𝑎 перпендикулярна к плоскости 𝛾.
Тема 2. Воображаемые построения
Задачи
1. Постройте прямую, пересекающую две данные скрещивающиеся прямые и
параллельную данной плоскости.
2. В данной плоскости проведите прямую, параллельную другой данной
плоскости и пересекающую данную прямую.
3. Через данную точку проведите прямую, пересекающую данную прямую и
параллельную данной плоскости.
4. Проведите прямую, перпендикулярную данной плоскости 𝛼 и пересекающую
данные скрещивающиеся прямые 𝑎 и 𝑏.
5. Через данную точку постройте прямую, перпендикулярную двум данным
скрещивающимся прямым.
6. Постройте плоскость, перпендикулярную одной из двух данных
перпендикулярных скрещивающихся прямых и удаленную на расстояние 𝑚 от
другой.
7. Через данную точку 𝑀 проведите плоскость, параллельную данной прямой 𝑎 и
перпендикулярную данной плоскости 𝛼.
Тема 3. Центральное и параллельное проектирования и их свойства.
Изображение фигур на плоскости. Построения на изображениях
Задачи
1. Постройте изображение правильного пятиугольника (шестиугольника,
восьмиугольника).
2. На изображении равнобедренного треугольника, у которого боковая сторона
втрое больше основания, построить изображение высоты, проведенной к
боковой стороне.
3. На изображении окружности построить изображение ее перпендикулярных
диаметров.
4. На изображении окружности построить изображение описанного около нее
правильного треугольника.