1. Sitnikova

Министерство образования Красноярского края
краевое государственное бюджетное
профессиональное образовательное учреждение
«Красноярский аграрный техникум»
Исследовательская работа на тему:
«Апробация методов решения квадратных уравнений»
Выполнила: Ситникова Екатерина
гр.З-2-3
Под руководством: Григорьевой
Татьяны Леонидовны
Красноярск 2015
Оглавление
Введение………………………………………………………………………3
1. История квадратных уравнений………………………………………......4
2. Способы решения квадратных уравнений………………………………..7
3. Опрос обучающихся…………………………………………………….....8
4. Решение квадратных уравнений. Теоретическая часть………...…..…....9
4.1. Решение квадратных уравнений по формуле……………………..9
4.2. Графический способ решения квадратных уравнений………...10
4.3. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейк.11
5. Решение квадратных уравнений. Практическая часть…………………12
Исследование…………………………………………………...……………17
Выводы………………………………………………….................................18
Список литературы………………………………………………………….20
2
Введение
В школьном курсе математики квадратным уравнениям посвящен
большой блок. Методов их решения не мало, но они не все изучаются или
если и изучаются, то исключительно в классах с углублённым изучением,
либо на факультативных занятиях. Некоторые методы незаслуженно
забыты.
Цель нашей работы – научить обучающихся 1 курсов решать
квадратные уравнения, применяя рациональные и нестандартные методы
их решения.
Задачи:
- познакомить обучающихся с историческими фактами, связанными с
квадратными уравнениями.
- описать технологии нескольких способов решения квадратных
уравнений.
- привести примеры применения различных способов решения уравнений.
- предложить обучающимся самостоятельно провести вычисления
различными способами.
- провести анализ проделанной работы.
3
1. История квадратных уравнений
Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй
степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи,
связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными
работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой
математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э.
вавилоняне. Найденные древние вавилонские глиняные таблички,
датированные где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., являются самыми
ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На этих же
табличках изложены методы решения некоторых типов квадратных
уравнений. Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г.
Диофант Александрийский
Аль- Хорезми
Евклид
Омар Хайям
Квадратные уравнения в Индии.
Задачи
на
квадратные
уравнения
встречаются
уже
в
астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г.
индийским математиком и астрономом Ариабахаттой. Другой индийский
4
ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных
уравнений, приведенных к единой канонической форме:
ах2 + bх = с, а > 0
В уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть отрицательными.
Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые
изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским
математиком
Леонардом
Фибоначчи.
Он
рассмотрел некоторые новые алгебраические
примеры решения задач и первый в Европе
подошел к введению отрицательных чисел. Эта
книга
способствовала
распространению
алгебраических знаний не только в Италии, но и
Германии, Франции и других странах Европы.
Многие задачи из этой книги переходили почти во
все европейские учебники 14-17 веков. Общее
правило решения квадратных уравнений вида
x²+bx=c было сформировано в Европе лишь в 1544 году Штифелем. Вывод
формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета,
однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские
математики 16 века. Учитывают помимо положительных, и отрицательные
корни. Лишь в 17 веке благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и
других ученых способ решения квадратных уравнений принимает
современный вид.
5
Рене Декарт
Исаак Ньютон
6
2. Способы решения квадратных уравнений
Квадратным уравнением называется уравнение в ax2 + bx + c = 0, где
х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0.
Корень такого уравнения — это значение переменной х,
обращающее квадратный трёхчлен в ноль, то есть значение, обращающее
квадратное уравнение в тождество.
Коэффициенты квадратного уравнения имеют собственные названия:
коэффициент а называют первым или старшим, коэффициент b называют
вторым или коэффициентом при х, с называется свободным членом этого
уравнения.
Полным квадратным уравнением называют такое, все коэффициенты
которого отличны от нуля (a,b,c≠0).
Способы решения:
- решение квадратного уравнения по формуле;
- графическое решение квадратного уравнения;
- решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки.
7
3. Опрос обучающихся.
В четырех группах 1 курсов был проведен опрос, включающий
следующие вопросы:
1. Какой метод решения квадратных уравнений Вам ранее был знаком?
2. О каком методе Вы впервые услышали на занятии?
Результаты данного опроса были обработали и представлены в виде
диаграмм, где видно, что ребята хорошо знают метод решения «По
формуле», некоторым знаком «графический метод» и абсолютно никому
ранее не был известен метод «С помощью
циркуля и линейки».
8
4. Решение квадратных уравнений. Теоретическая часть.
4.1. Решение квадратного уравнения по формуле.
Вывод формулы:
Имеется уравнение вида ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.
Умножим обе части уравнения ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0, на 4а и
следовательно имеем:
4а2х2 + 4аbс + 4ас = 0.
((2ах)2 + 2ах b + b2) – b2 + 4ас = 0,
(2ах + b)2 = b2 – 4ас, правую часть обозначим через D и получим D= b2 –
4ас.
2ах + b = ± b2  4ac
2
2ах = – b ± b  4ac
х1, 2 
 b  b 2  4ac  b  D

2a
2a
D>0 - уравнение имеет 2 различных корня
 D=0 - уравнение имеет один корень
 D<0 – уравнение не имеет корней.

9
4.2. Графическое решение квадратного уравнения.
Если в уравнении x2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены
в правую часть, то получим x2 = – px – q .
Построим графики зависимостей у = х2 и у = – px – q .
График первой зависимости – парабола, проходящая через начало
координат. График второй зависимости – прямая.
Возможны следующие случаи:
- прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы
точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;
- прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка),т.е.
уравнение имеет одно решение;
- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное
уравнение не имеет корней.
10
4.3. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки.
Решим уравнение aх2 +bх+c=0:
Построим точки S(-b:2a,(a+c):2a)- центр
окружности и точку А(0,1)
Проведем окружность радиуса SA
Абсциссы точек пересечения с осью Ох есть
корни исходного уравнения.
При этом возможны три случая.
1) Радиус окружности больше ординаты центра
(AS>SK, или R>
ас
), окружность пересекает ось
2а
Ох в двух точках B (х1 ; 0) и D (х2 ;0), где х1 и х 2 – корни квадратного
уравнения ах2 + bх + с = 0.
2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SВ, или R =
ас
),
2а
окружность касается оси Ох в точке B (х1 ;
0 ), где х1 – корень квадратного
уравнения.
3) Радиус окружности меньше ординаты
центра (AS < SВ, или R <
ас
),
2а
окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае
уравнение не имеет решения.
11
5. Решение квадратных уравнений. Практическая часть.
Пример 1:
а) решить уравнение х 2  3х  4  0 по формуле D  b 2  4ac :
Решение:
а  1, b  3, c  4
D   3  4  1   4   9  16  25
2
D  25  5
b D
2a
35
2
х1 
   1
2 1
2
35 8
х2 
 4
2 1 2
х1, 2 
Ответ: х1  1; х2  4 .
б) решить уравнение х 2  3х  4  0 графическим способом:
Решение:
Запишем уравнение в виде: х 2  3х  4 .
Построим параболу у  х 2 и прямую у  3х  4 .
Точки пересечения двух графиков х1  1; х2  4 .
Ответ: х1  1; х2  4 .
в) решить уравнение х 2  3х  4  0 с помощью циркуля и линейки:
Решение:
12
а  1, b  3, c  4
b
3 3
1
х

 1
2a
2 1 2
2
a  c 1 4
3
1
y

   1
2a
2 1
2
2
1 1
2 2
Построим окружность с центром в т. S (1 ;1 ) и радиусом SA, где А(0;1)
Окружность пересекает ось ОХ в точках х1  1; х2  4 .
Ответ: х1  1; х2  4 .
Пример 2:
а) решить уравнение х 2  2 х  5  0 по формуле D  b 2  4ac :
Решение:
а  1, b  2, c  5
D  2 2  4 1 5  4  20  16
D  0  на множестве действительных чисел корней нет
Ответ: нет корней.
б) решить уравнение х 2  2 х  5  0 графическим способом:
Решение:
Запишем уравнение в виде: х 2  2 х  5 .
Построим параболу у  х 2 и прямую у  2 х  5 .
13
Общих точек пересечения двух графиков не имеется  корней нет.
Ответ: нет корней.
в) решить уравнение х 2  2 х  5  0 с помощью циркуля и линейки:
Решение:
а  1, b  2, c  5
b
2
2
х

   1
2a
2 1
2
a  c 1 5 6
y

 3
2a
2 1 2
Построим окружность с центром в т.S(-1;3) и радиусом SA, где А(0;1)
Т.к. точек пересечения окружности с осью ОХ не имеется  корней нет.
Ответ: нет корней.
Пример 3:
а) решить уравнение 2 х 2  3х  1  0 по формуле D  b 2  4ac :
Решение:
14
а  2, b  3, c  1
D  32  4  2 1  9  8  1
D  1 1
b D
2a
 3 1
4
х1 
   1
22
4
 3 1
2
1
х2 
 
22
4
2
х1, 2 
1
2
Ответ: х1  1; х2   .
б) решить уравнение 2 х 2  3х  1  0 графическим способом:
Решение:
Запишем уравнение в виде: 2 х 2  3х  1 .
Построим параболу у  2х 2 и прямую у  3 х  1 .
1
2
Точки пересечения двух графиков х1  1; х2   .
1
2
Ответ: х1  1; х2   .
в) решить уравнение 2 х 2  3х  1  0 с помощью циркуля и линейки:
Решение:
а  2, b  3, c  1
b
3
3
х


2a
22
4
a  c 2 1 3
y


2a
22 4
15
3 3
4 4
Построим окружность с центром в т. S ( ; ) и радиусом SA, где А(0;1)
1
2
Окружность пересекает ось ОХ в точках х1  1; х2   .
1
2
Ответ: х1  1; х2   .
16
Исследование
После изложения материала ребятам четырех групп 1 курсов было
предложено самостоятельно решить примеры рассмотренными выше
способами.
17
Выводы
После того, как обучающимися были решены примеры, мы
проверили работы и сделали следующие выводы, что наиболее
распространенный способ решения квадратных уравнений «через
дискриминант» и «графический способ», но так же не остался
незамеченным метод «с помощью циркуля и линейки», хотя об этом
методе ребята услышали впервые.
В диаграммах, представленных ниже, отображено в процентном
отношении правильно решенный пример по каждому методу.
В нашей работе мы рассмотрели лишь несколько способов решения
квадратных уравнений, в дальнейшем планируем освоить иные способы.
В сравнительной таблице мы представили возможные плюсы и
минусы рассмотренных нами методов.
18
Название способа
решения квадратных
уравнений
Решение квадратных
уравнений по формуле
Графическое решение
квадратного уравнения
Решение квадратных
уравнений с помощью
циркуля и линейки
Плюсы
Минусы
Можно применить ко
всем квадратным
уравнениям.
Наглядный способ
Нужно выучить
формулы.
Наглядный способ
Могут быть не
точности при
составлении графиков
Могут быть не
точности
Методов решения квадратных уравнений множество, но выбор
каким решать уравнение остается лично за каждым человеком.
19
Список литературы
1. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней
школы. - м., просвещение, 1990.
2. Глейзер Г.И. История математики в школе. - М.: просвещение, 1982.
3. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы:
Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988.
4. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс: В двух частях. Ч.1: Учебник для
общеобразовательных учреждений. - 4-е издание - М.: Мнемозина, 2002. 223 с.
5. Плужников И.10 способов решения квадратных уравнений//Математика
в школе.-2000.-№40.
6. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и
линейки М., Квант, №4/72. С.34.
7. http://mat.1september.ru/2001/42/no42_01.htm
20