?  S

Задача 1.
mс = 5см; AC
= 6см.
BC - ?
Ответы:
Задача 2.
ОА1 = 3см.
АА1 - ?
Ответы:
Задача 3.
AC = 5см; CB = 12см.
S ACC1  ?
Ответы:
Задача 4.
S A1OC  4ñì 2 .
S AOB  ?
Ответы:
Задача 5.
OB  4 3; COA  60
CB - ?
Ответы:
Учащиеся обмениваются бланками и проверяют друг друга.
А сейчас послушаем, что приготовили нам ребята. Откройте, пожалуйста, ваши тетради, запишите число и делайте себе пометки, выводы по следующим задачам.
Задача 1. Стороны треугольника АВС равны a, b, c. Вычислить длины медиан.
Решение.
1) Проведем в ÀÂÑ одну медиану СС1 и продолжим ее за
С1 на ее же длину, т.е. СС1 = С1Д. Получим параллелограмм по признаку АС = ДВ = b; ВС = АД = а.
2) По свойству параллелограмма (сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон) имеем:
2a 2  2b 2  c 2  CD 2 ;
CD 2  2a 2  2b 2  c 2 ; (2CC1 ) 2  2a 2  2b 2  c 2 ;
2a 2  2b 2  c 2
1
; mc 
2a 2  2b 2  c 2
4
2
3) Аналогично можно вывести и для остальных медиан, т.е. имеем :
1
1
ma 
2b 2  2c 2  a 2 ; mb 
2a 2  2c 2  b 2
2
2
4mc2  2a 2  2b 2  c 2 ;
mc2 
Задача 2. Найти отношение площади ÀÂÑ к площади другого треугольника, стороны которого равны медианам ÀÂÑ .
Решение.
1) Пусть S ABC  S , а площадь треугольника, составленная из медиан S m .
2) На продолжении медианы ВВ1 отложим В1Д =
ОВ1.
3) ÀOÂ1  CDB1 (по двум сторонам и углу
между ними), значит АО = СД.
2
2
2
4) По свойству медиан в COD имеем: CO  mc ; CD  AO  ma ; OD  mb .
3
3
3
5) Таким образом, каждая сторона COD составляет две третьи сторон треугольника, со2
ставленного из медиан. Т.е. коэффициент подобия равен , а известно, что отношение
3
площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, т.е.
6) Но SCOD
2
SCOD  2 
SCOD 4
9
  ;
 ; S m  SCOD .
Sm
Sm
9
4
3
S
4
1
9 1
3
 S AOC  S , тогда S m   S ; S m  S . Т.е.
 .
3
4 3
4
Sm 3
SCOD
 k 2;
Sm
Из рассуждений этой задачи следует вывод: три отрезка могут быть медианами некоторого треугольника тогда и только тогда, когда из них можно составить треугольник.
Задача 3. В ÀÂÑ АС = 26 см, АА1и СС1 медианы . Найдите длину медианы ВВ1, если
АА1= 36 см, СС1 = 15 см.
Решение.
1) Пусть СС1 пересекается с АА1 в точке О.
2) Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины, тогда
2
2
AO  AA1 ; AO   36; AO  24.
3
3
2
2
CO  CC1 ; CO  15; CO  10
3
3
1
3) Тогда и OB1  BB1 ; BB1  3 OB1
3
4) Рассмотрим ÀOÑ : АО = 24; ОС = 10; АС = 26. Заметим, что 26 2  242  10 2 (верно),
значит по обратной теореме Пифагора ÀOÑ прямоугольный; угол АОС равен 900, следовательно
АС
–
гипотенуза,
поэтому
в
нем
ОВ1
–
медиана;
1
1
OB1  AC; OB1   26; OB1  13.
2
2
5) Тогда ВВ1= 39.
Ответ: 39 см.
Итак, давайте подведем итог теоретической части нашего урока, и еще раз проговорим важные формулировки, а также вспомним о связи медиан с периметром треугольника (учащиеся
еще раз проговаривают важные свойства медианы).
Дальше, переходим к практической части урока.
Задача 4. В треугольнике одна из сторон равна 26 дм, а ее медиана равна 16 дм. Определить две другие стороны этого треугольника, если
они относятся как 3 : 5.
Решение.
1
2a 2  2c 2  b 2
1) mb 
2
(2  16) 2  2  9 x 2  2  25 x 2  26 2 
 32 2  18 x 2  50 x 2  676 
 68 x 2  1700 
 x 2  25; x  5
2) АВ = 15; ВС = 25.
Ответ: 15; 25
Задача 5. Одна из сторон треугольника равна 10, а медианы двух других сторон равны 9 и
12. Найти площадь треугольника.
Решение.
1) Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 :
1,
считая
от
вершины.
Значит
2
CO  CC1 ; CO  8; AO  6; OA1  3 .
3
2)
1
S AOC  S ABC ; S AOC  12  (12  10)(12  8)(12  6) ;
.
3
S AOC  24
(можно лучше, если заметить, что треугольник АОС со сторонами 6, 8 и 10 является прямоугольным, тогда площадь можно найти как половину произведения катетов).
3) S ABC  3  24  72
Ответ: 72 кв.ед.
Задача 6. Медианы треугольника равны 9, 12 и 15. Найти площадь треугольника.
Решение.
1) Найдем площадь треугольника, составленного из медиан.
Sm  18(18  9)(18 12)(18 15) ; Sm  54.
3
4
4
2) S m  S ; S  S m ; S   54  72 .
4
3
3
Ответ: 72 кв.ед.
Задача 7. Площадь ABC равна 60 см2; медиана ВВ1 =15 см, COB1  300 . Найти СО; СС1.
Решение.
1
1
S ABC ; S COB1   60  10 .
6
6
1
1
1
S COB1  CO  OB1  sin 30 ; S COB1   CO  5  ;
2
2
2
4
4 S COB1  5CO; CO  10  8
5
1) SCOB1 
2
3
3) CO  CC1 ; CC1  CO; CC1  12.
3
2
Ответ: 8 см, 12 см.
Задача 8. Точка пересечения медиан прямоугольного треугольника удалена от его катетов
на расстояние 3 см и 4 см. Найдите расстояние от этой точки до гипотенузы.
Решение.
1) КСМО – прямоугольник, значит СМ = 4, КС = 3.
2) CMO
–
прямоугольный:
СО
=
5;
3
3
15
ÑÑ1  CO; ÑÑ1   5  . По свойству медианы
2
2
2
АВ =15.
3) Пусть АС = х; СВ = у.



1
3
3

S AOC   x  4; S AOC  2 x   2 x  y; x  y .
2
2
4

1
3 
SCOB   y  3; SCOB  y 
2
2 
9 2
ACB : x 2  y 2  225;
y  y 2  22; y  12.
4)
16
x9
S AOB  2 x; S AOB  18.
5)
2S
1
36
S AOB  AB  OP; OP  AOB ; OP  ; OP  2,4
2
AB
15
S AOC  SCOB  S AOB
Ответ: 2,4 см
Задача 9. В прямоугольном треугольнике АВС (угол С 900) медианы СС1 и ВВ1 перпендикулярны друг другу. Найти длины этих медиан, если длина третьей медианы АА1 = 3 3 .
Решение.
1) Пусть ОС1 = х; ОВ1= у, тогда СО = 2х; ВО = 2у.
1
1
2) Известно, что АА1 = 3 3 ; но OA1  AA1 ; OA1   3 3  3.
3
3
3) COB - прямоугольный, ОА1 – медиана, проведенная из вершины прямого угла, значит
ОА1 = ½ СВ; СВ = 2 ОА1; СВ = 2 3 .
4) Тогда в COB прямоугольном 4х2 + 4у2 = ( 2 3 )2;
х2 + у2 = 3 (1)
5) B1CB - прямоугольный:
B1C 2  (3 y ) 2  (2 3 ) 2 ; B1C 2  9 y 2  12 .
6) B1OC - прямоугольный: B1C 2  y 2  4 x 2 .
7) Тогда 9 y 2  12 = y 2  4x 2 ; 2у2 = х2 + 3 (2).
8) Из равенства (1) выразим х2 =3 - у2 и подставим в равенство
(2).
2 y 2  3  y 2  3; 3 y 2  6; y 2  2; y  2 , тогда х = 1.
9) Значит ВВ1 = 3у ; ВВ1 = 3 2 ; СС1= 3 х; СС1 = 3.
Ответ: 3 2 ; 3.
С последней задачей работает учитель вместе с учениками.
Задача 10. Существуют ли такие четыре точки пространства А, В, С и Д, что
AB  CD  8; AC  BD  10; AD  BC  13 ?
Решение.
Раз речь у нас идет о пространстве, то данные
точки будем считать вершинами тетраэдра. Вот и нарисуем тетраэдр, у которого все ребра отвечают условию
задачи. А теперь остановимся и порассуждаем.
Естественно, найдем аналогию с планиметрией.
Фигура на плоскости, аналогичная тетраэдру - треугольник. И вы помните, что стороны треугольника не
могут быть любыми отрезками – любая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других. Так
же обстоят дела и с тетраэдром. Откуда мы знаем, что
существует тетраэдр с любыми ребрами? Ясно, что с
любыми не существует. Ведь каждая грань – треугольник, а значит, для его ребер, лежащих в
каждой грани, должно выполняться неравенство треугольника.
Давайте проверим, выполняется ли неравенство треугольника для ребер каждой грани?
(да). Но может быть, есть и другие условия, необходимые для существования тетраэдра с шестью произвольными ребрами?
Поскольку, сегодня речь идет о медианах, естественно хочется использовать их. Итак,
проведем в гранях АВС и ДВС медианы к стороне СВ. Таким образом, мы получим треугольник
АДК из двух медиан и ребра АД. Проверим, существует ли он?
1
1
AK 
2  82  2 10 2  169 ; AK 
159 .
Найдем
длину
АК.
Заметим,
что
2
2
1
1
1
ABC  CDB; AK  DK 
159 . Тогда
159 
159  13 , т.е. 159  169 , что неверно.
2
2
2
Таким образом, такой тетраэдр не существует, то есть, таких точек нет.
Ответ: нет.