 

Вариант 1
1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
1
0
2
 2 y
 dy 
0
f ( x, y )dx   dy
1
0
 f ( x, y)dx .
 y
2. .Вычислить двойной интеграл:
2 2
3 3
2
 12 x y  16 x y dxdy; D : x  1, y   x , y  x .


D
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
3
y  , y  4e x , y  3 , y  4 .
x
4. Найти массу пластинки, ограниченной кривыми, где ( x; y) – поверхностная
плотность:
x 2  y 2  1 , x 2  y 2  4 , x  0 , y  0  x  0, y  0 
x y
.
( x; y )  2
x  y2
5. Вычислить тройной интеграл:
 x dxdydz , где V : y  10 x, y  0, x  1, z  xy, z  0 .
V
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
x 2  y 2  2 , y  x , y  0 , z  0 , z  15 x .
7. Найти массу тела, ограниченного поверхностями, где ( x; y; z ) – плотность:


64 x 2  y 2  z 2 , x 2  y 2  4, y  0, z  0 ( y  0, z  0)
5
( x; y; z )  x 2  y 2 .
4
dl
8. Вычислить 
, где L  отрезок прямой y  2 x  2 , заключенный между
x  2y  5
L
точками A(0;  2) , B(1; 0) .

9. Вычислить


x 2 dy  y 2 dx
, где AB  дуга астроиды x  2 cos 3 t , y  2 sin 3 t от точки
x5  3 y 5
A2; 0  до точки B0; 2  .
10. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой
L, пробегаемой против хода часовой стрелки:
3
AB


 
x 2  y 2 dx  y ln x  x 2  y 2  xy dy , где L – контур прямоугольника с вершинами
L
A3; 2  , B6; 2  , C 6; 4  , D3; 4 .
11. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u ( x; y) .
Найти функцию u( x; y) .
(2 x  3 y 2  1)dx  (2  6 xy )dy .
12. Вычислить длину дуги цепной линии y 
e x  ex
, x  0; 1 .
2
Вариант 2
1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
1
0
0
 y
2
0
 dy  f ( x; y)dx   dy  f ( x; y)dx .
1

2 y
2
2. Вычислить двойной интеграл:
 9 x
2

y 2  48 x 3 y 3 dxdy;
D : x  1, y  x , y   x 2 .
D
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:


y  sin x, y  cos x, x  0  x  0, x   .
4

4. Найти массу пластинки, ограниченной кривыми, где ( x; y ) – поверхностная плотность:
x 2  y 2  9 , x 2  y 2  16 , x  0 , y  0 , ( x  0 , y  0)
( x; y ) 
2x  5 y
.
x2  y2
5. Вычислить тройной интеграл:
4
 x y z
 1  3  4  8  dxdydz ,
V
x y z
V :    1, x  0 , y  0 , z  0 .
3 4 8
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
y  16 2 x , y  2 x , z  0 , x  z  2 .
7. Найти массу тела, ограниченного поверхностями, где ( x; y; z ) – плотность.
x 2  y 2  z 2  4 , x 2  y 2  1 , x  0 , z  0 ( x  0, z  0, x 2  y 2  1)
 x; y; z   4 z .
8. Вычислить
0  t  2 .
9. Вычислить



2  z 2 2 z  x 2  y 2 dl , где L  дуга кривой x  t cos t , y  t sin t , z  t ,
L
 xydx  x
2

 y d y , где L  дуга параболы y  x 2 , расположенная между точками
L
A(0; 0) и B(2; 4) .
10. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой L,
пробегаемой против хода часовой стрелки:
y
2
dx   x  y  dy , где L – контур треугольника с
2
L
вершинами Aa; 0  , Ba; a  , C 0; a  .
11. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u ( x; y ) . Найти
функцию u ( x; y ) .
 2 xy 2

 2x 2 y




dy .

3
dx


5
2 2
2 2


1 x y

1 x y

12. Вычислить массу дуги кривой y  ln x , заключенной между точками с абсциссами x  3 и
x  8 , если плотность дуги в каждой точке равна квадрату абсциссы этой точки.
Вариант 3
1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
1
y
0
0
2
2 y 2
 dy f ( x; y)dx   dy  f ( x; y)dx .
1
0
2. Вычислить двойной интеграл:
2 2
3 3
3
3
 (36 x y  96 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x .
D
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y  20  x 2 , y  8 x .
4. Найти массу пластинки, ограниченной кривыми, где ( x; y) – поверхностная
плотность:
2
2
x  y  1 , x 2  y 2  16 , x  0 , y  0 ( x  0 , y  0)
x y
.
( x; y )  2
x  y2
5. Вычислить тройной интеграл:
2
2
15( y  z ) dxdydz;
V
V : z  x  y, x  y  1 , x  0 , y  0 , z  0.
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
5
3
y  5 x , y  x, z  0, z  5 
x.
3
5
7. Найти массу тела, ограниченного поверхностями, где ( x; y; z ) – плотность:
x 2  y 2  1 , x 2  y 2  2 z , x  0 , y  0 , z  0 ( x  0 , y  0)
( x; y; z )  10 x .
dl
x
8. Вычислить 
, где L  отрезок прямой y   2 , заключенный между точками
x y
2
L
A(0;  2) , B(4; 0) .
9. Вычислить
 x  2 y dx  x  y dy ,
где L  окружность x  2 cost , y  2 sin t при
L
положительном направлении обхода.
10. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой
2
L, пробегаемой против хода часовой стрелки:   x  y  dx  x 2  y 2 dy , где L – контур


L
треугольника с вершинами A(1; 1) , B(6; 2) , C (1; 5) .
11. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u ( x; y) .
Найти функцию u ( x; y) .
1

  cos 2 y  y sin 2 x dx  x sin 2 y  cos 2 x  1 dy .
2

12. Вычислить длину дуги кривой x  2  t 4 4 , y  t 6 6 , ограниченной точками
пересечения ее с осями координат.


Вариант 4
1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
y
1
 dy 
0
2
2 y
1
0
f ( x; y )dx   dy
0
 f ( x; y)dx .
2. Вычислить двойной интеграл:
2 2
3 3
3
3
 18 x y  32 x y dxdy; D : x  1, y  x , y   x .


D
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
x  8  y 2 , x  2 y .
4. Найти массу пластинки, ограниченной кривыми, где ( x; y) – поверхностная
плотность:
x 2  y 2  4 , x 2  y 2  25, x  0 , y  0 ( x  0 , y  0)
2x  3y
.
( x; y )  2
x  y2
5. Вычислить тройной интеграл:
 (3x  4 y)dxdydz;
V
V : y  x , y  0 , x  1 , z  5 ( x 2  y 2 ) , z  0.
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
x  y  2 , y  x , z  12 y , z  0 .
7. Найти массу тела, ограниченного поверхностями, где ( x; y; z ) – плотность:
16 2 2
4
x2  y2 
z , x  y 2  z , x  0 , y  0 ( x  0 , y  0)
49
7
( x, y, z )  80 yz.
8. Вычислить
 x
L
9. Вычислить
2

 y 2 dl , где L  окружность x 2  y 2  4 .
 xydx   y  x dy ,
где L  отрезок прямой y  x , заключенной между
L
точками A(0; 0) и B(1; 1) .
10. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой
L, пробегаемой против хода часовой стрелки:  x 2 ydx  xy 2 dy , где L – окружность
L
x  y  5.
11. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u ( x; y) .
Найти функцию u ( x; y) .
2
2
2
2
( y 2 e xy  3)dx  (2 xye xy  1)dy .
12. Вычислить массу отрезка прямой y  2  x , заключенного между координатными
осями, если линейная плотность в каждой точке пропорциональна квадрату абсциссы в
этой точке, а в точке 2; 0  равна 4.
Вариант 5
1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
1

 2
0
dx

 2 x
2
0
0
1
x
f ( x; y )dy   dx f ( x; y )dy .
2. Вычислить двойной интеграл:
2 2
3 3
2
3
 (27 x y  48 x y )dxdy; D : x  1, y  x , y   x .
D
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
3
y  , y  8e x , y  3 , y  8 .
x
4. Найти массу пластинки, ограниченной кривыми, где ( x; y) – поверхностная
плотность:
x 2  y 2  1 , x 2  y 2  9, x  0 , y  0 ( x  0 , y  0)
x y
.
( x; y )  2
x  y2
5. Вычислить тройной интеграл:
3
 (1  2 x ) dxdydz;
V
V : y  9 x , y  0 , x  1 , z  xy , z  0.
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:4
1
x  20 2 y , x  5 2 y , z  0 , z  y  .
2
7. Найти массу тела, ограниченного поверхностями, где ( x; y; z ) – плотность:
x 2  y 2  z 2  1, x 2  y 2  4 z 2 x  0, y  0 x  0 y  0 z  0
5
x; y; z   x 2  y 2 .
4
8. Вычислить  x dl , где L  отрезок прямой, соединяющий точки A(0; 0) , B(1; 2) .


L
9. Вычислить
 x
2



y  x dx  y 2 x  2 y dy , где L  дуга эллипса x  3 cost , y  2 sin t при
L
положительном направлении обхода.
10. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой
L, пробегаемой против хода часовой стрелки:   x  y dx   x  y dy , где L – треугольник
L
OAB с вершинами O(0; 0) , A(1; 0) , B(1; 1) .
11. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u ( x; y) .
Найти функцию u ( x; y) .
 1

 1


 cos x cos y  3x 2 dx  
 sin x sin y  4 y dy .
x y

x y



F

xi

x

y
j
12. Найти работу силы
при перемещении точечной массы m по дуге
эллипса x 2 16  y 2 9  1.
Вариант 6
1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
1
2
arcsin y
0
0
 dy 
f ( x; y )dx 
1
arccos y
1 dy  f ( x; y)dx .
0
2
2. Вычислить двойной интеграл:
 (18 x
2
y 2  32 x 3 y 3 )dxdy;
D : x  1 , y  3 x , y  x2 .
D
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y
x
1
, y  , x  16 .
2
2x
4. Найти массу пластинки, ограниченной кривыми, где ( x; y ) – поверхностная плотность:
x 2  y 2  9 , x 2  y 2  25, x  0 , y  0 ( x  0 , y  0)
2y  x
.
( x; y )  2
x  y2
5. Вычислить тройной интеграл:
 (27  54 y
3
)dxdydz;
V
V : y  x , y  0 , x  1 , z  xy , z  0.
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
x
5
5
5
y , x  y , z  0 , z  (3  y ) .
2
6
6
7. Найти массу тела, ограниченного поверхностями, где ( x; y; z ) – плотность:
36( x 2  y 2 )  z 2 , x 2  y 2  1 , x  0 , z  0 ( x  0 , z  0)
5
( x, y, z )  ( x 2  y 2 ).
6

y
8. Вычислить 
dl , где L  дуга кардиоиды r  21  cos  , 0    .
2
2
2
L x  y
9. Вычислить
 xydx   y  x dy , где L  дуга параболы
y  x 2 , заключенная между точками A(0; 0)
L
и B(1; 1) .
10. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой L,
xdy  ydx
2
2
, где L – окружность x  y  1 .
2
2
L x  y
11. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u ( x; y) . Найти
функцию u ( x; y) .
пробегаемой против хода часовой стрелки:


x 
y

  ln y  2 x dx   ln x   1dy .
y 
x


12. Вычислить массу дуги кривой r  3sin  ,   0;  4, если плотность в каждой точке
пропорциональна расстоянию до полюса и при    4 равна 3.
Вариант 7
1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
1
2 y
2
0
 dy 
0
f ( x; y )dx   dy
1
y
 f ( x; y)dx .
0
2. Вычислить двойной интеграл:
2 2
3 3
3
 (18 x y  32 x y )dxdy; D : x  1 , y  x , y   x .
D
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
x  5  y 2 , x  4 y .
4. Найти массу пластинки, ограниченной кривыми, где ( x; y) – поверхностная
плотность:
x 2  y 2  4 , x 2  y 2  16, x  0 , y  0 ( x  0 , y  0)
2 y  3x
.
( x; y )  2
x  y2
5. Вычислить тройной интеграл:
 y dxdydz;
V
V : y  15 x , y  0 , x  1 , z  xy , z  0.
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
x 2  y 2  2 , x  y , x  0 , z  0 , z  30 y .
7. Найти массу тела, ограниченного поверхностями, где ( x; y; z ) – плотность:
x 2  y 2  z 2  16 , x 2  y 2  4 , ( x 2  y 2  4)
( x, y, z )  2 z .
8. Вычислить
 x  y dl ,
где L  контур треугольника с вершинами A1; 0  , B(0; 1) ,
L
O(0; 0) .
9. Вычислить
 xy  1dx  x
2
ydy , где L  отрезок прямой от точки A1; 0  до точки
L
B0; 2  .
10. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой
L, пробегаемой против хода часовой стрелки:   x 2 ydx  xy 2 dy , где L – окружность
L
x  y  a , пробегаемая в положительном направлении.
11. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u ( x; y) .
Найти функцию u ( x; y) .
2
e
x y
2
2



 cos x dx  e x  y  sin y dy .
12. Вычислить массу дуги четверти эллипса x 2 4  y 2  1 , лежащей в первом квадранте,
если линейная плотность в каждой ее точке равна произведению координат этой точки.
Вариант 8
1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
1
0
0
 y
 dy 
e
 ln y
1
1
f ( x; y)dx   dy
 f ( x; y)dx .
2. Вычислить двойной интеграл.
 (27 x
2
y 2  48 x 3 y 3 )dxdy; D : x  1 , y  x , y   x 3 .
D
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y
3
3
x,y
, x  9.
2
2x
4. Найти массу пластинки, ограниченной кривыми, где ( x; y ) – поверхностная плотность:
x 2  y 2  9 , x 2  y 2  16, x  0 , y  0 ( x  0 , y  0)
2 y  5x
.
( x; y )  2
x  y2
5. Вычислить тройной интеграл:
 (3x
2
 y 2 ) dxdydz
V
V : z  10 y , x  y  1 , x  0 , y  0 , z  0.
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
x y 2, x  y , z 
12
x , z  0.
5
7. Найти массу тела, ограниченного поверхностями ( x; y; z ) – плотность:
x 2  y 2  4 , x 2  y 2  8 z , x  0 , y  0 , z  0 ( x  0 , y  0)
( x, y, z )  5 x.
8. Вычислить
 y dl ,
где L  дуга астроиды x  cos t , x  sin t , заключенная между точками
3
3
L
A(1; 0) и B(0; 1) .
9. Вычислить
 xydx   y  x dy ,
где L  дуга параболы y  x , заключенной между точками
2
L
A(0; 0) и B(1; 1) .
10. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой L,
пробегаемой против хода часовой стрелки:
 x  y dx  x  y dy , где L – окружность x
2
 y2  4.
L
11. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u ( x; y ) . Найти
функцию u ( x; y ) .




y
x



 2 x dx 
 6 y dy .
 1 x2 y2

 1 x2 y2





12. Вычислить работу силы F   x  y i  xj при перемещении материальной точки вдоль контура
квадрата, образованного прямыми x  1 , y  1.
Вариант 9
1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
x2
1
2 x 2
0
 dx  f ( x; y )dy   dx  f ( x; y)dy .
 2
1
0
0
2. Вычислить двойной интеграл:
2 2
2
 (4 xy  3x y )dxdy; D : x  1 , y  x , y   x .
D
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y  32  x 2 , y  4 x .
4. Найти массу пластинки, ограниченной кривыми, где ( x; y) – поверхностная
плотность:
x 2  y 2  1, x 2  y 2  16, x  0 , y  0 ( x  0 , y  0)
x  3y
.
( x; y )  2
x  y2
5. Вычислить тройной интеграл:
 (15 x  30 z ) dxdydz
V
V : z  x 2  3 y 2 , z  0 , y  x , y  0 , x  1.
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
1
y  17 2 x , y  2 2 x , z  0 , x  z  .
2
7. Найти массу тела, ограниченного поверхностями, где ( x; y; z ) – плотность
4 2 2
2
x2  y2 
z , x  y 2  z x  0, y  0  x  0 y  0
25
5
( x; y )  28 xz.
dl
8. Вычислить 
, где L  отрезок прямой, соединяющий точки A(0; 0) ,
2
2
L 8 x  y
B(2; 2) .
9. Вычислить  2 xydx  x 2 dy , где L  ломаная OBA; O(0; 0) , A(2; 1) , B(2; 0) .
L
10. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой
2
L, пробегаемой против хода часовой стрелки:  y 2 dx   x  y  dy , где L – контур
L
треугольника ABC с вершинами A(2; 0) , B(2; 2) , C (0; 2) .
11. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u ( x; y) .
Найти функцию u ( x; y) .
e



 xye xy  2 dx  x 2 e xy  1 dy .
12. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды x  3t  sin t  , y  31  cos t  .
xy
Вариант 10
1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
 3
0
0
 dx  f ( x; y)dy  
 2`
0
dx
 3
 4 x 2
 f ( x; y)dy .
4 x 2  2
2. Вычислить двойной интеграл:
2 2
2
 (12 xy  3x y )dxdy; D : x  1 , y  x , y   x .
D
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
2
y  , y  5e x , y  2, y  5 .
x
4. Найти массу пластинки, ограниченной кривыми, где ( x; y) – поверхностная
плотность:
x 2  y 2  1, x 2  y 2  4, x  0 , y  0 ( x  0 , y  0)
x  2y
.
( x; y )  2
x  y2
5. Вычислить тройной интеграл:
3
 (4  8z ) dxdydz
V
V : y  x , y  0 , x  1 , z  xy , z  0.
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
5
5
5
y
x , y  x , z  0 , z  (3  x ) .
3
9
9
7. Найти массу тела, ограниченного поверхностями, где ( x; y; z ) – плотность:
x 2  y 2  z 2  4 , x 2  y 2  z 2 , x  0 , y  0 , z  0 ( x  0 , y  0 , z  0)
( x, y, z )  6 z.
 x
8. Вычислить
0  t  2 .
9. Вычислить
2

 y 2  z 2 dl , где L  дуга кривой x  cos t , y  sin t , z  3t ,
L
 xydx   y  x dy , где
L  дуга кубической параболы y  x 3 , заключенной
L
между точками A(0; 0) и B(1; 1) .
10. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой
2
L, пробегаемой против хода часовой стрелки:  y 2 dx   x  y  dy , где L – контур
L
треугольника с вершинами Aa; 0  , Ba; a  , C 0; a  .
11. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u ( x; y) .
Найти функцию u ( x; y) .
ye



 y 2 dx  xe xy  2 xy dy .
12. Вычислить работу силы F   x  y i  xj при перемещении материальной точки вдоль
окружности x  2 cost , x  2 sin t по ходу часовой стрелки.
xy
Вариант 11
1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
1
1
 dx 
0
1 x
2
e
1
1
ln x
f ( x; y)dy   dx  f ( x; y)dy .
2. Вычислить двойной интеграл:
2 2
3
3
 (8 xy  9 x y )dxdy; D : x  1 , y  x , y   x .
D
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
3
y  3 x , y  , x  4.
x
4. Найти массу пластинки, ограниченной кривыми, где ( x; y) – поверхностная
плотность:
x 2  y 2  1, x 2  y 2  9, x  0 , y  0  x  0, y  0
2x  y
.
( x; y )  2
x  y2
5. Вычислить тройной интеграл:
3
 (1  2 x ) dxdydz;
V
V : y  36 x , y  0 , x  1 , z  xy , z  0.
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
15
x 2  y 2  8 , y  2x , y  0 , z  0 , z  x .
11
7. Найти массу тела, ограниченного поверхностями, где ( x; y; z ) – плотность:
25( x 2  y 2 )  z 2 , x 2  y 2  4 , x  0 , y  0 , z  0 ( x  0 , y  0 , z  0)
( x, y, z )  2( x 2  y 2 ).
8. Вычислить
 y dl , где
L  дуга астроиды дуга астроиды x  cos 3 t , y  sin 3 t от точки
L
A(1; 0) до точки B(0; 1) .
9. Вычислить
 x
2

 y 2 dx  xydy , где L  отрезок прямой AB ; A(1; 1) , B(3; 4) .
L
10. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой
2
L, пробегаемой против хода часовой стрелки:   x  y  dx  x 2  y 2 dy , где L – контур


L
треугольника с вершинами A(1; 1) , B(6; 2) , C (1; 5) .
11. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u ( x; y) .
Найти функцию u ( x; y) .
 y cos( xy )  2 x  3 y dx  x cos( xy )  3x  4 y dy .
12. Вычислить работу силы F  yi   x  y  j при перемещении материальной точки из
начала координат в точку 1; 1 по параболе y  x 2 .
Вариант 12
1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
3
1
y
 dy 
0
2
2 y
1
0
f ( x; y )dx   dy
0
 f ( x; y)dx .
2. Вычислить двойной интеграл:
2 2
3
3
 (24 xy  18 x y )dxdy; D : x  1 , y  x , y   x .
D
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
25
5
y
 x2 , y  x  .
4
2
4. Найти массу пластинки, ограниченной кривыми, где ( x; y) – поверхностная
плотность:
x 2  y 2  1, x 2  y 2  25, x  0 , y  0  x  0, y  0 
x  4y
.
( x; y )  2
x  y2
5. Вычислить тройной интеграл:
 21xz dxdydz
V
V : y  x , y  0 , x  2 , z  xy , z  0.
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
x  y  4 , y  2x , z  3y , z  0 .
7. Найти массу тела, ограниченного поверхностями, где ( x; y; z ) – плотность:
x 2  y 2  z 2  9 , x 2  y 2  4 , y  0 ( x 2  y 2  4 , y  0)
( x, y, z )  z .
8. Вычислить  arctg
L
9. Вычислить
y

dl , где L  дуга кардиоиды r  1  cos, 0    .
x
2
 ( x  y)dx  x  y dy , где
L  дуга параболы y  x 2 , заключенная между
L
точками A(1; 1) и B(1; 1) .
10. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой
L, пробегаемой против хода часовой стрелки:  x 2 ydx  xy 2 dy , где L – окружность
L
x  y  5.
11. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u ( x; y) .
Найти функцию u ( x; y) .
2
2
y sin( x  y)  xy cos( x  y)  9 x dx  x sin( x  y)  xy cos( x  y)  2 y dy .
2
12. Вычислить работу силы F   x  y i  2 yj при перемещении материальной точки из
начала координат в точку 1;  3 по параболе y  3x 2 .
Вариант 13
1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
 / 4 sin y
 / 2 cos y
 dy  f ( x; y)dx   dy  f ( x; y)dx .
0
0
/ 4 0
2. Вычислить двойной интеграл:
2 2
2
3
 (12 xy  27 x y )dxdy; D : x  1 , y  x , y   x .
D
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1
y  x , y  , x  16 .
x
4. Найти массу пластинки, ограниченной кривыми, где ( x; y) – поверхностная
плотность:
x 2  y 2  4 , x 2  y 2  16, x  0 , y  0 ( x  0 , y  0)
3x  y
.
( x; y )  2
x  y2
5. Вычислить тройной интеграл:
2
2
 ( x  3 y ) dxdydz
V
V : z  10 x , x  y  1 , x  0 , y  0 , z  0.
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
5
5
5
x
y , x  y , z  0 , z  (3  y ) .
6
18
18
7. Найти массу тела, ограниченного поверхностями, где ( x; y; z ) – плотность:
x 2  y 2  1 , x 2  y 2  6 z , x  0 , y  0 , z  0 ( x  0 , y  0)
( x, y, z )  90 y.
8. Вычислить
 4
3

x  3 y dl , где L  отрезок прямой AB : A(1; 0) , B(0; 1) .
L
9. Вычислить  cos ydx  sin xdy , где L  отрезок прямой AB , A(2;  2) , B(2; 2) .
L
10. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой
L, пробегаемой против хода часовой стрелки:   x  y dx   x  y dy , где L – окружность
x  1
L
  y  1  4 .
11. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u ( x; y) .
Найти функцию u ( x; y) .
2
2
5 y  cos x  6 xy dx  5x  6 x y dy .
2
2
12. Вычислить моменты инерции относительно осей координат отрезка однородной
прямой 2 x  y  1 , лежащего между этими осями.
Вариант 14
1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
1
0
0
2
( 2  x )
1
0
 dx  f ( x; y)dy   dx  f ( x; y)dy .
3
x
2. Вычислить двойной интеграл:
2 2
2
3
 (8 xy  18 x y )dxdy; D : x  1 , y  x , y   x .
D
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
2
y  , y  7e x , y  2 , y  7 .
x
4. Найти массу пластинки, ограниченной кривыми, где ( x; y) – поверхностная
плотность:
x 2  y 2  4 , x 2  y 2  9, x  0 , y  0 ( x  0 , y  0)
y  4x
.
( x; y )  2
x  y2
5. Вычислить тройной интеграл:
 (60 y  90 z ) dxdydz
V
V : y  x , y  0 , x  1 , z  x 2  y 2 , z  0.
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
x  19 2 y , x  4 2 y , z  0 , z  y  2 .
7. Найти массу тела, ограниченного поверхностями, где ( x; y; z ) – плотность:
1 2 2
z
x2  y2 
z , x  y 2  , x  0 , y  0 ( x  0 , y  0)
25
5
( x, y, z )  14 yz.
8. Вычислить
L
9. Вычислить
2 y dl , где L  первая арка циклоиды x  2t  sin t  , y  21  cos t .

 ( x  y) dx  x  y  dy ,
где L  отрезок прямой, соединяющий точки
L
A(2; 3) и B(3; 5) .
10. Убедиться, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и вычислить его
по отрезку, соединяющий точки 2; 3 и 3; 4 :  6 xy 2  4 x 3 dx  6 x 2 y  3 y 2 dy .




AB
11. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u ( x; y) .
Найти функцию u ( x; y) .
y e

 3 dx  e xy 1  xy dy .
12. Вычислить координаты центра масс однородной дуги одной арки циклоиды
x  t  sin t , y  1 cost .
2 xy
Вариант 15
1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
1
y
e
1
1
ln y
 dy  f ( x; y)dx   dy  f ( x; y)dx .
0
0
2. Вычислить двойной интеграл:
5 5
2
3
 ( xy  9 x y )dxdy; D : x  1 , y  x , y   x .
D
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
x  27  y 2 , x  6 y .
4. Найти массу пластинки, ограниченной кривыми, где ( x; y) – поверхностная
плотность:
x 2  y 2  4 , x 2  y 2  9, x  0 , y  0 ( x  0 , y  0)
y  2x
.
( x; y )  2
x  y2
5. Вычислить тройной интеграл:
5
 10
  3 x  3 dxdydz
V
V : y  9 x , y  0 , x  1 , z  xy , z  0.
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
30
x2  y2  8 , x  2 y , x  0 , z 
y , z  0.
11
7. Найти массу тела, ограниченного поверхностями, где ( x; y; z ) – плотность:
x 2  y 2  z 2  4 , x 2  y 2  9 z 2 , x  0 , y  0 ( x  0 , y  0 , z  0)
( x, y, z )  10 z.
dl
8. Вычислить 
, где L  отрезок прямой, заключенный между точками A(0; 4) ,
L 5 x  y 
B(4; 0) .
ydx  xdy
9. Вычислить  2
, где L  отрезок прямой AB ; A(1; 2) , B(3; 6) .
2
x

y
L
10. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой
xdy  ydx
L, пробегаемой против хода часовой стрелки:  2
, где L – окружность x 2  y 2  1 .
2
L x  y
11. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u ( x; y) .
Найти функцию u ( x; y) .
1  cos( xy ) ydx  1  cos( xy )xdy .
12. Вычислить моменты инерции относительно начала координат отрезка прямой,
заключенного между точками A2; 0  и B0; 1 , если линейная плотность в каждой его
точке равна 1.
Вариант 16
1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
1
0
2
0
0
 y
1
 2 y
 dy  f ( x; y)dx   dy  f ( x; y)dx .
2. Вычислить двойной интеграл:
3 3
2
 (24 xy  48 x y )dxdy; D : x  1 , y  x , y   x .
D
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y  3 x , y  3 , x  4.
2
2x
4. Найти массу пластинки, ограниченной кривыми, где ( x; y) – поверхностная
плотность:
x 2  y 2  4 , x 2  y 2  36, x  0 , y  0 ( x  0 , y  0)
x  2y
.
( x; y )  2
x  y2
5. Вычислить тройной интеграл:
 (9  18 z) dxdydz
V
V : y  4 x , y  0 , x  1 , z  xy , z  0.
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
3
x2  y2  4 , x  2 y , z  x , z  0.
5
7. Найти массу тела, ограниченного поверхностями, где ( x; y; z ) – плотность:
9( x 2  y 2 )  z 2 , x 2  y 2  4 , x  0 , y  0 , z  0 ( x  0 , y  0 , z  0)
5
( x, y, z )  ( x 2  y 2 ).
3
dl
8. Вычислить 
, где L  отрезок прямой, соединяющий точки A(0; 0) и
2
2
L x  y 4
B(1; 2) .
9. Вычислить
(y  x
2
) dx  2 x  y  dy , где L  дуга параболы y  2 x  x 2 , заключенная
L
между точками A(1; 1) и B(3;  3) .
10. Будет ли криволинейный интеграл
 x
2

 y 2  xdx  ydy  , где L – замкнутый контур,
L
равен нулю? Подтвердить полученное заключение непосредственным вычислением по
контуру окружности x 2  y 2  1 .
11. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u ( x; y) .
Найти функцию u ( x; y) .
 y  sin x dx  x  2 y cos y 2 dy .
12. Вычислить моменты инерции относительно координатных осей дуги четверти
окружности x  2 cost , y  2 sin t , лежащей в первом квадранте.
Вариант 17
1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
1
0
2
 dy  f ( x; y)dx 

0
1
y
0
 f ( x; y)dx .
dy
 2 y 2
2. Вычислить двойной интеграл:
3 3
2
 (6 xy  24 x y )dxdy; D : x  1 , y   x , y  x .
D
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y  sin x , y  cos x , x  0 , ( x  0) .
4. Найти массу пластинки, ограниченной кривыми, где ( x; y) – поверхностная
плотность:
x 2  y 2  1, x 2  y 2  49, x  0 , y  0 ( x  0 , y  0)
3x  4 y
.
( x; y )  2
x  y2
5. Вычислить тройной интеграл:
2
 3 y dxdydz
V
V : y  2 x , y  0 , x  2 , z  xy , z  0.
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
y  6 3x , y  3x , z  0 , x  z  3 .
7. Найти массу тела, ограниченного поверхностями, где ( x; y; z ) – плотность:
x 2  y 2  z 2  4 , x 2  y 2  1 ( x 2  y 2  1)
( x, y, z )  6 z .
 y dl ,
8. Вычислить
где L  дуга параболы y 2 
L
B( 35 6 ; 35 3) .
9. Вычислить
 x
2


2
x между точками A(0; 0) ,
3

 y 2 dx  x  y 2 dy , где L  ломаная ABC ; A(1; 2) , B(3; 2) , C (3; 5) .
L
10. Применяя формулу Грина, показать, что криволинейный интеграл
2
 6 xy  5 y dx  3x  5 x dy по любому замкнутому контуру равен нулю. Проверить


L
данное заключение, вычислив этот интеграл по контуру, ограниченному линиями:
y  0, x  3, y  x .
11. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u ( x; y) .
Найти функцию u ( x; y) .

1 
1
 sin 2 x  2 dx  2 dy .
x y
xy

12. Вычислить работу силы F  xyi   x  y  j перемещении материальной точки по
прямой y  x от точки (0; 0) до точки (1; 1)
Вариант 18
1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
1
y2
2
2 y
0
0
1
0
 dy  f ( x; y)dx   dy  f ( x; y)dx .
2. Вычислить двойной интеграл:
3 3
3
3
 (4 xy  16 x y )dxdy; D : x  1 , y  x , y   x .
D
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1
y  , y  6e x , y  1, y  6 .
x
4. Найти массу пластинки, ограниченной кривыми, где ( x; y) – поверхностная
плотность:
x 2  y 2  25 , x 2  y 2  81, x  0 , y  0 ( x  0 , y  0)
2x  4 y
.
( x; y )  2
x  y2
5. Вычислить тройной интеграл:
2
 x dxdydz
V
V : z  10( x  3 y ) , x  y  1 , x  0 , y  0 , z  0.
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
5
x 2  y 2  18, y  3x , y  0, z  0, z  x .
11
7. Найти массу тела, ограниченного поверхностями, где ( x; y; z ) – плотность:
x 2  y 2  1 , x 2  y 2  z , x  0 , y  0 , z  0 ( x  0 , y  0)
( x, y, z )  10 y.
y
8. Вычислить 
x
L
9. Вычислить
2
 (x

y 
 x 2 xy
2
2
2 2
dl , где L  дуга кривой r  9 sin 2 , 0   

.
4
 2 xy )dx  ( y 2 2 xy )dy , где L  дуга параболы y  x 2 , заключенная
L
между точками A(1; 1) и B(2; 4) .
10. Проверить выполнимость формулы Грина для интеграла
 x  y dx  2 xdy , где L –
L
контур треугольника со сторонами x  0, y  0, x  y  a .
11. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u ( x; y) .
Найти функцию u ( x; y) .
x y
yx
dx  2 dy .
xy
y
12. Вычислить моменты инерции относительно осей координат однородного отрезка
прямой y  2 x , заключенного между точками 1; 2  и 2; 4  .
Вариант 19
1 Изменить порядок интегрирования:
3
0
 dx 
2
f  x; y  dy   dx
4 x 2  2
0
3
0
 f x; y  dy .
 4 x 2
2. Вычислить двойной интеграл:
3 3
3
3
 4 xy  16 x y dxdy; D : x  1 , y  x , y   x .


D
3. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми:
3
y  3 x , y  , x  9.
x
4. Найти массу пластинки, ограниченной кривыми, где ( x; y) – поверхностная
плотность:
x 2  y 2  9 , x 2  y 2  64, x  0 , y  0 ( x  0 , y  0)
3x  y
.
( x; y )  2
x  y2
5. Вычислить тройной интеграл
 (8 y  12 z )dxdydz
V
V : y  x , y  0 , x  1 , z  3x 2  2 y 2 , z  0
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
x  y  6 , y  3x , z  4 y , z  0
7. Найти массу тела, ограниченного поверхностями, где ( x; y; z ) – плотность:
z2 2
z
x y 
, x  y 2  , x  0 , y  0 ( x  0 , y  0)
49
7
( x, y, z )  10 xz.
2
2
8. Вычислить
 x  y dl , где
L  контур треугольника с вершинами A(1; 0) , B(0; 1) ,
L
O(0; 0) .
9. Вычислить  xy 2 dx  yz 2 dy  x 2 zdz , где L  отрезок прямой OB ; O(0; 0; 0) , B(2; 4; 5) .
L
10. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой
L, пробегаемой против хода часовой стрелки:


 
x 2  y 2 dx  y ln x  x 2  y 2  xy dy , где
L
L – контур прямоугольника с вершинами A3; 2  , B6; 2  , C 6; 4  , D3; 4 .
11. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u ( x; y) .
Найти функцию u ( x; y) .
20 x
3



 21x 2 y  2 y dx  3  2 x  7 x 3 dy .
12. Найти координаты центра масс четверти однородной окружности x 2  y 2  a 2 ,
лежащей в первом квадранте.
Вариант 20
1. Изменить порядок интегрирования:
1
0
0
2
( 2 y )
1
0
 dy  f x; y dx   dy  f x; y dx .
3
y
2. Вычислить двойной интеграл:
3 3
2
3
 44 xy  16 x y dxdy; D : x  1 , y  x , y   x .


D
3. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми:
y  11  x 2 , y  10 x .
4. Найти массу пластинки, ограниченной кривыми, где ( x; y) – поверхностная
плотность:
2
2
x  y  4 , x 2  y 2  25, x  0 , y  0 ( x  0 , y  0)
7x  4 y
.
( x; y )  2
x  y2
5. Вычислить тройной интеграл:
 63(1  2 y )dxdydz
V
V : y  x , y  0 , x  1 , z  xy , z  0.
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
x  7 3y , x  2 3y , z  0 , z  y  3
7. Найти массу тела, ограниченного поверхностями, где ( x; y; z ) – плотность:
x 2  y 2  z 2  4, x 2  y 2  4 z 2 , x  0, y  0  x  0, y  0, z  0
( x, y, z )  10 z .
8. Вычислить
 xydl ,
где L  контур прямоугольника с вершинами O(0; 0) , A(4; 0) ,
L
B(4; 2) , C (0; 2) .
y
9. Вычислить  dx  xdy , где L  дуга линии y  ln x от точки A(1; 0) до точки B(e; 1) .
x
L
10. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой
2
L, пробегаемой против хода часовой стрелки:  y 2 dx   x  y  dy , где L – контур
L
треугольника ABC с вершинами A(2; 0) , B(2; 2) , C (0; 2) .
11. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u ( x; y) .
Найти функцию u ( x; y) .
ye



 2 sin x dx  xe xy  cos y dy .
12. Вычислить момент инерции относительно начала координат контура квадрата со
сторонами x  a , y  a . Плотность квадрата считать постоянной.
xy
Вариант 21
1. Изменить порядок интегрирования:
1
y
e
1
0
0
1
ln y
 dy f x; y dx   dy  f x; y dx .
2. Вычислить двойной интеграл:
3 3
2
3
 4 xy  176 x y dxdy; D : x  1 , y  x , y   x .


D
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
2
y  , y  6e X , y  2 , y  6 .
x
4. Найти массу пластинки, ограниченной кривыми, где ( x; y) – поверхностная
плотность:
2
2
x  y  1, x 2  y 2  36, x  0 , y  0 ( x  0 , y  0)
5 y  2x
.
( x; y )  2
x  y2
5. Вычислить тройной интеграл:
 ( x  y)dxdydz
V
V : y  x , y  0 , x  1 , z  30 x 2  60 y 2 , z  0.
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
10
x 2  y 2  18 , x  3 y , x  0 , z  0 , z  y .
11
7. Найти массу тела, ограниченного поверхностями, где ( x; y; z ) – плотность:


16 x 2  y 2  z 2 , x 2  y 2  1 , x  0 , y  0 , z  0 ( x  0 , y  0 , z  0)


( x; y; z )  5 x 2  y 2 .
8. Вычислить
 xydl ,
где L  контур прямоугольника с вершинами в точках O(0; 0) ,
L
A(5; 0) , B(5; 3) , C (0; 3) .
9. Вычислить
 xdy  ydx , где
L  дуга астроиды x  2 cos 3 t , y  2 sin 3 t от точки A(2; 0)
L
до точки B(0; 2) .
10. Выяснить, будет ли криволинейный интеграл
 6 xy  4 y
2



 5 y dx  3x 2  8 xy  5 x dy
AB
зависеть от формы пути интегрирования и вычислить этот интеграл по пути,
соединяющего начало координат с точкой A(2; 3) .
11. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u ( x; y) .
Найти функцию u ( x; y) .




y e xy  5 dx  x e xy  5 dy .
12. Вычислить координаты центра масс однородной полуокружности x 2  y 2  4 ,
симметричной относительно оси Ox .