1.1 Определение первообразной функции 1.2 Неопределенный интеграл и его геометрический смысл

Тема 1 Неопределенный интеграл
Практическое занятие 1 Первообразная и неопределенный интеграл
1.1 Определение первообразной функции
1.2 Неопределенный интеграл и его геометрический смысл
1.3 Основные свойства неопределенного интеграла
1.4 Таблица неопределенных интегралов
1.1 Определение первообразной функции
Основной задачей дифференциального исчисления является
нахождение производной f  x  или дифференциала df  f x dx
функции f  x  . В интегральном исчислении решается обратная
задача: по заданной функции f  x  требуется найти такую функцию F  x  , что F x   f x  .
Таким образом, основной задачей интегрального исчисления
является восстановление функции F  x  по известной производной или дифференциалу этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике,
физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей,
объемов, центров тяжести и т. д.
Функция F  x  , x  X  R , называется первообразной для
функции f  x  на множестве X , если она дифференцируема для
любого x  X и имеет место соотношение:
F x   f x  или dF x   f x dx .
Любая непрерывная на множестве X функция f  x  имеет на
этом отрезке первообразную F  x  .
Если F  x  – некоторая первообразная функции f  x  на множестве X , то все первообразные этой функции определяются
выражением
F x   C ,
где C – произвольная постоянная.
5
1.2 Неопределенный интеграл и его геометрический смысл
Операция отыскания первообразной F  x  функции f  x 
называется интегрированием.
Совокупность F x   C всех первообразных функции f  x  на
множестве X называется неопределенным интегралом и обозначается
 f xdx F x  C .
Выражение f  x dx называется подынтегральным выражением,
f  x  – подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования, а C – постоянной интегрирования.
Неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен подынтегральному выражению, а производная – подынтегральной функции.
С геометрической точки зрения неопределенный интеграл
представляет собой семейство кривых y  F x   C ( C – параметр), обладающих следующим свойством: все касательные к
кривым в точках с абсциссой x  x0 параллельны между собой:
F x  C   F x0   f x0  .
x  x0
На рисунке 1.1 изображен неопределенный интеграл x 2  C
от функции f x   2 x :
 2xdx  x
2
C ,


который представляет собой семейство парабол y  x 2  C .
Рисунок 1.1 – Интегральные кривые
6
 F  x  C 
Кривые семейства
 F  x  C 
называются интегральными
кривыми. Они не пересекаются между собой и не касаются друг
друга. Через каждую точку плоскости проходит только одна интегральная кривая. Все интегральные кривые получаются одна
из другой параллельным переносом вдоль оси Oy .
1.3 Основные свойства неопределенного интеграла
Неопределенный интеграл обладает свойствами:
– производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал от неопределенного интеграла
равен подынтегральному выражению:

f x dx  f x  ,


d  f x dx  f x dx ;
– неопределенный интеграл от дифференциала некоторой
функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
 dFx  F x  C ;
– постоянный множитель a  R , a  0 , можно выносить за
знак неопределенного интеграла:
af x dx  a f x dx ;


– неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от
этих функций:
  f1  x   ...  fn  x   dx   f1  x  dx  ...   fn  x dx ;
– (инвариантность формул интегрирования) любая формула
интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:
 f xdx  F x  C
или
 f u du  F u   C ,
где u – дифференцируемая функция.
Так как интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, то большинство из приводимых формул может быть
7
получено обращением соответствующих формул дифференцирования.
1.4 Таблица неопределенных интегралов
Каждая из нижеследующих формул верна на каждом промежутке, принадлежащем области определения подынтегральной
функции:
u n 1
u n du 
 C n  1 .
1
n 1
au
a u du 
 C a  0, a  1 .
2
ln a
3
eu du  eu C .



4
5
6
7
8
9
10
11
du
 u  ln u  C .
 sinudu  cosu  C .
 cosudu  sinu  C .
du

 cos u  tgu  C , x  2   n , n  Z .
2
du
 sin u  ctgu  C , x   n , n  Z .
 shudu  chu  C .
 chudu  shu  C .
du
 ch u  thu  C .
2
2
du
12
 sh u  cthu  C .
13
u
14

2
du
1
u
 arctg  C , a  0 .
2
a
a
a
du
1
a u

ln
C , a  0.
2
2
2a a  u
u a
2
8
15

du
u a
du
2
2
 ln u  u 2  a 2  C , u  a , a  0 .
u
 arcsin  C , u  a , a  0 .
a
a u
u 2
a2
u 2  a 2 du 
u  a2 
ln u  u 2  a 2  C , a  0
17
2
2
u
a2
u
a 2  u 2 du 
a2  u2 
arcsin  C , a  0
18
2
2
a
Некоторые из приведенных формул таблицы интегралов, не
имеющие аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их правых частей.
Если первообразная F  x  функция f  x  является элементар16

2
2


ной функцией, то говорят, что интеграл
 f xdx выражается в
элементарных функциях или функция f  x  интегрируема в конечном виде. Однако не всякий интеграл от элементарной функции выражается в элементарных функциях. Используя основные
правила интегрирования, можно находить интегралы от более
сложных функций.
В отличие от дифференциального исчисления, где, пользуясь
таблицей производных, можно найти производную или дифференциал любой заданной функции, в интегральном исчислении
нет общих приемов вычисления неопределенных интегралов, а
разработаны лишь частные методы, позволяющие свести данный
интеграл к табличному.
Вопросы для самоконтроля
1 Сформулируйте определение первообразной функции и перечислите свойства первообразной.
2 Приведите примеры функций, имеющих и не имеющих
первообразных.
3 Приведите примеры двух различных первообразных для
одной и той же функции f  x  .
4 Имеет ли функция
9
1 при x  0,
f ( x)  
 2 при x  0
первообразную?
5 Найдите первообразную для функции f x   sin x , которая в
точке x 

принимает значение, равное 10.
2
6 Известно, что две первообразные для функции f x   e x в
точке x  1 отличаются на 2. На сколько отличаются эти же первообразные в точке x  100 ?
1
7 График какой первообразной для функции f ( x) 
1  x2
проходит через точку с координатами 1;2  ?
8 Сформулируйте определение неопределенного интеграла.
9 В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла?
10 Перечислите свойства неопределенного интеграла.
Решение типовых примеров
1 Используя основные свойства неопределенного интеграла,
вычислить интегралы:
а)  2 x  32 x dx ;
д)  (1  x )3 dx ;
б)  tg 2 xdx ;
е)  cos 2
2
x
x

в)   sin  cos  dx ;
2
2

4
3
3x  2 x  5 x 2  7 x  8
г) 
dx
x2
Р е ш е н и е . а) имеем:
ж)
x2
 1  x2 dx ;
и)

x
2x
2
x
 2  3 dx    2  3  dx  18 dx 
x
10
x
dx ;
2
1  sin 2xdx .
18x
C .
ln18
б) имеем:


1
dx
 tg xdx   cos x  1dx  cos x   dx  tgx  x  C .
2
2
2
2
x
x
x
x
x
 x

в) имеем   sin  cos  dx    sin 2  2sin cos  cos 2  dx 
2
2
2
2
2
 2

 1  sin x dx  dx  sin xdx  x  cosx  C .



г) имеем:
3x 4  2 x3  5 x 2  7 x  8
7 8 

dx   3x2  2 x  5   2  dx 
2

x
x x 

dx
dx
 3 x 2 dx  2 xdx  5 dx  7
8 2 
x
x





x3
x2
x 21
 2
 5 x  7  ln x  8 
C 
3
2
 2 1
8
 x 3  x 2  5x  7 ln x   C .
x
3
д) имеем: (1  x ) dx  1  3 x  3x  x 3 dx 


 3


3


 dx  3

x dx  3 xdx 
 x  2x x 
е) имеем:

3
x 2 dx 
5
x2
x2 x 2
x  3
 3 
C 
3
5
2
2
2
3 2 2 2
x  x x C .
2
5
 cos
2
x
1  cos x
1
1
dx  
dx   dx   cos xdx 
2
2
2
2
1
1
x  sin x  C .
2
2
x2
x2  1  1
1 

dx

dx     1 
ж) имеем: 
dx 
2
2

1 x
1 x
1  x2 


11
1 1 x
  x  ln
C.
2 1 x
и) имеем:


1  sin 2 x dx 

sin 2 x  2 sin x cos x  cos 2 x dx 
 sin x  cos x  dx   sin x  cos x dx 
2
 sin x  cos x   sgn cos x  sin x   C .
Задания для аудиторной работы
1 Используя основные правила интегрирования и таблицу интегралов, вычислить следующие неопределенные интегралы:
а)

1  x  dx ;
3
x

4 
ж)   3 x 
 dx ;
3 2
x 


2 
dx ;
и)  x 
x

x
к) sin 2 dx ;
2
2
x
л)
dx ;
2
x 1
2  sin 2 x
м) 
dx ;
sin 2 x
2
5
1 
1 2
б)   3  4  7 dx ;
x
x 
x x


6 x 4  5 x 4  4 x 3  7 x 2  9 x  11
dx ;
x2
x4
г)
dx ;
x2 1
3
dx ;
д)
4  x2
dx
е)
;
н) th 2 xdx .
2
9 x
2 Доказать, что функция f x   sgn x не имеет первообразной
на любом промежутке, содержащем точку x  0 .
в)







12
Задания для домашней работы
1 Используя основные правила интегрирования и таблицу интегралов, вычислить следующие неопределенные интегралы:

x 1
2  x 
dx ;
dx ;
а)
и) 2 x 1 
 4 3
x
x


2
x

3
dx ;
б) ( x 4  1) x 3dx ;
к)
3x  2
 4
9 
x
x

dx ;
в) (cos  sin ) 2 dx ;
л) 

2
2
2
1  x 2 
 1 x
dx
г)
;
м)  ctg2 xdx ;
2
16  x







x2  9
dx ;
x2  8
dx
е)
;
25  x 2

2
ж)  5 x 4 

5 3
x

д)


н) 5 x 7 2 x 24 x dx ;

о)  sin( x  3)dx ;


dx ;


п)
13

dx
x2  9
Практическое занятие 2 Общие методы интегрирования
2.1 Непосредственное интегрирование
2.2 Метод замены переменной (подстановка)
2.3 Метод интегрирования по частям
2.1 Непосредственное интегрирование
Вычисление интегралов, основанное на приведении подынтегрального выражения к табличной форме и использовании
свойств неопределенного интеграла, называется непосредственным интегрированием.
2.2 Метод замены переменной (подстановка)
Пусть требуется вычислить интеграл f x dx , который не

является табличным.
Т е о р е м а 1 Пусть функция x   t  определена и дифференцируема на некотором множестве T . И пусть X – множество значений функции x   t  , на котором определена функция f  x  . Тогда если на множестве X функция f  x  имеет
первообразную, то на множестве T справедлива формула замены переменной:
(2.1)
f x dx  f  t  t dt .


Суть метода замены переменной состоит в том, что в интеграле f x dx переменную x заменяют переменной t по фор-

муле x   t  , учитывая dx   t dt .
Очень часто при вычислении интегралов пользуются приемом «подведения» подынтегральной функции под знак дифференциала. По определению дифференциала функции имеем
 x dx  d  x  . Переход от левой части этого равенства к правой называют «подведением» множителя  x  под знак дифференциала. Пусть требуется найти интеграл вида
f  x  x dx .

14
Внесем в этом интеграле множитель  x  под знак дифференциала, а затем выполним подстановку  x   u
 f xxdx   f xd x   f u du .
Если интеграл  f u du – табличный, его вычисляют непосредственным интегрированием.
2.3 Метод интегрирования по частям
Вычисление некоторых типов неопределенных интегралов
основывается на теореме 2.
Т е о р е м а 2 Пусть функции u x  и v  x  – две дифференцируемые функции переменной x на промежутке X . И пусть
функция u ' x vx  имеет первообразную на этом промежутке.
Тогда функция v ' x u x  также имеет производную и справедлива формула интегрирования по частям:
(2.2)
udv  uv  vdu .


С помощью формулы интегрирования по частям отыскание
интеграла
 udv
сводится к вычислению другого интеграла
 vdu . Применять ее целесообразно, когда интеграл  vdu более
прост для вычисления, чем исходный.
Методом интегрирования по частям вычисляются интегралы:
– Pn x e kx dx , Pn x sin kxdx, Pn x coskxdx, где Pn  x  –



многочлен степени n , n  N , k  R . Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить u  Pn x  и применить формулу интегрирования по частям n раз;
 P xlnxdx ,  P xarcsinxdx ,
 P xarctgxdx ,  P xarcctgxdx , где P x 
–
n
n
n
n
n
 P xarccosxdx ,
n
– многочлен степе-
ни n , n  N . Данные интегралы вычисляются по частям, принимая за u функцию, являющуюся множителем при Pn  x  ;
15
–
e
ax
cos bx dx ,
e
ax
sin bx dx , где a , b  R . Они вычисля-
ются двукратным интегрированием по частям и решением уравнения относительно искомого интеграла.
Вопросы для самоконтроля
1 Перечислите свойства неопределенного интеграла.
2 Как осуществляется интегрирование с помощью замены переменной?
3 Как осуществляется интегрирование с помощью интегрирования по частям?
4 Какие подынтегральные функции удобно интегрировать по
частям?
4  x 2 dx для x   2,2 . Допустима ли

5 Требуется найти
для этой цели замена переменной
а) x  sin t , 

2
t 
б) x  cos t , 0  t 
в) x  2 sin t , 

2

2

2
;
t 
г) x  2 cos t ; 0  t 

;

2
;
;
2
д) x  2 cos t ,   t  2 ?
Решение типовых примеров
1 С помощью метода замены переменной найти интегралы:
xdx
а) 
;
д)  tgxdx ;
1  x2
x3
dx
б)  4
е)  2
;
dx ;
x 2
sin x  2cos2 x
16
в)
x
dx
dx
;
3x  1
dx
и) 
;.
3
2 2
(1  x )
ж)
;
x 1
dx
г) 
;
x ln x ln ln x
2
x
Р е ш е н и е . а) имеем:
1
1
d (x2 )
 d (1  x 2 )
xdx
2
 2


2
2
1 x
1 x
1  x2




1

1

1
1 
(1  x 2 ) 2 d (1  x 2 )  1  x 2  t    t 2 dt 

2
2
1
1
1
  2t 2  C   (1  x 2 ) 2  C .
2
2  x4 
1
4

d
d (x )
4  2 
x3
4
dx   4 2


б) имеем:  4
x 2
( x )  2    x 4 2 
 
 21  
  2  



2

ln
8
в) имеем:
  ln
2  x4
C .
2  x4
x
dx
x2  1
dx

x
2
1
1 2
x

1
 d 
 x 
2
1
1  
 x
1
1

1  C .
x
x2
г) имеем:
dx
 x ln x ln ln x  
d (ln ln x)
 ln ln ln x  C .
ln ln x
17
д) имеем:
sin x
 tgxdx   cosx dx  
d cosx 
du
 u  cosx    

cosx
u
 ln cosx  C .
е) имеем:

 tg x 
2d 

dx
dx
2




  tg x  2 
sin 2 x  2 cos 2 x
cos 2 x(tg 2 x  2)
21  
 
  2 




 tg x 
1
arctg
  C .
2
 2
ж) по формуле (2.1) имеем:

u2 1
3x  1  u, x 


dx
3 

2
x 3x  1 

2
3x  1  u , dx  3 udu
2
udu
du
u 1
3x  1  1
 32
2 2
 ln
 c  ln
C .
u 1
u 1
u 1
3x  1  1
3
 x  sin t 
dx
cos tdt


 tg t  C 
и) имеем:

3
cos3 t
dx  cos tdt 
2 2
(1  x )
x
 tgarcsin x   C 
C.
1  x2
2 Используя метод интегрирования по частям, вычислить
следующие интегралы:
а)  arctg xdx ;
г)   x  1 ln xdx ;





б)
x e
2 x

д)  sin(ln x)dx ;
dx ;
18
в)
x
2
е)  e x cos2 xdx .
sin 2 xdx ;
Р е ш е н и е . а) с учетом формулы (2.2) имеем:
u  arctg x, dv  dx
  x arctg x  xdx 
arctg xdx  
du  dx , x  v 
1  x2
1  x2


1
 x arctg x  ln 1  x 2  C .
2
б) имеем:
u  x 2 , du  2 xdx 
2 x
x
x 2e  x dx  
   x e  2 xe dx 
x
x
dv  e dx, v  e 






u  x, du  dx


  x 2 e  x  2  xe x  e  x dx 
x
x 
dv  e dx, v  e 

  x 2 e  x  2 xe  x  2e  x  C .
в) имеем:
u  x 2 , du  2 xdx

2


x sin 2 xdx 
dv  sin 2 xdx, v   1 cos 2 x 


2
u  x, dv  cos 2 xdx 
 1


 x 2   cos 2 x   x cos 2 xdx  
1

du  dx, v   sin 2 x 
 2



2



x2
1
1
1
1
cos 2 x  x sin 2 x 
sin 2 xdx   x 2 cos 2 x  x sin x 
2
2
2
2
2

1
 cos 2 x  C .
4
г) имеем:

1


u  ln x; du  x dx;


x  1ln xdx  
2


x  1 
dv  x  1dx; v 
2 
19

x  12 ln x  x  12  1 dx  x  12 ln x  1

2
x
2

x  1 ln x 
1

 x  2  dx 

2
2 
x
2
2

1 x
   2 x  ln x  .
2 2


x  12 ln x  1
2
x2  2x  1
dx 
2
x
2
1


u  sin ln x, du  cosln x dx 


д) имеем:  sin(ln x)dx 
x


 dv  dx, v  x



 x sin ln x   cos ln x dx  x sin ln x  x cos ln x   sin ln xdx .

Пусть I  sin ln xdx . Тогда
I  x(sin ln x  cos ln x)  I .
x
sin ln x  cos ln x  C .
2
u  e  x ; du  e x dx;

x


е) имеем:  e cos2 xdx 
dv  cos 2 x; v  1 sin 2 x 


2
Откуда I 
 e

x
u  e  x ; du  e x dx;

1
1 x

 sin 2 x 
e  sin 2 xdx  
1

2
2
dv  sin 2 x; v   cos 2 x 
2




e x
1  e x
1 x
sin 2 x  
cos 2 x 
e cos 2 xdx 
2
2 2
2


e x
e x
1 x
sin 2 x 
cos 2 x 
e cos 2 xdx .
2
4
4
Отсюда
e x
e x
1 x
e  x cos 2 xdx  
sin 2 x 
cos 2 x 
e cos 2 xdx .
2
4
4
Выразим искомый интеграл




20
x
 1 e
 2 sin 2 x  cos 2 x  .
e  x cos 2 xdx1   
 4 4

Тогда

e  x cos 2 xdx 
e  x  2 sin 2 x  cos 2 x 
.
5
Задания для аудиторной работы
1 Вычислить методом замены переменной:
dx
dx
а)
;
и)
;
sin x
1  x  x


ln 2 x
dx ;
x
г)

д)

x 2 dx
1 x
6
к)

м) ecos 2 x sin 2 xdx ;
;
2
x dx
ж)

а)
 x arctg
б)

в)
x
6
;
dx
;
cos5 x
dx ;
sin 2 x
н)

о)
x
п)

г)

д)
 x  4cos 3x dx ;
е)

2
 1  x 
2
2
x 5 x dx ;
е)
arctg x
 1  x dx ;
л)  ch xsh x dx ;

в)  ctg xdx ;
б)
x  8 dx ;
x 3
4  6 x  3x
x  6x  1
2 Вычислить методом интегрирования по частям:
2
3
x dx ;
arccos x
x
2
dx ;
arctg xdx ;
21
2
dx .
x 2  2 x  5 dx ;
ln x
3
x
dx .
Задания для домашней работы
1 Вычислить методом замены переменной:
3
dx
а)
;
к) x 2e  x dx ;
x5
cos x
б) x x 2  1dx ;
л)
dx ;
sin 5 x
arcsin x
в)
м) cth xdx ;
dx ;
1  x2
3
xdx
г)
;
н) e x x 2 dx ;
2
4 x
dx
д)
о) 3
;
1  3 cos x sin xdx ;
2x  13
xdx
dx
е)
;
п)
;
x ln x
4x2  5
dx
ж) e3 x 1dx ;
р)
;
8x  x 2
xdx
dx
и)
;
с) 
6 x  x2
x2  x  1
2 Вычислить методом интегрирования по частям:
arcsin x
dx ;
а)
д)
x ln 2 xdx ;
x2
















б)  sin x ln tg x dx ;
в)  xarcctg x dx ;
г)  xe dx ;

е)  e sin xdx ;
ж)  x cos2 xdx ;
и)  ( x  1) sin xdx .
x
x 1
22
2
Практическое занятие 3 Интегрирование рациональных
функций
3.1 Интегрирование простейших рациональных дробей
3.2 Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби
3.3 Интегрирование рациональных функций
3.1 Интегрирование простейших рациональных дробей
P  x
Рациональной дробью n
называется дробь, числителем
Qm  x 
и знаменателем которой являются многочлены:
Pn  x  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n
=
, n, m N .
Qm  x  b0  b1 x  b2 x 2  ...  bm x m
Если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе ( n  m ), то дробь называется
неправильной. Если степень многочлена в числителе меньше
степени многочлена в знаменателе ( n  m ), то дробь называется
правильной.
Простейшей дробью называется правильная рациональная
дробь одного из следующих четырех типов:
A
A
n  2  ;
1)
;
2)
xa
x  a n
Mx  N
Mx  N
n  2  .
3) 2
;
4)
n
x  px  q
x 2  px  q


Здесь A , a , p , q , M , N – действительные числа, а квадратный трехчлен x2  px  q не имеет действительных корней,
p2
 q  0.
4
Интегрирование простейших дробей проводится следующим
образом:
Adx
dx
d x  a 
1)
A
A
 Aln x  a  C ;
xa
xa
xa
т. е.



23
A
 A  x  a  dx  A x  a  d  x  a  
2)
 x  a 

A
C;
1  n x  a n1
n
n
Mx  N dx  d x

 px  q  2 x  p dx,


3)
M
Mp  
x 2  px  q  Mx  N 

2x  p  N 
2
2 

p

d x  
2
M d x  px  q 
Mp 
2


N 


2
2
2
2  
x  px  q

p
p2
x  q
2
4

M
Mp 
1
2


ln x 2  px  q   N 
arctg
C ;

2
2 

p2
4q  p 2
q
4
p


 x  2  t , dx  dt ,



2

p
p2
Mx  N dx  2

2
2 
 t  a , =
4)
=  x  px  q   x    q 
n
2
4


x 2  px  q




p2
a  q 

4


M  x  p / 2   N  Mp / 2

dx 
n
2
 x  p / 2  q  p2 / 4


n


2






M

t
tdt
2
a

2 n
Mp 
dt
Mp 


N 
M I 0   N 
 2
 In .
n
2  t  a2 
2 


Вычислим интеграл I 0 :
tdt
1 2
I0 

t  a2
2
2 n
2
t a




 d t
n
2
24

 a2 

1
21  n  t 2  a 2

n 1
C .
 t
Для вычисления интеграла I n 
виде
In  

t
dt
2
a


2 n
1
a2
 t
 t
dt
2

 a2  t 2
2
 a2

n

n
, представим его в
dt 
 t
t 2 dt
2
 a2

In 
1 
I n 1 
a 2 
 t

n
1
21  n  t  a
1

n 1
t 2 dt
 t
t 2 dt
2
 a2

n
:
n
 a2
u  t , du  dt,

tdt
1

dv 
,
n

t 2  a 2 21  n  t 2  a 2


 I n 1 , получаем
 a2
Вычислим интеграл

2
 a2
1 
dt
t 2 dt 
.

a 2   t 2  a 2 n 1  t 2  a 2 n 
Замечая, что

t
dt
2
2
2





1
21  n 


1
I n 1
21  n 
2 n 1

.


 t
dt
2
 a2

n 1



n 1



21  n  t  a
Подставляя найденное выражение, имеем

1  2n  3
t
.
In  2 
I n 1 
n

1
2
2

a  2n  2
21  n  t  a

Данная формула является рекуррентной. Зная табличный интеграл
dt
1
t
I1  2
 arctg  C ,
2
a
a
t a
находятся интегралы I n , n  2 .
2
2 n 1


25

Действительно, при n  2 имеем
dt
1 1
dt
t
I2 
 2 
 2
2
2
2
2 2
a 2 t a
2 t  a2
t a




t
2a t  a
2

2
2





 

1
t
arctg  C .
3
a
2a
3.2 Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби
P x 
Правильную рациональную дробь n
, где
Qm x 


k
l
Qm x   x    x    x 2  px  q ,
можно единственным образом разложить на сумму простейших
дробей:
Ak
Bl
A1
B1
Pn x 
 ... 

 ... 


k
l
Qm x   x   
x   x   
x   
s
M s x  Ns
M 1 x  N1
M 2 x  N2

 ... 
,
2
2
s
x  px  q x 2  px  q
x 2  px  q
где A1 , A2 , ... , Ak , B1 , B 2 , ... , Bi , M 1 , N1 , M 2 , M 2 , ... , M s ,
N s – некоторые действительные числа.
Согласно данному разложению, линейным множителям знаменателя Qm  x  соответствуют простейшие дроби первого и
второго типов, а квадратным множителям – третьего и четвертого типов. При этом число простейших дробей, соответствующих
данному множителю (линейному или квадратному), равно степени, с которой этот множитель входит в разложение знаменателя дроби. Формула разложения правильной рациональной дроби
на простейшие дроби остается справедливой для любого конечного числа линейных и квадратных множителей, входящих в
разложение знаменателя Qm  x  .
Для определения коэффициентов разложения используется
метод неопределенных коэффициентов:
– раскладывается правильная рациональная дробь на простейшие дроби;



26


– простейшие дроби приводятся к общему знаменателю
Qm  x  ;
– многочлен, получившийся в числителе, приравнивается к
многочлену Pn  x  ;
– приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях
переменной x в левой и правой частях полученного тождества.
В результате получается система m линейных алгебраических
уравнений для нахождения m неизвестных коэффициентов
A1 , A2 , …, Ak , B1 , B 2 , …, Bk , M 1 , N1 , …, M s , N s .
Если корни знаменателя рациональной дроби Qm  x  просты
и действительны, вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты
переменной x даются несколько частных значений (последовательно полагают x равным каждому из корней знаменателя).
3.3 Интегрирование рациональных функций
Всякая рациональная функция R  x  представима в виде
суммы многочлена Tk  x  (целой части) и правильной рациональной дроби
Pn  x 
Qm  x 
:
R  x   Tk  x  
Pn  x 
, k , n, m N
Qm  x 
Поэтому интегрирование рациональных функций сводится к
интегрированию правильных рациональных дробей.
Вопросы для самоконтроля
1 Что называется рациональной дробью?
2 Какая рациональная дробь называется простейшей?
3 Как интегрируются простейшие рациональные дроби?
4 На какие простейшие множители можно разложить многочлен с действительными коэффициентами?
5 Какой вид имеет разложение правильной рациональной
дроби в сумму простейших дробей?
6 В чем суть метода неопределенных коэффициентов?
27
Решение типовых примеров
1 Найти интегралы от рациональных функций:
2 x 5  6 x 3  13
2 x 4  5x 2  2
а)
;
г)
dx
dx ;
x 4  3x 2
2 x3  x  1
x5  x  1
x4  1
dx
б)
;
д)
dx .
x3  x
x5  x 4  x3  x 2
x2
dx ;
в)
x( x  1)( x  1)( x  2)
Р е ш е н и е . а) выделим из неправильной дроби целую часть,
деля числитель на знаменатель
2 x5  6 x3  1
1
.
 2x  4
4
2
x  3x
x  3x 2
Разложим полученную в результате дробь на элементарные
слагаемые:
x 4  3x 2  x 2 x 2  3 .
Тогда
1
A B Cx  D
.
  2 2
2 2
x x 3 x x
x 3
Приведем к общему знаменателю в правой части
1
A B Cx  D Ax x 2  3  B x 2  3  Cx  D x 2


 2

.
x x2
x2 x2  3
x 3
x2 x2  3
Отсюда
1  Ax x 2  3  B x 2  3  Cx  D x 2
Раскроем скобки в правой части и сгруппируем:
1  x 3  A  C   x 2 B  D   x  3 A  3B .
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x :
x3 : 0  A  C ,
x2 : 0  B  D ,













 
x1 : 0  3 A ,
x 0 : 1  3B .
28
 




Отсюда A  0 , B 
1
1
, C 0, D .
3
3
Следовательно,
2 x 5  6 x 3  13
1
1
1
 2x  4
 2x  2 
.
4
2
2
2
x  3x
x  3x
3x
3 x 3
Тогда


2 x 5  6 x 3  13
1
1
dx 
dx   2 x  2 
4
2
2
x  3x
3x
3 x  3 







1 dx 1 dx


3  x2 3  x2  3
x 2 1 x 1
1
x
= 2  

arctg
C=
2 3 1 3 3
3
1
1
x
 x2 

arctg
C;
3x 3 3
3
б) подынтегральное выражение является неправильной рациональной дробью. Выделим целую часть подынтегральной
функции:
x5  x  1
1
 x2 1  3
3
x x
x x
Разложим на элементарные последнюю дробь:
1
1
A Bx  C ( A  B) x 2  Cx  A


 2

.
x 3  x x( x 2  1) x
x 1
x( x 2  1)
Методом неопределенных коэффициентов, найдем неизвестные коэффициенты A , B , C . Имеем
1  ( A  B) x 2  Cx  A .
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , получаем:
 A  B  0,
 A  1,


  B  1,
C  0,
 A  1,
C  0.


= 2 xdx 
29
Значит,
1
1
x
  2
.
x  x x x 1
3
Подставляя полученное выражение в интеграл
x
dx
, поx
3
лучим
x
dx
dx
x 
dx
xdx
1

   2
 2

dx 
2
x
x
x( x  1)
x 1
 x x 1
3




dx 1 d ( x 2  1)
1

 ln x  ln( x 2  1)  C .
2
x 2
2
x 1
Тогда
x5  x  1
1 
 2
 x3  x dx    x  1  x3  x dx 
x3
1
  x  ln x  ln( x 2  1)  C ;
3
2
в) подынтегральное выражение является правильной рациональной дробью. Разложим ее на элементарные дроби:
x2
A
B
C
D
 


.
x( x  1)( x  1)( x  2) x x  1 x  1 x  2
Используя метод частных значений, получим:
x2
A
x 0  1,
( x  1)( x  1)( x  2)
x2
3
,
B
x 1  
x( x  1)( x  2)
2
x2
1
C
x  1   ,
x( x  1)( x  2)
6
x2
2
D
.
x 2 
x( x  1)( x  1)
3
Тогда
x2
1 3 1
1 1
2 1
 
.


x( x  1)( x  1)( x  2) x 2 x  1 6 x  1 3 x  2



30
Подставим в исходный интеграл
x2
1
3 1
1 1
2 1 
 x( x  1)( x  1)( x  2) dx    x  2 x  1  6 x  1  3 x  2 dx 
3
1
2
 ln x  ln x  1  ln x  1  ln x  2  C 
2
6
3
 ln
x( x
2
 2) 3
3
 1) 2 ( x
C;
1
 1) 6
(x
г) запишем исходный интеграл в виде:

2 x4  5x2  2
6x2  x  2 

dx

x

 2 x3  x  1
  2 x3  x  1 dx 

x2
dx
4x  3

 2
dx .
2
x 1
2x  2x 1
Подынтегральное выражение в третьем слагаемом есть правильная рациональная дробь. Разложим ее на элементарные и
найдем коэффициенты:
6x2  x  2
A
Mx  N
1
4x  3

 2

 2
.
3
2x  x  1 x  1 2x  2x  1 x  1 2x  2x  1
Подставим в интеграл и вычислим его
2 x4  5x2  2
x2
4x  2
dx

 ln x  1   2
dx 
 2 x3  x  1
2
2x  2x  1
dx
 2
dx 
2 x  2 x `1

x2
 ln x  1 
2



d 2x2  2x  1
dx


2
2
2x  2x  1

1 
1
 2x 
 
2
2

x2
 ln x  1  arctg(2 x  1)  C ;
2
д) поскольку

31

x 5  x 4  x 3  x 2  x 2 ( x  1) 2 ( x  1) ,
то
x4  1
A B
C
D
E
  2



5
4
3
2
x x
x  1 x  1 ( x  1) 2
x x x x
1
1
1 1
1
.
  2 2  2 
x x
x  1 x  1 ( x  1) 2
Тогда
x4  1
1 1
1
dx  ln x   ln x  1  ln x  1  C .
5
4
3
2
x 2
2
x x x x

Задания для аудиторной работы
Вычислить интегралы:
dx
а)
;
2
x  4x  5

x2  x  2
 x3  x2  x  1 dx ;
x4  5
в)
dx ;
x2  1
б)
ж)
и)
x  4x  4
x2  6x  8
dx ;
x5
dx
к)
;
2
2
x  2x



2
г)
 xx  1
д)
 xx
е)
2

dx
2

1
2
2x  3
 ( x  2)(x  5) dx ;

3x  2 x  1
2
dx ;
;
x3  2x  1
dx ;
x3  1
32
л)
 x  1 x  2 dx ;
м)
x
н)
x
2
dx
;
1
4
xdx
.
3
1
Задания для домашней работы
Вычислить интегралы:
2x  5
а)
dx ;
2
x  5x  4
x2  7
dx ;
б)
x3
dx
в)
;
x x2  2
е)
x

ж)


и)

2x2  1
dx ;
x3  5x 2  6 x
к)
 x
 
г)
д)
dx
;
1
x3  2x  1
dx ;
x2 1
x3  2
dx ;
x3  4x



x4  1
dx ;
x4 1
л)
33

3
2
x 1
dx ;
 9 x2  1


x  x 1
dx .
x3  x
5
Практическое занятие 4 Интегрирование иррациональностей
4.1 Интегралы вида

  ax  b  m1 / n1  ax  b  m2 / n2 
R  x, 
,
,... dx


  cx  d 

cx

d




( mi , ni  R , i  1,2,... )
4.2 Интегралы вида
 R x,
ax2  bx  c dx

4.3 Интеграл от дифференциального бинома
 x a  bx  dx
m
n p
( m , n , p Q , a , b  R )
4.4 Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
4.1 Интегралы вида

  ax  b  m1 / n1  ax  b  m2 / n2 
R  x, 
,
,... dx


  cx  d 

cx

d




( mi , ni  R , i  1,2,... )
Через Ru , v, w,... обозначается рациональная функция относительно переменных u, v, w,... , т. е. выражение, которое получено из величин u, v, w,... , а также действительных чисел с помощью четырех арифметических действий.
n
n
В интегралах R x, 1 x m1 , 2 x m2 ,...dx ( mi , ni  R , i  1,2,... )


подынтегральная функция рациональна относительно перемен-

n
ной интегрирования x и радикалов i x mi , i  1,2,... . Для вычисления интегралов вводится замена
x  ts ,
m m
где s – общий знаменатель дробей 1 , 2 , …. При такой заn1 n2
m
m
мене переменной все отношения 1  r1 , 2  r2 , … являются
n1
n2
целыми числами, и имеет место интеграл от рациональной
34
функции переменной t :
 R  x,
n1

x m1 , 2 x m2 ,... dx   R t s , t r1 , t r2 ,... st s 1dt .
n
  ax  b  m1 / n1  ax  b  m2 / n2 
Интегралы
R  x, 
,
,... dx вычисля

  cx  d 

cx

d




ются с помощью замены
ax  b s
t ,
cx  d
m m
где s – общий знаменатель дробей 1 , 2 , ….
n1 n2
В результате получается интеграл от рациональной функции
переменной t .

ax2  bx  c dx

В общем случае интегралы данного типа сводятся к интегралам от рациональных функций подстановками Эйлера:
– если дискриминант трехчлена ax 2  bx  c отрицательный,
то используется первая подстановка Эйлера
4.2 Интегралы вида
 R x,
t  ax 2  bx  c  x a ;
– если дискриминант трехчлена ax 2  bx  c положительный
и ax2  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 ) , то используется вторая подстановка Эйлера
ax 2  bx  c
.
x  x1
Подстановки Эйлера часто приводят к громоздким выкладкам, поэтому в некоторых случаях удобнее применять другие
методы интегрирования.
dx
Для вычисления интеграла I1  
выделяется
2
ax  bx  c
полный квадрат под знаком радикала:
t
35
2
2



b   c b 2  
b 
2




ax  bx  c  a  x 
   2   a x
 k 



2a   a 2a  
2a 



b
и применяется замена x 
 u , dx  du .
2a
В результате этот интеграл сводится к табличному:
du
.
I1 
2
u  k2
 Ax  B dx в числителе
Для вычисления интеграла I 2 
ax2  bx  c
выделяется дифференциал выражения, стоящего под знаком радикала. Тогда интеграл I 2 представляется в виде суммы двух
интегралов:
A
2ax  b    B  A 
 Ax  B dx  2a
2a 

I 
dx 
2


2

ax2  bx  c





ax2  bx  c
A d ax2  bx  c 
A
  B   I1 
2
2a
2a 
ax  bx  c 
2
A d ax  bx  c 
Ab 
=
 B 
 I1 
2a
2a 
ax2  bx  c 





A
Ab 

ax2  bx  c   B 
 I1 ,
2a
2a 

где I 1 – вычисленный выше интеграл.

Вычисление интеграла I 3 
dx
x
ax  bx  c
2
сводится к вы-
числению интеграла I 1 заменой:
1
1
x  , dx   x  2 du .
u
u
При вычислении интеграла
R x, ax2  bx  c dx также


применяются тригонометрические подстановки. В этом случае

36
квадратный трехчлен ax 2  bx  c путем выделения полного
квадрата и замены переменной представляется в виде u 2  k 2 . В
результате исходный интеграл приводится к одному из следующих интегралов:

  R  u,
  R  u,

 u  du ,
 k  du .
I 4   R u, k 2  u 2 du ,
I5
I6
Интеграл

k2
u2

I 4   R u, k 2  u 2 du
2
2
заменой u  k sin t
(или
u  k cos t ) сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin t и cos t .
Интеграл


I5   R u, k 2  u 2 du
заменой
u  k tg t
(или
u  k ctg t ) сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin t и cos t .


Интеграл I 6   R u, u 2  k 2 du
заменой u  k sec t
(или
u  k cosec t ) сводится к интегралу от рациональной функции
относительно sin t и cos t .
4.3
Интеграл
 x a  bx  dx ( m , n ,
m
n p
от
дифференциального
бинома
p Q , a , b  R )
Интегралы вида
 x a  bx  dx ( m , n , p Q , a , b  R ). , a , b  R )
m
называются


n p
интегралами
от
n p
дифференциального
бинома
x a  bx . Эти интегралы выражаются через элементарные
функции только в следующих трех случаях:
– если p  Z , то используется подстановка x  t s , где s –
общий знаменатель дробей m и n ;
m
37
m 1
 Z , то используется подстановка a  bx n  t s ,
n
k
где s – знаменатель дроби p  ;
s
m 1
– если
 p Z , то используется подстановка
n
k
ax  n  b  t s , где s – знаменатель дроби p  .
s
Во всех остальных случаях, как было показано П.Л. Чебышевым, интегралы от дифференциального бинома не выражаются
через элементарные функции.
– если
4.4 Интегралы, не выражающиеся через элементарные
функции
Известно, что любая непрерывная на множестве X функция
f  x  имеет первообразную, т. е. существует такая функция
F  x  , что F x   f x  . Однако не всякую первообразную F  x 
можно выразить через конечное число элементарных функций.
Ниже приводятся примеры интегралов, которые не выражаются
через элементарные функции:
2
1
Ф0  x  
e  x dx – интеграл Пуассона,

2
sin x
Si  x   
dx – интегральный синус,
x
cosx
dx – интегральный косинус,
x
dx
– интегральный логарифм,
li  x   
ln x
cos x 2 dx , sin x 2 dx – интегралы Френеля,

     
dx
 1  k sin x – эллиптический интеграл первого рода,
2

2
1  k 2sin 2 x dx – эллиптический интеграл второго рода.
38
Каждый из приведенных интегралов представляет собой
функцию, не являющуюся элементарной.
Вопросы для самоконтроля
1 Какая замена переменной используется при вычислении инn
n
тегралов вида R x, 1 x m1 , 2 x m2 ,...dx ?


2 Какая замена переменной используется при вычислении инm1
m2


  ax  b  n1  ax  b  n2 
тегралов вида R x, 
 ,
 ,... dx ?
  cx  d   cx  d 



3 Какие подстановки называются подстановками Эйлера?
4 Для вычисления каких интегралов удобно применять тригонометрические подстановки?
5 В каких случаях можно вычислить интеграл от дифференциального бинома?
6 Приведите примеры интегралов, которые не выражаются
через элементарные функции.


Решение типовых примеров
1 Вычислить следующие неопределенные интегралы:
dx
1 4 x
dx ;
а)
д)
;
x x
x  1 1  x 2
dx
б)
;
е)
a 2  x 2 dx ;
3
3
2 x  1  2 x  1
в)
г)






3
x  1 dx
;
x 1 x 1
1  1  x  x2
x 1 x  x
2
dx ;
Р е ш е н и е . а) имеем:
39
ж)

и)

dx
4
1  x4
;
dx

x2 1  x2

3
.

x  t 4 , 
1 t
t2  t
3
dx  

4
t
dt

4
dt 

3
t4  t2
t 2 1
x x
dx  4t dt
1 4 x


t 1 
t
1 


2
 4  1  2
 2
dt  4  1  2
  4t  2 ln t  1 
 t  1
 t  1 t  1
4
 4 arctg t  C  t  x  44 x  2 ln 2 x  1  4 arctg 4 x  C .




б) имеем:

2 x  1  t 6 , 


dx
1
3t 5 dt
t 2 dt
  x  t 6  1 ,  4 3  3


t 1
t t
2 x  13  2 x  1  2

5
dx  3t dt 

3

3
 
t 2 1 1
1 

dt  3  t  1 
dt 
t 1
t 1





3
 t 2  3t  3 ln t  1  C  t  6 2 x  1 
2
3
 3 2 x  1  36 2 x  1  3 ln 6 2 x  1  1  C .
2
x  1 dx  3 x  1
 6t 2 dt 
3

t

,
dx

в)


x  1 x  1 
x 1
(t 3  1) 2 

1  t   3 arctg 2t  1  C .
dt
1
 3 3   ln
2 1 t  t2
t 1
3
г) имеем:

2


x2  x  1 1


t

1  1  x  x2
x


dx 
2


2
2t  1
1 t  t
x 1 x  x
x 

,
dx

2
dt
2
(1  t 2 ) 2 
 1  t

 2tdt
x 2  x  1  1
2




ln
1

t

C

t

x
1 t2



40
2
 1  x  x2 1 
 C ;
 ln 1  


x


д) имеем:

1 

1
 2 dt
x 1  t , 
t



2
2
1
x  1 1  x dx   dt 1
1


1    1

t 2 
t
t


dx



t
t
1
2
t 2 dt
 1  2t
 t dt
 1  2t



t

  1  2t 
1

2d
 x  1  x  1  0


 1  2t  t  0

t dt
dt
 1  2t


  1  2t  2 dt 
1
 1  2t    1  2t 2  C  t 
1

1 

x  1
1
2
1
1 x

   1  2
;
 C C 
x 1
1 x

е) имеем:
 x  a cos t ; 
a 2  x 2 dx  
a 2  a 2 cos 2 t  a sin tdt 

dx


a
sin
tdt




 a2  1  cos2 t sin tdt  a 2  sin 2 tdt 
 1  cos 2t  dt 
x

t  arccos a  =


2
a 
x 1 
x
x 

=   arccos  sin  arccos  cos  arccos    C =
2
a 4 
a
a 

=
a2  1

 t  sin 2t   C 
2 2

a 2
2
2
a2
x a2 x
x
arccos 
1    C =
2
a 8a
a
2
a
x x 2
=  arccos 
a  x2  C ;
2
a 8
=
41
ж) имеем:
t 2 dt
1  dt
dt  1 1  t 1
 arctgt  C ;
  2
 2
  ln
4
2  t 1
t 1
t 1 4 1 t 2
и) имеем:
3


a  b  1; p   2  Z; m  2; n  2;



dx
m 1
1
m 1



   Z;
 p  2  Z;

n
2
n
2
2 3
x 1 x


1
3
t 2  x  2  1; x  t 2  1 2 ; dx   1 t 2  1  2 2tdt 


2



1 

a  b  1, m  0, n  4, p  

dx
4 


4
5

1  x4 

4
4
3 4
4
1  x  t , dx  t (t  1) dt 









3





3

1  2 2
t 2 1

  t  1 1  2
dt   dt  t  2 dt 
 t  1 2 tdt  
2
t
 t 1

1
1 
1
1
 t   c  t  1  2    1  2 
C .
t
x 
x
1

1 2
x
2 Выразить через функции Si(x), li(x) и элементарные функции интегралы:
dx
а)  2 , x  1 ;
б)  Si  x  dx .
ln x
Р е ш е н и е . а) имеем:
dx


u  x, dv 
,


dx
xdx
x ln 2 x




 ln 2 x  x ln 2 x 
dx
1 
du  dx, v  



x ln 2 x
ln x 
x
dx
x



 li  x   C ;
ln x
ln x
ln x
2

42


u  Si  x  , dv  dx,



 sin x  sin x 

б) имеем:  Si  x  dx = du  d  Si  x    d  
dx  
dx, =


x
 x



v  x

= xSi  x    sin xdx  xSi  x   cos x  C .
Задания для аудиторной работы
1 Вычислить следующие интегралы:
x
а)

б)

в)
 ( x  1)
3
x2  x
x 3dx

3
1 6 x
dx ;
ж
;
и)

к)
 x 1  x 
1  2x  x2
dx
x2  x  1
;
x
x10dx
1  x2
dx
dx ;
;
4
2
;
3
г)


е) 
д)
1  6 x 3 

 dx ;
3
x
л)
 x
1  2 x  x 2 dx ;
м)

x 2  2 x  10 dx ;
н)
x
dx
2

 3 4  x2
;
x2  5
dx ;
x2
2
x 2  4dx .
2 Выразить через функции Si(x), li(x), Ф0(x) и элементарные
функции интегралы:
2
ex
dx, x  0 ;
а)
в) e( 2 x 4 x5) dx ;
x


б)

x sin x  cos x
dx ;
x2
г)  Ф0  x  dx .
43
Задания для домашней работы
1 Вычислить следующие интегралы:
а)
б)
в)

x  3 x2  6 x

x 1 x
3

dx

2x  3  5
x
dx
3
x 2 1

д)

е)
x
3
з)
;
и)
;
dx
г)
ж)
dx ;
x 2 1  3 x 2 


к)
;
4 x  x 2 dx ;
dx
;
x
dx
3x  4
;

x2  2x  2
dx ;
x

1  x2
dx ;
x6

3
л)

м)
x
1 6 x
x
dx ;
x2
x 2  16
dx ;
x2  9dx
1 x
2 Выразить через функции Si(x), li(x), Ф0(x) и элементарные
функции интегралы:
2
1  x x
а)
в) x 2e x dx ;
e dx, x  0 ;
x
4
2


б)

sin 3 x
dx 4;
x3
г)  li  x  dx .
44
Практическое занятие 5 Интегрирование трансцендентных функций
5.1 Интегралы вида
 Rsin x, cos xdx

n
m
5.2 Интегралы вида sin x cos xdx ,
5.3
Интегралы
5.4 Интегралы вида
n

xdx , ctg n xdx
 sin mx cos nxdx ,  cos mx cos nxdx,
вида
 sin mx sin nxdx
 tg
 Re dx ,  R sh x,ch x dx
x
 Rsin x, cos xdx
интегралы  Rsin x, cos x dx
5.1 Интегралы вида
Вычислить
можно различными
методами: преобразованием подынтегрального выражения с помощью тригонометрических формул, применением методов замены переменной или интегрирования по частям.
Существует общая универсальная схема вычисления таких
интегралов, основанная на универсальной тригонометрической
подстановке
 x
t  tg   .
2
Этой подстановкой интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции переменной t , который всегда выражается
в элементарных функциях. Функции sin x , cos x и дифференциал dx выражаются через t по формулам:
x
x
x
2sin cos
2 tg
2t
2
2
2
sin x 


,
2
x
x
x
1

t
2
2
2
sin cos
1  tg
2
2
2
x 2x
x
cos sin
1  tg 2
2
2
2 
2  1 t ,
cos x 
x
x
x 1 t2
sin 2 cos 2
1  tg 2
2
2
2
45
2dt
.
1 t2
С помощью универсальной подстановки удобно вычислять
интегралы вида:
dx
.
a cos x  b sin x  C
Хотя универсальная подстановка всегда позволяет вычислить
x  2 arctgt , dx 

интегралы вида
 Rsin x, cos xdx , однако ее используют сравни-
тельно редко, так как она часто приводит к интегрированию
громоздких рациональных дробей. Поэтому в ряде случаев более
удобно использовать частные подстановки.
Если подынтегральная функция нечетна относительно sin x :
R sin x, cos x    Rsin x, cos x  ,
то применяется подстановка cos x  t .
Если подынтегральная функция нечетна относительно cos x :
Rsin x, cos x    Rsin x, cos x  ,
то используют подстановку sin x  t .
Если подынтегральная функция четна относительно sin x и
cos x :
R sin x, cos x   Rsin x, cos x  ,
то применяется подстановка tg x  t .

n
m
5.2 Интегралы вида sin x cos xdx ,
Если в интеграле
 sin
n
 tg
n

xdx , ctg n xdx
x cos xdx , m , n  Z , m  0 , n  0 ,
m
хотя бы одно из чисел m или n – нечетное, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы sin 2 x  cos 2 x  1 оставшуюся четную степень через
кофункцию, приходим к табличному интегралу. Если же m и n
– четные числа, то степени понижаются посредством перехода к
двойному аргументу с помощью тригонометрических формул:
1  cos 2 x
1  cos 2 x
1
, sin 2 x 
, sin x cos x  sin 2 x .
cos 2 x 
2
2
2
46
Если m , n Q , то подстановками t  sin x или t  cos x интеграл
 sin
n
x cosm xdx сводится к интегралу от дифференциаль-
ного бинома.
Интегралы вида
 tg
n
xdx ,
 ctg
n
xdx , n  N , n  1 , вычисля-
ются подстановками tg x  t и ctg x  t соответственно.
dt
Если t  tg x , то x  arctgt , dx 
. Тогда
1 t2

tg n xdx 

tn
dt .
1 t2
Последний интеграл при n  2 является интегралом от неправильной рациональной дроби, которая вычисляется по правилу интегрирования рациональных дробей.
Аналогично если
dx
,
t  ctg x , то x  arcctgt , dx  
1 t2
поэтому

tn
ctg xdx  
dt .
1 t2
5.3 Интегралы вида

n
 sin mx cos nxdx ,  cos mx cos nxdx,
 sin mx sin nxdx
Данные интегралы вычисляются путем разложения подынтегральной функции на слагаемые по формулам:
1
sin mx cos nx   sin  m  n  x  sin  m  n  x  ,
2
1
cos mx cos nx   cos  m  n  x  cos  m  n  x  ,
2
1
sin mx sin nx    cos  m  n  x  cos  m  n  x  , m, n R
2
и сводятся к табличным.
47
 Re dx ,  R sh x,ch x dx
 Re dx сводятся к интегралам от рацио-
5.4 Интегралы вида
Интегралы вида
x
x
нальных функций подстановкой t  e x . При этом
dt
x  ln t , dx  .
t
Интегралы  R  sh x,ch x dx всегда можно свести к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки t  th
В этом случае
x
.
2
1 t2
2t
2dt
,
, dx 
.
ch
x

2
2
1

t
1 t
1 t2
Интегралы вида  ch n x sh m xdx ( m  0 , n  0 , m, nZ ) в слу-
sh x 
чае, если хотя бы одно из чисел m или n – нечетное, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы ch 2 x  sh 2 x  1 оставшуюся четную степень через кофункцию, приходим к табличному интегралу. Если же m
и n – четные числа, то степени понижаются посредством перехода к двойному аргументу с помощью формул:
1  ch 2 x
ch 2 x  1
1
, sh 2 x 
, sh x ch x  sh 2 x .
ch2 x 
2
2
2
Если m , n Q , то подстановками t  sh x или t  ch x интеграл
 ch
n
x sh m xdx сводится к интегралу от дифференциального
бинома.
Вопросы для самоконтроля
1 Как вычисляются интегралы вида
возможны частные случаи?
48
 Rsin x, cos xdx ? Какие
2
 tg
n
Как
вычисляются
интегралы
вида
 sin
n
x cosm xdx ,

xdx , ctg n xdx ?
3 Какие формулы используются при вычислении интегралов



вида sin mx cos nxdx , cos mx cos nxdx, sin mx sin nxdx?
4 Какая подстановка применяется при вычислении интегралов вида R e x dx ?
  
5 Какие подстановки используются при вычислении интегралов вида  R  sh x,ch x dx ?
Решение типовых примеров
Найти интегралы:
dx
а)
;
4 sin x  3 cos x  5
sin x  sin 3 x
dx
б)
cos 2 x
е) sin 2 x  cos 5xdx ;

ж)  sin 7 x  sin 5xdx ;

г)  cos x sin
д)  tg xdx ;
в)


2
2
e3 x dx
;
e 2 x 1

к)  ch
и)
cos 2 xsin xdx ;
xdx ;
2
x sh3 x dx .
2
Р е ш е н и е . а) подынтегральная функция рационально зависит от sin x и cos x . Применяя универсальную тригонометриче-
 x
скую подстановку t  tg  , получим:
2

2dt
dx
1 t2


4 sin x  3 cos x  5
2t
1 t2
4
 3
5
1 t2
1 t2

49
2
 2t
2
dx
d t  2
1
 x 


 c  tg  t  
2
t2
 8t  8
t  2
 2 

1
C ;
x
tg  2
2
б) подынтегральная функция является нечетной относительно

sin x . Поэтому применяем подстановку cos x  t . Тогда получим
sin x  sin 3 x
 cos 2 x dx 


t  cos x, sin 2 x  1  t 2 ,



 cos 2 x  2 cos 2 x  1  2t 2  1,



1
1
dt   sin xdx  dx  
dt  
dt 
2
2


1  cos x
1 t
1  t 2   1  t 2 


2
2t  1
3

 1

2
 1 t



1
3
dt
t
3
dt 
 
2
2
2 2t  1 2 2 2


 t  cos x  
в) имеем:
cos x
3

ln
2
2 2

2
2

dt  t  2 dt  1 2t  4dt 

2 2t 2  1
2t 2  1




d 2 2t
 2 2t 
2
2 cos x  1
2 cos x  1

1

t
3

ln
2 2 2
cos3 x
C;
3
г) имеем:
 cos
2
x sin 2 xdx 
1
1
sin 2 2 xdx  1  cos 4 x dx 
4
8


50
2t  1
C ;
cos 2 x sin xdx   cos 2 xd cos x   

2t  1
C 
1
1
1
1
dx  cos 4 xdx  x  sin 4 x  C ;
8
8
8
32
д) имеем:


 tg x  t ; 


t 2 dt
t 2 1 1
1
tg 2 xdx   x  arctgt ; 

dt  dt 
dt 
2
2
1 t
1 t
1 t2


dt
dx 

1 t2 

 t  arctg t  C  t  tg x  tg x  arctgtg x   C  tg x  x  C ;
е) имеем:








 sin 2 x  cos 5xdx  2  sin 7 x  sin  3x dx 
1
=
1
1
1
1
sin 7 xdx   sin 3xdx   cos 7 x  cos 3x  C ;

14
6
2
2
ж) имеем:


1
 sin 7 x sin 5xdx  sin 5x sin 7 x  2 (cos 2x  cos12 x) 
1  sin 2 x sin 12 x 
1

(cos 2 x  cos12 x)dx  
C 
2 2
12 
2
1
1
 sin 2 x  sin 12 x  C ;
4
24
и) имеем:
dt
t  e x ,

t3 
2
2
e3 x dx 

t  t dt  t  1  1 dt 

dt
e 2 x  1  x  ln t , dx  
t2 1
t2 1
t2 1

t 
1 

x
x
x
 1  2
dt  t  arctgt  C  t  e  e  arctg e  C ;
t

1


к) имеем:






 ch

2


 


x sh3 x dx  ch2 x sh 2 x sh x dx  ch2 x ch2 x  1 d ch x 


51
 ch 4 x d ch x   ch 2 x d ch x  


ch5 x ch3 x

C .
5
5
Задания для аудиторной работы
1 Найти интегралы:

sin xdx
 1  sin x ;
а) sin 3x cos 5xdx ;
м)
x
5x
б) cos cos dx ;
6
6

н) sin 4 x cos3 xdx ;
в) sin x cos7 xdx ;

о)
 2  3sin x  2 cos x ;
dx
п)
 tg
г)

 9  4 cos x ;
sin xdx
 sin x  cos x ;
е)  ch x sh x dx ;
ж)  sh x dx ;
д)
3
2

xdx ;
dx
 sin x cos x ;
с)  ch xsh x dx ;
т)  x ch 2 x dx ;
2
5
2
у)
ch 5xsh x dx ;
e 2 x dx
;
5  ex
л)  sin 5 x 3 cos xdx ;
к)
5
р)
3
3
и)
dx


e 2 x dx
e x 1
;
ф)  cos3 x sin 2 xdx ;
х)

th xdx .
Задания для домашней работы
1 Найти интегралы:
x
4x
л) sin sin
dx ;
5
5


а) cos 7 x cos 9 xdx ;
б)
 cos
2
x
dx ;
2

м) sin 3 xdx ;
52

в) sin 2 x cos5 xdx ;
1  sin x  cos x
dx
н)
 4  3sin x ;
dx
г)
 1  sin x  cos x dx ;
о)
 3  sin x  3cos x ;
д)

dx
п)
 ctg
sin x  2 cos x
2
2
;
 ch x sh x dx ;
ж)  ch 2 x sh 3x dx ;
е)
5
 ch x dx ;
с)  x sh 3x dx ;
р)
2
3
e x dx
;
4  3e x
т)

к)  ch 5 x 3 sh xdx ;
у)

и)

xdx ;
53
e 2 x dx
;
ex  2
tg xdx .