ФРАКТАЛЫ В ГЕОФИЗИКЕ: НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ

Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная
75-летию академика М.М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007., Новосибирск, Россия
О НЕКОТОРЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ВО ФРАКТАЛЬНЫХ СРЕДАХ
В.В. Филатов
СНИИГГиМС, Красный проспект, 67,
630099, Новосибирск, Россия
E-mail: filatov@sniiggims.ru
Интенсивное проникновением идей фрактальной геометрии в физику инициировало множество работ, где были предприняты попытки объяснить эмпирические зависимости, содержащие нецелый (чаще
всего выражаемый иррациональным числом) показатель степени. Простейшая из таких зависимостей может быть выражена формулой
(1)
Фz   A z  .
В большинстве случае в z совпадает с передаточной функцией или импедансом, -нецелый (дробный)
показатель степени, А - некоторая константа, зависящая от . Аргумент z обычно совпадает с некоторой
интенсивной переменной (временем, частотой, температурой, давлением и т.д).
Как известно подобные соотношения появляются во многих областях физики и техники. В ряде работ [1-3]были предприняты попытки связать зависимости типа (1) с решениями уравнений в дробных
производных и было обосновано [4-9]существование физических систем связанных с различными фрактальными структурами, которые в процессе взаимодействия занимают промежуточное место между «прямой» (система в процессе эволюции не теряет ни одного состояния) и «точкой» (система теряет все свои
состояния за исключением одного или нескольких, сосредоточенных в моменты времени ti с бесконечно
большой плотностью). Но модели, предложенные физиками в моделировании физических полей на фрактальных структурах, практически не получили должного развития (если говорить о масштабах исследований) в прикладных работах, связанных с геофизикой.
В то же время надо признать, что фрактальное моделирование как инструмент для изучения скрытого порядка в динамике неупорядоченных систем, каковыми являются многие геологические объекты,
практически становится технологической потребностью.
Мы остановимся на двух аспектах постановки обратных задач, связанных с особенностями фрактальных сред.
Пусть
Lu=F
(2)
- операторное уравнение, связывающее параметры среды с некоторым измеряемым полем. Для этого уравнения можно ставить две традиционные обратные задачи:
- задачу восстановления оператора L при известной правой части;
- задачу восстановления функции F при заданном операторе L.
В качестве исходных данных будем рассматривать значения функции u, заданные на некотором
многообразии M.
Первая из этих задач, как правило, связана с определением коэффициентов дифференциального
оператора, обусловленных параметрами среды. Если среда фрактальна, то в дифференциальном операторе
неизвестны не только коэффициенты , но и его порядок, который в этом случае является дробным и зависит от свойств среды.
Вторая задача связана с определения источников аномального поля на фоне заданной референтной
модели среды, определяющей конкретный вид оператора L. Положение источников определяется носителем. В случае фрактальной среды фрактальным является и множество, определяющее носитель функции
F. При этом на поверхности мы наблюдаем след этого фрактального множества в определенном диапазоне
масштабов.
Мы рассмотрим две частные задачи, связанные со спецификой фрактальной среды.
1. Задача приближенного восстановления носителя функции F, по фрактальному распределению
аномалий на многообразии M, которая может быть сформулирована, как задача фрактального анализа
«хаотически» распределенных аномальных зон (систем геохимических аномалий, систем линеаментов,
системы локальных магнитных и гравитационных аномалий и т.п.).
При этом мы фактически подменяем исходную обратную задачу определения функции F из уравнения (2) на задачу восстановления фрактального множества по его «проекции» на многообразие M на основе некоторых фрактальных характеристик.
2. Задача установления связи порядка дробных производных, определяющих оператор L и фрактальных параметров среды на примере процессов аномальной диффузии.
1.Анализ хаотических систем.
Остановимся на одном примере анализа хаотической системы, связанной с распределением геохимических аномалий. То, что такое распределение носит фрактальный характер известно уже достаточно давно [10-12]] . Метод фрактальной
фильтрации [13,14] изначально был разработан, чтобы создать объективные критерии отделения геохимических аномалий от фона. Он базируется на изучении степенного зависимости, аналогичной выражению (1),
между площадью A() (с концентрацией элемента, превышающей ) и
величиной :
(3)
A(  )    .
Здесь знак  обозначает пропорциональность,  - показатель степени, который может иметь несколько значений для различных величин
концентрации, оцениваемых величиной .
В разделе 2 отмечено, что изменение концентрации флюида может
быть описано уравнением субдиффузии, то есть процессом диффузии с
потерями. При этом геометрическая структура участков канала, на которых
происходят
потери,
Рис.1. Модель диффузии во
наследует
структуру
реальфрактальной среде
ной геологической среды и,
соответственно, обладает фрактальностью. Можно сказать,
что на поверхности мы наблюдаем выходы каналов, объединенных в самоподобную систему, фрактальные характеристики которой тесно связаны, как со структурой путей миграции,
так и с положением аномалиеобразующего объекта, например, нефтегазовой залежи.
На рис.1. показан пример вертикальной диффузии во
фрактальной среде. С точки зрения обратных задач мы долж- Рис.2. Зависимость площади A() (с конны по наблюденному на верхнем уровне полю восстановить центрацией элемента, превышающей ) и
нижний объект - источник диффузии. Если мы имеем возмож- величиной :
ность наблюдать на поверхности динамику процесса диффузии, то можно пытаться решать обратную задачу исходя из уравнения субдиффузии. Однако в геохимии такой возможности нет. И мы будем пытаться
решить эту задачу в той постановке, которая приведена выше – восстановить источник по фрактальным
характеристикам поля на поверхности.
Мультифрактальность такого объекта, как множество, наблюдаемых геохимических аномалий, характеризуемая, например, графиком соотношения (3) в логарифмических координатах (рис.2), позволяет
строить, распределение аномалий с различной фрактальной размерностью, которые характеризуют геологические объекты имеют разного масштаба. Выделение таких объектов из внешне хаотической совокупности уже само по себе имеет значение для интерпретации. Пример такого выделения дан на рисунке 3.
Рис.3. Выделение объектов с различной фрактальной размерностью
В простейшем случае, в предположении преобладания в процессе миграции вертикального направления можно построить гипотетические 3-D модели распределения изучаемого элемента с глубиной (рисунок 4). Такое распределение дает возможность более адекватно сравнивать данные геохимии с другими
методами.
2. Аномальная диффузия и
фрактальность среды
Термином «аномальная диффузия» в современной литературе принято обозначать процессы переноса на самоподобных структурах, характеризующиеся нестационарным распределением
частиц в пространстве, где расстояние r ,
которое прошла частица на фрактальном
множестве Φ за время t растет по закону r 2 (t )  2 D  t  . Во многих работах,
посвященных анализу аномальной диффузии (например [15], было показано,
что естественным математическим
аппаратом описания процессов т аРис.4. Приближенная 3-D модель миграции
кой диффузии на множестве F являются уравнения в частных дробных производных, как по пространственным координатам, так и
по времени. Мы будем рассматривать уравнение с дробной производной по t. При этом порядок
производной определяется величиной  
2
( θ - индекс связности множества F) [16].
2 
По смыслу величина  является параметром, характеризующим топологию множества F. Множество F при θ > 0 содержит внутренние пустоты, на огибание которых частица тратит значительную часть
времени. Причиной «задержек» могут стать многократные обходы пустот, а также блокировка частиц во
внутренних «тупиках».
Напротив, при θ < 0 распространение частиц по Φ ограничено компонентами связности, (частицы
свободно мигрируют вдоль множества Φ оставаясь в пределах выбранного канала.) При этом процесс
практически теряет диффузионный характер и порядок производной становится больше 1. Соответственно, в зависимости от конкретного значения  различают супердиффузионные, 1 <  < 2 и субдиффузионные, 0 < < 1) процессыТаким образом процесс аномальной диффузии описывается уравнением с дробной производной по t.
u t  Lu .
При этом в реальных задачах, порядок дифференцирования не известен, то есть необходимо ставить
задачу нахождения вида уравнения аномальной диффузии. Учитывая связь параметра  с топологическими свойствами среды, такая задача представляет самостоятельный интерес.
Для практического определения α обратимся к исследованию проводимости гетерогенной среды. По
одной из общепринятых гипотез проводимость  двухфазной среды связана с пористостью(z) с помощью закона Арчи [17]:
 = am  m ,
где  - проводимость флюида, am и m - эмпирические параметры.
При этом во фрактальной среде показатель m в формуле Арчи может быть записан в виде:
m  1 2
Dl  1
, где DV статистическая фрактальная размерность порового объёма, Dl- фрактальная
3  DV
размерность, характеризующая извилистость.
Теперь рассмотрим еще один известный подход к обоснованию закона Арчи. В работе [18] из соотношения Эйнштейна связывающего проводимость и коэффициент диффузии, а также приведенного выше
выражения (2), выведена некоторая разновидность формулы Арчи, с показателем степени, который несложно преобразовать к виду, связанному с рассмотренной выше формулой для показателя m (1).
m  1
2  Dw
.
DV  3
При этом величина Dw может быть выражена, через введенные выше параметры Dl и θ: Dw=2Dl или
Dw=2+ θ
Таким образом, в определенных случаях можно получить простую связь фрактальной характеристики извилистости с размерностью геодезических на фрактальном множестве Dl=dθ, а следовательно определить конкретную величину α=1/Dl , и, соответственно вид уравнения
аномальной диффузии.
Величина Dl допускает экспериментальное определение, что открывает совершенно новые возможности при моделировании. Исследование, связанные с экспериментальным
изучением фрактальных характеристик осадочных пород,
показывают, что Dl в различных условиях может достигать
Рис. 4. Процесс аномальной диффузии
при различных параметрах α
величин от 1.11 до 1.5. Изменение характера
процесса аномальной диффузии [19] можно
увидеть из рисунка 4. Процессы аномальной
диффузии появляются в самых различных
областях геофизики. В частности, эти процессы возникают при анализе поведения
электрического поля в во фрактальной
среде. Необходимо отметить, что в электро-
Рис.5. Возникновения дифузионно-волновой труктуразведке многочисленные эксперименты выры
наблюдаемого
поля при исследовании неоднородной
явили особенности электромагнитного поля,
ВЧР
с
помощью
плотных
пространственно-временных сеобычно отмечаемые при использовании
тей наблюдения
плотных пространственно-временных сетей
наблюдения. Результаты таких экспериментов можно найти, например, в работе [20], где приведен пример подобной картины поведения поля
(рис.5).
Выводы
Анализ традиционных обратных задач во фрактальных средах приводит к новым постановкам задач
восстановления, как дифференциального оператора с дробными производными, так и функций, входящих
в правую часть операторного уравнения, и характеризующихся фрактальностью носителей.
В работе затронуты только отдельные аспекты проблемы связанной с постановкой и исследованием
таких задач.
Литература
1 Gibiansky L., Torquato S. Rigorous connection between physical properties of porous rocks// J. of
geophysical research, 1998, v. 103.- № B10. – P. 23,911-23,923/
2. Lee Т. J. The transient electromagnetic response of a magnetic or superparamagnetic ground // Geophysics, 1984, v. 49, № 7, р. 854—860.
3. Nigmatullin P.P., Dissado L.A.,Soutougin N.N. A fractal pore model for Archie ,s law in sedimentary rocks. // Phys. D. 1992. V.25. P.32-37.
4. Smith R.S..Walker P.W., Poizer B.D., West G.F. The lime-domain EM response of polarizable bodies: An approximate convolution algorithm // Geophysical Prospecting.- 1988. - №36.- P.772-785.
5. Нигматуллин Р.Р. «Физика» дробного исчисления и ее реализация на фрактальных структурах. // Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.04.02. Казань, 1992. 231 с.
6. Нигматуллин Р.Р., Рябов Я.Е. Диэлектрическая релаксация типа Кола-Дэвидсона с самоподобным процессом релаксации. // ФТТ, 1997. Т. 39. №1. -С. 101-105.
7. Нигматулин Р.Р.,Сутугин Н.Н. Диэлектрическая релаксация неоднородной среды в модели
случайных фракталов // ЖТФ ,1990. Т60. № 2.- С.45-53.
8. Helioder F., Nigmatullin R.R., Riot P., Le Mehaute A. Du Temps Irreversible en Geometrie Fractale. Paris: Hermes, 1994. – 246 p.
9. Hill R.M., Dissado L.A., Nigmatullin R.R. Invariant behavior classes for the response of simple
fractal circuits. // J. Phys. C. –1991.- V.3.- P. 9773-9790.
10.Grunsky, E. and Smee, B. Differentiation of soil types and mineralization from multi-element geochemistry using multivariate methods and digital topography. Journal of Geochemical Exploration. 67, 1-3,
pp 1999, 289-301.
11.Harris, J. R., Wilkinson, L., Grunsky, E., Heather, K. and Ayer, J., Techniques for analysis and visualization of lithogeochemical data with applications to the Swayze Greenstone Belt, Ontario. Journal of Geochemical Exploration, 67, 1-3, 1999, pp. 301-344.
12.Kurzl, H., 1988. Exploratory data analysis: recent advances for the interpretation of geochemical
data. Journal of Geochemical Exploration, 30, 3, pp. 143-163.
13.Stanley, C. R. and Sinclair, A. J., Anomaly Recognition for multi-element geochemical data- a
background characterization approach. Journal of Geochemical Exploration. 29, 3, 1987, pp. 333-351.
14.Xu, Y., and Q. Cheng, A fractal filtering technique for processing regional geochemical maps for
mineral exploration, Journal of Geochemistry: Exploration, Environment and Analysis, V.1, No. 1, 2001,
pp..147-156
15 Metzler R, Klafter J. The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Phys. Rep., 2000, Vol. 339, P. 1_77
16 Зеленый Л.М., Милованов А.В. Фрактальная топология и странная кинетика:от теории перколяции к проблемам космической электродинамики. //УФН т.74, № 8, 2004, с.810-853.
17.Archie G.E. The electrical resistivity log as an aid in determining some reservoir characteristics
// Trans. Am. Inst. Min., Metallurg.,Petr.Eng. 1942, v.146, p. 54-62.
18.Roy Sh. And Tarafdar S. Archie’s law from fractal model for porous rocks // Physical Review
B.-1997. V. 55, № 13.-P. 8038-8041.
19. Бондаренко А. Н., Иващенко Д. С. Численное решение обратных задач аномальной диффузии // Тез. докл. всероссийской науч. конф. «Наука, Технологии, Инновации» Новосибирск, 2003,
4.1, С. 223 224.
20. Тригубович Г.М., Эпов М.И., Воевода В.В. Технология электромагнитного сканирования
приповерхностного слоя для решения инженерно-геологических задач. //Тез. докл. международной
конф. и выст. EAGE 15-18 сент. М.,1977.