6 класс, Головастикx

Зимний «Головастик» - 2016
6 класс, немного о средних
1. а) Два человека отправились на рынок продавать яблоки. У них было по 30 яблок. Один собирался продавать
2 яблока за 1 р., а другой — 3 яблока за 1 р. Перед началом торговли одного из них вызвали домой, и он попросил другого продавца продать его яблоки. Тот стал продавать 5 яблок за 2 р. Если бы они торговали порознь, то
выручили бы 10 р. и 15 р., а, продавая 5 яблок за 2 р., получили 24 р. Куда исчез рубль? б) По какой цене надо
продавать смесь яблок?
2. а) В магазине есть на равную сумму конфеты стоимостью 2 р. за килограмм и стоимостью 3 р. за килограмм.
По какой цене надо продавать смесь этих конфет? б) Тот же вопрос, если тех и других конфет одинаковое по весу
количество.
3. Водитель должен был проехать расстояние с определенной постоянной скоростью. Но он спешил и увеличил
скорость в два раза, за счет чего приехал на час раньше, чем планировал. Во сколько раз он должен был увеличить скорость, чтобы приехать на 2 часа раньше?
4. Когда Чебурашка идет по трамвайной линии против хода движения трамвая, то трамвай его сбивает каждые
5 минут (впрочем, с Чебурашкой ничего плохого не происходит). Когда же Чебурашка перешел на трамвайную
линию по ходу движения, то трамвай стал его сбивать каждые 7 минут. Как часто трамвай будет переезжать
Чебурашку, если тот будет спать на трамвайной линии?
5. Два совершенно одинаковых катера, имеющих одинаковую скорость в стоячей воде, проходят по двум различным рекам одинаковое расстояние (по течению) и возвращаются обратно (против течения). В какой реке на
эту поездку потребуется больше времени: в реке с быстрым течением или в реке с медленным течением?
6. У продавца имеются чашечные весы с неравными плечами и гири. Сначала он взвешивает товар на одной
чашке, затем – на другой, и берет средний вес. Не обманывает ли он?
7. Коля и Вася за январь получили по 20 оценок, причём Коля получил пятерок столько же, сколько Вася четвёрок,
четвёрок столько же, сколько Вася троек, троек столько же, сколько Вася двоек, и двоек столько же, сколько Вася
- пятёрок. При этом средний балл за январь у них одинаковый. Сколько двоек за январь получил Коля?
8. Один путник шел первые полпути со скоростью 4 км/ч, а вторые полпути со скоростью 6 км/ч. Другой путник
шел первую половину времени со скоростью со скоростью 4км/ч, а вторую половину времени со скоростью 6
км/ч. С какой постоянной скоростью должен был бы идти каждый из них, чтобы затратить на свое путешествие
то же самое время?
9. В клетках таблицы 10×10 записаны числа от 0 до 99 (первая горизонталь нумеруется слева направо числами
от 0 до 9, вторая от 10 до 19 и т. д.). Перед некоторыми числами поставлены плюсы, перед остальными - минусы,
так что в каждой горизонтали и в каждой вертикали по 5 плюсов и по 5 минусов. Докажите, что сумма всех чисел
равна 0.
10. Группа психологов разработала тест, пройдя который, каждый человек получает оценку – число Q – показатель его умственных способностей (чем больше Q, тем больше способности). За рейтинг страны принимается
среднее арифметическое значений Q всех жителей этой страны.
а) Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б. Покажите, что при этом у обеих стран мог вырасти рейтинг.
б) После этого группа граждан страны Б (в числе которых могут быть и бывшие эмигранты из А) эмигрировала в
страну А. Возможно ли, что рейтинги обеих стран опять выросли?
в) Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б, а группа граждан Б – в страну В. В результате этого рейтинги каждой страны оказались выше первоначальных. После этого направление миграционных потоков изменилось на противоположное - часть жителей В переехала в Б, а часть жителей Б – в А. Оказалось, что в результате
рейтинги всех трех стран опять выросли (по сравнению с теми, которые были после первого переезда, но до
начала второго). (Так, во всяком случае, утверждают информационные агентства этих стран.) Может ли такое
быть (если да, то как, если нет, то почему)? (Предполагается, что за рассматриваемое время Q граждан не изменилось, никто не умер и не родился.)
Зимний «Головастик» - 2016
6 класс, подсчеты
11. В каждой вершине куба стоит число +1 или –1. В центре каждой грани куба поставлено число,
равное произведению чисел в вершинах этой грани. Может ли сумма всех 14 чисел оказаться равной 0?
12. В клетках шахматной доски записали восемь единиц, восемь двоек, восемь троек и и т.д. до
восьми восьмерок. А) Могла ли сумма в каждом квадрате 2×2 оказаться равно 19? Б) а могла ли
сумма во всех квадратах 2×2 быть равно?
13. Имеется много одинаковых квадратов. В вершинах каждого из них в произвольном порядке
написаны числа 1, 2, 3 и 4. Квадраты сложили в стопку и написали сумму чисел, попавших в каждый
из четырех углов стопки. Может ли оказаться так, что в каждом углу стопки сумма равна 2015? А
2016?
14. Можно ли расставить по кругу 7 целых неотрицательных чисел так, чтобы сумма каких-то трех
расположенных подряд чисел была равна 1, каких-то трех подряд расположенных - 2, ... , каких-то
трех подряд расположенных - 7?
15. Футбольный мяч сшит из 32 лоскутков: белых шестиугольников и черных пятиугольников. Каждый черный лоскут граничит только с белыми, а каждый белый - с 3 черными и 3 белыми. Сколько
лоскутков белого цвета?
16. а) Аня записала все четырехзначные числа, которые можно получить с помощью цифр 1, 2, 3, 4,
5, 6 и у которых цифры в числе не повторяются. Найдите сумму всех таких чисел. б) Та же задача,
но цифры могут повторяться. В) Та же задача, при этом числа НЕ БОЛЕЕ ЧЕМ четырехзначные,
цифры не могут повторяться, но зато можно использовать ВСЕ цифры.
17. Две хорошо перетасованные колоды по 36 карт положили одну на другую. Затем подсчитали,
сколько карт РОВНО МЕЖДУ двумя шестерками пик, шестерками бубен и так далее для каждой
пары карт. Чему равна сумма всех 36 чисел?
18. На доске написано несколько натуральных чисел с суммой 100. а) Артем посчитал сколько на
доске написано чисел и записал результат. Затем Артем посчитал, сколько чисел, больших 1, было
выписано на доску и также записал результат. Потом он посчитал, сколько чисел, больших 2, первоначально было выписано на доске и записал результат. И так далее... Докажите, что сумма выписанных Артемом чисел также равна 100. б) Вася проделал те же операции, но только с числами
Артема. Докажите, что у Васи получился первоначальный набор чисел.
19. Во взводе 10 человек. В каждый из 100 дней какие-то четверо назначались дежурными. Докажите, что какие-то двое были вместе на дежурстве не менее 14 раз.
20. В стране 2000 городов. Каждый город связан беспосадочными двусторонними авиалиниями с
некоторыми другими городами, причем для каждого города число исходящих из него авиалиний
есть степень двойки. Для каждого города статистик подсчитал количество маршрутов, имеющих не
более одной пересадки, связывающих данный город с другими городами, а затем просуммировал
полученные результаты по всем 2000 городам. Могло ли у него получится 100000?
Зимний «Головастик» - 2016
6 класс, принцип крайнего
21. Докажите, что числа от 1 до 16 нельзя записать по
кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел
была квадратом натурального числа.
22. а) Незнайка отметил несколько точек на прямой.
Он утверждает, что каждая отмеченная точка является
серединой отрезка, соединяющего какие-то две отмеченные точки. Покажите, что Незнайка где-то что-то не
досмотрел.
б) Незнайка отметил ещё несколько точек вне прямой и уверяет, что теперь точно каждая
отмеченная точка является серединой отрезка, соединяющего какие-то две отмеченные
точки. Докажите, что Незнайка ошибается.
23. 11 детей бегают по футбольному полю, каждый со своим мячом. По свистку они останавливаются, и каждый даёт пас ближайшему к нему (все расстояния между ребятами различны). Докажите, что найдётся человек, которому никто не отдал пас.
24. Семь шестиклассников решили вместе 100 задач, причем каждый решил разное количество задач. Докажите, что какие-то три школьника решили вместе не менее 50 задач.
25. Пятизначное число называется неразложимым, если оно не раскладывается в произведение двух трёхзначных чисел. Какое наибольшее количество неразложимых пятизначных
чисел может идти подряд?
26. Солдаты построены в две шеренги по n человек, так что каждый солдат из первой шеренги не выше стоящего за ним солдата из второй шеренги. В шеренгах солдат выстроили
по росту. Докажите, что после этого каждый солдат из первой шеренги также будет не выше
стоящего за ним солдата из второй шеренги.
27. Найдите все четверки действительных чисел, в каждой из которых любое число равно
произведению каких-либо двух других чисел.
28. На бесконечном клетчатом листе бумаги 100 клеток закрашены в чёрный цвет, а все
остальные – в белый. За один ход разрешается перекрасить в противоположный цвет любые
четыре клетки, образующие квадрат 2×2. Известно, что любая горизонталь и любая вертикаль листа изначально содержит чётное число чёрных клеток. Верно ли, что за несколько
ходов всегда можно добиться того, что все клетки окажутся белыми?
29. Фокусник Арутюн и его помощник Амаяк собираются показать следующий фокус. На
доске нарисована окружность. Зрители отмечают на ней 2007 различных точек, затем помощник фокусника стирает одну из них. После этого фокусник впервые входит в комнату,
смотрит на рисунок и отмечает полуокружность, на которой лежала стертая точка. Как фокуснику договориться с помощником, чтобы фокус гарантированно удался?
30. В марсианском метро с любой станции можно проехать на любую. Докажите, что можно
так выбрать станцию и закрыть её на ремонт (без права проезда через неё), что по-прежнему
можно будет проехать с любой оставшейся станции на любую оставшуюся.)