Рациональные дроби

308817651
1
Рациональные дроби
Под целой рациональной функцией подразумевается многочлен п-й степени
f(x) = a0x n + a1x n – 1+ a2x n – 2 ++ an,
(1)
где а0  0 и п  0.
Дробно-рациональная функция или рациональная дробь – это частное двух
целых рациональных функций
f x 
. Будем рассматривать рациональные дроби с
g x 
действительными коэффициентами.
Рациональная дробь называется несократимой, если её числитель взаимно
прост со знаменателем.
Теорема. Всякая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби,
определяемой однозначно с точностью до множителя нулевой степени, общего для
числителя и знаменателя.
Доказательство. Всякую рациональную дробь можно сократить на наибольший
делитель её числителя и знаменателя, после чего будет получена равная ей несократимая дробь. Если равны друг другу несократимые дроби
f  x   x   g  x   x  ,
f x   x 
и
, то есть
g x   x 
(2)
то из взаимной простоты f(x) и g(x) следует, что (х) делится на f(x), а из взаимной
простоты (x) и (х) следует, что f(x) делится на (х). Отсюда f(x) = с(х), а тогда из
(2) следует g(x) = с(х).
Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше
степени знаменателя. Будем считать, что многочлен степени 0 является правильной
дробью.
Теорема. Всякая рациональная дробь представима притом единственным
способом, в виде суммы многочлена и правильной дроби.
Пусть дана рациональная дробь f(x)/g(x). Если, деля числитель на знаменатель,
получим равенство
f(x) = q(x) g(x) + r(x),
308817651
2
где степень r(x) меньше степени g(x), то очевидно,
f x 
r x 
 q x  
g x 
g x 
Если также справедливо равенство
f x 
 x 
,
 q1  x  
g x 
 x 
где степень (х) меньше степени (х), то справедливо равенство
qx   q1x  
 x  r x   x g x    x r x 


 x  g x 
 x g x 
Так как слева стоит многочлен, а справа – правильная дробь, то обязательно
q(x) = q1(x) и
 x  r x 

 x  g x 
Из изложенного ранее следует, что среди многочленов с действительными
коэффициентами и со старшим коэффициентом 1, неразложимыми на множители
меньшей степени, или неприводимыми, являются лишь линейные многочлены
вида х – а и квадратные многочлены вида
 x   x  a x  a   x 2  a  a x  aa
(конечно, здесь a и а – комплексно сопряженные числа)
Правильная рациональная дробь f(x)/g(x) называется простейшей, если её
знаменатель g(x) является степенью неприводимого многочлена р(х),
g(x) = рk(х), k  1, а степень числителя f(x) меньше степени р(х).
Основная теорема о рациональных дробях. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей.
Рассмотрим
сначала
правильную
рациональную
дробь
f x 
,
g  x h x 
где
многочлены g(x) и h(х) взаимно просты. Тогда существуют многочлены u1(х) и v1(x),
такие что
g(x) u1(х) + h(х) v1(x) = 1
308817651
3
Отсюда
g(x)[u1(х) f(x)] + h(х)[v1(x) f(x)] = f(x)
(3)
Пусть остаток от деления произведения u1(х) f(x) на h(х) равен u(х), степень которого
меньше степени h(х). Тогда равенство (3) можно переписать в виде
g(x) u(х) + h(х) v(x) = f(x),
(4)
где многочлен v(x) легко определяется. Так как степень произведения g(x) u(х)
меньше степени произведения g(x) h(х), и степень f(x) меньше степени произведения
g(x) h(х) по условию теоремы, то и произведение h(х) v(x) имеет степень, меньшую,
чем g(x) h(х). Поэтому степень v(x) меньше степени g(x). Из (3) следует равенство
f x 
v x  u  x 
,


g x hx  g x  h x 
в правой части которого стоит сумма правильных дробей.
Если хотя бы одни из знаменателей g(x) или h(х) разлагается в произведение
взаимно простых множителей, то можно провести дальнейшее разложение. Отсюда
следует, что всякая правильная дробь разлагается в сумму нескольких правильных
дробей, каждая из которых имеет знаменателем степень некоторого неприводимого
многочлена. Если дана правильная дробь f(x)/ g(x), знаменатель которой разлагается
на неприводимые множители
g  x   p1 1 x  p 2 2 x  pl l x 
k
(конечно,
всегда
можно
k
k
считать,
что
старший
коэффициент
знаменателя
рациональной дроби равен единице), причём pi(х)  pj(x) при i  j, то
u x 
u x 
f x  u1 x 

 2
 l
k
g x  p k1 x  p k 2 x 
pl l  x 
1
2
Все слагаемые в правой части этого равенства являются правильными дробями.
Рассмотрим правильную дробь вида u(х)/рk(x), где р(х) – неприводимый
многочлен. Разделим u(х) на рj(x), где j – наибольшее натуральное число из тех, при
которых можно осуществлять деление u(х) на рj(x) (j  k – 1). Отметим, что при
308817651
4
степени многочлена и(x) равной т, если р(x) = х – а, то j = т. Если же
р(x) = х2 + рх + q (p2 – 4q < 0), то при т чётном j = т/2, а при т нечётном
j = (т  1)/2.
Полученный остаток разделим на рj1(x) и т. д. В результате придём к
равенствам
u x   p j x s1 x   u1 x 
u1 x   p j 1 x s2 x   u 2 x 

u j  p x s j 1  x   u j 1  x 
При этом степень u(х) по условию меньше степени рk(x), а степень каждого из
остатков ui(х) i = 1,2,,j + 1 меньше степени соответствующего делителя рj–i+1(x),
то степени всех частных s1(x), s2(x),…, sj+1(x) будут строго меньше степени
многочлена р(х).
ux   p j x s1 x   p j 1 x s 2 x     px s j 1 x   u j 1 x  .
Отсюда получается искомое представление рациональной дроби u(х)/рk(x) в виде
суммы простейших дробей:
ux 
p
k
x 

u j 1  x 
p
k
x 

s j 1  x 
p
k 1
x 
s 2 x 

p
k  j 1
x 
s1 x 

p
k j
x 
,
и основная теорема доказана.
Теорема
единственности.
Всякая
правильная
рациональная
дробь
обладает единственным разложением в сумму простейших дробей.
Пусть некоторая правильная рациональная дробь может быть представлена в
виде суммы простейших дробей двумя способами. Вычитая одно из этих
представлений из другого и приводя подобные члены, получим сумму простейших
дробей, тождественно равную нулю. Пусть знаменатели простейших дробей,
составляющих эту сумму, будут некоторыми степенями различных неприводимых
многочленов р1(х), р2(х),, рs(х) и пусть наивысшая степень многочлена рi(х),
308817651
5
i = 1,2,,s, являющегося одним из этих знаменателей, будет p k i x  . Умножим обе
k 1
части рассматриваемого равенства на произведение p1 1
x  p2k 2 x  p sk s x  .
Все
слагаемые полученной суммы, кроме одного, превратятся при этом в многочлены.
Слагаемое
ux 
p
k1
x 
u  x  p 2 2  x  p s s  x 
k
k
превратится в дробь
p1  x 
. Знаменатель этой
дроби не является делителем числителя, так как многочлен р1(x) неприводим, а все
множители числителя с ним взаимно просты. Выполняя деление числителя на
знаменатель с остатком , в результате получим, что равна нулю сумма многочлена и
отличной от нуля правильной дроби, что невозможно.