Document 567558

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА НАГРУЖЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
Р.З. Кажарова
Учреждение Российской академии наук Научно-исследовательский институт прикладной
математики и автоматизации КБНЦ РАН (Россия, г. Нальчик)
Рассмотрим следующий класс нагруженных дифференциальных уравнений с
частными производными порядка   1, 2 :
j
j
j

D0t u x,   u x, t    a x, t u x, t j    b x, t u x j , t    c x, t u x j , t j    x, t  .
m
n
k
j 1
j 1
j 1
(1)
Здесь D0t - оператор дробного дифференцирования порядка  ,    x  - спектральная
функция из класса C I r , I r  x,0 : 0  x  r, a j  x, t , b j  x, t , c j  x, t ,  x, t  - заданные
непрерывные в области   x, t  : 0  x  r, 0  t  T  функции независимых переменных
 
x и t , x j , t j  - заданные точки из  , причем t j  0, j  1, 2, ..., k . Пусть   - гамма-
функция Эйлера, 1 /  z;   - функция Миттаг-Леффлера.


Задача VN: Найти решение ux, t  уравнения (1) из пространства L   C  \ I r
удовлетворяющее следующим условиям

lim t 2  u  x, t     x , 0  x  r ,
(2)
t  0 t
(3)
ux,T    x, 0  x  r,
 
где  x  ,  x - заданные функции из класса C I r .
Для уравнения (1) задачи Коши и Дирихле в видоизмененной постановке были
рассмотрены В.А. Нахушевой [1]. Применяя методику исследования В.А. Нахушевой
доказана следующая теорема.
Теорема. Пусть  x, t   L   C  \ I r и 1/  T  ;  1  0. Тогда решение задачи VN
для уравнения

(4)
D0t ux,   ux, t    x, t 
представимо в виде
(5)
ux, t   U , ,, ; x, t   U , , ; x, t   U , ; x, t ,
где
U  , , ; x, t    x t 11/  t ;   x  1t 21/  t ;  1 ,









U  , ; x, t    D0t 1/   t    ;  x, ,
 x  
T ;  1 x    xT
1
T
 2
1 / 






1 /  T  ;  D0T 1 /   T    ; 
 1
m
n
k


   x,    a j  x, u x, t j   b j  x, u x j ,   c j  x, u x j , t j  .
(6)
j 1
j 1
j 1


Для задачи VN выписано обобщенное решение. Методом интегральных уравнений
доказана однозначная разрешимость поставленной задачи при m  n  k  1 в
случаях: аx, t   0 ; bx, t   0 ; сx, t   0 .
Рассмотрим частный случай уравнения (1). Пусть m  n  k  1 , bx, t   0 . Тогда
уравнение (1) принимает вид:

(7)
D0t ux,   ux, t   ax, t ux, t1   сx, t ux1, t1    x, t ,
Решение задачи VN для уравнения (7) представимо в виде:
 




u x, t   U  , , , ; x, t  


(8)
  D0t 1/   t    ;  ax, u x, t1   сx, u x1, t1 ,

где
U  , , , ; x, t    x  t  11 /  t  ;   x t   21 /  t  ;  1   D0t 1 /   t    ;  x,  ,
1
 x     x T  11 /  T  ;  D0T 1 /   T    ; 
а  x     2

T 1 /  T ;  1
  x,   ax, ux, t1   сx, ux1, t1  .
Перепишем (8) в виде:
(9)
ux, t   U , ,, ; x, t   Ax, t ux, t1   Cx, t ux1, t1 ,
где















t   ; cx, .
Ax, t    D0t 1/   t    ; ax, ,

C x, t    D0t 1/ 
Рассмотрим следующие варианты уравнения (9):
(10)
ux, t   f x, t   Ax, t ux, t1 ,
(11)
ux, t   f x, t   Cx, t ux1, t1 ,
где f x, t   U , ,, ; x, t .
Исследуем разрешимость модельного уравнения (10). Пусть t  t1 , тогда получаем
u  x, t1  
f  x, t1 
.
1  Ax, t1 
Нагруженное функциональное уравнение (10) однозначно разрешимо, если
Ax, t1   1, тогда решение этого уравнения записывается в виде:
f  x, t1 
u  x, t   f  x, t   A x, t 
.
(12)
1  Ax, t1 
Рассмотрим разрешимость уравнения (11). Пусть с( x, t )  c1  const . Так как [1]


Cx, t   c1t 1/  t ;  1 ,
то уравнение (11) безусловно и однозначно разрешимо тогда и только тогда, когда
c1t1 1/  t1 ;  1  1.
Решение уравнения (11) записывается в следующем виде:
f  x1, t1 
u  x, t   f  x, t   С  x, t 
.
1  С x1, t1 


(13)
Литература
1. Нахушева В.А. Задачи Коши и Дирихле в видоизмененной постановке для одного
класса нагруженных дифференциальных уравнений дробного порядка// Докл. Адыг.
(Черкес.) Междунар. Акад. Наук. Нальчик, 2009. Т. 11, № 1. С. 6-9.