Научно – исследовательская работа по математике УО ГОСШ 16

УО ГОСШ 16
Научно – исследовательская работа по
математике
Подготовил ученик 10* класса
Почтовый Павел
Учитель Сергеева И.В.
2007-2008 уч. год
ЧАСТЬ 2
Дробная часть числа.
Оглавление.
1. Введение.
2. Определение дробной части числа.
3.Технология построения графиков функции, содержащих
дробную часть числа.
4.Примеры решения уравнений, содержащих дробную часть
числа.
5. Примеры решения неравенств.
6. Решение уравнений функциональным методом.
7. Заключение.
8. Литература.
ВВЕДЕНИЕ.
После изучения функции Антье (содержащей целую часть
числа) мне стало интересно, как ведет себя функция у = х. Для
этого я изучил ее свойства, построил график и научился решать
уравнения и неравенства, содержащие дробную часть числа и
одновременно целую и дробную части числа. В связи с этим я
поставил перед собой следующие цели:
- продолжить изучение функций у=[х], у = х, их свойства и
графики;
- научиться решать уравнения и неравенства, содержащие дробную
часть числа;
- применять функциональный метод при решении данного типа
уравнений.
В соответствии с поставленными целями передо мной стоят
следующие задачи:
- повторить способы задания функций, свойства и графики
основных видов функций, геометрические преобразования
графиков функций;
- искать способы применения свойств функций для решения задач;
- научиться решать уравнения и неравенства, содержащие
одновременно и целую и дробную части числа, а также
усложненные уравнения и неравенства (с модулем и параметром).
ГЛАВА 1
ДРОБНАЯ ЧАСТЬ ЧИСЛА.
Дробной частью числа называют разность между самим числом
x и его целой частью.
{х}=х-[х]  х=[х] + {х}
Примеры:
{2,81} = 0, 81;
{-0,2} = 0,8
Свойство дробной части числа:
Дробная часть числа всегда неотрицательна и не превышает 1,
т.е.
{х}[0;1)
ГЛАВА 2
Решение уравнений, содержащих дробную часть числа
3. х+0,8=0
х+0,8-х+0,8=0
х+0,8=х+0,8
Значит, х+0,8=n, где nZ,
х= n-0,8, где nZ
4. х+2,27=2,27
х+2,27 - х+2,27=0,27
х+2=х+2,27, т.к. правая часть всегда целое число, то и
х+2 - целое число, значит х – любое целое число.
5. 8х2 - 6х + 1=0
х=а,
8а2 – 6а + 1=0
D=36-32=4;
а1=
62
16
=1
2
а2= 6  2 = 1
16
4
х= 0,5 и х= 0,25
Ответ: х- любое число, дробная часть которого равна 0,5 или 0,25.
6.
ГЛАВА 3
Решение неравенства, содержащего дробную и целую части числа
2. х+х-х
0
Решение.
х+х=х, значит, неравенство примет вид:
х - х  0
При х0
2х  0
х0
Значит, в этом интервале решений нет.
При х0
х0;+)
Ответ: 0;+)
3. хх  х-1
Решение.
х (х-х) х-1
х х - х2 - х+10
Решим квадратное неравенство относительно х:
Д=х2-4х+4=(х-2)2
х=1; х = х-1
Так как х не может быть равно (х-1) по определению целой части
числа, то
х=1,значит, переходя, к неравенству имеем:
х2
Ответ: 2;+)
ГЛАВА 4
Построение графиков функций, содержащих целую и дробную
части числа.
1. у =х+х
х+х=х;
поэтому функция примет вид :
у=х
2. у =х Так как 0х1, значит , х=0; у=0
3. у=х, у=0
4. у=х+х+х+х
Так как х+х=х, то у=х+2х
5. у=
у=
2х
х
х  х  х
х
ГЛАВА 5
Решение уравнений данного типа, с использованием свойств и графиков
данных функций.
1. [x]=2{x}
2. х=1-х
3. х= 1 
х
4. [x]{x}=1
ГЛАВА 6
Система работы над построением графиков функций, содержащих
целую и дробную части числа.
1. у=х2
Построим сначала график основной функции у=х2
Затем заметим, что область значений функции у=х
х0;1)
учитывая периодичность функции и то, что она является кусочно-заданной,
выполним параллельный перенос соответствующих частей графика функции
на единицу влево и вправо.
2. у=х2-4х+3
Координаты вершины параболы (2;-1)
Точки пересечения с осями координат (0;3); (1;0); (3;0)
3. у=х2-4х+3
Этот график нельзя построить таким способом, как два предыдущих, так как
под знаком дробной части содержится только х, поэтому применим способ
построения графика на отдельных промежутках. Построим график этой
функции на промежутке -2;2)
При -2х-1; х=-2; х=х+2, значит у= х2-4х-5;
При -1х0; х=-1; х=х+1, значит у= х2-4х-1;
При 0х1; х=0; х=х,
значит у= х2-4х+3;
При 1х2; х=1; х=х-1, значит у= х2-4х+7
4. у=2(х-1)х-1 при х -2;2)
Применим способ построения графика на отдельных промежутках.
При -2х-1; -3х-1-2; х-1=х-1+3=х+2
у=2(х-1)(х+2)=2х2+2х-4
При -1х0; -2х-1-1; х-1=х-1+2=х+1
у=2(х-1)(х+1)=2х2-2
При 0х1; -1х-10; х-1=х-1+1=х
у=2(х-1)х=2х2-2х
При 1х2; 0х-11; х-1=х-1
у=2(х-1)(х-1)=2х2-4х+2
5. Решить графически уравнение и найти количество корней уравнения на
промежутке от -2 до 2
х+
1
1
=х+
х
х 
Построим графики функций у=х+
1
1
и у=х+
на соответствующем
х
х 
промежутке.
При -2х-1; у= х+
При -1х0; у= х+
1
1
= -2- =-2,5
2
х 
1
= -1-1=-2
х 
При 0х1 – неопределена
1
= 1+1=2
х 
1
1
При -2х-1; у=х+ =х+2+
х2
х
При 1х2; у= х+
При -1х0; у=х+
1
1
=х+1+
х 1
х
При 0х1; у=х+
1
1
=х+
х
х
При 1х2; у=х+
1
1
=х-1+
х 1
х
Ответ: нет корней.
6. При каких значениях параметра а графики функций пересекаются
3х+ау=4 и 6х+8у=3.
Решение.
у=
4  3х
3  6х
и у=
а
8
4  3х 3  6х
=
, а – не равно 0
а
8
32-24х=3а-6ах
х(6а-24)=3а-32
3а  32
; 6а-24=0; а=4
6а  24
3а  32
3а  32
32
0
1;
0, при а(-;4)( ;)
6а  24
6а  24
3
3а  32
 3а  8
8
1;
0; при а(-;- )(4;+)
6а  24
6а  24
3
8
32
Значит а а(-;- )( ;+)
3
3
х=
Заключение
В ходе своего исследования я пришел к выводу, что данный
материал способствует усвоению свойств всех изученных ранее
функций в новых условиях. В связи с этим в каждой отдельно
взятой задаче я, прежде всего, стремлюсь увидеть функциональное
содержание, найти способы и пути применения общих свойств
функций к ее решению.
Исследуя тему целой части числа, я познакомился с
понятиями « целая » и « дробная » части числа, научился
применять их при решении уравнений и неравенств, построении
графиков. Для построения графиков функций, содержащих
дробную часть числа, был выработан алгоритм. Таким образом,
цель моей работы была достигнута.