Вариант 1 1. B 1 . На день рождения полагается дарить букет из

Вариант 1
1. B 1 . На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 30
рублей за штуку. У Вани есть 500 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить
букет Маше на день рождения?
2. B 2 Клиент взял в банке кредит 12 000 рублей на год под 16%. Он должен погашать кредит,
внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму,
взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?
3. B 3 . На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый месяц
2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия.
Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру в 2003 году. Ответ дайте в
градусах Цельсия.
4. B 4 . В магазине одежды объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму свыше
10 000 руб., он получает сертификат на 1000 рублей, который можно обменять в том же магазине на
любой товар ценой не выше 1000 руб. Если покупатель участвует в акции, он теряет право возвратить
товар в магазин. Покупатель И. хочет приобрести пиджак ценой 9500 руб., рубашку ценой 800 руб. и
галстук ценой 600 руб. В каком случае И. заплатит за покупку меньше всего:
1) И. купит все три товара сразу.
2) И. купит сначала пиджак и рубашку, галстук получит за сертификат.
3) И. купит сначала пиджак и галстук, получит рубашку за сертификат.
В ответ запишите, сколько рублей заплатит И. за покупку в этом случае.
5. B 5
Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр
четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
6. B 6 . В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США,
остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите
вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
7. B 7 . Найдите корень уравнения
8. B 8 .
Найдите
.
В
.
треугольнике
,
высота
9. B 9 .
На рисунке изображен
функции
. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику
абсцисс или совпадает с ней.
равна
4,
.
график производной
параллельна оси
10. B 10
Около шара описан цилиндр, площадь поверхности
которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.
11. B 11 . Найдите значение выражения
.
12. B 12 . В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После
его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в
метрах, меняется по закону
где – время в секундах, прошедшее с
момента открытия крана,
– начальная высота столба воды,
– отношение площадей
поперечных сечений крана и бака, а – ускорение свободного падения (считайте
м/с ). Через
сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?
13. B 13 .
Основанием прямой треугольной призмы служит
прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
14. B 14 . Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально
противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут
мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости
другого?
15. B 15 . Найдите точку максимума функции
.
16. C 1 . а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
17.C 2. В
параллелепипеде
известны
Найдите
прямой
и плоскостью
18. C 3 . Решите систему
прямоугольном
угол
между
19.
C 4 . Окружности
радиусов и с
центрами и
соответственно
касаются
в
точке Прямая, проходящая через точку вторично пересекает меньшую окружность в точке а
большую — в точке Найдите площадь треугольника
если
20. C 5 . Найдите все значения a, при которых уравнение
имеет хотя бы один
корень, принадлежащий промежутку (-1; 2].
21. C 6 . Каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 по одному записываю на 8 карточках. Карточки
переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1,
-2, -3, 4, -5, 7, -8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм
перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Вариант № 2
1. B 1 . В университетскую библиотеку привезли новые учебники по геометрии для 2—3 курсов,
по 280 штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 7 полок, на
каждой полке помещается 30 учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми
учебниками?
2. B 2 . На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и залил в бак 28 литров бензина по
цене 28 руб. 50 коп. за литр. Сколько рублей сдачи он должен получить у кассира?
3. B 3 . На диаграмме показано распределение выплавки меди в 10 странах мира (в тысячах тонн)
за 2006 год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимали США, десятое
место — Казахстан. Какое место занимала Индонезия?
4. B 4 . Вася загружает на свой компьютер из Интернета файл размером 30 Мб за 28 секунд. Петя
загружает файл размером 28 Мб за 24 секунды, а Миша загружает файл размером 38 Мб за
32 секунды. Сколько секунд будет загружаться файл размером 665 Мб на компьютер с наибольшей
скоростью загрузки?
5. B 5 .
Найдите радиус окружности, описанной около правильного
треугольника
, считая стороны квадратных клеток равными 1.
6. B 6 . В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность
того, что орел выпадет ровно один раз.
7. B 7 . Найдите корень уравнения:
.
8. B 8 .
угла при вершине
равен -0,1. Найдите
В треугольнике
.
угол
равен 90°, тангенс внешнего
9. B 9 .
На рисунке изображен график производной
функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В
ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
10. B 10 .
Во сколько раз увеличится объем правильного
тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?
11. B 11 Найдите значение выражения
.
12. B 12 . При температуре
рельс имеет длину
м. При возрастании температуры
происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по
закону
, где
— коэффициент теплового расширения, —
температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 7,5 мм? Ответ выразите
в градусах Цельсия.
13. B 13 .
Два ребра прямоугольного параллелепипеда,
выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94.
Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.
14. B 14 . Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть – со
скоростью 120 км/ч, а последнюю – со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на
протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
15. B 15 . Найдите точку максимума функции
.
16. C 1 . а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
17. C 2. В правильной треугольной призме
боковое ребро равно
основания равно Точка — середина ребра
Найдите объём пятигранника
а ребро
18. C 3 . Решите систему неравенств
19. C 4 . Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него
четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок
этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 14, а отношение катетов треугольника
равно
.
20. C 5 . При каждом а решите систему уравнении
21. C 6 . Натуральные числа от 1 до 20 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по
крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары
групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?
Вариант № 3
1. B 1 В университетскую библиотеку привезли новые учебники по геометрии для 1–3 курсов, по
360 штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 9 полок, на каждой
полке помещается 25 учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками?
2. B 2 . Рост Джона 6 футов 1 дюйм. Выразите рост Джона в сантиметрах, если 1 фут равен 0,305
м, а 1 дюйм равен 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.
3. B 3 . На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт-Петербурге за
каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в
градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная
температура не превышала 4 градусов Цельсия.
4. B 4 . Мебельный салон заключает договоры с производителями мебели. В договорах
указывается, какой процент от суммы, вырученной за продажу мебели, поступает в доход мебельного
салона.
Фирма-производитель
Процент от выручки,
Примечания
поступающий в доход салона
«Альфа»
5%
Изделия ценой
до 20 000 руб.
«Альфа»
3%
Изделия ценой
свыше 20 000 руб.
«Бета»
6%
Все изделия
«Омикрон»
4%
Все изделия
В прейскуранте приведены цены на четыре дивана. Определите, продажа какого дивана наиболее
выгодна для салона. В ответ запишите, сколько рублей поступит в доход салона от продажи этого
дивана.
Фирма-производитель Изделие
Цена
«Альфа»
Диван «Коала»
15 000 руб.
«Альфа»
Диван «Неваляшка» 28 000 руб.
«Бета»
Диван «Винни-Пух» 17 000 руб.
«Омикрон»
Диван «Обломов»
23 000 руб.
5. B 5 .
Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через
точки с координатами (−2; 0) и (0; 2).
6. B 6 . В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и
«Ласточка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну
конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».
7. B 7 . Найдите корень уравнения
.
8. B 8 .
В
косинус внешнего угла при вершине .
треугольнике
угол
равен
90°,
.
Найдите
9. B 9 . Материальная точка движется прямолинейно по закону
(где x —
расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите
ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с.
10. B 10 . Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной
поверхности цилиндра.
11. B 11 . Найдите значение выражения
.
12. B 12 . Очень лeгкий заряженный металлический шарик зарядом
Кл скатывается по
гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет
м/с, на него начинает
действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции которого лежит в той же плоскости и
составляет угол с направлением движения шарика. Значение индукции поля
Тл. При
этом на шарик действует сила Лоренца, равная
(Н) и направленная вверх
перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла
шарик оторвeтся от
поверхности, если для этого нужно, чтобы сила
градусах.
была не менее чем
Н? Ответ дайте в
13. B 13 .
Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе
укажите
.
14. B 14 . Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько
деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?
15. B 15 . Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
.
16. C 1 . а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
17. C 2 . Основанием прямой призмы
является прямоугольный треугольник
гипотенузой
и катетом
прямой
и плоскостью
18. C 3 . Решите систему
Высота
призмы
равна
Найдите
угол
с
между
19. C 4 . В треугольнике
известны стороны:
. Окружность,
проходящая через точки и , пересекает прямые
и
соответственно в точках и , отличных
от вершин треугольника. Отрезок
касается окружности, вписанной в треугольник
. Найдите
длину отрезка
.
20. C 5 . Найдите все значения при каждом из которых наименьшее значение
функции
на множестве
не менее 6.
21. C 6 . Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отлично от нуля), составленная из
натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9.
а) Может ли в такой прогрессии быть десять членов?
б) Докажите, что число её членов меньше 100.
в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72.
г) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами
Вариант № 4
1. B 1 . Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 3300 рублей. До установки
счётчиков Александр платил за воду (холодную и горячую) ежемесячно 800 рублей. После установки
счётчиков оказалось, что в среднем за месяц он расходует воды на 300 рублей при тех же тарифах на
воду. За какое наименьшее количество месяцев при тех же тарифах на воду установка счётчиков
окупится?
2. B 2 . Мобильный телефон стоил 3500 рублей. Через некоторое время цену на эту модель
снизили до 2800 рублей. На сколько процентов была снижена цена?
3. B 3 . На диаграмме показано распределение выплавки меди в 10 странах мира (в тысячах тонн)
за 2006 год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимали США, десятое
место — Казахстан. Какое место занимала Индонезия?
4. B 4 .
Семья из трех человек едет из Москвы в Чебоксары. Можно ехать поездом, а можно — на своей
машине. Билет на поезд на одного человека стоит 930 рублей. Автомобиль расходует 11 литров
бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 18,5 рублей
за литр. Сколько рублей придется заплатить за наиболее дешевую поездку на троих?
5. B 5 .
В прямоугольнике расстояние от точки пересечения
диагоналей до меньшей стороны на 1 больше, чем расстояние от нее до большей стороны. Периметр
прямоугольника равен 28. Найдите меньшую сторону прямоугольника.
6. B 6 . В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода,
установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода
завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите
вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.
7. B 7 . Решите уравнение
8. B 8 . В треугольнике
.
угол
равен 90°,
,
. Найдите
.
9. B 9 . Материальная точка движется прямолинейно по закону
(где x —
расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой
момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
10. B 10 . В кубе
градусах.
найдите угол между прямыми
и
. Ответ дайте в
11. B 11 . Найдите значение выражения
при
.
12. B 12 . Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных изданий на основе
показателей информативности , оперативности
и объективности
публикаций. Каждый
показатель оценивается целыми числами от -2 до 2.
Аналитик, составляющий формулу, считает, что объективность публикаций ценится втрое, а
информативность — вдвое дороже, чем оперативность. В результате, формула примет вид
Каким должно быть число , чтобы издание, у которого все показатели наибольшие, получило
рейтинг 30?
13. B 13 .
В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2.
Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
14. B 14 . Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между
которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше
прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь
столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B.
Ответ дайте в км/ч.
15. B 15 . Найдите наименьшее значение функции
.
16. C 1 Решите систему уравнений
17. C 2 . Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, все рёбра основания которой
равны
Сечение, проходящее через боковое ребро AA1 и середину M ребра В1C1, является
квадратом. Найдите расстояние между прямыми A1B и АМ.
18. C 3 . Решите систему неравенств
19. C 4 Расстояние между параллельными прямыми равно
На одной из них лежит точка а на
другой — точки и причем треугольник
— равнобедренный и его боковая сторона
равна
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник
20.
C 5 . Найдите
все
положительные
значения при
каждом
из
которых
система
имеет единственное решение.
21. C 6 . Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел:
−11, 12, 13, −14, −15, 17, −18, 19.
Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному из
чисел:
−11, 12, 13, −14, −15, 17, −18, 19.
После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 117?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Вариант № 5
1. B 1 . Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 3300 рублей. До установки
счётчиков Александр платил за воду (холодную и горячую) ежемесячно 800 рублей. После установки
счётчиков оказалось, что в среднем за месяц он расходует воды на 300 рублей при тех же тарифах на
воду. За какое наименьшее количество месяцев при тех же тарифах на воду установка счётчиков
окупится?
2. B 2 . Диагональ экрана телевизора равна 64 дюймам. Выразите диагональ экрана в сантиметрах,
если в одном дюйме 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.
3. B 3 .
На рисунке жирными точками показана среднемесячная температура воздуха в Сочи за каждый
месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах
Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку наименьшую
среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1920 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.
4. B 4 . В среднем гражданин А. в дневное время расходует 120 кВт ч электроэнергии в месяц, а в
ночное время — 185 кВт ч электроэнергии. Раньше у А. в квартире был установлен однотарифный
счетчик, и всю электроэнергию он оплачивал по тарифу 2,40 руб. за кВт ч. Год назад А. установил
двухтарифный счётчик, при этом дневной расход электроэнергии оплачивается по тарифу
2,40 руб. за кВт ч, а ночной расход оплачивается по тарифу 0,60 руб. за кВт ч. В течение 12 месяцев
режим потребления и тарифы оплаты электроэнергии не менялись. На сколько больше заплатил бы А.
за этот период, если бы не поменялся счетчик? Ответ дайте в рублях.
5. B 5 .
Найдите ординату точки пересечения оси Oy и отрезка,
соединяющего точки A(6; 8) и B(−6; 0).
6. B 6 . На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок
докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад
ученого из России.
7. B 7 .
Найдите корень уравнения:
8.
B8
В
тупоугольном
треугольнике
,
высота
равна 7,
. Найдите
.
9. B 9 . На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−2; 12).
Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
10. B 10 .
Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.
11. B 11 . Найдите значение выражения
.
12. B 12 . Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте м над землeй, выраженное в
километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле
, где
км —
радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 12 км. К пляжу ведeт
лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наименьшее количество ступенек
нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 44 километров?
13. B 13 .
Площадь осевого сечения цилиндра равна 4. Найдите площадь
боковой поверхности цилиндра, деленную на .
14. B 14 . Два велосипедиста одновременно отправились в 240-километровый пробег. Первый
ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 1 час раньше
второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.
15. B 15 . Найдите наименьшее значение функции
16. C 1 .
а) Решите уравнение
на отрезке
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
17. C 2 . В правильной четырёхугольной призме
боковые рёбра равны 3. На ребре
отмечена точка так, что
плоскостями
и
.
стороны основания равны 2, а
. Найдите угол между
18. C 3 . Решите систему неравенств
19. C 4 . Окружности радиусов 2 и 9 с центрами и
соответственно касаются в
точке Прямая, проходящая через точку вторично пересекает меньшую окружность в точке а
большую — в точке
Найдите площадь треугольника
если
20.
C 5 . Найдите
все
значения a,
при
каждом
из
которых
уравнение
имеет единственный корень.
21. C 6 . Произведение всех делителей натурального числа оканчивается на 399 нулей. На
сколько нулей может оканчиваться число ?
Вариант № 6
1. B 1.
На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 35 рублей за
штуку. У Вани есть 160 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет
Маше на день рождения?
2. B 2 . Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 120 рублей за штуку и продает с
наценкой 20%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1000
рублей?
3. B 3 .
На рисунке жирными точками
показана среднесуточная температура воздуха в Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По
горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для
наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней за указанный
период температура была ровно 21 °C.
4. B 4 В первом банке один фунт стерлингов можно купить за 47,4 рубля. Во втором банке 30
фунтов — за 1446 рублей. В третьем банке 12 фунтов стоят 561 рубль. Какую наименьшую сумму (в
рублях) придется заплатить за 10 фунтов стерлингов?
5. B 5 .
В прямоугольном треугольнике угол между высотой и
биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен
. Найдите меньший угол данного
треугольника. Ответ дайте в градусах.
6. B 6 . В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите
вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
7. B 7 . Решите уравнение
запишите больший из корней.
. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе
8. B 8 . В треугольнике
угол равен 90°,
,
. Найдите
.
9. B 9 На рисунке изображён график функции
и восемь точек на
абсцисс: , , , , . В скольких из этих точек производная функции
положительна?
оси
Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.
10. B 10 .
11. B 11 . Найдите значение выражения
.
12. B 12 . Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного
элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале
температур
определяется
выражением
,
где –
время
в
минутах,
К,
К/мин ,
К/мин. Известно, что при температуре нагревателя
свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое
наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.
13. B 13 .
Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и
острым углом 60 . Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60 и равно 2.
Найдите объем параллелепипеда.
14. B 14 .
Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же
резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?
15. B 15 . Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
.
16. C 1 . а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
17. C 2 . В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно
, а высота
равна 1, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
18. C 3 . Решите систему неравенств
19. C 4 . Угол C треугольника ABC равен 60°, D — отличная от A точка пересечения окружностей,
построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что ВD : DC = 1 : 3. Найдите синус
угла A.
20. C 5 . Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
21. C 6 . Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 200. Известно,
что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n – также
натуральное число.
а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?
б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?
в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если
дополнительно известно, что n>100.
Вариант № 7
1. B 1 . В летнем лагере 218 детей и 26 воспитателей. В автобус помещается не более 45
пассажиров. Сколько автобусов требуется, чтобы перевезти всех из лагеря в город?
2. B 2 . Оптовая цена учебника 170 рублей. Розничная цена на 20% выше оптовой. Какое
наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 7000 рублей?
3. B 3 .
На рисунке жирными точками показана
среднесуточная температура воздуха в Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали
указываются числа месяца, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности
жирные точки соединены линией. Определите по рисунку, какая была температура 15 июля. Ответ
дайте в градусах Цельсия.
4. B 4 . В среднем гражданин А. в дневное время расходует 120 кВт ч электроэнергии в месяц, а в
ночное время — 185 кВт ч электроэнергии. Раньше у А. в квартире был установлен однотарифный
счетчик, и всю электроэнергию он оплачивал по тарифу 2,40 руб. за кВт ч. Год назад А. установил
двухтарифный счётчик, при этом дневной расход электроэнергии оплачивается по тарифу
2,40 руб. за кВт ч, а ночной расход оплачивается по тарифу 0,60 руб. за кВт ч. В течение 12 месяцев
режим потребления и тарифы оплаты электроэнергии не менялись. На сколько больше заплатил бы А.
за этот период, если бы не поменялся счетчик? Ответ дайте в рублях.
5. B 5 .
Найдите среднюю линию трапеции
, если стороны
квадратных клеток равны 1.
6. B 6 . В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 10 черных, 2 желтых и 8 зеленых. По
вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность
того, что к ней приедет зеленое такси.
7. B 7 . Решите уравнение
.
8. B 8 . В треугольнике
9. B 9 . Прямая
угол
равен 90°,
. Найдите
является касательной к графику функции
.
. Найдите .
10. B 10 .
Найдите объем многогранника, вершинами которого
являются точки , , , , , , ,
правильной шестиугольной призмы
,
площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.
11. B 11 . Найдите значение выражения
при
.
12. B 12 .
Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени
моля воздуха
объeмом
л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие
воздуха до конечного объeма . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется
выражением
Какой объeм
27 840 Дж?
(Дж), где
постоянная, а
К — температура воздуха.
(в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в
13. B 13 .
Сторона основания правильной шестиугольной
пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.
14. B 14 . На изготовление 99 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй
рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1
деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
15. B 15 . Найдите точку максимума функции
.
16. C 1 . а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
17.C
2. В
прямоугольном
параллелепипеде
ребер
Найдите
объем
пирамиды
ребре
причем
заданы
длины
если —
точка
на
18. C 3 . Решите неравенство
19. C 4 . Дана окружность радиуса 4 с центром в точке О, расположенной на биссектрисе угла,
равного
. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся данной окружности
внешним образом, если известно, что расстояние от точки О до вершины угла равно 10.
20. C 5 . Найти все значения при каждом из которых функция
имеет
более двух точек экстремума.
21. C 6 . На доске написано число 7. Раз в минуту Вася дописывает на доску одно число: либо
вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме каких-то двух чисел, написанных на
доске (таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две ― третье и т.д.).
а) Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2012?
б) Может ли в какой-то момент сумма всех чисел на доске равняться 63?
в) Через какое наименьшее время на доске может появиться число 784?
Вариант № 8
1. B 1 .
На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 35 рублей за
штуку. У Вани есть 160 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет
Маше на день рождения?
2. B 2 . В квартире, где проживает Алексей, установлен прибор учёта расхода холодной воды
(счётчик). 1 сентября счётчик показывал расход 103 куб. м воды, а 1 октября — 114 куб. м. Какую
сумму должен заплатить Алексей за холодную воду за сентябрь, если цена 1 куб. м холодной воды
составляет 19 руб. 20 коп.? Ответ дайте в рублях.
3. B 3 . На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в
Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали —
количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные
точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода не
выпадало осадков.
4. B 4 . Для строительства гаража можно использовать один из двух типов фундамента: бетонный
или фундамент из пеноблоков. Для фундамента из пеноблоков необходимо 2 кубометра пеноблоков и
4 мешка цемента. Для бетонного фундамента необходимо 2 тонны щебня и 20 мешков цемента.
Кубометр пеноблоков стоит 2450 рублей, щебень стоит 620 рублей за тонну, а мешок цемента
стоит 230 рублей. Сколько рублей будет стоить материал, если выбрать наиболее дешевый вариант?
5. B 5 .
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см
изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
6. B 6 . При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель
не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель
не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при
каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность
уничтожения цели была не менее 0,98?
7. B 7 .
Решите уравнение
.
8. B 8 .
Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно,
что разность противолежащих углов равна
? Ответ дайте в градусах.
9. B 9 . На рисунке изображен график функции
и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из
этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
10.
B 10 .
Найдите
тангенс
угла
изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
многогранника,
11. B 11 . Найдите значение выражения
.
12. B 12 . Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте м над землeй, выраженное в
километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле
, где
км —
радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 12 км. К пляжу ведeт
лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наименьшее количество ступенек
нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 44 километров?
13. B 13 .
Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из
его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.
14. B 14 . Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то
же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка
проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь,
если расстояние между деревьями равно 150 метрам.
15. B 15 . Найдите наименьшее значение функции
16. C 1 . а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
17. C 2 . В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота
равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
18. C 3 . Решите систему неравенств
19. C 4 . Угол C треугольника ABC равен 60°, D — отличная от A точка пересечения окружностей,
построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что ВD : DC = 1 : 3. Найдите синус
угла A.
20. C 5 . Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
21. C 6 . Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 99 см, но не больше 102 см
(назовем такие куски стандартными).
а) Некоторый моток веревки разрезали на 33 стандартных куска, среди которых есть куски разной
длины. На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков можно было бы разрезать тот же
моток веревки?
б) Найдите такое наименьшее число , что любой моток веревки, длина которого больше см,
можно разрезать на стандартные куски.
Вариант № 9
1. B 1 9. Каждый день во время конференции расходуется 70 пакетиков чая. Конференция длится
6 дней. Чай продается в пачках по 50 пакетиков. Сколько пачек нужно купить на все дни
конференции?
2. B 2 9. В магазине «Сделай сам» вся мебель продаётся в разобранном виде. Покупатель может
заказать сборку мебели на дому, стоимость которой составляет 10% от стоимости купленной мебели.
Шкаф стоит 3300 рублей. Во сколько рублей обойдётся покупка этого шкафа вместе со сборкой?
3. B 3 .
В ходе химической реакции количество исходного вещества
(реагента), которое еще не вступило в реакцию, со временем постепенно уменьшается. На рисунке эта
зависимость представлена графиком. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с
момента начала реакции, на оси ординат – масса оставшегося реагента, который еще не вступил в
реакцию (в граммах). Определите по графику, сколько граммов реагента вступило в реакцию за три
минуты?
4. B 4 .
Семья из трех человек едет из Москвы в Чебоксары. Можно ехать поездом, а можно — на своей
машине. Билет на поезд на одного человека стоит 930 рублей. Автомобиль расходует 11 литров
бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 18,5 рублей
за литр. Сколько рублей придется заплатить за наиболее дешевую поездку на троих?
5. B 5 .
Точки O(0; 0), A(6; 8), B(8; 2) являются вершинами
треугольника. Найдите длину его средней линии CD, параллельной OA.
6. B 6 . В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 10 черных, 2 желтых и 8 зеленых. По
вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность
того, что к ней приедет зеленое такси.
7. B 7 . Найдите корень уравнения:
8.
равен
B8.
. Найдите угол
Угол четырехугольника
, вписанного
этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
в
окружность,
9. B 9 . На рисунке изображен график производной функции
, определенной
интервале
. В какой точке отрезка
функция
принимает наибольшее значение?
10. B 10 .
если все ее ребра увеличить в 2 раза?
на
Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды,
11. B 11 . Найдите значение выражения
при
.
12. B 12 . Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе
оценок информативности , оперативности , объективности публикаций , а также качества
сайта . Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми
числами от -2 до 2.
Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а
информативность публикаций — впятеро дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким
образом, формула приняла вид
Если по всем четырем показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг
должен совпадать с этой оценкой. Найдите число , при котором это условие будет выполняться.
13. B 13 .
Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна
и
образует углы 30 , 30 и 45 с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.
14. B 14 . От пристани A к пристани B отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а
через 1 час после этого следом за ним со скоростью на 1 км/ч большей отправился второй. Расстояние
между пристанями равно 420 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт B оба теплохода
прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.
15. B 15 . Найдите точку максимума функции
16. C 1 . а) Решите уравнение
.
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
17. C 2 . В правильной шестиугольной призме
равны найдите расстояние от точки до прямой
.
все рёбра которой
18. C 3 . Решите систему неравенств
19. C 4 . Окружность радиуса
вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в
этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами
окружностей равно 12. Найдите MN.
20. C 5 . При каких значениях параметров а и b система
имеет
бесконечно много решений?
21. C 6 . Среди обыкновенных дробей с положительными знаменателями, расположенных между
числами
и
найдите такую, знаменатель которой минимален.
Вариант № 10
1. B 1 . Сырок стоит 7 рублей 20 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 60
рублей?
2. B 2 . 1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 80 копеек. Счетчик электроэнергии 1 ноября
показывал 12 625 киловатт-часов, а 1 декабря показывал 12 802 киловатт-часа. Сколько рублей нужно
заплатить за электроэнергию за ноябрь?
3. B 3 .
Когда самолет находится в горизонтальном полете,
подъемная сила, действующая на крылья, зависит только от скорости. На рисунке изображена эта
зависимость для некоторого самолета. На оси абсцисс откладывается скорость (в километрах в час),
на оси ординат — сила (в тоннах силы). Определите по рисунку, чему равна подъемная сила (в тоннах
силы) при скорости 200 км/ч?
4. B 4 . Для остекления музейных витрин требуется заказать 20 одинаковых стекол в одной из трех
фирм. Площадь каждого стекла 0,25 м2. В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол.
Сколько рублей будет стоить самый дешевый заказ?
Цена стекла
Фирма (руб. за
1 м2)
Резка стекла
(руб. за одно
стекло)
A
300
17
Б
320
13
В
340
8
Дополнительные условия
При заказе на сумму больше
2500 руб.
резка бесплатно.
5. B 5 .
Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее
основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найдите среднюю
линию этой трапеции.
6. B 6 . В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с
вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один
автомат исправен.
7. B 7 . Найдите корень уравнения
.
8. B 8 .
В равнобедренной трапеции большее основание равно 25, боковая
сторона равна 10, угол между ними
. Найдите меньшее основание.
9. B 9 . На рисунке изображен график функции
, определенной на интервале (−6; 8).
Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
10. B 10 .
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки
правильной
шестиугольной призмы
, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро
равно 3.
11. B 11 .
Найдите
, если
, при
.
12. B 12 . Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте м над землeй, выраженное в
километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле
, где
км —
радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 12 км. К пляжу ведeт
лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наименьшее количество ступенек
нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 44 километров?
13.
B 13 .
В
правильной
шестиугольной
призме
все ребра равны 1. Найдите тангенс угла
14. B 14 .
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 10 минут следом за ним отправился
мотоциклист. Через 2 минуты после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через
3 минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы
равна 5 км. Ответ дайте в км/ч.
15. B 15 . Найдите наибольшее значение функции
16. C 1 . Решите уравнение
отрезку
17. C 2 . В кубе
прямой
на отрезке
.
. Укажите его корни, принадлежащие
все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки
до
18. C 3 . Решите неравенство
.
19. C 4 . Четырехугольник
описан около окружности и вписан в другую окружность.
Прямые
и
пересекаются в точке
Найдите периметр треугольника
если известно,
что
и
20. C 5 . При каких значениях параметра а система
имеет
единственное решение?
21. C 6 . Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все
возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то
число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n,
а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет
записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3,
4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 9, 11,
14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.
Вариант № 11
1. B 1 . Шоколадка стоит 35 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное
предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок). Сколько
шоколадок можно получить на 200 рублей в воскресенье?
2. B 2 . 1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 80 копеек. Счетчик электроэнергии 1 ноября
показывал 12 625 киловатт-часов, а 1 декабря показывал 12 802 киловатт-часа. Сколько рублей нужно
заплатить за электроэнергию за ноябрь?
3. B 3 . На графике изображена зависимость крутящего момента автомобильного двигателя от
числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту. На оси ординат
— крутящий момент в Н м. Чтобы автомобиль начал движение, крутящий момент должен быть не
менее 60 Н м. Какое наименьшее число оборотов двигателя в минуту достаточно, чтобы автомобиль
начал движение?
4. B 4 .
В среднем гражданин А. в дневное время расходует 125 кВт ч электроэнергии в месяц, а в ночное
время — 155 кВт ч электроэнергии. Раньше у А. в квартире был установлен однотарифный счетчик,
и всю электроэнергию он оплачивал по тарифу 2,6 руб. за кВт ч. Год назад А. установил
двухтарифный счeтчик, при этом дневной расход электроэнергии оплачивается по тарифу
2,6 руб. за кВт ч, а ночной расход оплачивается по тарифу 0,7 руб. за кВт ч. В течение 12 месяцев
режим потребления и тарифы оплаты электроэнергии не менялись. На сколько больше заплатил бы А.
за этот период, если бы не поменялся счетчик? Ответ дайте в рублях.
5. B 5 .
Боковые стороны трапеции, описанной около
окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.
6. B 6 . В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в
сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
7. B 7 .
Решите уравнение
из корней.
. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший
8. B 8
Центральный угол на
больше острого вписанного угла,
опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
9. B 9 . На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных некоторой
функции f(x), определённой на интервале (−3;5). Пользуясь рисунком, определите количество
решений уравнения f(x)=0 на отрезке [−2;4].
10. B 10 .
Найдите угол
многогранника, изображенного на рисунке. Все
двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.
11. B 11 . Найдите значение выражения
.
12. B 12 . Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий
молей воздуха при
давлении
атмосферы, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит
изотермическое сжатие воздуха. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется
выражением
(Дж),
где
—
постоянная,
К—
температура
воздуха, (атм) — начальное давление, а (атм) — конечное давление воздуха в колоколе. До
какого наибольшего давления можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха
совершается работа не более чем 29 100 Дж? Ответ приведите в атмосферах.
13. B 13 № 27163.
Радиусы двух шаров равны 6, 8.
Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.
14. B 14 № 99619.
Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же
резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?
15. B 15 № 77444. Найдите точку минимума функции
16. C 1 № 485973. а) Решите уравнение
.
.
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку
.
17.
C 2 № 500643. В
правильной
четырёхугольной
пирамиде
с
основанием
проведено сечение через середины рёбер
и
и вершину Найдите площадь
этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно а сторона основания равна
18. C 3 № 484586. Решите неравенство
19. C 4 № 503323. Угол C треугольника ABC равен 60°, D — отличная от A точка пересечения
окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что ВD : DC = 1 : 3.
Найдите синус угла A.
20. C 5 № 484629. Известно, что значение параметра а таково, что система уравнений
имеет единственное решение. Найдите это значение параметра a и решите систему при найденном
значении параметра.
21. C 6 № 501756. Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы
(по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3,
5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор −6, −2, 1, 4, 5, 7, 11. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0
встречается ровно 7 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно
однозначно определить задуманные числа?
Вариант № 12
1. B 1 . В доме, в котором живет Маша, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже
находится по 4 квартиры. Маша живет в квартире № 130. В каком подъезде живет Маша?
2. B 2 . Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 5% активного вещества. Ребёнку в
возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,4 мг активного вещества на каждый килограмм веса в
сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку весом в возрасте четырёх месяцев и
весом 5 кг в течение суток?
3. B 3 .
На рисунке изображен график осадков в Калининграде с 4
по 10 февраля 1974 г. На оси абсцисс откладываются дни, на оси ординат — осадки в мм.
Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало от 2 до 8 мм осадков.
4. B 4 . Независимое агентство каждый месяц определяет рейтинги новостных сайтов на основе
показателей информативности , оперативности
и объективности
публикаций. Каждый
отдельный показатель оценивается целыми числами от −2 до 2. Итоговый рейтинг вычисляется по
формуле
В таблице даны оценки каждого показателя для нескольких новостных сайтов. Определите
наивысший рейтинг новостных сайтов, представленных в таблице. Запишите его в ответ, округлив до
целого числа.
5. B 5 .
Сайт
Информативность Оперативность Объективность
VoKak.ru
2
−1
0
NashiNovosti.com −2
1
−1
Bezvrak.ru
2
2
0
Zhizni.net
−1
−1
−2
Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют
координаты (1;6), (9;6), (7;9).
6. B 6 . На экзамен вынесено 60 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того,
что ему попадется выученный билет.
7. B 7 .
Найдите корень уравнения
.
8. B 8 .
В треугольнике
угол равен 90°, косинус внешнего угла при вершине равен –0,6,
.
Найдите
.
9. B 9 . На рисунке изображен график функции
, определенной на интервале (−6; 8).
Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
10. B 10 .
В правильной треугольной пирамиде
– середина
ребра
, – вершина. Известно, что
=5, а =6. Найдите площадь боковой поверхности
пирамиды.
11. B 11 . Найдите значение выражения
при
.
12. B 12 . Очень лeгкий заряженный металлический шарик зарядом
Кл скатывается по
гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет
м/с, на него начинает
действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции которого лежит в той же плоскости и
составляет угол с направлением движения шарика. Значение индукции поля
Тл. При
этом на шарик действует сила Лоренца, равная
(Н) и направленная вверх
перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла
шарик оторвeтся от
поверхности, если для этого нужно, чтобы сила
градусах.
была не менее чем
Н? Ответ дайте в
13. B 13 .
Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше
площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в
градусах.
14. B 14 . Васе надо решить 490 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач
больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач.
Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14
дней.
15. B 15 . Найдите точку максимума функции
.
16. C 1 . а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
17. C 2 . В правильной шестиугольной призме
стороны основания
которой равны 4, а боковые ребра равны 3, найдите расстояние от точки В до прямой
.
18. C 3 . Решите систему
19. C 4 . Расстояние между параллельными прямыми равно
На одной из них лежит точка а
на другой — точки и причем треугольник
— равнобедренный и его боковая сторона
равна
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник
20. C 5 . Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
21. C 6 . На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих
чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, среднее
арифметическое всех отрицательных из них равно −8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Вариант № 13
1. B 1 . Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает
скорость в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в
километрах в час, если спидометр показывает 65 миль в час? Ответ округлите до целого числа.
2. B 2 . 1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 80 копеек. Счетчик электроэнергии 1 ноября
показывал 12 625 киловатт-часов, а 1 декабря показывал 12 802 киловатт-часа. Сколько рублей нужно
заплатить за электроэнергию за ноябрь?
3. B 3 . На диаграмме показано распределение выплавки меди в 10 странах мира (в тысячах тонн)
за 2006 год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимали США, десятое
место — Казахстан. Какое место занимала Индонезия?
4. B 4 . Мебельный салон заключает договоры с производителями мебели. В договорах
указывается, какой процент от суммы, вырученной за продажу мебели, поступает в доход мебельного
салона.
Фирма-производитель
Процент от выручки,
Примечания
поступающий в доход салона
«Альфа»
5%
Изделия ценой
до 20 000 руб.
«Альфа»
3%
Изделия ценой
свыше 20 000 руб.
«Бета»
6%
Все изделия
«Омикрон»
4%
Все изделия
В прейскуранте приведены цены на четыре дивана. Определите, продажа какого дивана наиболее
выгодна для салона. В ответ запишите, сколько рублей поступит в доход салона от продажи этого
дивана.
Фирма-производитель Изделие
Цена
«Альфа»
Диван «Коала»
15 000 руб.
«Альфа»
Диван «Неваляшка» 28 000 руб.
«Бета»
Диван «Винни-Пух» 17 000 руб.
«Омикрон»
Диван «Обломов»
23 000 руб.
5. B 5.
Два угла треугольника равны
и
. Найдите тупой угол, который
образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.
6. B 6 . При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель
не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель
не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при
каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность
уничтожения цели была не менее 0,98?
7. B 7 . Найдите корень уравнения:
.
8. B 8 .
В треугольнике
угол равен 90°,
,
. Найдите тангенс внешнего угла при
вершине .
9. B 9 . На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале
(−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна
прямой y = −2x−11 или совпадает с ней.
10. B 10 .
В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями,
равными 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 248. Найдите боковое ребро этой призмы.
11. B 11 . Найдите значение выражения
.
12. B 12 . К источнику с ЭДС
В и внутренним сопротивлением
Ом, хотят
подключить нагрузку с сопротивлением Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах,
даeтся формулой
. При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение
на ней будет не менее 50 В? Ответ выразите в Омах.
13. B 13 .
В правильной четырехугольной пирамиде высота
равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.
14. B 14 . По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый
длиной 120 метров, второй – длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в
некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400
метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от
кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость
первого сухогруза меньше скорости второго?
15. B 15 . Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
.
Найдите
угол
16. C 1 . а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
17.
C 2 . Точка —
середина
ребра
куба
прямыми
и
между
18. C 3 . Решите систему неравенств
19. C 4 . Угол треугольника
равен
— отличная от точка пересечения окружностей,
построенных на сторонах
и
как на диаметрах. Известно, что
. Найдите угол
20. C 5 . Найдите все значения при каждом из которых уравнение
имеет
более двух корней.
21. C 6 . Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все
возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то
число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n,
а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет
записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3,
4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10,
15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.
Вариант № 14
1. B 1 . Каждый день во время конференции расходуется 70 пакетиков чая. Конференция длится 6
дней. Чай продается в пачках по 50 пакетиков. Сколько пачек нужно купить на все дни конференции?
2. B 2 . Тетрадь стоит 24 рубля. Сколько рублей заплатит покупатель за 60 тетрадей, если при
покупке больше 50 тетрадей магазин делает скидку 10% от стоимости всей покупки?
3. B 3 . На рисунке жирными точками показана цена олова на момент закрытия биржевых торгов
во все рабочие дни с 3 по 18 сентября 2007 года. По горизонтали указываются числа месяца, по
вертикали — цена тонны олова в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке
соединены линией. Определите по рисунку, какого числа цена олова на момент закрытия торгов была
наибольшей за данный период.
4. B 4 .
Мебельный салон заключает договоры с производителями мебели. В договорах указывается, какой
процент от суммы, вырученной за продажу мебели, поступает в доход мебельного салона.
Фирма-производитель
Процент от выручки,
Примечания
поступающий в доход салона
«Альфа»
6,5 %
Изделия ценой до 20 000 руб.
«Альфа»
2,5 %
Изделия ценой свыше 20 000 руб.
«Бета»
3%
Все изделия
«Омикрон»
5%
Все изделия
В прейскуранте приведены цены на четыре кресла-качалки. Определите, продажа какого креслакачалки наиболее выгодна для салона. В ответ запишите, сколько рублей поступит в доход салона от
продажи этого кресла-качалки.
Фирма-производитель Изделие
Цена
«Альфа»
Кресло-качалка «Ода»
16 500 руб.
«Альфа»
Кресло-качалка «Сага»
23 500 руб.
«Бета»
Кресло-качалка «Поэма»
20 500 руб.
«Омикрон»
Кресло-качалка «Элегия» 18 000 руб.
5. B 5 . На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите
площадь заштрихованной фигуры.
6. B 6 . Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка
неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность
того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по
ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно
выбранная батарейка будет забракована системой контроля.
7. B 7 . Решите уравнение
запишите больший из корней.
. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе
8. B 8 .
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник
стороны квадратных клеток равными 1.
9. B 9 .
, считая
Материальная точка движется прямолинейно по закону
(где x — расстояние
от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент
времени (в секундах) ее скорость была равна 38 м/с?
10. B 10 .
Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы,
если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.
11. B 11 . Найдите значение выражения
.
12. B 12 . На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие
глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая
(архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле:
, где – длина
3
ребра куба в метрах,
кг/м – плотность воды, а – ускорение свободного падения
(считайте
Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его
эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 78400 Н?
Ответ выразите в метрах.
13. B 13 .
Конус получается при вращении равнобедренного
прямоугольного треугольника
вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на .
14. B 14 . Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько
минут пропалывает грядку одна Даша?
15. B 15 . Найдите точку максимума функции
16. C 1 . а) Решите уравнение
.
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
17. C 2 . В правильной четырёхугольной призме
боковые рёбра равны . На ребре
отмечена точка так, что
плоскостями
и
.
.
стороны основания равны , а
. Найдите угол между
18. C 3 . Решите систему неравенств
19. C 4 . Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от
него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если
отрезок прямой, заключённый внутри треугольника, равен , а отношение боковой стороны
треугольника к его основанию равно .
20. C 5 . Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
21. C 6 . Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то
из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более
числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более
учащихся группы, посетивших кино.
от общего
от общего числа
а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было
20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если дополнительно
известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без
дополнительного условия пунктов а и б?
Вариант № 15
1. B 1 . Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 12 г лимонной
кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пачек нужно
купить хозяйке для приготовления 6 литров маринада?
2. B 2 . 1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 80 копеек. Счетчик электроэнергии 1 ноября
показывал 12 625 киловатт-часов, а 1 декабря показывал 12 802 киловатт-часа. Сколько рублей нужно
заплатить за электроэнергию за ноябрь?
3. B 3 .
Когда самолет находится в горизонтальном полете, подъемная
сила, действующая на крылья, зависит только от скорости. На рисунке изображена эта зависимость
для некоторого самолета. На оси абсцисс откладывается скорость (в километрах в час), на оси
ординат — сила (в тоннах силы). Определите по рисунку, чему равна подъемная сила (в тоннах силы)
при скорости 200 км/ч?
4. B 4 . Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети Интернет)
предлагает три тарифных плана.
Тарифный план Абонентская плата
Плата за трафик
План «0»
Нет
2,5 руб. за 1 Мб
План «500»
550 руб. за 500 Мб трафика в месяц 2 руб. за 1 Мб сверх 500 Мб
План «800»
700 руб. за 800 Мб трафика в месяц 1,5 руб. за 1 Мб сверх 800 Мб
Пользователь предполагает, что его трафик составит 600 Мб в месяц и, исходя из этого, выбирает
наиболее дешевый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик
действительно будет равен 600 Мб?
5.
B5.
В
четырехугольник
вписана
окружность,
,
и
. Найдите четвертую сторону четырехугольника.
6. B 6 . Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел
по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите
вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).
7. B 7 . Найдите корень уравнения:
8. B 8 .
Найдите величину угла
. Ответ дайте в градусах.
9. B 9 . На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале
(−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек,
входящих в эти промежутки.
В куб вписан шар радиуса 1. Найдите объем куба.
10. B 10 .
11. B 11 . Найдите значение выражения
.
12. B 12 . В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После
его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в
метрах,
меняется
по
закону
,
где
–
начальный
уровень
воды,
м/мин2, и
м/мин постоянные, – время в минутах, прошедшее с момента
открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.
13. B 13 .
В треугольной призме две боковые грани
перпендикулярны. Их общее ребро равно 10 и отстоит от других боковых ребер на 6 и 8. Найдите
площадь боковой поверхности этой призмы.
14. B 14 . Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200 000 рублей.
Митя внес 14% уставного капитала, Антон – 42 000 рублей, Гоша – 12% уставного капитала, а
оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль
пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1 000 000 рублей
причитается Борису? Ответ дайте в рублях.
15. B 15 . Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
.
16. C 1 . а) Решите уравнение
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку
17. C 2 . Плоскость пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего
шара этой плоскостью равна Плоскость параллельная плоскости касается меньшего шара, а
площадь сечения этой плоскостью большего шара равна Найдите площадь сечения большего шара
плоскостью
18. C 3 . Решите систему неравенств
19. C 4 . Боковые стороны
и
трапеции
равны 8 и 17 соответственно. Отрезок,
соединяющий середины диагоналей, равен 7,5, средняя линия трапеции равна 17,5.
Прямые
и
пересекаются в точке . Найдите радиус окружности, вписанной в
треугольник
.
20. C 5 . Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
уравнений
имеет ровно два решения.
21. C 6 . Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его
цифр?
Вариант № 16
1. B 1 . Поезд Новосибирск-Красноярск отправляется в 15:20, а прибывает в 4:20 на следующий
день (время московское). Сколько часов поезд находится в пути?
2. B 2 . Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 120 рублей за штуку и продает с
наценкой 20%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1000
рублей?
3. B 3 . На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По
горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах
Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурой воздуха 15
июля. Ответ дайте в градусах Цельсия.
4. B 4 . Вася загружает на свой компьютер из Интернета файл размером 30 Мб за 28 секунд. Петя
загружает файл размером 28 Мб за 24 секунды, а Миша загружает файл размером 38 Мб за
32 секунды. Сколько секунд будет загружаться файл размером 665 Мб на компьютер с наибольшей
скоростью загрузки?
5. B 5 .
В треугольнике
,
– высота, угол
равен
.
Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
6. B 6 № 320177. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из
первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории.
Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой
агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
7. B 7 . Найдите корень уравнения
.
8. B 8 .
В треугольнике
,
. Найдите косинус
внешнего угла при вершине .
9. B 9 . На рисунке изображён график функции
и двенадцать точек на оси
абсцисс: , , , , . В скольких из этих точек производная функции
отрицательна?
10.
параллелепипеде
ребра
.
В
B 10 .
известно,
11. B 11 . Найдите значение выражения
что
прямоугольном
Найдите
при
длину
.
12. B 12 . Eмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре
Ф. Параллельно с
конденсатором подключeн резистор с сопротивлением
Ом. Во время работы телевизора
напряжение на конденсаторе
кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе
убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением
(с), где
–
постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если
после выключения телевизора прошло не менее 21 с?
13. B 13 .
Объем прямоугольного параллелепипеда равен
60. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой
грани.
14. B 14 . Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со
скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля
на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
15. B 15 . Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
.
16. C 1 . а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
17. C 2 . Длины ребер BC, BB1 и BA прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1равны
соответственно 8, 12 и 9. Найдите расстояние от вершины D1 до прямой A1C.
18. C 3 . Решите систему неравенств
19. C 4 . Дан треугольник со сторонами 115, 115 и 184. Внутри него расположены две равные
касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы
окружностей.
20. C 5 . Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
21. C 6 . Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 99 см, но не больше 102 см
(назовем такие куски стандартными).
а) Некоторый моток веревки разрезали на 33 стандартных куска, среди которых есть куски разной
длины. На какое наибольшее число стандартных одинаковых кусков можно было бы разрезать тот же
моток веревки?
б) Найдите такое наименьшее число , что любой моток веревки, длина которого больше см,
можно разрезать на стандартные куски.
Вариант № 17
1. B 1 .
Шоколадка стоит 40 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение:
заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок можно
получить на 320 рублей в воскресенье?
2. B 2 . Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 рублей. Стоимость билета для
школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 15 школьников и 2
взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?
3. B 3 . На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости в течение каждого
часа 8 декабря 2009 года. По горизонтали указывается номер часа, по вертикали — количество
посетителей сайта за данный час. Определите по диаграмме разность наибольшего и наименьшего
количества посетителей за час в данный день.
4. B 4 . Вася загружает на свой компьютер из Интернета файл размером 30 Мб за 28 секунд. Петя
загружает файл размером 28 Мб за 24 секунды, а Миша загружает файл размером 38 Мб за
32 секунды. Сколько секунд будет загружаться файл размером 665 Мб на компьютер с наибольшей
скоростью загрузки?
5. B 5 .
Найдите высоту параллелограмма
, опущенную на
сторону
, если стороны квадратных клеток равны 1.
6. B 6 . Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из
команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите
вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.
7. B 7 . Найдите корень уравнения
.
8. B 8 .
9, один из углов равен
Основания равнобедренной трапеции равны 15 и
. Найдите высоту трапеции.
9. B 9 .
На рисунке изображен график функции f(x),
определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых производная
функции f(x) равна 0.
10. B 10 .
Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 33. Найдите объем шара.
11. B 11 . Найдите значение выражения
.
12. B 12 . Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью
сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением
км/ч, выезжает из него и
км/ч . Расстояние от
мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением
.
Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне
функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в
30 км от города. Ответ выразите в минутах.
13.
B 13
Площадь
грани
прямоугольного
параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем
параллелепипеда.
14. B 14 . Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой
воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько
килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?
15. B 15 . Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
.
16. C 1 . Решите уравнение
.
17. C 2 . В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания
равны 6, а боковые рёбра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей
через точку C и середину ребра MA параллельно прямой BD.
18. C 3 . Решите неравенство
19. C 4 Расстояние между параллельными прямыми равно . На одной из них лежит вершина , на
другой — основание
равнобедренного треугольника
. Известно, что
. Найдите
расстояние между центрами окружностей, одна из которых вписана в треугольник
, а вторая
касается данных параллельных прямых и боковой стороны треугольника
.
20. C 5 . Найдите все значения , при каждом из которых неравенство
выполняется при всех
21. C 6 . Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его
цифр?
Вариант № 18
1. B 1 . Таксист за месяц проехал 6000 км. Стоимость 1 литра бензина — 20 рублей. Средний
расход бензина на 100 км составляет 9 литров. Сколько рублей потратил таксист на бензин за этот
месяц?
2. B 2 . Пачка сливочного масла стоит 60 рублей. Пенсионерам магазин делает скидку 5%.
Сколько рублей заплатит пенсионер за пачку масла?
3. B 3 .
В аэропорту чемоданы пассажиров поднимают в зал выдачи багажа по
транспортерной ленте. При проектировании транспортера необходимо учитывать допустимую силу
натяжения ленты транспортера. На рисунке изображена зависимость натяжения ленты от угла
наклона транспортера к горизонту при расчетной нагрузке. На оси абсцисс откладывается угол
подъема в градусах, на оси ординат – сила натяжения транспортерной ленты (в килограммах силы).
При каком угле наклона сила натяжения достигает 150 кгс? Ответ дайте в градусах.
4. B 4 . Независимая экспертная лаборатория определяет рейтинг бытовых приборов на основе
коэффициента ценности, равного 0,01 средней цены , показателей функциональности , качества и
дизайна . Каждый из показателей оценивается целым числом от 0 до 4. Итоговый рейтинг
вычисляется по формуле
В таблице даны средняя цена и оценки каждого показателя для нескольких моделей
электрических мясорубок. Определите наивысший рейтинг представленных в таблице моделей
электрических мясорубок.
Модель мясорубки Средняя цена Функциональность Качество Дизайн
А
4600
2
0
2
Б
5500
4
3
1
В
4800
4
4
4
Г
4700
2
1
4
5. B 5 .
Найдите диагональ квадрата, если его площадь равна 2.
6. B 6 . Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному
от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между
оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что
выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
7. B 7 . Найдите корень уравнения:
8.
B8.
касательные
и
. Найдите угол
Через
концы , дуги
. Ответ дайте в градусах.
окружности
в
проведены
9. B 9 . Материальная точка движется прямолинейно по закону
(где x —
расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите
ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с.
10. B 10 . В правильной треугольной пирамиде
— середина ребра
,
Известно, что
, а площадь боковой поверхности равна . Найдите длину отрезка
11. B 11 . Найдите значение выражения
— вершина.
.
.
12. B 12 . Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону
,
где – высота в метрах, – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет
находиться на высоте не менее трeх метров?
13. B 13 . Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме
их объемов.
14. B 14 .Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали
автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем
велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 6 часов
позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
15. B 15 . Найдите наименьшее значение функции
16. C 1 . а) Решите уравнение
на отрезке
.
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку
17. C 2 . В правильной треугольной призме
стороны основания равны 6, боковые
рёбра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины
и середину ребра
. Найдите
его площадь.
18. C 3 . Решите систему неравенств
19. C 4 . На прямой, содержащей медиану
прямоугольного треугольника
с прямым
углом , взята точка , удаленная от вершины на расстояние, равное 4. Найдите площадь
треугольника
, если
,
.
20. C 5 . Найдите все значения , при каждом из которых наименьшее значение функции
на множестве
не меньше 6.
21. C 6 . Рассматриваются конечные непостоянные арифметические прогрессии, состоящие из
натуральных чисел, которые не имеют простых делителей, отличных от 2 и 3.
а) Может ли в этой прогрессии быть три числа?
б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?