Задачи по теме: Законы сохранения в механике

Задачи по теме: Законы сохранения в механике
План решения задач на закон сохранения импульса
1. Сделать рисунок, на котором обозначить направления оси координат, векторов
скорости тел до и после взаимодействия.
2. Записать закон сохранения импульса в векторном виде.
3. Записать закон сохранения импульса в проекции на выбранную ось.
4. Из полученного уравнения выразить неизвестную величину и найти её значение.
№2
Мальчик массой 50 кг находится на тележке массой 50 кг, движущейся по гладкой горизонтальной дороге со скоростью 1 м/с. Каким станет модуль скорости тележки, если мальчик прыгнет с неё в направлении первоначальной скорости тележки со скоростью 2 м/с
относительно дороги?
Дано:
Мальчик1-тележка2
m1=50 кг
m2=50 кг
Решение
1
До прыжка:
После прыжка:
𝜐1 =𝜐2 =𝜐=1м/с
𝜐1′ =2 м/с
𝜐2′ -?
𝜐⃗1′
𝜐⃗2′
𝜐⃗
0
2
𝑋
Закон сохранения импульса
𝑝⃗1+𝑝⃗2 =𝑝⃗1′+𝑝⃗2′
𝑚1 𝜐⃗ + 𝑚2 𝜐⃗ =𝑚1 𝜐⃗1′ + 𝑚2 𝜐⃗2′
⃗⃗⃗⃗ =𝑚1 𝜐⃗1′ + 𝑚2 𝜐⃗2′
( 𝑚1 + 𝑚2 )𝜐
3
В проекции на ось OX:
( 𝑚1 + 𝑚2 )𝜐 = 𝑚1 𝜐1′ - 𝑚2 𝜐2′
𝑚2 𝜐2′ = 𝑚1 𝜐1′ - ( 𝑚1 + 𝑚2 )𝜐
4
𝜐2′ =
𝑚1 𝜐1′ −(𝑚1 +𝑚2 )𝜐
Ответ: 𝜐2′ = 0 м/с
𝑚2
=
50⋅2−(50+50)⋅1
50
=0 м/с
№1
Тело массой 2 кг движется вдоль оси OX. На графике показана зависимость проекции скорости vx этого тела на ось OX от времени t.
За первые 8 секунд движения тела модуль его импульса
1) уменьшился на 4 кг · м/с
2) уменьшился на 8 кг · м/с
3) уменьшился на 12 кг · м/с
4) не изменился
Дано:
t=8 c
m=2кг
𝜐0 = 6 м/с
𝜐 = 2 м/с
Δ𝑝-?
Решение
Δ𝑝 = 𝑝 − 𝑝0
𝑝 = 𝑚𝜐
𝑝0 = 𝑚𝜐0
Δ𝑝 = 𝑚𝜐 − 𝑚𝜐0 =𝑚(𝜐 − 𝜐0 )
Δ𝑝 =2 кг∙(2 м/с-6 м/с) = 2∙(-4) = -8кг∙м/с
Т.к. Δ𝑝<0, то правильный ответ 2) уменьшился на 8 кг · м/с
№3
На вагонетку массой 800 кг, катящуюся по горизонтальной поверхности со
скоростью 0,2 м/с, насыпали щебня массой 200 кг. Какой стала после этого
скорость вагонетки?
Дано:
вагонетка1-щебень2
m1=800 кг
m2=200 кг
Решение
1
До:
𝜐1′ =𝜐2′ =𝜐 ′
𝜐1 =0,2 м/с
После:
𝜐⃗2
′
⃗⃗⃗⃗
𝜐′
𝜐⃗1
𝜐 -?
0
2
𝑋
Закон сохранения импульса
𝑝⃗1+𝑝⃗2 =𝑝⃗1′+𝑝⃗2′
𝑚1 𝜐⃗1 + 𝑚2 𝜐⃗2 =𝑚1 𝜐⃗ ′ + 𝑚2 𝜐⃗ ′
𝑚1 𝜐⃗1 + 𝑚2 𝜐⃗2 =(𝑚1 + 𝑚2 )𝜐⃗ ′
3
В проекции на ось OX:
𝑚1 𝜐1 + 0= (𝑚1 + 𝑚2 )𝜐 ′
4
𝜐′=
𝑚 1 𝜐1
𝑚1 +𝑚2
Ответ: 𝜐 ′ =0,16 м/с
=
800⋅0,2
800+200
=0,16 м/с
№4
Изменение скорости тела массой 2 кг, движущегося по оси , описывается формулой
, где
,
, — время в секундах. Кинетическая энергия
тела через 3 с после начала отсчета времени равна
Дано:
Решение
𝑚𝜐2
𝐸к =
2
=8 м/с-2м/с2∙3с=2м/с
t=3 c
m=2кг
𝐸к =
2∙22
2
= 4Дж
𝐸к -?
№5
Найти массу груза висящего на высоте 1,5м, если его потенциальная энергия равна 3 кДж.
Дано:
h=1,5м
𝐸𝑝 =3кДж
Си
Решение
3∙ 103 Дж
𝐸𝑝 =mgh
𝐸𝑝
𝑚 = 𝑔ℎ=
3⋅103 Дж
10м/с⋅1,5м
m-?
=
3000
15
= 200кг
Ответ: 𝑚 = 200 кг
№6
С какой скоростью тело массой 1 кг было брошено вверх, если его кинетическую энергию
200 Дж?
Дано:
Решение
m=1кг
𝐸к =200Дж
𝑚𝜐2
𝐸𝑝 =
2
2 ∙ 𝐸к = 𝑚𝜐 2
𝜐-?
𝜐2 =
2𝐸к
𝑚
𝜐=√
2𝐸к
𝑚
=√
2∙200 Дж
1 кг
Ответ: 𝑚 = 20 м/с
=√400 = 20м/с
№7
Пружину жесткостью 30 Н/м растянули на 4 см. Потенциальная энергия растянутой
пружины равна :
1. 750 Дж
Дано:
k=30Н/м
𝑥=4 см
2. 1,2 Дж
Си
3. 30,6 Дж
4. 0,024 Дж
5. 2,4 Дж
Решение
4∙ 10−2м
𝑘𝑥 2
𝐸𝑝 =
2
30∙(4⋅10−2 )2
𝐸𝑝 =
𝐸𝑝 -?
2
Ответ: 𝐸𝑝
−4
=30⋅16⋅10
2
= 240 ⋅ 10−4 Дж = 0,024 Дж
= 0,024 Дж
№8
Мальчик столкнул санки с вершины горки. Сразу после толчка санки имели скорость
, а у подножия горки она равнялась
. Трение санок о снег пренебрежимо
мало. Какова высота горки?
Дано:
𝜐⃗1 =5 м/с
𝜐⃗2 =15 м/с
h2=0
h1-?
Решение
1
𝜐⃗1
𝜐⃗2
h1
2
Запишем закон сохранения энергии:
𝐸к1 + 𝐸𝑝1 =𝐸к2 + 𝐸𝑝2
𝑚𝜐12
2
𝑚𝜐12
2
+mgh1=
+mgh1=
mgh1=
mgh1=
h1=
h1 =
𝑚𝜐22
𝑚𝜐22
2
𝑚𝜐22
2
─
+0
𝑚𝜐12
2
2
𝑚(𝜐22 −𝜐22 )
2
𝑚(𝜐22 −𝜐22 )
2𝑚𝑔
152 −52
2⋅10
Ответ: h1
+mgh2
=
𝜐22 −𝜐22
=10 м
=10 м
2𝑔
№9
Мяч брошен вертикально вверх со скоростью 5 м/с. До какой высоты он поднимется?
Дано:
Решение
𝜐⃗1 =5 м/с
𝜐⃗2 = 0
𝜐⃗2 =0 м/с
2
h1=0
h2
𝜐⃗1
h2-?
1
Запишем закон сохранения энергии:
𝐸к1 + 𝐸𝑝1 =𝐸к2 + 𝐸𝑝2
𝑚𝜐12
2
𝑚𝜐12
2
𝑚𝜐12
2
h2=
h2=
+mgh1=
𝑚𝜐22
2
+mgh2
+0=0+ mgh2
= mgh2
𝑚𝜐12
2𝑚𝑔
52
2∙10
=
𝜐12
2𝑔
=1,25 м
Ответ: h2= 1,25 м