Гимназия 1543, 9-В класс Листик 16.5, 28 марта 2011. Неравенства. Применения неравенств между средними. (Неравенства между средними) Для произвольных положительных чисел a1, a2, ... an выполняется неравенство: a12 a22 ... an2 a1 a2 ... an n n a1a2 ...an 1 1 1 n n ... a1 a2 an Равенство достигается, только если a1 a2 ... an Все числа в этом листике неотрицательные. Во всех неравенствах надо найти случай равенства. x4 y 4 z 4 3xyz . 1. Докажите неравенство y z x 2. Докажите неравенство ( x y z )( x 2 y 2 z 2 )( x3 y 3 x3 ) 27 x 2 y 2 z 2 . 2 2 2 a 2b b 2c c 2a 27 . 3. Докажите неравенство c a b 4. Найдите минимальное значение выражения x 2 y 4 . При каких значениях x,y оно xy достигается? 5. Докажите неравенство a 2 b2 c 2 d 2 e2 a(b c d e) . 6. а) Докажите неравенство 2x y 3 2 x y. 3 б) (Неравенство Коши с весами). Для натуральных чисел m1, m2, …, mk с суммой m m a m2 a2 .. mn an m m1 m2 mn a1 a2 ...an . докажите неравенство 1 1 m в) Тоже самое для рациональных m1, m2, …, mk.. 4 7. а) Найдите минимальное значение выражения 5x 4 . При каком значении x оно x5 достигается? б) Найдите минимальное значение выражения x y 27 . При каком значении x, y оно x3 y достигается? 8. Докажите неравенство (a b)(c d ) (a c)(b d ) (a d )(b c) ab ac ad bc bd cd . 9. Докажите, неравенство a b c 3 . bc ca ab 2