Раздел_ 02_«Отношения и функции

Раздел 2. Отношения и функции
Определение 2.1: Любое подмножество  прямого
произведения A1A2....An называется n-местным
(n-
арным) отношением, определенным на множествах A1, A2,
.... An.
 A1 A2 ...An .
Отношения принято обозначать малыми буквами греческого алфавита , , , ..., , .
Определение 2.2: Любое подмножество  прямого
произведения  A1  A2 называется бинарным отношением, определенным на множествах A1 и A2.
Определение 2.3: Для любого множества A определим тождественное отношение A и универсальное отношение A следующим образом:
A = {(a, a) |  a A}
A = {(a, b) |  aA, bA}
Т. к.   A2, то  является отношением на A и
называется пустым отношением.
Определение 2.4:
Свяжем с каждым бинарным от-
ношением , определенным на множествах A и B,
B,
  A
два множества - область определения D() и область
значений R(). Они определяются следующим образом.
19
D() = {x| (x, y)}
R() = {у| (x, y) }
Пример : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
 = {(x, y) | x, yA, х - делитель y, x  5}.
Тогда: D() = {1, 2, 3, 4, 5} R(  ) = A
Определение 2.5: Пусть  - бинарное отношение.
Определим обратное отношение -1 cледующим образом 1
= {(x, y) | (y, x) }.
Определение 2.6: Пусть  - бинарное отношение на
множестве A. Тогда:
а)  - рефлексивно, если (х, х)   для  х  
(главная диагональ матрицы содержит только единицы)
б)  - антирефлексивно, если (х, х)   х  
(главная диагональ матрицы содержит только нули)
в)  - симметрично, если из того, что (х, y)   следует, что (y, x)    х, y  
(  = -1 матрица отношения симметрична относительно
главной диагонали)
г)  - антисимметрично, если из того, что (х, y)   и
(y, x)   следует, что x = y
 х, y  
Замечание: Отношение  антисимметрично тогда и только
20
тогда, когда для любых  х, y  
( (x,y)   и xy )  (x,y).
д)  - транзитивно, если из того, что
(х, y)   и (y, z)   следует, что (х, z)  
 х, y, z  
Замечание: Антисимметричность есть следствие антирефлексивности и транзитивности.
Пример:  = {(x, y) | x, y  N и y  x т.е. x - делитель y}
а) рефлексивно, т.к. х  х  х N
б) несимметрично, т.к. 2 - делитель 4 по 4 не является
делителем 2.
в) транзитивно, т.к., если y  x и z  y, то z  x
г) антисимметрично, т.к. если x  y и y  x, то x = y.
Пусть A, A2 = A  A и , , ,  A2 - некоторые бинарные отношения, определенные на множестве A .
A2 = A  A = {(x, y)| x, y A}.
Операции над бинарными отношениями:
1) {(x,y)|(x,y) или (x,y)}
2) {(x,y)|(x,y) и (x,y)}
3) \{(x,y)|(x,y) и (x,y)}
4) {(x,y)|(x,y)  и (x,y)A2}
5) -1{(x,y)|(y,x) }
21
6) ={(x,y)|z(x,z) и(z,y)}- произведение
отношений  и 
Относительно введенных операций имеют место следующие свойства:
1) 
2) 
3) 

4) 

5) 
6)  
7) (=
8) () =
Определение 2.7: Пусть A - непустое множество и
{Ai} - cовокупность подмножеств Ai (i=1, 2, ..., n, n  N)
таких, что Ai  A,
n
 Ai  A . Совокупность таких подмноI 1
жеств называется покрытием A.
Определение 2.8: Пусть A - непустое множество и
{Ai} - cовокупность подмножеств Ai (i=1, 2, ..., n, n  N)
таких, что Ai  A,
n
 Ai  A и A
i
 A j  , i  j .
I 1
22
Со-
вокупность таких подмножеств называется разбиением множества A.
Определение 2.9: Бинарное отношение на множестве
А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Определение 2.10: Пусть -отношение эквивалентности на множестве A. Определим класс эквивалентности
[x] для хA
[x]={y|(х, y)}, такой что
1) любые 2 элемента одного и того же класса эквивалентны друг другу
2)никакие два элемента разных классов не эквивалентны между собой.
Определение 2.11: Бинарное отношение , определенное на множестве A, называется отношением предпорядка, если оно рефлексивно и транзитивно.
Определение 2.12: Бинарное отношение , определенное на множестве A,называется отношением порядка,
если оно транзитивно и антисимметрично.
Определение 2.13: Отношение порядка , определенное на множестве A, называется строгим, если  антирефлекcивно.
23
Определение 2.14: Отношение порядка , определенное на множестве A, называется нестрогим (частичным)
если  рефлекcивно.
Определение 2.15: Элементы x и y сравнимы по отношению порядка , если выполняется (x, y) или (y, x)
. В противном случае элементы x и y не сравнимы.
Определение 2.16: Множество A, на котором задано
отношение порядка, называется полностью упорядоченным,
если любые два элемента x, yA сравнимы, и частично упорядоченным в противном случае.
Определение 2.17: Частичный порядок на множестве
A называется линейным, если любые два элемента из множества сравнимы:
x, y  A,
x  y или y  x
Определение 2.18: Множество A с заданным на нем
частичным или линейным порядком называется частично
или линейно упорядоченным.
Определение 2.19: Пусть заданы множества A, B, С
и отношения  между A и B и  между B и С. Определим
отношение между A и С следующим образом, оно действует
из A в B посредством , а затем из B в С посредством . Такое отношение называют составным и обозначают   , т.е.
24
(  )(а)=  ((а))
Следовательно,    ={(x, y) |  zB такой, что
(x,z) и (z, y)}.
Практические задания
2.1. Найдите A  B и B  A при:
1) A={1,2}, В={1,3,4};
2) A={3}, B={1,2,3,4}.
2.2. Изобразите на декартовой плоскости следующие
множества:
1) [0,1] [0,1],
2) [-1,1] [2, 3],
3) [0,1]  [2, ),
4) [1, 2]  (-, ),
5) (1,1]  [2,3],
6) [0, )  {2,3},
7) [0,1]  (,3],
8) (, )  [2,3].
2.3. Докажите, что при любых множествах X, Y, Z:
1) (X  Y)    (X  Z)  (Y  Z)
2) (X  Y)    (X  Z)  (Y  Z)
25
3) (X \ Y)    (X  Z) \ (Y  Z)
4) X  Y  X  Z  Y  Z,
5) X  Y    X    Y  ,
6) X  Y  Z  X  Y  (X  Z)  (Y  Z),
7) (X  Y)  (Y  X)  Z  Z  X  Y  Z.
2.4. Докажите, что для любых множеств А, В, С, D
(A  B)  (C  D)  (A  C)  (B  D).
Справедливо ли аналогичное равенство для объеди-
нения множеств?
2.5. Докажите, что для любых отношений  и  между
элементами множеств X и Y:
1)
2)
3)
4)
(  )1  1  1,
(  )1  1  1,
( \ )1  1 \ 1,
    1  1,
5) ()1  1.
2.6. Докажите, что:
1) отношение  рефлексивно     ;
2) отношение  антирефлексивно       ;
3) отношение  симметрично    1 ,
4) отношение  антисимметрично    1  
(   {( x, x ) | x  X} - тождественное отношение).
26
2.7. Укажите, какими свойствами (рефлексивностью,
антирефлексивностью, симметричностью, антисимметричностью, транзитивностью) обладает каждое из следующих отношений:
1) «||» на множестве прямых плоскости;
2) «» на множестве прямых плоскости;
3) «=» на множестве R;
4) «<» на множестве R;
5) «  » на множестве R;
6) «Пересечения» на множестве прямых плоскости;
7) «Подобия» на множестве треугольников плоскости;
8) «  » на семействе подмножеств универсального множества.
9) «  » на семействе подмножеств универсального множества;
2.8. Найдите область определения и область значений
каждого из следующих отношений, заданных на множестве
Х={1,2,...,10}, и укажите, какими свойствами (рефлексивностью, антирефлексивностью, симметричностью, антисимметричностью, транзитивностью) оно обладает:
1)   {( x, y) | x  y  8},
2)   {( x, y) | xy  12},
3)   {( x, y) | y  x 2},
4)   {( x, y) | y  x 2}.
27
2.9. На множестве N для каждого из следующих отношений найдите область определения и область значений и
укажите, какими свойствами (рефлексивностью, антирефлексивностью, симметричностью, антисимметричностью, транзитивностью) оно обладает:
1)   {(1,1)},
2)   {(1,5)},
3)   {(3,5), (5,3), (3,3), (5, 5)},
4)   {(3,5), (5,3)},
5)   {( x, y) | НОД ( x, y)  1},
6)   {( x, y) | y  2x},
7)   {( x, y) | x  y2},
8)   {( x, y) | x  y},
9)   {( x, y) | x  y},
10)   {( x, y) | y  x  12},
11)   {( x, y) || y  x | 12},
12)   {( x, y) | (x  y) 3},
13)   {( x, y) | x  3y},
14)   {( x, y) | xy  30},
15)   {( x, y) | x  y  1},
28
16)   {( x, y) | x  y  1},
17)   {( x, y) | y  2x  1}.
2.10. Найдите область определения и область значений
каждого из следующих отношений, заданных на множестве R,
и укажите, какими свойствами (рефлексивностью, антирефлексивностью,
симметричностью,
антисимметричностью,
транзитивностью) оно обладает:
1)   {( x, y) | y  2x}.
2)   {( x, y) | y2  x 2}.
3)   {( x, y) | xy  0}.
4)   [0,2]  [0,2].
5)   [0,2]  [1,3].
2.11. Что можно сказать об отношениях  и  1 , если
 : 1) рефлексивно; 2) антирефлексивно; 3) симметрично; 4)
антисимметрично; 5) транзитивно?
2.12. Докажите, что объединение и пересечение двух
рефлексивных отношений рефлексивно. Докажите или опровергните аналогичные утверждения для пар антирефлексивных, симметричных, антисимметричных, транзитивных отношений.
2.13. Докажите, что при любом отношении  на мно29
жестве X отношения   1 и   1 симметричны.
2.14. Докажите, что отношение включения является отношением порядка.
2.15. Можно ли сказать, что множество N разбито на
классы семейством подмножеств {К, L}, если:
1) K - множество четных чисел, L - множество нечетных чисел;
2) K - множество простых чисел, L - множество составных
чисел?
2.16. Пусть А={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Покажите, что подмножества A1={1, 2}, A2={3}, A3={4, 5, 6} образуют разбиение А.
Запишите множество пар из A  A принадлежащих соответствующему отношению эквивалентности.
2.17. Пусть  и  - отношения эквивалентности на
множестве X. Докажите или опровергните, что    ,   
являются отношениями эквивалентности. Решите аналогичную
задачу, когда  и  - отношения порядка.
2.18. Докажите, что если  - рефлексивное и транзитивное отношение на множестве X, то   1 - отношение эквивалентности.
2.19. Определите, какие из следующих отношений являются отображениями; какие из отображений взаимно30
однозначны, какие - обратимы:
1)
1)   {( x, y)  R  R | y  x 2};
2)
  {( x, y) [0, )  (, ) | y  x 2};
3)
  {( x, y) [0, )  [0, ) | y  x 2};
4)
  {( x, y) [0,1]  [0,1] | y  x 2};
5)
1
1
  {( x, y)  [0, ]  [0, ] | y  x 2 };
2
2
6)
  {( x, y)  N  N | x  y2};
7)
  {( x, y) [0, )  (, ) | x  y2};
8)
  {( x, y) [0, )  [0, ) | x  y2};
9)
  {( x, y) [1,1]  [1,0] | x 2  y2  1};
10)
  {( x, y) [1,0]  [1,1] | x 2  y2  1};
11)
  {( x, y) [1,0]  [1,0] | x 2  y2  1};
12)
  {( x, y)  N  N | x  y  3};
13)
  {( x, y)  N  N | y  x  3};
14)
  {( x, y)  N  N || x  y | 3}.
2.20. Пусть f - отображение X в У. Докажите, что f 1 отображение У в X тогда и только тогда, когда f - взаимно-однозначное отображение X на Y. При этом f 1 - взаимно-однозначное отображение У на X.
31
2.21. Пусть f - отображение X на У. Докажите, что следующие утверждения эквивалентны:
1) x1  x 2  f (x1 )  f (x 2 );
2) f (x1 )  f (x 2 )  x1  x 2 ;
3)
для
любых
g:Y  X
отображений
и
h:Y X
f  g  f  h  g  h.
2.22. Докажите, что если f - взаимно-однозначное отображение X на Y, a g - взаимно-однозначное отображение У на
Z, то:
1) g  f - взаимно-однозначное отображение X на Z;
2) (g  f )1  f 1  g 1 .
2.23. Пусть f - преобразование конечного множества X.
Докажите, что следующие утверждения эквивалентны:
1) отображение f взаимно-однозначно;
2) f - отображение X на X.
2.24. Пусть ,  - отношения на множестве N. Найдите
  ,   , 2 , 2 , если:
1)   {(1,1), (2,3)},   {(1,2), (2,3), (3,4)};
2)   {(1,2), (1,4), (2,7)},   {(1,3), (2,6), (7,4), (3,1)};
3)   {( x, y) | y x},   {( x, y) | x  y}.
2.25. Докажите, что отношение  транзитивно тогда и
32
только тогда, когда 2   .
2.26. Пусть  и  - отношения. Докажите, что
(  )1  1   1 .
2.27. Пусть  и  - отношения эквивалентности. Докажите, что    - отношение эквивалентности тогда и только
тогда, когда        .
2.28. Пусть  - отношение на множестве X. Докажите,
что отношение   1 симметрично.
2.29. Пусть ,  -отношения линейного порядка на множестве X. Докажите, что    - отношение линейного порядка
тогда и только тогда, когда    .
2.30. Пусть ,  - симметричные отношения на множестве X. Докажите, что                .
33