Неравенства. Методы доказательств

Элективный курс по математике
Неравенства. Методы доказательств
Никифорова Н.С.
г. Магнитогорск, МОУ « СОШ №5 УИМ»
Пояснительная записка
В общем курсе школьной математики присутствуют намеченные, но
непроработанные вопросы, такие, как например свойства неравенств, их
доказательство и применение. В рамках учебных занятий учащийся
знакомится со свойствами неравенств и методами их решения в простейших
случаях. В то время как указанные темы являются хорошим средством для
обучения типичным методам научных исследований, таких как полный
перебор вариантов, переход от частного к общему
и др. Работа с
неравенствами предполагает не только умение производить какие-то
выкладки по заученным правилам, но также и понимание цели выполняемых
действий.
На олимпиадах для школьников по математике также часто предлагаются
неравенства, доказательство которых лучше выявляет способности и
возможности учащихся, степень их интеллектуального развития. Кроме того,
многие задачи повышенной сложности (из различных разделов математики)
эффективно решаются с помощью неравенств.
В
рамках
данного
курса,
рассчитанного
на
учащихся
9
класса,
рассматриваются неравенства Коши, Бернулли и некоторые другие, с
которыми
ученики
не
знакомы,
различные
методы
доказательства
неравенств, а также применение неравенств при решении задач различного
рода (решение уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств, задач
на максимум-минимум, задач на доказательство и других). Не все
рассматриваемые
в
курсе
задачи
носят
алгебраический
характер,
присутствуют также задачи геометрического плана; задачи, связанные с
комбинаторикой, теорией чисел. Весь этот набор задач подчеркивает связь
различных разделов математики.
Основные цели и задачи элективного курса:
- повышение интереса ученика к изучению математики;
- развитие математических способностей школьников;
- развитие логического мышления учащихся;
- формирование исследовательских навыков и умений;
- формирование у учащихся умения пользоваться учебной литературой;
- развитие математической интуиции при решении задач повышенной
трудности;
- формирование умений и навыков доказательства различного рода
неравенств.
О с н о в н ы е м е т о д ы о б у ч е н и я : частично-поисковый, проблемный,
исследовательский.
Формы учебных занятий
Проблемные лекции, обзорные лекции, семинары, практические занятия,
зачетные самостоятельные работы. Планируется организация разных форм
деятельности учащихся: индивидуальной, групповой, коллективной.
Занятия по введению нового материала могут проходить в форме обзорных
лекций с разбором ключевых задач. Также предусмотрено проведение
некоторых занятий в форме семинара, с предварительной подготовкой
учащихся и самостоятельным поиском материалов с их последующим
обсуждением.
Характеристика содержания курса и его структура
Программа курса состоит из ряда параграфов. Каждый параграф
содержит некоторые теоретические сведения, а также набор задач на
разобранные темы различных уровней сложности. Для каждого параграфа
отобраны задачи для разбора подробного и обстоятельного решения, что
существенно дополняет представленную теорию. Тем самым реализуется
важный педагогический принцип – обучение через задачи. Отметим также,
что программа курса содержит в основном новые для учащегося знания, не
содержащиеся в базовой программе.
Программа
курса
носит
модульный
характер.
Можно
менять
независимые по содержанию модули-параграфы местами по усмотрению
учителя.
Инструментарий
контроля
образовательных достижений
учащихся: самостоятельные зачетные работы.
Планируемые результаты обучения
Прошедшие курс учащиеся должны уметь доказывать как простейшие
числовые неравенства, так и решать задачи повышенной сложности, в том
числе геометрического содержания.
Содержание и организация процесса обучения
§ 1. Простейшие неравенства.
Основные свойства неравенств, изучаемые в курсе алгебры средней школы.
Доказательство простейших неравенств.
§ 2. Использование метода Штурма
Метод, предложенный немецким математиком Р.Штурмом, кроме различных
приложений дает возможность провести оценку неравенств при наличии
определенных условий. С помощью этого метода можно доказать ряд
неравенств, а также решать задачи на оптимизацию с геометрическим
содержанием.
§ 3. Метод использования соотношений между средними
арифметическими, геометрическими, гармоническими и
квадратичными
Среднее
геометрическое.
Среднее
гармоническое.
Среднее
арифметическое. Среднее квадратичное. Соотношения между указанными
средними, обоснование этих соотношений. Использование рассмотренных
соотношений при доказательстве неравенств. Задачи на нахождение
максимальных и минимальных значений. Наибольшее и наименьшее
значения функций.
§ 4. Применение метода математической индукции
В данном параграфе рассматриваются различные схемы математической
индукции применительно к доказательству неравенств.
§ 5. Метод использования свойств функции
Наибольшее (наименьшее) значение функции на интервале (отрезке),
возрастание (убывание) функции. Использование свойств функций при
доказательстве неравенств.
§ 6. Геометрические неравенства
Решение
геометрических задач с использованием изученных тем,
доказательство соотношений геометрического плана.
Примерное распределение учебной нагрузки по темам
9 класс
(1 час в неделю) . Всего 34 часа
3
4
5
6
Простейшие неравенства
Использование метода Штурма
Метод использования соотношений между
средними арифметическими,
геометрическими, гармоническими и
квадратичными
Применение метода математической
индукции
Метод использования свойств функции
Геометрические неравенства
Самостоят
ельная
зачетная
работа
1
2
Содержание
практикум
№
п/п
лекция
Учебное время
1
2
5
1
1
1
5
1
1
5
1
1
-
3
4
1
1
Дидактические материалы
§ 1. Простейшие неравенства.
Дидактические цели и задачи: обобщить и систематизировать знания о
неравенствах, их свойствах. Повторить способы доказательства простейших
неравенств. Подготовить учащихся к изучению планируемых тем курса.
Задачи для разбора.
1. a 2  b 2  2ab.
2.
ab
 ab , где a, b  0.
2
3. ab 
1 1

a b
, где a, b > 0.
a2  b2 a  b

.
2
2
4.
5.
2
ab
2

, где a,b > 0.
1 1
2

a b
a2  b2  a  b 

 .
2
 2 
2
6.
7. a+b>1+ab, где a>1, b<1.
8. a 2  b 2  c 2  (a  b  c) 2 , где a>с, b<c.
9. a)
a b
  2 , где ab>0;
b a
б)
a b
  2 , где ab<0.
b a
§ 2. Использование метода Штурма.
Дидактические цели и задачи:
дать учащимся представление о методе
Штурма
его
и
о
возможностях
применения,
рассмотренный метод при доказательстве неравенств.
научить
применять
Задачи для общего разбора
Пример 1. Доказать, что если произведение положительных чисел x1, x2,…,xn
равно 1, то x1+x2+…+xn  n.
Пример 2. Доказать, что если сумма положительных чисел x1, x2,…,xn равно
1, то x12  x22  ...  xn2 
1.
2.
3.
4.
1
n
x1  ...  xn n
 x1  ...  xn , где х1, …, хn  0
n
х12  ...  х n2
x  ...  x n
 1
.
n
n
1  x1 1  x2   ...  1  xn 
x1  ...  xn
 n  1 , где х1, …, хn  0 и х1 + … + хn = 1.
n
1
1
n
, где х1, …, хn  1, n  2.
 ... 

n
1  х1
1  xn 1  x1  ...  xn
5. abc  bcd  cda  dab 
1 176

abcd , где a, b, c, d  0 и a + b + c + d = 1.
27 27
§ 3. Метод использования соотношений между средними арифметическими,
геометрическими, гармоническими и квадратичными
Дидактические
цели
и
задачи:
повторить
понятия
среднего
арифметического, среднего геометрического, среднего гармонического и
среднего квадратичного, показать возможности применения указанных
средних для доказательства различных неравенств, выработать у учащихся
необходимые навыки.
Задачи для общего разбора
1. a  ba  cb  c  8abc , где a, b, c > 0
2. a  b  c  d b  c  d  ac  d  a  bd  a  b  c  a  bb  cc  d d  a,
где a, b, c, d >0
3. abc  a  b  ca  c  bb  c  a , где a, b, c >0
4. x 8  y 8 
1
, если x+y=1
128
2
2
1
1
25
5.  a     b    , если a, b >0 и a+b=1.
a 
b
2

2
2




1
1 
n2 1
6.  x1    ...   xn   
, если x1,…,xn>0 и x1+…+xn=1
x1 
xn 
n


2
7. a 4  b 4  c 4  abc(a  b  c)
8. x 2  y 2  2 2 ( x  y ) , если xy=1.
9. 6a1  1  ...  6a5  1  55 , если a1,…,a5>0 и a1+…+a5=1
10. 6a  4b  5c  5 ab  7 ac  3 bc , где a, b, c  0
3.13. 2(a 4  b 4 )  17  16ab
§ 4. Применение метода математической индукции
Дидактические цели и задачи: повторить метод математической индукции,
рассмотреть различные схемы математической индукции, рассмотреть
неравенства, при доказательстве которых удобно пользоваться методом МИ,
формировать у учащихся умение использовать ММИ при доказательстве
неравенств.
Задачи для общего разбора
1.
1
1
1
11

 ... 

, где n  1, n  N
2n  1 2n  2
2n  n 30
2.
1
1
1
 2  ...  2  1 , где n  2,3,...
2
2
3
n
3.
4.
x1 ...xn
x1  ...  xn 
n

1  x1 ...1  xn 
, где
1  x1   ...  1  xn n
0  xi 
1
i  1,..., n
2
1 3
2n  1
1
, где n  N
  ... 

2 4
2n
3n  1
 ...  a 
5. aa


n
1  4a  1
, где a  0
2
6. 2 3 4... n  3 , где n  2 , n  N
§ 5. Метод использования свойств функции
Дидактические цели и задачи: обобщить и систематизировать имеющиеся
теоретические знания о функциях и их свойствах, формировать умения
использовать свойства функций при доказательстве неравенств.
Задачи для общего разбора
1. a 2  b 2  c 2  a 2 b  b 2 c  c 2 a  1 , где 0  a, b, c  1 .
2. x1  x2  x3  x1 x2  x2 x3  x3 x1  1 , где 0  xi  1, i  1,2,3...
3. Докажите, что если неравенство ax 2  bx  c  1 имеет место для всех чисел
отрезка  1,1,то для этих x имеет место также неравенство cx 2  bx  a  2 .
4. a 2 b 2  b 2 c 2  c 2 a 2 


1 4
a  b 4  c 4 , где a, b, c - стороны некоторого
2
треугольника.
5. 1  a1 1  a2 ...1  an   1  a1  a2  ...  an , где a1 , a 2 , …, a n  2 и числа a1 , a 2 ,
…, a n одного знака.
§ 6. Геометрические неравенства
Дидактические цели и задачи: показать возможность применения изученных
тем при решении задач с геометрическим содержанием, показать учащимся
связь различных разделов математики, совершенствовать навыки решения
задач.
Задачи для общего разбора
1. На сторонах BC , AB и AC треугольника ABC даны соответственно точки
D , E и F . При этом около четырехугольника AFDE можно описать
окружность. Докажите, что 4
S DEF EF 2
.

S ABC AD 2
2. Докажите неравенство ab  bc  ac  4 3S , где S - площадь треугольника со
сторонами a , b , c .
3. Докажите неравенство:
A2 A3
An1 An
A1 An
A1 A2
, где

 ... 

MA1  MA2 MA2  MA3
MAn1  MAn MA1  MAn
M , A1 ,..., An - отличные друг от друга точки и n  3 . Когда имеет место
равенство?
4. На плоскости даны два произвольных треугольника. Пусть P - сумма их
периметров, а Q - сумма расстояний вершин одного треугольника от вершин
другого. Докажите, что P  Q .
5. Внутри квадрата с единичной стороной даны 1998 взаимно не
пересекающихся кругов. Известно, что сумма их площадей не меньше
1
.
2
Докажите, что существует такая прямая, что сумма длин хорд,
образовавшихся при пересечении этой прямой с кругами, не меньше
1
.
2
Задачи повышенной сложности
1. Для любых положительных чисел a1 , a2 ,..., an докажите неравенство:
n
 


 

1
1
1
1
  1 
1 
1 
...1 
 , где p  n a1a 2 ...a n .
p1  p  
 a1 1  a1   a 2 1  a 2    a n 1  a n   
2. Докажите для чисел a, b, c  0,1 неравенство
a17  a10b 7  b17  b10 c 7  c17  c10 a 7  1 .
3. Даны положительные числа a, b, c и x, y, z , удовлетворяющие условию
 1
1
1
a  x  b  y  c  z  1 . Докажите неравенство abc  xyz     3 .
 ay bz cx 
4. Докажите, что для любого положительного числа x справедливо
неравенство 2 x 9  9 x 8  9 x10  2 .
5. Для чисел a1 ,..., a10 и b1 ,...,b10 докажите неравенство
a
2
1


 a 22  ...  a102 b12  b22  ...  b102  a1b1  a 2 b2  ...  a10b10  
2
 a1b2  a 2 b1  a3 b4  a 4 b3  a5 b6  a 6 b5  a 7 b8  a8 b7  a9 b10  a10b9 
2
.
Требования к результатам обучения
§1. Простейшие неравенства
Знать: основные свойства неравенств, понятие эквивалентных неравенств
Уметь: доказывать простейшие неравенства.
§2. Использование метода Штурма
Знать: о методе Штурма, о различных приложениях метода Штурма.
Уметь: проводить оценку неравенств с помощью метода Штурма,
применять рассмотренный метод для доказательства неравенств, решать
задачи с геометрическим содержанием.
§3. Метод использования соотношений между средними арифметическими,
геометрическими, гармоническими и квадратичными
Знать: понятия среднего арифметического, среднего геометрического,
среднего гармонического, среднего квадратичного, о соотношениях между
рассмотренными средними.
Уметь: доказывать соотношения между рассматриваемыми средними,
использовать данные соотношения при решении задач.
§4. Применение метода математической индукции
Знать: принцип математической индукции, различные схемы метода
математической индукции.
Уметь: доказывать неравенства, используя метод математической индукции.
§5. Метод использования свойств функции
Знать: свойства функций, теоремы о свойствах возрастающей и
убывающей на промежутке функции.
Уметь: применять изученный материал при решении различного рода задач.
§5. Геометрические неравенства
Знать: свойства геометрических фигур, теоремы планиметрии курса 7-9
классов.
Уметь: решать задачи геометрического содержания, сводящиеся к
доказательству неравенств.
Инструментарий контроля образовательных достижений учащихся.
Самостоятельные зачетные работы
Самостоятельная зачетная работа №1. Простейшие неравенства.
1.
1 2 1 2 4 1
2 4 6
100 1
      ...     ... 

1
3 3 5 3 5 7
3 5 7
101 103
2.
1 a 1 b a b
1
1

  , где 0  a  , 0  b 
1 b 1 a b a
2
2
3.
 1  a  (1  a )   a  a
n
i 1
1
n
i i 1
n
i
i 1
1
n
i i 1
i
, где 0  ai 
1
2
4. x  y  1  xy , где x  1, y  1
5.
a
b
c 2 2 2
 
   , где a, b, c > 0
bc ca ab a b c
Самостоятельная зачетная работа №2. Использование метода Штурма.
9  x2 y2 z2
, где x  y  z  xyz , x, y, z  0 .
4
1  x1 1  x2 1  xn
n
2.
...
 n  1 .
x1
x2
1  xn
1. 9  xy  yz  zx 
3. Докажите, что из всех выпуклых n -угольников, вписанных в данную
окружность, наибольшей будет площадь правильного n  угольника.
4. Докажите, что из всех выпуклых многоугольников, вписанных в данную
окружность, наибольшей является сумма квадратов сторон правильного
треугольника.
Самостоятельная зачетная работа №3. Метод использования
соотношений между средними арифметическими, геометрическими,
гармоническими и квадратичными.
Докажите следующие неравенства:
1. a  ba  cb  c  8abc , где a, b, c  0 .
1
, если x  y  1 .
128
3. a 4  b 4  c 4  abca  b  c .
2. x 8  y 8 
 x  y  2,
4. Решать систему уравнений: 
2
 xy  z  1
xy xz yz
5. Решить в целых числах уравнение
 
 3.
z
y
x
Самостоятельная зачетная работа №4. Применение метода
математической индукции.
Доказать следующие неравенства:
x2 x3
x 2k
1. 1  x    ... 
 0, k N .
2k !
2! 3!
2. 1  2 2  33  ...n n  2n!, где n  5 , n  N .
1
1
1
n
3.
, где a, b  0 и n  N .

 ... 

a  b a  2b
a  nb
aa  nb 
n 1
4.
n
nk 2
k 1
1
k 1
 4 , где n  2 , n  N .
k
1
k k2
5. 1    1   2 , где k , n  N и k  12  n .
n 2n
 n
Самостоятельная зачетная работа №5. Метод использования свойств
функций.
1. Известно, что 0  p  1 , 0  r  1 и что также имеет место тождество
 px  1  p y rx  1  r y   ax 2  bxy  cy 2 . Докажите, что одно из чисел a , b , c не
меньше
4
.
9
2. Доказать неравенство a 2  b 2  c 2  a 2 b  b 2 c  c 2 a  1.
3. Докажите неравенство a  b  c 2  4ab  bc  ac  , где a , b , c - стороны
некоторого треугольника.
Самостоятельная зачетная работа №6. Геометрические неравенства.
1. Внутри угла задана точка M . Проведите через точку M прямую так, чтобы
площадь треугольника, ограниченного этой прямой и сторонами угла, была
наименьшей.
2. Докажите, что если длины трех биссектрис треугольника меньше 1, то его
площадь меньше
3
.
3
3. Внутри квадрата со сторонами равными 1 заданы квадраты со сторонами a
и b , не имеющие общих точек. Докажите, что a  b  1 .
4. Докажите, что для любых точек A , B , C , D , E , F имеет место
неравенство 2AB 2  BC 2  CD 2  DE 2  EF 2  FA2   AD 2  BE 2  CF 2 .
Критерии оценки
Самостоятельные зачетные работы оцениваются по системе «зачет» «незачет». «Зачет» выставляется при решении 2 и более задач по каждой
теме. При необходимости можно предусмотреть и выставление оценок.
Информационное обеспечение
1. Алфутова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач
для математических школ. – М.: МЦНМО, 2002
2. Берлов С.Л., Иванов С.В. Кохась К.П. Петербургские математические
олимпиады. – СПб.: Издательство «Лань», 2003
3. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Задачник-практикум по алгебре. –
М.:Школа-Пресс, 1995
4. Седракян Н.М., Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства. –
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002
5. Супрун В.П. Избранные задачи повышенной сложности по
математике. – Мн.:Полымя, 1998
6. Школьные математические олимпиады/ Сост. Н.Х.Агаханов,
Д.А.Терешин, Г.М.Кузнецова. – М.: Дрофа, 2002
7. Журналы «Квант», «Математика в школе».
8. Ресурсы Internet: сайт mccme.ru.