Карамата-Задачи

1. (Прасолов). Доказать, что если a,b,c - стороны треугольника, то (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)≤abc.
2. (Всеросс. 2003 г). Доказать, что если a+b+c=1, то
1
1
1
2
2
2





.
1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c
3. (Окружн. 2004 г). Доказать, что если a+b+c=  /2, то cos(a)+cos(b)+cos(c)>sin(a)+sin(b)+sin(c).
b
c  3
 a
 2
 2
4. (VIII куб. Колм.). Доказать неравенство ab  bc  ca  2
  для любых
b b c c a a 4
положительных a,b,c с суммой 1.
5. (VII куб. Колм.). Доказать, что
2a
2b
2c
a
b
c
 2
 2



.
a  bc b  ac c  ab bc ac ab
2
6. (VI куб. Колм.). Доказать, что если ac=bd, то
a  bb  c c  d d  a   4a  c b  d  .
abcd
7. (Моск мат. олимп. 1952 г.). Доказать, что при n  N , n  2 и x  1, 1  x   1  x   2 n
n
n
8. (Моск мат. олимп. 1972 г.). x1>y1, x1+x2>y1+y2, … , x1+…+xn>y1+…+yn, k  N, доказать:
x1k+…+xnk>y1k+…+ynk.
9. (Моск мат. олимп. 1972 г.). Из отрезков длиной a,b,c можно составить треугольник. Доказать,
1
1
1
,
,
что из отрезков длиной
можно составить треугольник.
bc ab ac
Сборник задач "Неравенства".
§1 Простейшие неравенства.
10. Доказать a2+b2>c2+(a+b-c)2, a>c, b<c.
11. Доказать a  b 
ab
 a b b a .
2
12. Доказать ax  y  a  xy, x  a, y  a .
13. Доказать
1
1
2

 , x  1.
x 1 x 1 x
14. Доказать
1
1
1
1
1




, kN .
3k  1 3k  2 3k  3 2k  1 2k  2
15. Доказать ac  bd   ad  bc   144, a  b  4, c  d  6 .
2
2
16. Доказать a3b+b3c+c3a≥a2b2+b2c2+a2c2 для положительных чисел.
17. Доказать, что при 0<a,b,c<1, одно из чисел (1-a)b, (1-b)c, (1-c)a не больше 1/4.
§2 Использование метода Штурма.
18. Числа х1, х2, … , х1997 удовлетворяют условиям:
1
а). 
 xi  3 ,
3
б). x1  x2    x1997  318 3
12
Найти наибольшее значение выражения: x112  x 12
2    x1997 .
19. Доказать
1  xn
1  x1 1  x2
n


 n  1 при x1  x2    xn  1 .
x1
x2
xn
20. Докажите, что из всех выпуклых n-угольников, вписанных в данную окружность, наибольшей
будет площадь правильного n-угольника.
§3 Метод использования соотношений между средними.
21. Доказать a  ba  cb  c  8abc .
22. Доказать a  b  c  d b  c  d  ac  d  a  bd  a  b  c  a  bb  cc  d d  a .
23. Доказать x 8  y 8 
1
, x  y  1.
128
2
2
1 
1
25

, a  b  1.
24. Доказать  a     b   
a 
b
2

2
2
2
2


 n2 1
1 
1 
1 
 , x1  x 2    x n  1 .
25. Доказать  x1     x 2       x n    
x1  
x2 
xn 
 n 


26. Доказать a 4  b 4  c 4  abca  b  c  .
6a1  1    6a5  1  55 , a1    a5  1 .
27. Доказать
28. Доказать
1
1
1
1 1 1


   , a,b,c - стороны треугольника.
bca abc abc a b c
29. Доказать
n
n! 
n 1
.
2
30. Найти наименьшее значение функции f(x)= n
31. Решить систему уравненеий:
 x  y  z  3,
 2
2
2
 x  y  z  3.
32. Заданы числа a,b,c,d,e, такие что
1
1 x
n
1
1 x
, x  [0;1), n  1, n  N .
a  b  c  d  e  8,
 2
2
2
2
2
a  b  c  d  e  16.
Найти наибольшее значение e.
§4 Метод применения неравенства Коши-Буняковского.
33. Доказать a 2  b 2  c 2  14, a  2b  3c  14 .
34. Доказать
1
35. Доказать
a a  c  b   b a  b  c   c b  c  a  
bc
1

ca

1
ab

1 1 1
  .
a b c
a
2

 b 2  c 2 a  b  c  .
36. Доказать x 4  y 4  x 3 y  xy3 .
37. Доказать a1    a n a17    a n7   a13    a n3 a15    a n5 .
38. Доказать
a  1  2a  3  50  3a  12 .
n
 n
 n

39. Доказать   aik 1   ai1   n aik , k , n  N .
i 1
 i 1
 i 1

a k    ank  a1    a n 
40. Доказать 1

 , k, n  N .
n
n


k
§5 Метод замены переменных.
41. Доказать 1 
42. Доказать
1
2

1
n
n
2
.
n 1
x
y
z
3 3



, x2  y2  z2  1.
2
2
2
4
1 x
1 y
1 z
x y
43. Доказать 1  x 2  1  y 2  2 1  
 ,
 2 
2
x , y  1.
44. Доказать
a
na1    an 
a1
 n 
, 0  a1 ,, an  1 .
1  a1
1  an n  a1    an 
45. Доказать
x  y  y  z x  z 2  xyz2 x  y  z 2 y  z  x 2 z  x  y  .
§6 Метод использования свойств симметрии и однородности.
46. Доказать
a
b
c
3


 .
bc ac ab 2
47. Доказать a  b   a  c c  b  .
2
48. Доказать a b b c c d d a  b a c b d c a d , d  c  b  a .
49. Доказать
xn
x1
x2
n
.



x2    xn x1  x3    xn
x1    xn1 n  1
§7 Применение ММИ.
50. Доказать a12  a22    a22n  a22n1  a1  a2    a2n  a2n1  , a1    a2n1 .
2
2

 n 

 ai 
 n ai2  
§8 О применении одного неравенства  
 i 1n 
 i 1 bi
bi


i 1

an
a1
n


,
p  a1
p  an n  2
a1 ,, an , n  3 .
51. Доказать




.



p - периметр многоугольника со сторонами


1  n2 1

, x1    x n  1 .
52. Доказать   xi   
xi 
n
i 1 
n
53. Доказать a  b  c 
2
a 2  b 2 b 2  c 2 a 2  c 2 a3 b3 c3
.





2c
2a
2b
bc ac ab
 a2 
 a2   a2 
54. Доказать 1  1  * 1  2  *  * 1  n   1  a1  *  * 1  a n  .
a1 
 a 2   a3 

55. Доказать
xn2
x12
x 22
4



, x1    xn  2 .
1  x2    x n 1  x1  x3    xn
1  x1    xn 1 3n  2
56. Доказать x1k  x 2k   x nk  x1    x n , x1 x 2  x n  1 .
57. Доказать
58. Доказать
a1    an  a1    an , a1a2  an  1 .
2n
1
1
1
3n  1
.




3n  1 n  1 n  2
2n 4n  1
§10 Метод использования свойств функций.
59. Доказать 2a  b  2b  c  2a  c  1  2a  b  c 1 .
§14 Различные неравенства.
1
1
60. Доказать x2n  x1n  x2   n  x1   n , 0    x1  x2 .
1
1
61. Доказать x1  x2    xn  n при x1 x2  xn  1 .
62. Доказать, что для углов  ,  ,  остроугольного треугольника справедливо двойное


 3
неравенство: 2  sin  sin  sin  .
2
2
2 2
1
 1  1  
63. Доказать 1  1   1  n
 2  4   2
1
64. Сравнить числа:  
3
100
2
 
3
100

  3.

 1 
и

 2
100
1 

 1 

2

100
.
(№65 и №66  ,  ,  - углы треугольника)
65. Доказать sin   sin   sin  
66. Доказать sin  sin  sin  
67. Доказать
3 3
.
2
3 3
.
8
1 a  b b  c a  c  8


, a,b,c - стороны треугольника.
4
27
a  b  c 3
68. Доказать sin   sin   sin   1  2  ,  ,  - углы тупоугольного треугольника.
69. Доказать x14    x n4  x13    x n3 , x1 x 2  x n  1 .
70. Доказать a  3bb  4cc  2a  60abc, 0  a  b  c .