Различные доказательства теоремы Пифагора. Реферат.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя
общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных
предметов № 80
РЕФЕРАТ
Различные доказательства теоремы Пифагора
Выполнила:
ученица 10 Б класса
Жидкова Ольга
Владимировна
Проверила:
учитель математики
Ртищева Нина Анатольевна
Хабаровск
2014 г.
2
Содержание
Ι. Введение ____________________________________________________3
ΙΙ. Жизнь и творчество Пифагора
_______________________________5
ΙΙΙ. Знаменитая теорема Пифагора _________________________________8
ΙV. Доказательства теоремы Пифагора ____________________________10
1. Доказательство Евклида ___________________________________10
2. Древнекитайское доказательство ___________________________11
3. Древнеиндийское доказательство ___________________________12
4. Доказательство с помощью бумаги и ножниц _________________13
5. Доказательство через подобные треугольники ________________14
6. Доказательство через равнодополняемость ___________________15
V. Задачи __________________________________________________16
VΙ. Заключение _______________________________________________26
VΙΙ. Список литературы _______________________________________27
VΙΙΙ. Приложение _____________________________________________28
1. Рисунки ________________________________________________28
3
Ι. Введение
Пифагор – едва ли не самый популярный ученый за всю историю
человечества. Он был не только ученым, основателем первой научной
школы. Он был и властителем дум, проповедником собственной
«пифагорейской» этики, философом.
Выдающимся вкладом в математику является теорема Пифагора,
устанавливающая связь между квадратом, построенным на гипотенузе
прямоугольного треугольника, и квадратами, построенными на его
катетах. Как и все гениальное, теорема Пифагора отличается не только
изысканной простотой и массой геометрических приложений, но и имеет
огромное число интерпретаций в самых различных областях математики.
Теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в
геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около
500
различных
доказательств
этой
теоремы
(геометрических,
алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о гигантском
числе ее конкретных применений.
Интересна для изучения именно эта тема, так как многие слышали о
теореме Пифагора, но немногие знают об интересных и полезных
приложениях основанных на ней.
В наши дни теорема Пифагора очень важна и актуальна. И
несущественно то, что она была известна за много веков до Пифагора,
важно
то,
что
Пифагор
выделил
её,
дополнив
собственными
исследованиями, повысив значимость в мире математических открытий.
Поэтому, в качестве предмета для исследования, я выбрала теорему
Пифагора. Этой темой обусловлены следующие задачи:
1.
В чем заключается важность теоремы. Найти ответ через
историю теоремы, исторические факты.
4
2.
Разобраться в различных способах доказательства теоремы,
с помощью исторических источников.
3.
Научиться решать задачи, связанные с теоремой Пифагора
через разбор задач в различной степени сложности.
5
ΙΙ. Жизнь и творчество Пифагора
Пифагор – самая загадочная личность, человек-символ, философ,
пророк.
Пифагор – едва ли не самый популярный ученый за всю историю
человечества. Ни одно имя ученого не повторяется так часто.
Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. Отцом
Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Когда отец
Пифагора был в Дельфах по своим торговым делам, он и его жена
Партенис решили спросить у Дельфийского оракула, будет ли Судьба
благоприятствовать им во время обратного путешествия в Сирию. Пифия
(прорицательница Аполлона), сидя на золотом триоде над сияющим
отверстием оракула, не ответила на их вопрос, но сказала Мнесарху, что
его жена носит в себе дитя и что у них родится сын, который превзойдет
всех людей в красоте и мудрости и который много потрудится в жизни на
благо человечества.
По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был
сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности.
Древнегреческий философ, математик, астроном. Основатель
пифагорейской школы в Кротоне. Считался одним из
самых
образованных людей своего времени. Доказал знаменитую теорему «О
равенстве квадрата гипотенузы прямоугольного треугольника сумме
квадратов катетов», которая носит теперь его имя. Обосновал многие
свойства геометрических фигур. Разработал математическую теорию
чисел и их пропорций. Внёс значительный вклад в развитие астрономии
и акустики. Предположил, что движение небесных тел подчиняется
определённым математическим законам. В своих трудах опирался на
идеи мировой гармонии. Автор «Золотых стихов». Одна из основных
заповедей Пифагора: «Не делай никогда того, чего не знаешь. Но научись
всему, что следует знать».
6
Школа Пифагора.
В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического
братства, тайного монашеского ордена, члены которого обязывались
вести «пифагорейский образ жизни». Это был одновременно и
религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Не только
сила личности и мудрость Пифагора, но и высокая нравственность
проповедуемых им идей и жизненных принципов притягивала к нему
единомышленников.
Пифагора
лежало
В
основе
религиозно-философского
представление
о
числе,
как
учения
основе
всего
существующего в мире. «Числа – боги на земле», – говорил он. Ритуал
посвящения в члены пифагорейского братства был окружен множеством
таинств, разглашение которых сурово каралось. Обучение в школе было
двухступенчатое. Одни ученики назывались «математиками», т. е.
познавателями,
а
другие
–
«акусматиками»,
т. е.
слушателями.
Математики – те, кто изучал суть науки, акусматики – те, кто
прослушивал обобщенный свод знаний. Акусматики представляли
первую ступень в школе Пифагора. Наиболее одаренные акусматики
переводились в математики, им разрешалось видеть учителя, вести с ним
научные споры. Пифагорейцы узнавали друг друга по звездчатому
пятиугольнику
–
пентаграмме.
Они
верили,
что
в
числовых
закономерностях спрятана тайна мира. Мир чисел жил для пифагорейца
особой жизнью, числа имели свой особый жизненный смысл.
Различные названия теоремы.
Не
найти
никакой
другой
теоремы,
имеющей
столько
всевозможных названий. Во Франции и Германии в Средневековье
теорему Пифагора
называли «мостом ослов» или «бегством убогих»,
потому что перед экзаменом, содержащим вопросы по этой теме,
начинался массовый отток нерадивых студентов. У математиков
7
арабского Востока эта теорема получило интересное название – «теорема
невесты». Дело в том, что в некоторых списках «Начал» Евклида эта
теорема называлась «теоремой нимфы» за сходство чертежа с пчёлкой,
бабочкой (по-гречески – «нимфа»). Но словом «нимфа» греки называли
ещё и некоторых богинь, а также молодых женщин и невест.
При переводе с греческого арабский переводчик, не обратив
внимания на чертёж, перевёл слово «нимфа» как «невеста», а не как
«бабочка». Так появилось ласковое название знаменитой теоремы
Пифагора – «теорема невесты».
Существует легенда, что когда Пифагор Самосский доказал свою
теорему, он отблагодарил богов, принеся в жертву 100 быков».
Возможно, отсюда следует и ещё одно название знаменитой
теоремы Пифагора – «теорема 100 быков».
8
ΙΙΙ. Знаменитая теорема Пифагора
Теорема Пифагора – важнейшее утверждение геометрии. Ее
открытие приписывают древнегреческому философу и
Пифагору Самосскому (VI в. до н.э.).
математику
Но изучение вавилонских
клинописных таблиц и древних китайских рукописей (копий ещё более
древних манускриптов) показало, что знаменитая теорема была известна
задолго до Пифагора, возможно, за несколько тысячелетий до него.
Заслуга же Пифагора состояла в том, что учёный
первым открыл
доказательство этой теоремы. Открытие теоремы Пифагором окружено
множеством красивых легенд. Со времён Пифагора появилось несколько
сотен доказательств (более 350) его знаменитой теоремы, так что она
даже попала в Книгу рекордов Гиннеса.
Различные формулировки теоремы
У
Евклида
эта
теорема
гласит
(дословный
перевод):
"В
прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым
углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".
Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н.
э. ), сделанный Герхардом Клемонским (начало 12 в.), в переводе на
русский гласит: "Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат,
образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме
двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой
угол".
В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема
читается так : "Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной
стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по
двум сторонам его, примыкающим к прямому углу".
9
В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И.
Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: "В прямоугольных
треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу,
равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".
В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта
Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее
полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге.
Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид
приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл
утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому
Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила
достоверных данных о жизни Пифагора и его математической
деятельности.
10
ΙV. Доказательства теоремы Пифагора
1. Доказательство Евклида (рисунок 1)
Дано: ABC-прямоугольный треугольник
Доказать: SABDE=SACFG+SBCHI
Доказательство:
Пусть ABDE-квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного
треугольника ABC, а ACFG и BCHI-квадраты, построенные на его
катетах. Опустим из вершины C прямого угла перпендикуляр CP на
гипотенузу и продолжим его до пересечения со стороной DE квадрата
ABDE в точке Q; соединим точки C и E, B и G. Очевидно, что углы
CAE=GAB(=A+90°); отсюда следует, что треугольники ACE и
AGB(закрашенные на рисунке) равны между собой (по двум сторонам и
углу, заключённому между ними). Сравним далее треугольник ACE и
прямоугольник PQEA; они имеют общее основание AE и высоту AP,
опущенную на это основание, следовательно
SPQEA=2SACE
Точно так же квадрат FCAG и треугольник BAG имеют общее основание
GA и высоту AC; значит,
SFCAG=2SGAB
Отсюда и из равенства треугольников ACE и GBA вытекает
равновеликость прямоугольника QPBD и квадрата CFGA; аналогично
доказывается и равновеликость прямоугольника QPAE и квадрата CHIB.
А отсюда, следует, что квадрат ABDE равновелик сумме квадратов ACFG
и BCHI, т.е. теорема Пифагора.
11
2. Древнекитайское доказательство (рисунок 2)
На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных
треугольника с катетами а, b и гипотенузой с уложены так, что их
внешний контур образует квадрат со стороной а+b, а внутренний —
квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе (б). Если квадрат со
стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить
в два прямоугольника (в), то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной
стороны, равна с2, а с другой — а2+Ь2, т.е. с2=а2+Ь2. Теорема доказана.
Заметим, что при таком доказательстве построения внутри квадрата на
гипотенузе, которые мы видим на древнекитайском чертеже (а), не
используются. По-видимому, древнекитайские математики имели другое
доказательство.
Именно
если
в
квадрате
со
стороной
с
два
заштрихованных треугольника (б) отрезать и приложить гипотенузами к
двум другим гипотенузам (г), то легко обнаружить, что полученная
фигура, которую иногда называют «креслом невесты», состоит из двух
квадратов со сторонами а и b, т.е. с2=а2+Ь2.
12
3. Древнеиндийское доказательство (рисунок 3)
Математики Древней Индии заметили, что для доказательства
теоремы
Пифагора
достаточно
использовать
внутреннюю
часть
древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате
«Сиддханта Широмани» («Венец знания») крупнейшего индийского
математика XII в. Бхаскары помещен чертеж (а) с характерным для
индийских доказательств словом «смотри!». Как видим, прямоугольные
треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат с2
перекладывается в «кресло невесты» а2-b2 (б). Заметим, что частные
случаи теоремы Пифагора (например, построение квадрата, площадь
которого вдвое больше площади данного квадрата) встречаются в
древнеиндийском трактате «Сульва сутра» (VII —V вв. до н.э.).
13
4. Доказательство с помощью листа бумаги и ножниц (рисунок 4)
Разделите большой квадрат (или любой из квадратов, если
прямоугольный треугольник равнобедренный) на четыре одинаковые
части, проведя через центр квадрата две взаимно перпендикулярные
прямые, одна из которых параллельна гипотенузе треугольника.
Вырежьте из листа бумаги части большего квадрата и меньший квадрат.
Не меняя их ориентации на плоскости, вырезанные части можно
передвинуть так, что они составят один большой квадрат (на рисунке этот
квадрат показан пунктиром), построенный на гипотенузе.
14
5. Доказательство через подобные треугольники (рисунок 5)
Следующее доказательство алгебраической формулировки —
наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В
частности, оно не использует понятие площади фигуры.
Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C.
Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник
ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично,
треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения
получаем
Что эквивалентно
Сложив, получаем
или
15
6. Доказательства через равнодополняемость (рисунок 6)
1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как
показано на рисунке.
2. Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма
двух острых углов 90°, а развёрнутый угол — 180°.
3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со
стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх
треугольников и внутреннего квадрата.
Что и требовалось доказать.
16
V. Задачи по теореме Пифагора
Задача 1.
Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 60о,
если гипотенуза равна с.
Решение.
Пусть а – катет треугольника АВС, лежащий напротив угла в 60 о,
который нам нужно найти. Сторона с – гипотенуза, а 0,5с (т.к. катет,
лежащий напротив угла в 30о равен половине гипотенузы) – второй
катет.
а =с -0,5с
2
2
2
A
30˚
4а2=4с2-с2
С
3с2
а2=
4
с√3
а=
2
B
60˚
C
с√𝟑
Ответ: катет, лежащий напротив угла 60о равен а=
𝟐
Задача 2.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание
равно 16 см. Найдите высоту, проведенную к основанию.
Решение.
Пусть нам дан равнобедренный треугольник АВС, где АВ=ВС=17, а
АС=16.
17
B
Опустим на основание треугольника высоту ВН.
Рассмотрим треугольник ВНС – прямоугольный.
НС=0,5АС
(высота
треугольнике
делит
в
17
равнобедренном
основание
пополам)=˃
A
НС=8.
16
C
По теореме Пифагора: ВН2=с2-а2=289-64=225; ВН=15
Ответ: высота равна 15 см
Задача 3.
Доказать, что площадь равностороннего треугольника вычисляется по
а2 √3
формуле S=
4
, где а – сторона треугольника.
Решение.
Пусть
нам
дан
равносторонний
треугольник
АВС.
Площадь
треугольника вычисляется по формуле S=0,5аh.
Проведем к АС высоту ВН и найдем ее.
B
а2
ВН2=а2ВН =
2
ВН=
4
а
3а2
4
A
а√3
C
2
Теперь в формулу площади треугольника подставляем известные
величины.
а
S= ×
2
а√3 а2 √3
2
=
4
18
Следовательно,
мы
доказали,
что
треугольника вычисляется по формуле S=
площадь
равностороннего
а𝟐 √𝟑
𝟒
Задача 4.
Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24
см.
Решение.
Пусть нам дан ромб АВСD. Площадь ромба вычисляется по формуле
S=0,5d1d2
Из этой формулы следует, что площадь ромба равна 120 см2
Теперь нужно найти сторону ромба. Рассмотрим треугольник ОВС –
прямоугольный. Найдем сторону ВС по теореме Пифагора.
A
ВС2=25+144
ВС=√169=13
D
O
24
B
10
C
Ответ: S=120 cм2, сторона равна 13 см.
Задача 5.
Основание D высоты CD треугольника АВС лежит на стороне АВ,
причем AD=BC. Найти АС, ели АВ=3, а CD=√3.
Решение.
Пусть AD=BC=x
19
Рассмотрим треугольник CDВ – прямоугольный. Сторона DB=3-x =˃ по
теореме Пифагора можем найти сторону CD;
CD2=3+(3-х)2=3+9-6х+х2
х2-6х+12=0
Воспользуемся Теоремой Виета для нахождения корней уравнения.
х1=3 – не удовлетворяет условиям, так как гипотенуза должна являться
большей стороной.
х2=4
С
СВ2=4; СВ=2
√𝟑
Отсюда, так как CB=AD=2
А
В
AC2=3+4
AC=√7
Ответ: AC=√𝟕
Задача 6.
В треугольнике ABC ВС=34 см. Перпендикуляр MN, проведенный из
середины ВС к прямой АС, делит сторону АС на отрезки AN=25 см и
NC=15 см. Найти площадь треугольника ABC.
Решение.
20
По теореме Фалеса в треугольнике ВСН HN=NC(так как ВМ=МС и ВМ ǁ
МС ); HN=15
Треугольник BHC-прямоугольный. Найдем в этом треугольнике сторону
ВН:
B
ВН2=ВС2-НС2=256
ВН=16
Из формулы площади треугольника:
C
A
H
N
S=0,5×16×(25+15)=320 см2
Ответ: S=320 см2
Задача 7.
Гипотенуза прямоугольного треугольника на 1 больше одного из
катетов, а сумма катетов на 4 больше гипотенузы. Найти стороны
этого треугольника.
Решение.
Пусть один из катетов равен х, тогда гипотенуза равна х+1. Второй
катет обозначим у. Составим уравнение:
х+у=(х+1)+4
X+1
y
х+у=х+5=˃ у=5
X
21
С помощью теоремы Пифагора можем найти х:
(х+1)2=25+х2
х2+2х+1=25+х2
2х=24
х=12
х+1=13
Ответ: гипотенуза равна 13, первый катет-12, второй катет-5
Задача 8.
Найти расстояние между основаниями равнобедренной трапеции, у
которой основания 5 м и 11 м, а боковая сторона 4 м.
Решение.
Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD. Проведем высоты из точек
В и С на основание AD. Найдем HD:
B
HD=3
теореме
A
Пифагора
найдем
высоту
расстоянием между основаниями трапеции.
СН2=16-9=7
C
4
HD=(11-5):2
По
5
11
СН,
которая
D
является
22
СН=√7
Ответ: расстояние между трапециями равно √𝟕
c
Задача 9.
a
Диагональ квадрата а. Чему равна сторона квадрата?
Решение.
Пусть х-сторона квадрата ABCD. Проведем диагональ AC. Рассмотрим
треугольник ADC-прямоугольный. По теореме Пифагора найдем х:
а =2х
2
х=
2
bB
2
а2
a
2
а
а√2
√2
2
х= =
C
A
D
Таким образом, мы получили сторону квадрата, равную
а√𝟐
𝟐
Задача 10.
Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 8 см. Может
ли длина гипотенузы быть равной 5 см?
Решение.
Чтобы это проверить, возьмем формулу теоремы Пифагора:
с =а +в
2
2
2
c
a
b
23
Так как сумм катетов равна 8 см, то будет выполняться равенство
а+в=8, откуда а=8-в. Подставим по формуле:
25=(8-в)2+в2
2в2-16в+39=0
D˂0 =˃ уравнение не имеет корней =˃ нет, гипотенуза не может быть
равна 5 см.
Ответ: нет
Задача 11.
√10
10
В треугольнике АВС АС=ВС, высота СН равна 6, cos A=
. Чему равна
сторона АВ?
Решение.
Рассмотрим треугольник АВН. Он прямоугольный, т.к. СН – высота.
АН
Найдем, cos A=
АН=
АС√10
10
АС
. Подставим известные величины.
АН =
АС
=
√10
10
, отсюда
. Теперь возведем в квадрат выражение, чтобы потом найти
АН по теореме Пифагора:
2
АН
АС2
10
Воспользуемся теоремой Пифагора для получения АН:
АС2 = СН2 + АН2 ;
24
Подставим известные величины:
С
АС2 = 36 + АН2 ;
АН2 = АС2 − 36;
АС2
10
= АС2 − 36;
10АС2 − 360 = АС2 ;
9АС2 = 360;
А
Н
В
АС2 = 40;
Теперь найдем АН по теореме Пифагора;
АН2 = АС2 − 36;
АН2 = 40 − 36;
АН2 = 4, отсюда АН=±2. −2 не удовлетворяет условиям задачи,
следовательно, АН=2. Поэтому, АВ=4 (т.к. треугольник АВС равнобедренный).
Ответ: АВ=4
Задача 12.
Докажите, что если диагонали трапеции перпендикулярны, то сумма
квадратов их длин равна квадрату суммы длин оснований.
Решение.
Пусть нам дана трапеция ABCD. Построим СК=АD на продолжении ВС.
Затем, соединим точки D и К.
25
Теперь рассмотрим треугольники ВОС И ВDК. Они подобны по двум
углам (∠СВО – общий. ∠1 = ∠2, т.к. основания трапеции параллельны и
эти два угла – соответственные. ∠2 = ∠3, т.к. ACDK – параллелограмм
по двум равным и параллельным сторонам).
∠1 = ∠2 = ∠3 => ∠𝐷 = 90°
Нужно доказать равенство AC2 + BD2=(AD+BC)2. Рассмотрим для
этого треугольник BDK – прямоугольный. По теореме Пифагора
составим равенство:
BK2=BD2 + DK2;
Так как ACDK – параллелограмм, то CK=AD, а DK=AC, поэтому:
(ВС2 + СК2)=BD2 + AC2;
(ВС2 + AD 2)=BD2 + AC2 => равенство доказано.
АC⊥BD
∠CAD=∠2
∠CKD=∠3
∠BCO=∠1
C
B
K
O
А
D
26
VΙ. Заключение
 Теорема Пифагора по праву считается самой важной в курсе
геометрии. Пифагор превратил математику в дедуктивную науку:
ввел доказательство.
 Теоремой
Пифагора
и
пифагорейской
школой
восхищается
человечество на протяжении всей истории, им посвящают стихи,
песни, рисунки, картины.
 Теорема
Пифагора
является
основой
решения
множества
геометрических задач и является основой для вывода многих
формул геометрии.
 Работа над этим рефератом нам позволила расширить свои
знания в области в геометрии. Знания теоремы и его приложений
позволят нам применить их при решении геометрических задач.
27
VΙΙ. Список литературы
1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия.
2. Волошинов А.В. «Пифагор» М. 1993.
3. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в
ВУЗы.
4. Смирнов В.А., Смирнова И.М. Геометрия.
Интернет – ресурсы:
1. http://school.xvatit.com/index.php
2. http://th-pif.narod.ru/biograph.htm
3. http://www.math.com.ua/articles/theorem_pifagor
28
VΙΙΙ. Приложение
Рисунки
Рисунок 1
Рисунок 2
29
Рисунок 3
Рисунок 4
30
Рисунок 5
Рисунок 6