Рабочая программа. Направление ЭВМб. Математическая

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА
ФЕДЕРАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по УМР
_________________ Бамбаева Н.Я.
« ___ »_____________ 2014 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине
Б2.7 Математическая логика и теория алгоритмов
шифр и название дисциплины
Направление подготовки 230100 – Информатика и вычислительная
техника
Квалификация (степень)
БАКАЛАВР
Профиль подготовки
Вычислительные машины, комплексы, системы
и сети
Факультет
ФПМВТ
Кафедра
Высшей математики
Курс обучения
1
Форма обучения
очная
Общий объем учебных часов на дисциплину
144
час. 4 з.е.
Семестр
2
сем.
Объем аудиторной нагрузки
72
час.
Лекции
36
час.
Практические занятия
28
час.
Лабораторные работы
8
час.
Курсовой проект
Зачет
сем.
Экзамен
2
Объем самостоятельной работы студента
72
час.
Москва – 2014 г.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС
ВПО, утвержденного приказом Министра образования и науки Российской
Федерации от 9 ноября 2009г. № 553 по направлению подготовки 230100,
Информатика и вычислительная техника квалификация (степень) - Бакалавр.
Рабочую программу составил:
Проф., д.т.н
.
Самохин А.В.
Рабочая программа утверждена на заседании кафедры:
Протокол № ____2___
Зав. кафедрой к.ф.-м.н.,
доц.
(должность, степень,
звание)
от « 16
» сентября
подпись
2014 г.
Дементьев Ю.И.
(Фамилия, инициалы)
Рабочая программа одобрена методическим советом
по направлению подготовки 230100 – “Информатика и вычислительная
техника”
(шифр, наименование)
Протокол № __________
от «
»
2014 г.
Председатель
методического совета
Соломенцев В.В.
д.т.н, проф.
(должность, степень,
подпись
(Фамилия, инициалы)
звание)
Рабочая программа согласована с Учебно-методическим управлением (УМУ)
Начальник УМУ, к.э.н., доц.
(должность, степень, звание)
подпись
Борзова А.С.
(Фамилия, инициалы)
1. Цели освоения дисциплины (модуля)
Целями освоения дисциплины (модуля)
Математическая логика и теория
алгоритмов является формирование личности студентов, развитие их интеллекта и
способностей к логическому и алгоритмическому мышлению, обучение основным
математическим понятиям и методам математического анализа, , необходимым для анализа
и моделирования устройств, процессов и явлений при поиске оптимальных решений
практических задач, методам обработки и анализа результатов численных и натурных
экспериментов.
Дисциплина является одной из важнейших теоретических и прикладных
математических дисциплин, определяющих уровень профессиональной подготовки
современного инженера.
Цель преподавания прикладных разделов дисциплины состоит в том, чтобы,
используя теорию и методы научного познания овладеть основными понятиями,
определениями и методами теории вероятностей и математической статистики,
необходимыми для решения задач в области авиаперевозок; обучить студентов
математическим методам принятия решений, необходимым при решении задач
оптимизации, возникающих во всех областях человеческой деятельности, математическим
методам организации транспортного процесса, в частности - при планировании и
управлении процессами перевозок и организации авиаперевозок.
Преподавание дисциплины состоит в том, чтобы на примерах математических
понятий и методов продемонстрировать сущность научного подхода, специфику
математики и её роль как способ познания мира, общности её понятий и представлений в
решении возникающих проблем. При этом решаются следующие задачи:
- раскрыть роль и значение математических методов исследования при решении
инженерных задач;
- ознакомить с основными понятиями и методами классической и современной
математики;
- научить студентов применять методы математического анализа для построения
математических моделей реальных процессов и явлений;
- раскрыть роль и значение вероятностно-статистических методов исследования при
решении инженерных задач.
2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина Математическая логика и теория алгоритмов относится к учебным
дисциплинам базовой части математического и естественнонаучного цикла основной
образовательной программы (далее — ООП) направления подготовки 230100,
Информатика и вычислительная техника квалификация (степень) – Бакалавринженер.
Для успешного освоения данной дисциплины студент должен владеть знаниями,
умениями и навыками, сформированными школьной программной по дисциплине
математика, математическим анализом и алгеброй.
Приобретенные в результате изучения дисциплины знания, умения и навыки
используются во всех без исключения естественнонаучных и инженерных дисциплинах,
модулях и практиках ООП.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины (модуля) МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ
АЛГОРИТМОВ
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций у
выпускника по специальности – Информатика и вычислительная техника - с квалификацией
“ Бакалавр -инженер”:
а) общекультурных (О К)
 владеть культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию
информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (О К – 1 ) ;
 использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной
деятельности, применять методы математического анализа и моделирования,
теоретического и экспериментального исследования (ОК - 10).
б) профессиональных ( П К )
 осваивать методики использования программных средств для решения практических
задач ( П К – 2) ;
 разрабатывать модели компонентов информационных систем, включая модели баз
данных ( П К – 4 ).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:

основные понятия и методы математики;

методику математического исследования прикладных задач.
Уметь:

при решении задач выбирать и использовать необходимые
вычислительные методы в зависимости от поставленной задачи;

логически правильно строить рассуждения при решении задач;
Владеть:
 Навыками составления оптимизационных моделей,
 логикой высказываний и предикатов; теорией сложности и алгоритмов
 программными математическими пакетами Maple, MathCad для численных и
символических вычислений при решении практических задач.
4. Структура и содержание дисциплины
4.1. Объём дисциплины и виды учебной работы (часы)
Виды учебной работы
Аудиторные занятия
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы
(ЛР)
Контрольные работы
Другие виды
аудиторных занятий
(тактические занятия,
учения, специальные игры,
индивидуальные занятия)
Самостоятельная
работа
Курсовая работа (проект)
Реферат
Домашняя работа
(задание)
Самостоятельная проработка
учебного материала
Другие виды самостоятельной
работы
Вид итогового контроля
Общая трудоемкость
дисциплины
часы
Зачетные единицы
Всего часов
72
36
28
8
Семестр
2
72
36
28
8
-
-
72
72
20
20
52
52
-
-
36
144
Экзамен
144
4
4.2. Содержание разделов (тем) дисциплины
Раздел 1. Множества и отображения (6 часов).
Лекция 1.1. Алгебра множеств. Операции над множествами. Число элементов
подмножеств конечных множеств..
Лекция 1.2. Счетные и несчетные множества. Мощность. Теорема Кантора о
множестве подмножеств.
Лекция 1.3. Функции и отображения. Образ и прообраз. Композиции и обратные
отображения. Отношения эквивалентности и порядка. Упорядоченные множества.
Раздел 2. Исчисление высказываний (8 часов).
Лекция 2.1. Высказывания, операции над высказываниями. Формулы алгебры
высказываний. Тавтологии и эквивалентность.
Лекция 2.2. Нормальные формы высказываний. Релейно-контактные схемы.
Лекция 2.3. Булевы функции. Функции алгебры логики. Многочлены Жегалкина.
Критерий полноты (теорема Поста).
Лекция 2.4. Исчисление высказываний. Аксиомы и правило Modus ponens. Полнота и
непротиворечивость исчисления высказываний.
Раздел 3. Исчисление предикатов. (6 часов).
Лекция 3.1. Предикаты. Кванторы. Логические операции над предикатами Выразимые
предикаты. Арифметические предикаты..
Лекция 3.2.. Синтаксис и семантика языка предикатов. Общезначимые формулы.
Аксиомы и правила вывода.
Лекция 3.3. Непротиворечивость и полнота исчисления предикатов (теорема Геделя).
Раздел 4. Элементы теории алгоритмов (14 часов).
Лекция 4.1. Вычислимые функции. Разрешимые и перечислимые множества.
Лекция 4.2. Универсальные функции и неразрешимость.
Лекция 4.3. Нумерации и операции. Главные универсальные функции и множества.
Свойства главных нумераций и перечислимые свойства функций.
Лекция 4.4. Теорема о неподвижной точке (теорема Клини).
Лекция 4.5. Машины Тьюринга. Понятие алгоритма по Тьюрингу. Алгоритмически
разрешимые и неразрешимые.
Лекция 4.6. Арифметичность вычислимых функций. Теоремы Гёделя и Тарского.
Лекция 4.7. Рекурсивные функции. Примитивно и частично рекурсивные функции.
Тезис Чёрча. Оценки скорости роста и сложность алгоритмов.
4.3 Структура и содержание дисциплины (модуля) Математическая логика и теория алгоритмов
Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единиц, 144 часов.
Семестр
Неделя
Виды учебной работы, включая
Раздел
семестра
самостоятельную работу студентов и
№
Дисциплины
трудоемкость (в часах)
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
РАЗДЕЛ 1 Множества и отображения.
Тема 1.1. Алгебра множеств. Операции над
множествами. Число элементов
Тема 1.2. Счетные и несчетные множества. Мощность.
Теорема Кантора о множестве подмножеств
Тема 1.3. . Функции и отображения. Образ и прообраз.
Композиции и обратные отображения. Отношения
эквивалентности и порядка. Упорядоченные множества.
Раздел. 2 Исчисление высказываний
Тема 2.1. . Высказывания, операции над высказываниями.
Формулы алгебры высказываний. Тавтологии и
эквивалентность
Тема 2.2 Нормальные формы высказываний. Релейноконтактные схемы.
Тема 2.3 Булевы функции. Функции алгебры логики.
Многочлены Жегалкина. Критерий полноты (теорема
Поста)..
Тема 2.4 Исчисление высказываний. Аксиомы и
правило Modus ponens. Полнота и непротиворечивость
исчисления высказываний
Раздел. 3 Исчисление предикатов
Тема 3.1. Предикаты. Кванторы. Логические операции
над предикатами
Тема 3.2. Синтаксис и семантика языка предикатов.
Общезначимые формулы. Аксиомы и правила вывода
Тема 3.3. . Непротиворечивость и полнота исчисления
предикатов (теорема Геделя).
Раздел. 4. Элементы теории алгоритмов
Тема 4.1. Вычислимые функции. Разрешимые и
перечислимые множества
Тема 4.2 Универсальные функции и неразрешимость
Тема 4.3. Нумерации и операции. Главные
универсальные функции и множества
Тема 4.4. Теорема о неподвижной точке (теорема
Клини)..
Тема 4.5 Машины Тьюринга. Понятие алгоритма по
Тьюрингу
1
1
1-2
1
Л
4
2
ПР
6
2
1
1
2
2
4
1
2
2
2
5
1
1
3-6
3
8
2
6
2
11
4-5
4
4
5
5
2
2
6
6
2
2
2
1
1
7-9
6
6
2
6
2
4
1
7
2
2
4
1
8
2
1
1
9-16
9-
12
12
1
10
11
2
2
2
2
1
12
2
2
1
13
2
2
1
Лаб
4
4
Формы текущего контроля успеваемости (по
неделям семестра)
Форма промежуточной аттестации (по семестрам)
СРС
11
2
Выдача КДЗ-1
Сдача КДЗ-1
20
2
Выдача КДЗ-2
14
Защита лабораторной работы №1
2
Сдача КДЗ-2
34
2
4
Выдача КДЗ-3
16
Защита лабораторной работы №2
4
19
20
Тема 4. 6. Арифметичность вычислимых функций.
Теоремы Гёделя
Тема 4.7. Рекурсивные функции. Примитивно и частично
рекурсивные функции. Тезис Чёрча.
21
22
23
Тема 4.8.Оценки скорости роста и сложности алгоритмов
Подготовка к экзамену
ИТОГО
1
14
2
2
4
1
15
2
2
4
1
16
1
17
36
28
8
Сдача КДЗ-3
Форма промежуточной аттестации -экзамен
12
72
4.4. Матрица соотнесения тем/разделов учебной дисциплины и формируемых в них профессиональных и общекультурных компетенций
Разделы дисциплины, темы (наименования)
РАЗДЕЛ. 1. Множества и отображения
Тема 1.1. Алгебра множеств. Операции над множествами. Число элементов
Тема 1.2. Счетные и несчетные множества. Мощность. Теорема Кантора о множестве
подмножеств
Тема 1.3. . Функции и отображения. Образ и прообраз. Композиции и обратные
отображения. Отношения эквивалентности и порядка. Упорядоченные множества.
РАЗДЕЛ. 2. Исчисление высказываний
Тема 2.1. . Высказывания, операции над высказываниями. Формулы алгебры
высказываний. Тавтологии и эквивалентность
Тема 2.2 Нормальные формы высказываний. Релейно-контактные схемы.
Тема 2.3 Булевы функции. Функции алгебры логики. Многочлены Жегалкина.
Критерий полноты (теорема Поста)..
Тема2.4 Modus ponens. Полнота и непротиворечивость исчисления высказываний
Раздел. 3 Исчисление предикатов
Тема 3.1. Предикаты. Кванторы. Логические операции над предикатами
Тема 3.2. Синтаксис и семантика языка предикатов. Общезначимые формулы.
Аксиомы и правила вывода
Тема 3.3. . Непротиворечивость и полнота исчисления предикатов (теорема Геделя).
Раздел. 4. Элементы теории алгоритмов
Тема 4.1. Вычислимые функции. Разрешимые и перечислимые множества
Тема 4.2 Универсальные функции и неразрешимость
Тема 4.3. Нумерации и операции. Главные универсальные функции и множества
Тема 4.4. Теорема о неподвижной точке (теорема Клини)..
Тема 4.5 Машины Тьюринга. Понятие алгоритма по Тьюрингу
Тема 4. 6. Арифметичность вычислимых функций. Теоремы Гёделя
Тема 4.7. Рекурсивные функции. Примитивно и частично рекурсивные функции.
Тезис Чёрча.
Тема 4.8. Оценки скорости роста и сложность алгоритмов .
Подготовка к экзамену
ИТОГО
Количество
часов
Компетенции
ПК - 2
ОК - 1
ОК - 10
24
6
8
+
+
+
+
+
+
+
10
+
+
+
30
10
+
+
+
+
+
8
6
+
+
+
6
18
10
8
+
+
+
+
+
+
+
6
62
6
8
24
8
8
8
14
+
+
+
+
+
+
+
+
+
14
+
+
144
+
+
ПК - 4
+
+
+
3
+
+
4
3
+
2
4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Σ общее количест-во
компетенций
4
3
3
+
+
+
+
+
+
3
4
3
3
4
3
3
2
4
+
+
4
+
+
+
+
+
+
2
3
3
3
4.5. Перечень тем практических занятий и их объем в часах:
В семестре предусмотрено 14 практических занятий по 2 часа каждое.
ПЗ-1. Алгебра множеств. Операции над множествами. Конечные множества и
комбинаторика.
ПЗ-2-3. Мощность множества. Функции: композиции обратные, образ и прообраз.
ПЗ-4-5. Алгебра высказываний. Таблицы истинности. Тавтологии и эквивалентность.
ПЗ-6-7. Нормальные формы. Релейно-контактные схемы
ПЗ-8-9. Булевы функции. Многочлены Жегалкина. Полнота систем функций.
ПЗ-10. Логические операции над предикатами. Действия с кванторами.
ПЗ-11-12. Вычислимые функции
ПЗ-13-14. Машины Тьюринга
4.6. Лабораторный практикум
Перечень лабораторных работ и их объем в часах
№ п/п
1
2
Тема
Нормальные формы высказываний.
Нечеткая логика и нечеткие множества
Объем
в часах
4
4
4.7. Тематика курсовых работ (проектов)
Курсовые работы не предусмотрены
5. Образовательные технологии
В процессе преподавания дисциплины «Математическая логика и теория
алгоритмов» используются как классические формы и методы обучения (лекции,
практические занятия и лабораторные работы), так и активные методы обучения
(компьютерные интерактивные задания в процессе выполнения лабораторных работ,
индивидуальные задания на выбор рациональных решений в условиях расплывчатых
целей и др.). Применение любой формы обучения предполагает также использование
новейших IT-обучающих технологий.
При проведении лекционных занятий по дисциплине «Математическая логика
и теория алгоритмов» преподаватель использует аудиовизуальные, компьютерные и
мультимедийные средства обучения Университета.
Лабораторные работы по данной дисциплине проводятся с использованием
компьютерного оборудования Университета с использованием пакета Maple 12+;
контрольные домашние задания предполагают использование индивидуальных
компьютеров, при необходимости — с привлечением Интернет-ресурсов.
Самостоятельная работа студентов по дисциплине «Математическая логика и
теория алгоритмов» способствует более глубокому усвоению изучаемого курса,
формирует навыки исследовательской работы по проблемам естественнонаучных и
инженерных дисциплин, ориентирует студента на умение применять полученные
теоретические знания на практике и проводится в следующих видах:
 Проработка лекционного материала
 Подготовка к выполнению и защите лабораторных работ
 Подготовка к практическим работам
 Выполнение индивидуальных контрольных домашних заданий
 Подготовка к экзамену
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебнометодическое обеспечение самостоятельной работы студентов
6.1. Текущий контроль успеваемости студентов по дисциплине
Перечень тем контрольных домашних занятий:
1. КДЗ-1. Алгебра множеств. Операции над множествами.
2. КДЗ-2. Нормальные формы. Релейно-контактные схемы.
3. КДЗ-3. Машины Тьюринга и вычислимые функции.
Типовые вопросы к экзамену
1. Множества, операции над множествами. Подмножества. Основные свойства.
2. Сочетания, размещения и перестановки в конечных множествах. Число
подмножеств
3. Счетные множества. Примеры
4. Несчетность точек интервала (0;1)
5. Равномощность бесконечных множеств. Теорема Кантора о множестве
подмножеств
6. Отображения. Композиции отображений. Образ и прообраз. Инъективность,
сюръективность и биективность
7. Бинарные отношения. Функция как отношение.
8. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности
9. Отношение порядка. Упорядоченные и вполне упорядоченные множества.
10. Теорема Кантора – Бернштейна о равномощности (без доказательства). Примеры
11. Доказать несчетность R
12. Доказать равномощность R и R2
13. Доказать счетность множества программ на языке С++
14. Доказать счетность множества рациональных чисел
15. Доказать счетность множества конечных последовательностей из нулей и
единиц
16. Высказывания, операции над высказываниями. Равносильные высказывания.
17. Основные тавтологии алгебры высказываний.
18. Формулы алгебры высказываний. Скобочный разбор
19. Существование и единственность КНФ и ДНФ. Связь КНФ и ДНФ
20. Теорема Поста о полных классах булевых функций
21. Релейно-контактные схемы: анализ и синтез. Конструирование при помощи
элемента «и-не»
22. Исчисление высказываний: алфавит, формулы, аксиомы, правило вывода modus
ponens .
23. Теорема о непротиворечивости исчисления высказываний
24. Теорема о полноте исчисления высказываний
25. Предикаты. Логические операции над предикатами. Основные свойства
26. Кванторы. Основные равносильности с кванторами
27. Многочлены Жегалкина. Существование и единственность представления
функции алгебры логики многочленом Жегалкина
28. Невыразимые предикаты. Изоморфизмы. Примеры
29. Исчисление предикатов: алфавит, формулы, аксиомы, правила вывода.
30. Связанные и свободные вхождения переменных в предикат. Правила
подстановки
31. Общезначимые формулы. Теорема о полноте и непротиворечивости исчисления
предикатов
32. Будет ли общезначимой формула

xyB ( x, y )  xyB ( x, y )

xyB ( x, y )  xyB( x, y )
33. Написать формулы R,T и А, выражающие свойства рефлексивности,
транзитивности и антисимметричности сигнатуры (=,<). Проверить, что
формула R  T  A  xy (( y  x )  ( y  x )) необщезначима, хотя верна во всех
конечных интерпретациях.
34. Доказать, что предикат x=1 невыразим в сигнатуре ( =,<,+ ) на множестве
рациональных чисел
35. Доказать арифметичность предиката «x= n- тое по порядку простое число».
36. Доказать арифметичность предикатов

x<y,

x=0,

x=1,

x:y без остатка,

x – простое число

в сигнатуре (=, , ) на множестве натуральных чисел
37. Доказать, что существует только счетное множество вычислимых функций.
38. Доказать перечислимость множества простых чисел.
39. Доказать разрешимость множества простых чисел
40. Перечислимость графика вычислимой функции.
41. Доказать разрешимость любого конечного множества.
42. Доказать разрешимость 2N.
43. Доказать, что множество всех рациональных чисел, меньших 3, разрешимо.
44. Доказать, что множество перечислимо тогда и только когда, когда является
областью значений вычислимой функции. То же для области определения.
45. Привести пример перечислимого неразрешимого множества.
46. Существование главной универсальной функции.
47. Привести пример универсальной вычислимой функции, не являющейся
главной.
48. Теорема о неподвижной точке.
49. Программа, печатающая собственный текст.
50. Машина Тьюринга, переписывающая слово задом наперед.
51. Алгоритм умножения в языке с конечным числом переменных.
52. Алгоритм возведения в квадрат в языке с конечным числом переменных.
53. Алгоритм b:=a[i] в языке с конечным числом переменных (массив а
кодируется числом по основной теореме арифметики) .
54. Арифметические формулы для всех типов команд в языке с конечным числом
переменных.
55. Теорема Тарского о невыразимости арифметики
56. Теорема Гёделя о неполноте арифметики
6.2. Аттестация студентов по дисциплине
Промежуточная аттестация по итогам освоения дисциплины осуществляется в
первом и во втором семестрах. Итоговая оценка по дисциплине осуществляется в виде
экзамена в третьем семестре. Экзаменационная оценка проставляется на основе
рейтингового показателя в соответствии со следующей шкалой.
Шкала перевода рейтингового показателя в 5-ти балльную систему
Рейтинговый показатель
Европейская оценка
5-ти балльная оценка
90 – 100
A
отлично
80 – 89
B
хорошо
70 – 79
C
60 – 69
D
удовлетворительно
50 – 59
E
0 – 49
F
неудовлетворительно
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
(модуля) Математическая логика и теория алгоритмов
а) Основная литература
1. Н. К. Верещагин, А.Шень. Лекции по математической логике и теории
алгоритмов. 4-е издание –в 3-х частях. -Москва: МЦНМО, 2012. / В свободном
доступе:
a. http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part1-2.pdf,
b. http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-2.pdf
c. http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part3-2.pdf
2. А.В. Самохин, Ю.И. Дементьев. Математическая логика и теории алгоритмов.
Пособие по выполнению практических работ –М.: МГТУГА, 2014
б) Дополнительная литература:
3. А.В. Самохин. Математическая логика и теория алгоритмов. Учебное пособие - М.:
МГТУГА, 2003. – 236 с.
в) программное обеспечение:
Для выполнения лабораторных и домашних работ возможно использование
пакетов MAPLE или MATEMATIСA для ОС Windows.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
 Компьютерный класс для проведения лабораторных работ в пакете MAPLE.
 Электронные учебные пособия на сайте кафедры vm.mstuca.ru
 Лекционные аудитории с компьютером и комнатной видеоустановкой.