Муниципальное бюджетное образовательное учреждение Новинская средняя общеобразовательная школа Богородского района Нижегородской области

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
Новинская средняя общеобразовательная школа
Богородского района Нижегородской области
Классические теоремы геометрии.
Теоремы Чевы и Менелая.
Работу выполнил ученик 9 класса
Самохвалов Владислав
2013 г.
1
Содержание
Введение……………………………………………………………………………………………………………………………….2
1. Теорема Чевы………………………………………………………………………………………………………………….3
1.1. Биография Чевы……………………………………………………………………………………………………….3
1.2. Различные доказательства теоремы Чевы……………………………………………………………..3
2. Теорема Менелая……………………………………………………………………………………………………………7
2.1. Биография Менелая…………………………………………………………………………………………………7
2.2. Различные доказательства теоремы Менелая………………………………………………………...7
3. Применение теорем Чевы и Менелая к доказательству теорем и решению задач …..13
Заключение…………………………………………………………………………………………………………………………..22
Литература…………………………………………………………………………………………………………………………….23
Приложения………………………………………………………………………………………………………………………….24
2
Введение
Известно, что геометрия – это одна из древнейших наук на земле. Изучение различных
теорем дает человеку множество знаний, которые он будет использовать всю свою жизнь.
Первые геометрические факты мы находим в вавилонских клинописных таблицах и
египетских папирусах, а также в других источниках. Название науки “геометрия” –
древнегреческого происхождения. Оно составлено из двух древнегреческих слов: ge –
“Земля” и metreo – “измеряю”.
Возникновение геометрических знаний связано с практической деятельностью людей. Это
отразилось и в названиях многих геометрических фигур. Например, название фигуры
трапеция происходит от греческого слова trapezion – “столик”, от которого также
произошло слово “трапеза” и другие родственные слова.
Еще в древности геометрия превратилась в дедуктивную, строго логическую науку,
построенную на основе системы аксиом. Она непрерывно развивалась, обогащалась
новыми теоремами, идеями, методами. Интересы геометров и направления их научных
исследований порой менялись в процессе исторического развития этой науки, поэтому
нелегко дать точное и исчерпывающее определение, что такое геометрия сегодня, каков ее
предмет, содержание и методы.
Понятия и факты геометрии постоянно применяются при решении практических задач. И
дело не только в том, что, решая задачи по алгебре или другим областям математики, мы
часто делаем геометрические чертежи или используем формулы и теоремы геометрии.
Гораздо важнее то, что, сопоставив алгебраические или иные формулы с геометрическими
фактами, мы часто можем “увидеть” геометрически решение задачи и найти такие пути
рассуждений, предугадать которые, глядя “чисто алгебраически” на нагромождение
формул, просто не представляется возможным. Вообще, характерной чертой
современного развития математики является то, что геометрия все больше приобретает
роль метода мышления, метода осмысления и организации математической информации
буквально во всех областях математики и ее приложений.
В курсе планиметрии рассматривают важные и интересные свойства геометрических
фигур на плоскости, но многие удивительные соотношения и изящные геометрические
факты не вошли в основной курс. Например, нам известны теоремы о замечательных
точках в треугольнике: Три биссектрисы ( медианы, высоты) пересекаются в одной
точке. Эти свойства являются следствиями теорем Чевы и Менелая, которые не
рассматриваются в школьной программе.
Цель и задачи работы:
1. Познакомиться с классическими теоремами элементарной геометрии, не
изучаемыми в школе - теоремы Чевы и Менелая.
2. Рассмотреть различные доказательства этих теорем.
3. Рассмотреть их применение к доказательству теорем и решению задач
Приведенные в моей работе теоремы значительно упрощают, на мой взгляд, решение
сложных геометрических задач, а также повышают уровень знаний по элементарной
геометрии.
3
1. Теорема Чевы
1.1 Биграфия Чевы
Чева Джованни (Ceva Giovanni) (3.3. 1648, Милан,- 13.12.1734, Мантуя) - итальянский
инженер и математик. Окончил Пизанский университет. Основные работы по геометрии и
механике. Доказал (1678) теорему о соотношении отрезков некоторых прямых,
пересекающих треугольник (теорема Чевы). Построил учение о секущих, которое
положило начало синтетической геометрии; оно изложено в сочинение "О взаимно
пересекающихся прямых" ("De line is rectis se inuicem secantibus", Mediolani, 1678).
1.2 Различные доказательства теоремы Чевы
Теорема. Пусть точки А1, В1, С1 лежат соответственно на сторонах ВС, АС и ВА
треугольника АВС (рис.1). Для того чтобы отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекались в
одной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение
В
A1
C1
О
с
А
В1
(рис. 1)
Доказательство.
Необходимость. Пусть отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О, внутри
треугольника АВС (рис.2). Обозначим через S1, S2, S3 площади треугольников АОС, СОВ
и АОВ, а через h1, h2- расстояния соответственно от точек А и В до прямой ОС.
В
А0
H2
C1
H1
В0
А1
О
А
В1
С
(рис. 2)
4
S1 = ОС · h1 ; S2 = ОС · h2 следовательно
=
Треугольник А0АС1подобен треугольнику В0ВС1 (по первому признаку подобия
треугольников), следовательно
=
Тогда
.
Аналогично
Перемножив полученные пропорции, получаем равенство (1)
Достаточность. Пусть точки А1 ,В1, С1 лежат на сторонах ВС, СА и АВ треугольника
АВС и выполнено соотношение (1), О- точка пересечения отрезков АА1 и ВВ1 , а отрезок
СО пересекает сторону АВ в точке Q (рис.3).
В
Q
A1
O
C
A
В1
(рис.3)
Тогда, по уже доказанному,
так что
.
Из леммы (см. приложения) следует совпадение точек Q и С1.
Достаточность доказана.
Рассмотрим другое доказательство теоремы Чевы.
Теорема. Если на сторонах АВ, ВС и СА треугольника ABC взяты соответственно
точки С1, A1 и B1, то отрезки AА1, BB1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и
только тогда, когда
5
Доказательство.
В
A1
C1
А
О
с
В1
(рис.4).
Пусть отрезки AА1, BB1 и СС1 пересекаются в точке О ( рис.4).
Докажем, что выполнено равенство (1). По теореме о пропорциональных отрезках в
треугольнике (см. приложения) имеем:
Левые части этих равенств одинаковы, значит, равны и правые части. Приравнивая их,
получаем:
Разделив обе части на левую часть, приходим к равенству (1).
Докажем обратное утверждение. Пусть точки C1, A1 и B1 взяты на сторонах АВ, ВС и
СА так, что выполнено равенство (1). Докажем, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются
в одной точке. Обозначим буквой О точку пересечения отрезков АА1 и ВВ1 и проведем
прямую СО (рис.5).
В
A1
C2
O
A
(рис.5).
C
В1
6
Она пересекает сторону АВ в некоторой точке, которую обозначим С2. Так как отрезки
AA1, ВВ1 и СС2 пересекаются в одной точке, то по доказанному ранее
Итак, имеют место равенства (2) и (1).
Сопоставляя их, приходим к равенству
, которое показывает, что точки С1 и С2
делят сторону АВ в одном и том же отношении. Следовательно, точки С1 и С2 совпадают,
и, значит, отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О.
Теорема доказана.
Замечание. Мы брали точки A1 , B1 и С1 на сторонах ВС, СА и АВ треугольника ABC.
Если же только одна из этих точек берется на соответствующей стороне, а две другие —
на продолжениях сторон, то справедливо следующее утверждение: если прямые AA1, ВВ1
и СС1 пересекаются в одной точке (рис.6) либо параллельны (рис.7), то выполняется
равенство (1), и, обратно, если выполняется равенство (1), то прямые AA1, BB1 и CC1
либо пересекаются в одной точке, либо параллельны. (обобщение теоремы Чевы)
B
A
B1
C
O
C1
A1
(рис.6)
C1
A1
B
A
B1
C
(рис.7)
7
2. Теорема Менелая
2.1 Биография Менелая
Менелай Александрийский - древнегреческий астроном и математик I века.
Автор работ по сферической тригонометрии. Написал 6 книг о вычислении
хорд и 3 книги “Сферики”. Тригонометрия у Менелая отделена от геометрии и
астрономии. Арабские авторы также упоминают о книге Менелая по
гидростатике.
2.2 Различные доказательства теоремы Менелая
Снова рассмотрим треугольник ABC и не совпадающие с вершинами точки А1, B1
и С1 на его сторонах ВС, СА и АВ или на продолжениях этих сторон. Теорема
Менелая дает ответ на вопрос о том, при каком условии точки А1 ,В1 и С1 лежат на
одной прямой. При этом возможны два случая: либо две точки берутся на
соответствующих сторонах, а еще одна — на продолжении третьей стороны
(рис.8), либо все три точки берутся на продолжениях соответствующих сторон
(рис.9).
B
A1
C1
B1
A
C
(рис. 8)
A1
B
B1
A
C1
C
(рис.9)
8
Оказывается, что в каждом из этих случаев точки A1 ,B1 и С1 лежат на одной прямой тогда
и только тогда, когда выполнено то же самое равенство (1), что и в теореме Чевы.
Теорема. Если на сторонах АВ и ВС и продолжении стороны АС (либо на
продолжениях сторон АВ, ВС и АС) взяты соответственно точки C1, A1 и B1, то эти
точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
Доказательство.
Пусть точки A1, B1 и С1 лежат на одной прямой (рис.10).
B
A1
C1
D
E
C
B1
A
F
G
( рис.10)
Докажем, что выполнено равенство (1). Проведем прямые AD, BE и CF параллельно
прямой B1 A1 (точка D лежит на прямой ВС). Согласно обобщению теоремы Фалеса (см.
приложения) имеем:
Перемножая левые и правые части этих равенств, получаем:
т. е. выполнено равенство (1).
Докажем обратное утверждение. Пусть точка В1 взята на продолжении стороны АС, а
точки С1 и А1 — на сторонах АВ и ВС, причем так, что выполнено равенство (1).
Докажем, что точки A1, B1 и С1 лежат на одной прямой.
Прямая В1С1 пересекает сторону ВС в некоторой точке А2 (рис.11).
9
B
A2
C1
B1
A
C
(рис.11)
Так как точки В1, С1 и А2 лежат на одной прямой, то по доказанному ранее
Сопоставляя (1) и (3), приходим к равенству
которое показывает, что точки А1 и А2 делят сторону ВС в одном и том же отношении.
Следовательно, точки А1 и А2 совпадают, и, значит, точки A1, B1 и С1 лежат на одной
прямой. Аналогично доказывается обратное утверждение в случае, когда все три точки A1,
B1 и С1 лежат на продолжениях соответствующих сторон. Теорема доказана.
Рассмотрим другое доказательство теоремы Менелая.
Теорема. Пусть точки А1 и С1 лежат на сторонах ВС и АВ треугольника АВС
( рис12.), а точка В1 – на продолжение стороны АС этого треугольника. Для того
чтобы точки А1, В1 и С1 лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось равенство
B
l
A0
H2
C1
H1
B0
A1
C0
H3
A
C
B1
(рис12)
Доказательство.
Сначала докажем необходимость. Пусть точки А1, В1 и С1 лежат на прямой l и АА0 = h1,
ВВ0 = h2, СС0 = h3 – перпендикуляры, опущенные соответственно из точек А, В, С на
прямую l (рис.12). Из подобия треугольников АА0С1 и ВВ0С1 получаем
10
Аналогично из подобия треугольников А1В0В и А1С0С получаем
А из подобия треугольников В1СС0 и В1АА0 получаем
Перемножая полученные пропорции, приходим к требуемому равенству.
Достаточность. Пусть точки А1, В1, С1 (рис.13), лежащие на прямых ВС, АС, АВ,
таковы, что
Докажем, что точки А1, В1, С1 лежат на одной прямой.
В
m
С1
A1
A
С
T
В1
(рис. 13)
Проведем прямую А1С1 и докажем, что точка В1 ей принадлежит.
Предположим, что это не так. Сначала заметим, что прямая А1С1 не параллельна прямой
АС. Пусть Т – точка пересечения прямых А1С1 и АС (рис.13). Тогда
Из условия (1) и равенства (4) следует, что
Так как точки Т и В1 лежат вне отрезка АС, их совпадения легко следует из леммы
( см. приложения).
Рассмотрим третье доказательство теоремы Менелая.
Теорема. Если прямая пересекает две стороны треугольника АВС в точках С1, А1 и
продолжение третьей стороны в точке В1 , то
11
В
С1
А1
К
А
С
В1
(рис. 14)
Доказательство
Проведём через точку С прямую СК параллельную АВ (рис.14).
Треугольник С1ВА1 подобен треугольнику А1СК (по двум углам) следовательно
Треугольник СКВ1 подобен треугольнику АС1В1 (угол В1 общий и СК параллельна АВ,
следовательно угол КСВ1 равен углу С1АВ1), значит
Теорема доказана.
12
3. Применение теорем Чевы и Менелая к доказательству теорем и решению задач
Теорема 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке; точка пересечения
делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Доказательство
Пусть АМ1, ВМ2, СМ3 – медианы треугольника АВС (рис.15).
B
М3
О
А
М2
М1
С
( рис. 15)
Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать (по
теореме Чевы), что
Так как АМ3 = М3В , ВМ1 = М1С , СМ2 = М2А , то
Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Пусть О – точка пересечения медиан. Прямая М3С пересекает две стороны треугольника
АВМ2 и продолжение третьей стороны этого треугольника. По теореме Менелая
Рассматривая теорему Менелая для треугольников АМ1С и ВМ3С, мы получаем, что
Теорема доказана.
13
Теорема 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
B
L3
A
L1
L2
C
(рис. 16).
Доказательство
Пусть АL1 , BL2 , CL3 – биссектрисы треугольника АВС (рис.16).
Достаточно показать, что
. Тогда по теореме Чевы AL1, BL2, CL3 пересекаются в одной точке.
По свойству биссектрис треугольника:
. Перемножая почленно полученные равенства, получаем:
Итак, для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они
пересекаются в одной точке.
Теорема доказана.
14
Теорема 3. Высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.
В
Н3
Н1
c
А
a
х
Н2
b-х
С
(рис.17)
Доказательство
Пусть АН1, ВН2, СН3 – высоты треугольника АВС со сторонами BC=a , AC=b, AB=c.
(рис. 17) Из прямоугольных треугольников АВН2 и ВСН2 по теореме Пифагора выразим,
соответственно, квадрат общего катета ВН2, обозначив АН2 = х, СН2 = b – х.
(ВН2)2 = с2 – х2 и (ВН2)2 = а2 – (b – х)2. приравнивая правые части полученных равенств,
получаем с2 – х2 = а2 – (b – х)2, откуда
Тогда
Итак,
Аналогично рассуждая для прямоугольных треугольников АСН3 и ВСН3, ВАН1 и САН1,
получим
Для доказательства теоремы достаточно показать, что
.
15
Тогда по теореме Чевы отрезки АН1, ВН2 и СН3 пересекаются в одной точке. Подставив в
левую часть равенства выражения длин отрезков АН3, ВН3, ВН1, СН1, СН2 и АН2 через а,
b, с, убеждаемся, что равенство Чевы для высот треугольника выполняется.
Теорема доказана.
Теорема 4. Если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие
вершины треугольника с точками касания противоположных сторон пересекаются в
одной точке.
В
х
х
C1
A1
z
A
у
z
B1
у
C
(рис.18)
Доказательство
Пусть А1, В1 и С1 – точки касания вписанной окружности треугольника АВС (рис. 18).
Для того, чтобы доказать, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке,
достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:
. Используя свойство касательных, проведенных из одной точки, введем обозначения:
ВС1 = ВА1 = х, СА1 = СВ1 = у, АВ1 = АС1 = z.
. Равенство Чевы выполняется, значит, указанные отрезки пересекаются в одной точке.
Эту точку называют точкой Жергона.
Теорема доказана.
16
Задача 1.
Доказать , что в произвольном треугольнике прямые, проходящие через вершины и
делящие периметр треугольника пополам, пересекаются в одной точке.
B
A1
C1
A
B1
C
(рис.19)
Доказательство.
Пусть каждый из отрезков АА1 , ВВ1 и СС1 делит периметр треугольника АВС пополам.
Тогда АВ+ВА1=АС+ А1С=АВ + АВ1 =ВС + В1С=АС + АС1 =ВС + ВС1 = (АВ + ВС + АС).
Следовательно, АВ1 =А1 В, ВС1 =СВ1 , СА1 =АС1 и выполняется равенство
поэтому по теореме Чевы, отрезки АА1 , ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке.
Что и требовалось доказать.
17
Задача 2.
Медиана ВМ и биссектриса АР треугольника АВС пересекаются в точке О. Прямая
СО пересекает АВ в точке К. Найдите длины отрезков АК и КВ , если АВ=4, АС=12
B
y
K
x
A
P
O
C
M
(рис.20)
Решение
Так как ВМ, АР и СК пересекаются в одной точке, то по теореме Чевы
Пусть АК= х , КВ= у, АМ= МС (ВМ- медиана), тогда
АР-биссектриса, следовательно
АК=3 , КВ=1
18
Задача 3.
На медиане АD треугольника АВС взята точка К так, что АК : КD = 3 : 1. Прямая
ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих
треугольников.
В
a
D
m
3m
А
a
K
Р
С
(рис.21)
Решение
Пусть ВD = DC = a, KD = m, тогда АК = 3m. Пусть Р – точка пересечения прямой ВК со
стороной АС. Необходимо найти отношение
Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то
По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ имеем:
Итак,
19
Задача 4
.Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые
биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности,
вписанной в треугольник.
В
5к
D
6k
O
А
5m
F
7m
С
(рис.22)
Решение.
Пусть в треугольнике АВС
АВ = 5, ВС = 7, АС = 6.
Угол ВАС лежит против большей стороны в треугольнике АВС, значит, угол ВАС –
больший угол треугольника.
Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис.
Пусть О – точка пересечения биссектрис.
Необходимо найти отношение отрезков АО и OD
Так как АD – биссектриса треугольника АВС, то
, то есть BD = 5k, DС = 6k,
BC=11k
Так как BF – биссектриса треугольника АВС, то
, то есть AF = 5m, FC = 7m.
Прямая BF пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ADC.
По теореме Менелая
20
Задача 5.
Биссектрисы ВЕ и АD треугольника АВС пересекаются в точке Q. Найдите площадь
треугольника АВС, если площадь треугольника BQD = 1, 2АС = 3 АВ, 3ВС = 4 АВ.
В
2p
14m
D
a
Q
3p
9m
A
3k
E
C
4k
( рис.23)
Решение
Пусть АВ = а, тогда АС =
,
ВС =
.
АD - биссектриса треугольника АВС, тогда
То есть BD = 2p,
DC = 3p. ВС=5р.
ВЕ – биссектриса треугольника АВС, тогда
То есть АЕ = 3 k, ЕС = 4k, AC=7k . В треугольнике ВЕС прямая АD пересекает две его
стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая
То есть EQ = 9m, QB = 14m. ВЕ=23m. Треугольники QBD и EBC имеют общий угол,
значит
Треугольники АВС и ВЕС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, значит,
,
тогда
21
Заключение
Моя исследовательская работа была посвящена теоремам Чевы и Менелая классическим теоремам элементарной геометрии, которые не изучаются в школе.
Я считаю, что знание этих теорем очень важно, так как данные теоремы
значительно упрощают решения сложных геометрических задач, позволяют находить
более рациональные способы решения, повышают уровень знаний по элементарной
геометрии.
Изучив литературу, я рассмотрел несколько способов доказательства этих теорем.
С помощью теоремы Чевы доказал теоремы о конкурентности медиан, биссектрис и высот
треугольника, а также теорему про отрезки соединяющие вершины треугольника с
точками касания вписанной в треугольник окружности.
С помощью теоремы Менелая доказал, что медианы треугольника точкой
пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
В работе я привёл решение 2-х задач с помощью теоремы Чевы и 3-х – задач с помощью
теоремы Менелая. Подобные задачи часто встречаются на вступительных экзаменах в
ВУЗы.
Выяснил, что теоремы верны и для пространственных фигур (но это тема другого
исследования).
Я думаю, что результаты моей исследовательской работы можно использовать на
уроках геометрии в 9 и 11 классах при подготовке к экзаменам. А мне они пригодятся в
дальнейшем изучение математики.
Я считаю, что теорема Чевы и Менелая необходимо изучать в школе.
22
Литература
 Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 класса / Л.С. Атанасян,
В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 4-е изд. – М.: Вита- Пресс, 2004.
 Журнал « Квант», 1990 год, № 3.
 Большая Советская энциклопедия / Гл. ред. А.М. Прохоров. – 3-е изд. – М.:
Советская энциклопедия, 1974. т. 16.
 Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл. – М.: Просвещение,
1983.
23
Приложения
Лемма.
Пусть А и В – две различные точки. Тогда для любого k>0, k 1 на прямой АВ
существуют две и только две точки U и V такие, что
, причем одна из
этих точек принадлежит отрезку АВ , а другая лежит вне отрезка АВ
A
U
B
V
a
u
b
v
Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике.
Если на сторонах АC и ВС треугольника АВС отмечены точки К и М, а отрезки АМ и ВК
пересекаются в точке О, то
В
М
О
А
К
С
24
Обобщение теоремы Фалеса
Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на этих прямых
пропорциональные отрезки.
a
А1
А2
А3
Аn-1
Аn
b
B1
B2
B3
Bn-1
Bn
25