ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ
advertisement
©Гриднева Наталья Алексеевна Министерство образования Российской Федерации Тамбовский педагогический колледж им. К. Д. Ушинского кафедра естественно- математических дисциплин ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ Дипломная работа по специализации студентки 5 А курса специальность 0312 Преподавание в начальных классах Гридневой Натальи Алексеевны Научный руководительКорчагина Раиса Викторовна Рецензент- Котова Людмила Павловна Дата защиты……………… Оценка…………………….. ТАМБОВ, 2005 ©Гриднева Наталья Алексеевна СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1.Мышление как основной процесс в сознательном усвоении материала. 1.1 Общее понятие о мышлении…………………………………………………….. 1.2 Основные формы мышления…………………………………………………….. 1.3 Пути развития мышления у детей……………………………………………….. ГЛАВА 2.Доказательство в геометрии. 2.1 Сущность доказательств в геометрии………………………………………… 2.2 Значение доказательств в геометрии……………………………………………. 2.3 Основные виды теорем и их структура………………………………………… 2.4 Структура геометрического доказательства, его виды………………………... 2.5 Ошибки в геометрических доказательствах…………………………………… 2.6 Доказательство теорем путем возбуждения сомнений в ее справедливости……………………………………………………………………….. ГЛАВА 3. Сущность процесса доказательства. 3.1 Основные цели доказательства…………………………………………………. 3.2 Подготовка к освоению теоремы……………………………………………….. 3.3 Формулировка теоремы, ее усвоение и закрепление………………………….. 3.4 Пути отыскания доказательства и его изложение……………………………... ГЛАВА 4. Эксперимент……………………………………………………………… ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………………... БИБЛИОГРАФИЯ………………………………………………………………….. ПРИЛОЖЕНИЕ…………………………………………………………………….. ©Гриднева Наталья Алексеевна ВВЕДЕНИЕ. Традиционно считалось, что геометрия – строго логическая наука, изучение которой в первую очередь (и главным образом) развивает логическое мышление. И.Ф.Шарынин утверждал, что геометрическое мышление, формирующееся при изучении геометрии, имеет две составляющие –нагляднообразную и логическую. Учителю необходимо создавать «мотивационный фон» особенно при объяснении нового материала в частности при доказательстве математических фактов, сколь бы очевидными они не казались, ибо по словам Д.Пойа роль доказательств в школьном математическом образовании является наиболее существенной частью вклада математики в общую культуру человека. По словам Д.Гильберта, существует поразительная гармония между наглядностью, интуицией и логическим мышлением, заключающаяся в том, что общее и абстрактное, с одной стороны и непосредственно наглядное, с другой, объединяются в единый мир идей. Поэтому доказательства математических факторов должны быть, по возможности, логически строгими и опираться при этом на имеющиеся наглядно-интуитивные представления учащегося. В своей дипломной работе мы хотим проследить процесс доказательства и выявить каким образом он влияет на развитие логического мышления, так как развитие логического мышления является одним из важнейших элементов воспитания в школе. В геометрии наибольшее значение для развития логического мышления имеют задачи на доказательство (теоремы). Они способствуют развитию у учащихся определенности, последовательности, обоснованности мышления. На этих задачах учитель может научить учащихся таким методам познания, как анализ, синтез. Из всего сказанного вытекает: Цель: основательно изучить методику обучения доказательства теорем, выявить роль доказательства теорем в развитии логического мышления учащихся. Задачи: ©Гриднева Наталья Алексеевна - определить роль логического мышления в процессе обучения школьников; - изучить литературу, раскрывающую основные виды теорем, их структуру; - раскрыть сущность геометрического доказательства; - рассмотреть значение доказательств в геометрии; - проследить и раскрыть структуру геометрического доказательства; -оценить динамику уровня логического мышления в ходе проведения эксперимента. Объект: процесс обучения геометрии. Субъект: доказательство в процессе обучения геометрии. Гипотеза: систематическое, детальное доказательство теорем в школьном курсе геометрии положительно влияет на развитие логического мышления учащихся. ©Гриднева Наталья Алексеевна ГЛАВА 1. МЫШЛЕНИЕ КАК ОСНОВНОЙ ПРОЦЕСС В СОЗНАТЕЛЬНОМ УСВОЕНИИ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА. 1.1 ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ О МЫШЛЕНИИ. Знакомясь с окружающими предметами и явлениями, человек обнаруживает, что между ними существуют закономерные связи и отношения. Изучая окружающую действительность, люди узнают, например, что плавание тел зависит от их удельного веса, что сгорание приводит к возникновению тепла. Такое отражение действительности называют мышлением. Мышление есть обобщенное отражение в мозге человека предметов и явлений в их закономерных связях и отношениях. Познание в процессе мышления объективных закономерностей позволяет человеку судить на основании непосредственно наблюдаемых свойств действительности о её существенных особенностях, которые не обнаруживаются в восприятии. Таким образом, человек не только непосредственно воспринимает внешнюю сторону предметов и явлений, но и начинает обнаруживать закономерные, существенные связи, отношения между ними, т.е. мыслит. Обобщение при помощи слова данных, полученных путем ощущения и восприятия, приводит к образованию понятий. В процессе мышления мы всегда оперируем понятиями. Если ощущения, восприятия, представления являются отражением отдельных конкретных предметов и явлений, то понятия являются отражением общих существенных особенностей ряда сходных предметов и явлений. Например, в геометрическом понятии «треугольник» отражаются общие свойства самых различных треугольников, обладающих различной величиной, различными соотношениями сторон, различными углами и т. д. . Характерной особенностью наших понятий является то, что они основываются не только на нашем собственном опыте, но включают в себя опыт других людей, усвоенный при помощи языка. Таким образом, мышление играет поистине огромную роль в познании. Мышление расширяет границы познания, дает возможность выйти за пределы ©Гриднева Наталья Алексеевна непосредственного опыта ощущений и восприятий. Мышление дает возможность знать и судить о том, что человек непосредственно не наблюдает, не воспринимает. Оно позволяет предвидеть наступление таких явлений, которые в данный момент не существуют. Мышление перерабатывает информацию, которая содержится в ощущениях и восприятии, а результаты мыслительной работы проверяются и применяются на практике. 1.2 ОСНОВНЫЕ ФОРМЫ МЫШЛЕНИЯ. Различают три основные формы мышления: понятие, суждение и умозаключение. ПОНЯТИЕ- это форма мышления, в которой отражается общее и притом существенные свойства предметов и явлений. Каждый предмет, каждое явление имеют много различных свойств, признаков. Их можно разделить на две категории- существенные и несущественные. Например, каждый отдельный треугольник имеет три угла, определенные размеры – длину сторон и площадь, определенную величину углов. Но только первый признак делает фигуру треугольником, позволяет отличить ее от других фигур: прямоугольника, круга. В понятиях наши знания о предметах и явлениях действительности кристаллизуются в обобщенном и отвлеченном виде. Понятие – более развитая и всесторонняя форма познания, оно значительно шире и полнее отражает действительность, чем представление. В процессе общественно- исторического развития познания расширяются, углубляется и изменяется содержание понятий. В суждениях отражаются связи и отношения между предметами и явлениями окружающего мира и их свойствами и признаками. СУЖДЕНИЕ – это форма мышления, содержащая утверждение или отрицание какого-либо положения относительно предметов, явлений или их свойств. ©Гриднева Наталья Алексеевна Суждения бывают общими, частными и единичными. В общих суждениях утверждается или отрицается что-то относительно всех предметов и явлений, объединяемых понятие. В частном суждение речь идет только о части предметов и явлений. Единичное суждение – это суждение, в котором речь идет о каком-то индивидуальном понятии. Суждение раскрывает содержание понятий. Знать какой-нибудь предмет или явление – значит уметь высказывать о нем правильное и содержательное суждение, т.е. судить о нем. УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ – такая форма мышления, в процессе которой человек, сопоставляя и анализируя различные суждения, выводит из них новое суждение. Типичный пример умозаключения – доказательство геометрических теорем. Человек пользуется в основном двумя видами умозаключений – индуктивными и дедуктивными. ИНДУКЦИЯ – это способ рассуждения от частных суждений к общему суждению, установление общих законов и правил на основании изучения отдельных фактов и явлений. ДЕДУКЦИЯ – это способ рассуждения от общего суждения к частному суждению, познание отдельных фактов и явлений на основании знания общих законов и правил. Таким образом, мы рассмотрели основные формы мышления присущие человеку. Они представляют собой отвлечение от действительности и допускают обобщение, что и составляет наше специально человеческое, высшее мышление, создающее сперва общечеловеческий эмпиризм, а , наконец, и науку –орудие высшей ориентировки человека в окружающем мире и в самом себе. 1.3 ПУТИ РАЗВИТИЯ МЫШЛЕНИЯ У ДЕТЕЙ. Мышление формируется и развивается на протяжении детства под влиянием условий жизни и воспитания. Мышление преддошкольника носит наглядно-действенный характер. В дошкольном возрасте дети переходят от ©Гриднева Наталья Алексеевна наглядно-действенного к наглядно-образному мышлению. Теперь перед ребенком можно поставить познавательные мыслительные задачи. В процессе решения подобных задач ребенок начинает связывать свои суждения друг с другом, приходить к определенным выводам или заключениям. Таким образом, возникают простейшие формы индуктивных и дедуктивных умозаключений. Дальнейший путь развития мышления заключается в переходе к словесно-логическому мышлению- это мышление понятиями, лишенными непосредственной наглядности, присущей восприятию и представлению. В ходе обучения дети овладевают приемами мыслительной деятельности, приобретают способность действовать «в уме» и анализировать процесс собственных рассуждений. В процессе решения учебных задач у учеников формируются такие операции логического мышления как анализ, синтез, сравнение, обобщение и классификация. Все эти операции логического мышления тесно взаимосвязаны и их полноценное формирование возможно только в комплексе. Только взаимообусловленное их развитие способствует развитию логического целенаправленную мышления работу по в целом. обучению Необходимо детей основным проводить приемам мыслительной деятельности. Для того, чтобы ребенок начал мыслить, перед ним необходимо поставить новую задачу, в процессе решения которой он мог бы использовать приобретенные ранее знания. Мышление человека, и в частности школьника, наиболее ярко проявляется при решении задач. Любая мыслительная деятельность начинается с вопроса, который ставит перед собой человек, не имея готового ответа на него. Иногда этот вопрос ставят другие люди (например, учитель), но всегда акт мышления начинается с формулировки вопроса, на который надо ответить, задачи, которые необходимо решить, с осознанием чего-то неизвестного, что надо понять, уяснить. Школа приучает к систематичности в мышлении. Учитель заставляет ребенка планомерно производить анализ каких-либо явлений, синтезировать ©Гриднева Наталья Алексеевна отдельные элементы в единое целое, сравнивать предметы в различных отношениях, делать на основании известных данных обоснованные выводы и умозаключения. Интеллект человека в первую очередь определяется не суммой накопленных им знаний, а высоким уровнем логического мышления. Необходимо научить детей анализировать, сравнивать и обобщать информацию, полученную в результате взаимодействия с объектами не только действительности, но и абстрактного мира. Ничто так, как математика , не способствует развитию мышления, особенно логического, так как предметом ее изучения являются отвлеченные понятия и закономерности. Итак, мышление является основным процессом при сознательном усвоении учебного материала, и не случайно слова «усвоить» и «понять» нередко употребляются как равнозначащие, хотя, как было ранее указано, процесс усвоения знаний нельзя свести только к процессу осмысливания, понимания. При усвоении того или иного учебного материала, приобретении тех или иных знаний мышление учащихся развивается, совершенствуется. Сознательно усваивая материал, вскрывая связи и отношения между предметами и явлениями действительности, учащиеся приучаются формулировать точные и ясные понятия, делать правильные суждения и выводы, систематизировать полученные знания, сравнивать, обобщать и конкретизировать учебный материал. ©Гриднева Наталья Алексеевна ГЛАВА 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО В ГЕОМЕТРИИ. 2.1.СУЩНОСТЬ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ В ГЕОМЕТРИИ. Итак спросим себя, что же такое доказательство? Представьте себе, что вы пытаетесь убедить своего собеседника в том, что Земля имеет форму шара. Вы говорите ему о расширении горизонта по мере подъема наблюдателя над земной поверхностью, о кругосветных путешествиях, о круглой тени, которую отбрасывает Земля на Луну во время лунного затмения. Каждое из этих высказываний с помощью которых вы желаете убедить вашего собеседника, называется аргументом доказательства, а вся совокупность аргументов называется аргументацией. В геометрии изучаются пространственные свойства материального мира. «Пространственными» мы называем такие свойства, которыми определяется форма, величина взаимное положение предметов. Понятно, что необходимость знания таких свойств связана с практическими потребностями людей: людям нужно измерять длины, площади и объемы, для того чтобы конструировать машины, дороги, каналы. Естественно, что первоначальные геометрические знания были получены индуктивным путем из очень большого числа наблюдений и опытов. Однако по мере накопления геометрических истин обнаружилось, что многие из них могут быть получены из других истин при помощи умозаключений, т.е. дедукции, не прибегая к специальному опыту. Так, например, многократные наблюдения и опыт убеждают нас в том, что «через две точки на плоскости можно провести одну и только одну прямую линию». На основании этой истины мы можем уже без всякого опыта утверждать, что «две различные прямые могут иметь не более одной общей точки». Это привело к мысли выделить из всех геометрических истин часть наиболее простых и общих, которые можно принять без доказательства, а остальные геометрические свойства и зависимости выводить дедуктивным путем из этих основных истин. Такая мысль возникла еще у геометров древней Греции, которые стали приводить в систему известные им геометрические истины, выводя их из сравнительно небольшого числа основных предложений. За 300 лет до нашей ©Гриднева Наталья Алексеевна эры греческий геометр Евклид Александрийский дал наиболее совершенное для своего времени изложение системы геометрии. В этом изложении были выделены предложения, принимаемые без доказательства, - так называемые аксиомы. Остальные предложения, истинность которых обнаруживается при помощи доказательства, стали называть теоремами.(24) В геометрии термин «доказательство» понимают как доказательство логическое. Логическое доказательство есть мыслительный процесс обоснования данного суждения путем приведения ранее нам известных истинных суждений, из связи которых данное суждение вытекает как необходимое следствие. Доказательство каждой геометрической теоремы преследует две цели: 1. Оправдание истинности теоремы 2. Выяснение места данной теоремы среди других предложений геометрии. Итак, подводя итог, мы можем теперь ответить на вопрос: что же такое доказательство в геометрии? Как мы видим, доказательство представляет собой систему умозаключений, при помощи которых истинность доказываемого предложения выводится из аксиом и ранее доказанных истин. А истинность дедуктивного вывода обусловлена тем, что в нем мы прилагаем некоторые общие законы к частным случаям, так как совершенно очевидно, что все то, что справедливо вообще и всегда, будет справедливо и для каждого отдельного случая. 2.2.ЗНАЧЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. Постараемся теперь ответить на вопрос: «Зачем нужно доказательство?». Необходимость доказательства есть следствие одного из основных законов логики – закона достаточного основания. Этот закон заключает в себе требование, чтобы всякое высказываемое нами утверждение было обосновано, т.е. чтобы оно сопровождалось достаточно сильными аргументами, подтверждающими истинность нашего утверждения, согласованность его с ©Гриднева Наталья Алексеевна фактами, с действительностью. Такими аргументами могут быть как указание на возможность проверки путем наблюдения и опыта, так и правильно построенное рассуждение, содержащее систему умозаключений. Доказательство геометрического предложения имеет своей целью установление его достоверности при помощи логического вывода из уже доказанных или известных истин. Существенной особенностью геометрического доказательства в значительной степени определяющей его необходимость, является то, что при помощи доказательства устанавливаются общие свойства пространственных фигур. Если доказательство проведено правильно и опиралось на правильные исходные положения, то это дает нам безусловную уверенность в истинности доказываемого положения. Именно поэтому мы убеждены. Что любая геометрическая теорема, например теорема Пифагора, справедлива для треугольников любых размеров с длиной сторон и в несколько миллиметров и в миллионы километров. Наконец, есть еще одна, чрезвычайно важная причина, обусловливающая необходимость доказательства. Дело в том, что геометрия представляет собой не случайный набор истин, описывающих пространственные свойства тел, а научную систему, построенную по строгим законам. В этой системе каждая теорема органически связана с совокупностью ранее установленных предложений и эта связь раскрывается при помощи доказательства. Например, известная теорема о том, что сумма внутренних углов треугольника равна 180 , доказывается на основании свойств параллельных прямых. Что указывает на непосредственную связь между теорией параллельных прямых и свойствами сумм внутренних углов многоугольников. Точно так же на свойства параллельных прямых опирается вся теория подобия фигур. Итак, подводя итоги всему изложенному о необходимости доказательства , мы можем сказать следующее: а) в геометрии только небольшое число основных истин – аксиом – принимается без доказательства. Остальные же истины – теоремы – доказываются на основании этих аксиом путем построения ряда ©Гриднева Наталья Алексеевна умозаключений. Справедливость самих аксиом гарантируется тем, что как они сами, так и доказываемые с их помощью теоремы проверены многократными наблюдениями и длительным опытом. б) доказательство проводится в силу требования одного из основных законов нашего мышления – закона достаточного основания, указывающего на необходимость строгого обоснования истинности наших утверждений. в) в правильно построенном доказательстве опираться только на ранее доказанные предложения или аксиомы. г) доказательство необходимо также для обоснования сущности доказываемого предложения , т.е. применимости его ко всем частным случаям. д) наконец, при помощи доказательств геометрические истины приводятся в стройную систему научных знаний, в которой раскрываются все внутренние связи между различными свойствами пространственных форм. 2.3.ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ТЕОРЕМ ИХ СТРУКТУРА. Структуру отдельных мыслей и способы их сочетаний называют формами мышления. С точки зрения формальной логики мышления характеризуется: понятиями, суждениями, умозаключениями. Утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называют теоремой. Когда в геометрии формируется свойство какой-нибудь фигуры, то тем самым формируется теорема. Итак, теорема – это высказывание о том, что из свойства А следует свойство В (А=>В). Рассмотрим некоторые виды теорем. Пусть дана теорема А=>В. Образуем из нее высказывания вида В=>А, А=>В, В=>А. Теоремы А=>В и В=>А называются обратными друг другу, теоремы А=>В и А=>В - противоположными друг другу. Теорему В=>А называют обратной противоположной. Пример. Пусть дана теорема : «Если углы вертикальные, то они равны». Обратная данной «Если углы равны, то они вертикальные». ©Гриднева Наталья Алексеевна Противоположная данной «Если углы не являются вертикальными, то они не равны». Обратная противоположной «Если углы не равны, то они не вертикальные». Теоремы, которые встречаются в курсе геометрии 7-9 классов можно условно разбить на 3 группы: 1. Теоремы которые явно доказываются внутри курса. 2. Теоремы, доказательство которых в учебнике не приводится, но они могут быть предложены интересующимся учащимся. 3. Теоремы, доказательство которых не входит в школьное математическое образование. В теореме различают условие и заключение. Во многих современных учебниках написано: «Условие теоремы – это то, что дано, а заключение – то, что требуется доказать». Также про заключение написано, что оно выражает факт, который в силу условия неизбежно имеет место. Ученый Адамар возвращался к этой мысли. Он считал необходимым подчеркнуть ее: «Чтобы провести это рассуждение надо, основываясь на условие теоремы и предполагая, что это условие выполнено, вывести из него факты, указанные в заключении».(3) Например, в теореме о вертикальных углах утверждается, что если углы вертикальные, то они обязательно равны. Авторы учебников понимают, что условие теоремы является необходимой предпосылкой заключения. Но ученикам это остается неизвестным, многим в начале изучения геометрии, а некоторым и в дальнейшем. Теорему «Вертикальные углы равны» можно записать в другой форме «Если углы вертикальные, то они равны». Для чего теорему записывают таким образом? Чтобы сразу было видно, что дано (на что нужно опираться при доказательстве), и что надо доказать. Яснее становится постановка задачи и, следовательно, легче найти доказательство. Но, следует помнить, что утверждения бывают истинные и ложные. Что нужно сделать, чтобы опровергнуть неверное суждение? Чтобы опровергнуть неверное ©Гриднева Наталья Алексеевна утверждение, достаточно привести один противоречащий пример (контрпример) – пример, удовлетворяющий условию этого утверждения, но не удовлетворяющий его заключению. Рассмотрение контрпримеров помогает ученику понять необходимость каждого условия теоремы, облегчает запоминание. Построение контрпримеров позволяет отсекать неверные гипотезы при решении задач, помогает, когда уточняется формулировка теоремы и при поиске ее доказательства. Чтобы класс освоил построение контрпримеров, нужно на одном из уроков рассмотреть несколько контрпримеров и дать подобные задачи на дом. Затем, время от времени, после доказательства теоремы, опустив какое-то условие, предложить классу доказать, что полученное утверждение неверно. Услышав сообщение учителя «Сегодня мы докажем теорему», ученик сразу спрашивает: «А зачем?» Очень трудно осваивать теорему, если считаешь, что она не нужна. Учитель не должен забывать об этом. Не только о первой, но о каждой теореме нужно сказать несколько слов о том, как возникла эта проблема, зачем нужно ее решать. Учителю – то известно ее значение, связь с другим материалом. 2.4.СТРУКТУРА ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВА, ЕГО ВИДЫ. Рассмотрим структуру геометрического доказательства. Логическое доказательство состоит из трех частей: 1. Тезис – доказываемое положение 2. Основания или аргументы – суждения, на которые опирается доказательство. 3. Демонстрация или способ доказательства – рассуждение, выводящее из истинности принятых оснований истинность доказываемого тезиса. Короче их можно охарактеризовать так: 1. Тезис – что доказывается 2. Аргументы – чем доказывается 3. Демонстрация – как доказывается ©Гриднева Наталья Алексеевна Абсолютно необходимыми условиями возможности перехода к демонстрации являются: 1. Ясное и четкое понимание самого тезиса и всех предшествующих ему предложений, необходимых для доказательства. 2. Установление точного смысла тезисов, встречающихся в тезисе и аргументах. Без предварительного выполнения этих условий переход к демонстрации невозможен. Сам термин «доказательство» употребляется в математике в смысле «рассуждение», устанавливающее истинность того или иного суждения, связь мыслей, приводящая к определенному выводу относительно тезиса. Иначе говоря, доказательство есть демонстрация – выведение тезиса из аргумента. Обычно в процессе доказательства в качестве аргументов используются: а) данные, содержащиеся в условии теоремы; б) ранее доказанные теоремы; в) аксиомы; г) определения. Аргументы используются в посылках и притом так, чтобы из каждой пары посылок необходимо следовал вывод. Выводное суждение каждого умозаключения (силлогизма) является уже аргументом по отношению к последующим силлогизмам. Выводное суждение последнего силлогизма должно содержать доказываемый тезис.(18) Следовательно, доказательство представляет собой систему умозаключений, логическую цепь силлогизмов, которая начинается с данных или ранее известных положений и заканчивается доказываемым тезисом. Простейшие доказательства могут состоять из одного силлогизма. В этом случае выводное суждение, являющееся доказываемым тезисом, ©Гриднева Наталья Алексеевна предшествует посылкам и доказательство сводится к подбору посылок из которых следовал бы тезис. Например: доказать, что все квадраты подобны Подбираем посылки: 1) все правильные одноименные многоугольники подобны. 2) все квадраты – правильные одноименные многоугольники. Они и служат оправданием тезиса. Выделяют следующие виды доказательств: 1. Прямое доказательство Прямым доказательством называется доказательство, в котором аргументы непосредственно доказывают тезис. Прямые доказательства могут быть синтетическими и аналитическими. Рассмотрим эти виды доказательств. В общелогическом смысле анализ означает расчленение и разложение путь мышления от сложного к простому; от следствия к основанию; от искомого к данным. Синтез означает объединение и соединение – путь мышления от простого к сложному. В таком же смысле термины «анализ» и «синтез» употребляются и математике. Однако, если этими терминами хотят охарактеризовать способ доказательства, то им придают узкоспециальное значение: это направление мысли в процессе доказательства или от заключения теоремы к ее условию или от условия к заключению. 2. Косвенное доказательство Косвенным доказательством называется доказательство, в котором истинность тезиса обосновывается посредством опровержения истинности других положений. Косвенное доказательство может быть или апагогическим или разделительным. В апагогическом косвенном доказательстве обоснование истинности данного суждения (тезиса) достигается путем доказательства ложности противоречащего ему суждения (антитезиса). Пусть требуется доказать, что «А» есть «В» (тезис). ©Гриднева Наталья Алексеевна В случае прямого доказательства мы ищем основания , из которых вытекает данный тезис; в косвенном апагогичном доказательстве доказываем ложность суждения, противоречащего тезису, т.е. ложность суждения «А» не есть «В» (антитезис). Если ложность антитезиса доказана, то этого достаточно для оправдания истинного тезиса, так как к тезису и антитезису, являющимся противоречащими суждениями, применим закон исключения третьего: «Из двух противоречащих суждений всегда одно истинно, другое ложно, а третьего быть не может. Ложность одного из противоречащих суждений достаточно для оправдания истинности другого, и наоборот, - из истинности одного следует ложность другого. Возьмем, например, два противоречащих суждения: 1. Данный четырехугольник – параллелограмм. 2. Данный четырехугольник – не параллелограмм. Одно из этих суждений безусловно истинно, так как всякий четырехугольник либо параллелограмм, либо не параллелограмм (третьего быть не может), одно из них обязательно ложно, так как не существует четырехугольника, который был бы и тем и другим: параллелограммом и не параллелограммом. Косвенное апагогическое доказательство называют «доказательством от косвенного» или от противного. Косвенное разделительное доказательство опирается на ту форму разделительно-категорического силлогизма, в котором большая посылка – разделительное суждение, а меньшая, путем приведения к нелепости, отрицает все возможности, кроме одной.(18, 24, 14) Этим приемом пользуются, например, при доказательстве равенства соответственных углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой. Большая посылка 1. Соответственные углы, т.е. 1 и 2 ©Гриднева Наталья Алексеевна а) либо равны 1= 2; в) либо 1> 2 ; г) либо 1< 2. Приводим к нелепости две последние возможности: 1> 2 и 1< 2 ; это и составит содержание меньшей посылки. Силлогизм примет вид: 1 и 2 – соответственные углы при параллельных прямых и имеются три 1. возможности: или 1= 2; или 1> 2, или 1< 2. Опираясь на ранее изученную теорию, получаем: 2. суждение 1> 2 – ложно суждение 1< 2 – ложно Следовательно, суждение 1= 2 – истинно. Таким образом, мы рассмотрели два основных вида доказательства теорем. 2.5.ОШИБКИ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ. Так как всякое доказательство состоит из трех частей: тезиса, аргументов и демонстрации, то ошибки доказательства могут быть трех видов: 1. ошибки относительно тезиса, 2. ошибки в аргументах, 3. ошибки в демонстрации. Ошибки относительно доказываемого тезиса. 1. Тезис должен быть суждением ясным и точно определенным. Прежде, чем доказывать ту или иную теорему, нужно требовать, чтобы она была сформулирована полностью и не допускала двусмысленного толкования. Особенно часто встречаются у учащихся тенденции к сокращению формулировки теоремы. Например: «Через три точки можно провести окружность». С такой «экономией» нельзя мириться ни при каких ©Гриднева Наталья Алексеевна обстоятельствах. Всегда и всюду нужно требовать, чтобы доказываемая теорема была сформулирована полностью, с предельной точностью и ясностью. 2. Тезис должен оставаться тождественным, т.е. одним и тем же на протяжении всего доказательства. Нарушение этого правила –уклонение от первоначального тезиса называется подменой тезиса, игнорирование тезиса. Когда в доказательстве общего положения рассматриваются не все частные случаи, то это тоже «Игнорирование тезиса »: из справедливости тезиса в отдельных частных случаях еще не следует его истинность вообще. Ошибки такого вида встречаются и в опровержениях, т.е. в доказательстве ложности данного тезиса. Если, например, считают опровергнутым данный тезис на том основании, что ложны те аргументы, из которых он вытекает или потому, что обнаружены ошибки в демонстрации, то в обеих таких случаях имеет место подмены тезиса. В самом деле ложность аргументов еще не означает ложность выведенного из них тезиса. Не исключено, что данный тезис мог быть выведен и из других и притом уже истинных аргументов; не исключено также, что для данного тезиса может быть приведено другое доказательство и притом такое, которое уже не будет содержать ошибок. Ошибки в основаниях (аргументах). Основное правило: аргументы доказательства должны быть суждениями истинными, не подлежащими сомнению. Любое нарушение этого правила означает ошибку в аргументах. Из нее не вытекает ложность тезиса, - ошибка в аргументах предрешает ложность доказательства, и тезис остается недоказанным, сомнительным. Типичные ошибки в аргументах следующие: 1. Основное заблуждение Ошибка состоит в том, что в качестве аргумента используется ложное суждение. Часто эта ошибка подсказывается неверно выполненным чертежом. 2. Требование основания ©Гриднева Наталья Алексеевна Мы требуем, чтобы в качестве оснований были представлены нам такие суждения, которые действительно являются основаниями. Логическая ошибка«предвосхищение» основания, состоящая в том, что в качестве аргумента берется предложение сомнительное, - такое, которое само нуждается в доказательстве. Для вскрытия этой ошибки не требуется установления ложности данного аргумента, - достаточно показать, что он не встречается среди ранее известных нам положений. «Предвосхищение» основания не редко порождается наглядными представлениями, чем чаще повседневная практика убеждается в том , что они соответствуют действительности. « Предвосхищение» основания особенно часто встречается при самостоятельном решении задач на доказательство. 3. Круг в доказательстве Сущность этой ошибки в том, что предложение «А» выводится при помощи предложения «В» опирается на «А», как на свое основание. Это частный вид «предвосхищения» основания, где недоказанным положением, используемым в качестве аргумента доказательства является сам доказываемый тезис или часть его, или предложение, эквивалентное тезису, или такое, истинность которого обусловлена истинностью тезиса. «Круг в доказательстве» в ответах и рассуждениях учащихся –прямое следствие непонимания учащимися смысла доказываемой теоремы и принципиального значения строгой последовательности теорем в цепи доказательств. «Круг в доказательстве» во всех его видах – грубая логическая ошибка , нетерпимая ни на одной стадии обучения. Ошибки в демонстрации. Предварительно дадим краткие сведения о силлогизме. Силлогизмом – называется дедуктивное умозаключение, в котором из двух данных суждений (посылок) выводится третье суждение (заключение). Типичной формой силлогизма является подведение частичного случая под общее положение. Ошибки в демонстрации состоят в нарушении правил силлогизма. ©Гриднева Наталья Алексеевна 1. В силлогизме должно быть три и только три термина. Нарушение этого правила – ошибка называемая «учетверением терминов». Она происходит чаще всего из-за нечеткости терминологии, когда один и тот же термин употребляется в посылках в различных смыслах. 2. Средний термин должен быть распределен хотя бы в одной из посылок. Средним называется термин, входящий в обе посылки и отсутствующий в заключении. Термин распределен в суждении, если он мыслится во всем объеме, т.е. если в нем мыслится весь класс предметов, о которых говорится в суждении; термин не распределен в суждении, если он мыслится в части своего объема, т.е. когда в нем мыслится только часть класса предметов. 3. Термин , не распределенный в посылках, не может быть распределен в заключении. 4. Из двух отрицательных посылок нельзя вывести никакого заключения. 5. Если одна из посылок есть отрицательное суждение, то и заключение может быть только отрицательным. 6. Из двух частных посылок не следует никакого заключения. 7. Если одна из посылок частная, то и заключение может быть только частным.(4,9) Данные ошибки встречаются при доказательстве теорем. Учителю следует помнить о них на каждом этапе урока, стараться их предотвратить или при их возникновении верно и доходчиво исправлять. 2.6.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ ПУТЕМ ВОЗБУЖДЕНИЯ СОМНЕНИЙ В ЕЕ СПРАВЕДЛИВОСТИ. Почему на уроках геометрии возникает проблема воспитания у учащихся потребности в доказательстве? Прежде всего – в силу того общего соображения, что отношение учащихся к знаниям имеет чрезвычайно важное значение в деле обучения. ©Гриднева Наталья Алексеевна Когда говорят о возбуждении и поддержании у учащихся интереса к данному предмету, об их внимании и активности, о состоянии дисциплины на уроках, то во всех таких случаях идет речь и о проявлении определенного отношения учащихся к знаниям, к учебному процессу в целом. С этой точки необходимо для зрения воспитание потребности выработки у учащихся в должного доказательстве отношения к доказательствам без которого стало бы невозможным успешное обучение и усвоение самих доказательств. Ясно, что подобное соображение имеет общий характер, его можно высказать по поводу любого раздела курса школьной математики (и не только математики), а поэтому , чтобы оправдать необходимость постановки задачи воспитания потребности в доказательстве, как специальной проблемы, нужны какие-то дополнительные аргументы. Приведем два из них: 1. Без всякого преувеличения можно утверждать, что усвоение доказательств требует от учащихся наибольшего напряжения мышления. Но для детей отвлеченное мышление тяжело, а поэтому в процессе изучения доказательств возникает большая опасность проявления у учащихся отрицательного отношения к учебному материалу и учитель обязан особо и специально заботиться о предупреждении и ликвидации такой опасности. 2. На выработку у учащихся положительного отношения к изучаемому материалу оказывает самое благотворное влияние на понимание учащихся применимости и приложимости приобретаемых ими знаний, - первоначальное же ознакомление с доказательствами создает о них, в этом отношении самое невыгодное впечатление. Воспитание потребности в доказательстве вырабатывает у учащихся стремление к обоснованию своих суждений, к проверке истинности суждений, а это и есть воспитание важнейшей черты логического мышления – его доказательности. Но мышление необходимо для сознательного усвоения каждой науки (не только геометрии) и в предстоящей учащимся практической деятельности следует также учесть, что при помощи ©Гриднева Наталья Алексеевна доказательного мышления достигается убежденность учащихся в истинности приобретаемых ими знаний. Таким образом, становится ясным, что воспитание потребности в доказательстве имеет важное значение не только для сознательного усвоения самих доказательств, но и для всего учебного процесса в целом. Воспитание потребности в доказательстве начинается с оправдания введения доказательств с убеждения учащихся в их необходимости. Одним из средств для достижения цели является прием предварительного возбуждения сомнений в справедливости теоремы. Рассмотрим, относящееся к данному вопросу высказывание Н.М.Бикина: «Надо сначала понять в учениках сомнение в том, справедлива ли данная теорема, а потом уже это сомнение разрешить. Это один из важных основных принципов преподавания математики.» Наличие сомнений и рассматривается Н.М.Бикиным как уже достаточное условие для оправдания необходимости доказательства. Вот с этим и нельзя соглашаться. В самом деле, не исключено и более чем вероятно, что в данном и в аналогичных случаях ученик прежде всего попробует разрешить сомнения опытным путем., начертив например, две пары равных смежных углов, он вырежет эти углы и попытается совместить любой из углов первой пары с любым из углов второй пары. Если и были сомнения, то теперь они отпадают: ученик убеждается, что смежные прямые углы при наложении совмещаются и, значит, они равны. В аналогичных случаях он может обратиться к рассмотрению разнообразных моделей и чертежей, к измерению, построению. Дело не только в том, что такая опытная проверка проще, доступнее, понятнее учащимся, но и в том, что она дает реальные, зримые результаты, в то время как вся убедительная сила доказательства опирается на понимание учащимися необходимости исследования выводов из посылок. ©Гриднева Наталья Алексеевна Перед учеником два пути, два средства устранения сомнений и убеждения, и если бы ему была предоставлена возможность свободного их выбора, то , несомненно, он предпочел бы опытную проверку логическому доказательству. Поскольку же мы говорим об оправдании доказательства, то перед нами возникает самая важная и самая трудная задача – поставить дело так, чтобы положение вещей постепенно изменилось, чтобы учащийся добровольно и сознательно предпочел обратное – логическое доказательство опытной проверке. Именно этот момент и упускается Н.М.Бикиным.(12,14) При оправдании доказательства нужно исходить из того, что в сознании учащихся, начинающих изучать геометрию, еще нет готовой и сколько-нибудь прочной связи между сомнением и логическим доказательством, так что нам предстоит помочь учащимся в установлении и закреплении такой связи. Нужно разъяснить учащимся не только недостатки привычного для них умозаключения от частного к общему, указать на неточности измерений и незавершенность опыта, но и убедить их в том, что логическое доказательство свободно от этих недостатков, что оно обладает качествами, придающими ему большую убедительную силу по сравнению с такими средствами убеждения, как измерение и опытная проверка справедливости частных случаев. Такими ценными отличительными качествами логического доказательства являются общность, точность, объективность. Осознание этих качеств учащимися длинный, трудный, но единственно правильный путь оправдания необходимости доказательства. Таким образом, мы рассмотрели основные вопросы, связанные с доказательством в геометрии, познакомились со структурой доказательства, его основными видами. Видим, что особое внимание следует уделять ошибкам, допускаемым при доказательстве теорем и при решении задач на доказательство и грамотному их исправлению и объяснению. Следует отметить, что доказательство может проходить в нестандартной форме, а, например, путем возбуждения сомнений в справедливости теоремы. Только ©Гриднева Наталья Алексеевна зная эти основные моменты, мы можем более детально понять сущность самого процесса доказательства. ©Гриднева Наталья Алексеевна ГЛАВА 3.СУЩНОСТЬ ПРОЦЕССА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. 3.1.ОСНОВНЫЕ ЦЕЛИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА Главными, основными целями изучения геометрических доказательств в средней школе следует считать: 1. познание пространственных форм материального мира и отношений между ними при помощи дедукции. 2. развитие логического мышления и речи учащихся. В подчиненном отношении к этим основным целям находятся: 1. задача убеждения 2. задача обоснования 3. приобретение навыка в самостоятельном построении доказательств. Взаимная связь и обусловленность основных целей состоит в том, что познание при помощи дедукции воспитывает и развивает логическое мышление, мы создаем и расширяем возможности использования дедукции как метода познания действительности. Рассматривая доказательство как цепь, как систему умозаключений его можно считать и логическим упражнением. Именно в доказательстве осуществляется наиболее непосредственное, наиболее полное и последовательное применение и использование законов и форм логического мышления. Нигде так ярко, отчетливо и последовательно не применяется и не осуществляется требование обоснованности мышления, как в доказательстве. Само содержание доказательств ставит нас в наиболее близкое соприкосновение с законами и формами логического мышления. Эта характерная, специфическая особенность доказательств, определяющаяся их содержанием, служит достаточным основанием, чтобы выдвинуть и подчеркнуть задачу воспитания логического мышления и развития речи как особую, как специальную цель изучения доказательств в школе. Трудно представить себе преподавателя математики, который не знал бы, что изучение доказательств должно способствовать развитию и укреплению навыков и приемов логического мышления. Но такое знание оказывается чисто формальным и совершенно бесполезным для дела знанием, если учитель на ©Гриднева Наталья Алексеевна каждом шагу и во всех случаях не учит учащихся правильно рассуждать, не прививает им навыки логического мышления, не следит за речью учащихся, не вырабатывает у них умения точно и правильно выражать свои мысли. Возможность сознательного усвоения и понимания доказательств зависит от того насколько учитель осознает необходимость постановки такой цели и насколько последовательно, планомерно он стремится к ее осуществлению. 3.2 ПОДГОТОВКА К ОСВОЕНИЮ ТЕОРЕМЫ. Чтобы теорема заинтересовала учеников и была ими усвоена, нужна основательная, всесторонняя подготовка. Не заинтересуются – не будут слушать, и урок потеряет смысл, не будет уроком. Необходимо, чтобы ученики: а) владели определениями, терминами и обозначениями, используемыми в формулировке и доказательстве теоремы; б) приняли посильное участие в составлении ее формулировки; в) освоили формулировку, выделили условие и заключение; г) имели опыт в решении задач; д) освоили первые шаги (умели сделать чертеж как можно более близким к условию, внести в него все, что дано в условии, ввести необходимые обозначения, записать условие и заключение, используя выделенные обозначения; е) владели элементарными навыками решения задачи. Сообщить готовое быстрее, чем открывать его вместе с учениками. Но от «прослушанного» как известно, через две недели в памяти остается не более 20%. Не обернется ли такая «экономия» перегрузками, когда придется десять раз повторять? Самостоятельное открытие теорем вызывает интерес у учеников. Материал усваивается глубже, укрепляется желание к познанию нового, развивается мышление. Чтобы ученики могли принять участие в выдвижении гипотезы, в открытии некоторого свойства, учитель предлагает специальные подготавливающие вопросы и задачи. Возможно, первая попытка ©Гриднева Наталья Алексеевна ученика сформулировать теорему окажется не очень удачной. С помощью примеров и контрпримеров учитель помогает уточнить формулировку, доказать необходимость каждого условия теоремы. Вызывают интерес вопросы учителя, заданные с целью заронить сомнение в справедливости теоремы. Подготавливающие задачи и вопросы имеют большое Рассмотрение некоторой задачи помогает учителю убедить значение. класс в необходимости доказательства теоремы. Иногда решение задачи является частью доказательства. Бывает, что теорема является логическим следствием рассмотренной задачи. Может показаться, что использование подготавливающих задач отнимает много времени. Но одна из главных целей обучения математики – обучение решению задач, а подготавливающая задача – это новая задача и , как правило, нестандартная. Решение этих задач, кроме подготовки к освоению теоремы, еще и развивает мышление, учит поиску решения. Подготавливающие задачи не только облегчают понимание теории, но и позволяют достичь глубокого ее усвоения. Целесообразно обратить внимание учеников на первые шаги доказательства (сделать чертеж, ввести обозначения, выделить и записать условие и заключение), подчеркнуть их значение. Если все ученики овладевают первыми шагами , то это существенно облегчит доказательство теорем. Многие ученики считают излишним записывать условие и требование задачи. Нужно их убедить, что не используя условие, нельзя решить задачу или доказать теорему. Требование мы записываем, чтобы видеть цель. Когда не удается решить задачу или доказать теорему нередко причина состоит в том, что не использовано условие или упущена из вида цель. Очень важно приучать учеников слушать себя. Если сразу записать неточную фразу ученика на доске или в его тетради, то он сможет самостоятельно заметить оплошность. Некоторые ученики не делают этого. В результате не приобретают необходимого умения, что сказывается на развитии мышления. ©Гриднева Наталья Алексеевна Таким образом, необходимо, чтобы ученик вник в проблему и захотел ее решать. Тогда он будет уточнять постановку задачи, участвовать в поиске решения и получит удовлетворение от работы. 3.3. ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРЕМЫ, ЕЕ УСВОЕНИЕ И ЗАКРЕПЛЕНИЕ. При изучении теоремы нужно придерживаться такой организации учебно-познавательной деятельности учащихся: осознание проблемы, т.е. осознание необходимости или пользы 1. изучения нового познавательного вопроса. 2. наблюдение ряда частных случаев, проведение опыта, эксперимента. 3. выказывание догадок, выработка гипотезы. 4. осознание необходимости дедуктивного доказательства. 5. дедуктивное обоснование гипотезы, т.е. доказательство. 6. практические приложения полученного математического результата. Изучение теоремы можно подразделить на три этапа: - осознательное усвоение формулировки теоремы; - обеспечение усвоения доказательства теоремы; - закрепление теоремы. В зависимости от характера теоремы , наличия учебного времени на уроке, от уровня развития учащихся, учитель может выбрать один из следующих способов ознакомления школьников с формулировкой теоремы. 1. Учитель подготавливает учащихся к самостоятельному «открытию» теоремы. 2. Учитель организует работу, которая способствует сознательному восприятию и пониманию учащимися новой теоремы, формулировка, которой сообщается им в готовом виде. 3. Учитель формулирует теорему сам без предварительной подготовки учащихся, а затем направляет их усилия на ее усвоение. Перед изучением теоремы целесообразно на уроке создать проблемную ситуацию, которая бы ©Гриднева Наталья Алексеевна мотивировала необходимость ее изучения. С этой целью можно использовать различные практические ситуации и мотивационные упражнения.(7, 11, 14) Например, перед изучением признаков равенства треугольников учащиеся знакомятся с определением равных треугольников: «Два треугольника называются равными, если один из них можно наложить на другой так, что они совпадут». Приступая к изучению самих признаков равенства треугольников, следует показать учащимся ограниченность практического применения этого определения (не всегда можно наложить одну треугольную плиту на другую, ввиду их массивности). Отсюда вытекает поиск новых способов определения равных треугольников, на основе сравнения только некоторых его элементов. Для выявления сознательности усвоения учащимися учебного материала нужна педагогически -целесообразная постановка вопросов. Вопрос считается педагогически целесообразным, если ответ на него не копирует учебник, а будит активную, самостоятельную мысль ученика; такой вопрос должен выявить степень понимания материала. Зачастую безупречная формулировка, воспроизведенная учеником, еще не есть свидетельство полного благополучия. Чтобы узнать, сознательно ли школьники усвоили формулировку теоремы, можно предлагать им искаженные формулировки, а они должны будут найти ошибки. Большое внимание следует уделить закреплению теорем. Здесь учителю необходимо учитывать два обстоятельства 1. Необходимо сформулировать у всех учащихся навыки доказательства теорем . 2. Учащиеся должны понять и запомнить ее доказательство Рассмотрим некоторые приемы закрепления теоремы: 1. Сразу после объяснения новой темы, одному или нескольким учащимся предлагается повторить ее , остальным – слушать. Обычно вызываются учащиеся по желанию, а следовательно, в основном хорошо усваивающие. Этот прем приносит гораздо большую пользу, когда ©Гриднева Наталья Алексеевна изученное доказательство теоремы на этом же уроке повторяют по измененному чертежу, с другими буквенными обозначениями на нем. Такое повторение уже не является столь однообразным, оно требует от учащихся более активной мыслительной деятельности. Следовательно учащиеся лучше запоминают материал, их внимание более устойчивое. 2. Чтобы повторить условные части только что рассмотренной теоремы, учитель задает классу несколько вопросов. Этот прием требует меньшей затраты учебного времени, чем предшествующий, спросить удается не одного, а нескольких учащихся, класс принимает более активное участие в повторении. Следовательно данный прием весьма эффективен. 3. Перед объяснением новой теоремы учитель предлагает прослушать доказательство и одновременно составить его план. Затем это задание проверяется. Прием очень эффективен, но …. только в тех классах, где предварительно проведена кропотливая работа по формированию умений составлять план. 4. Доказательство рассмотренной теоремы не повторяется на данном уроке. Класс сразу приступает к решению задач по новой теме. Она закрепляется на задачах. А за 3-5 минут до звонка учитель подводит итог урока. Он предлагает не просто воспроизвести, пересказать изученное на уроке, а задает вопросы, которые заставляют учащихся выделить из нового материала главное, сопоставить с прежними заданиями, сравнить, обобщить. И все это увязывается с только что решенными задачами по новой теме.(6, 15, 18) Таким образом, при такой форме подведения итогов урока новый материал запоминается эффективнее , так как он повторяется сразу после момента наиболее интенсивного забывания, а мыслительная деятельность учащихся разнообразна и активна. 3.4.ПУТИ ОТЫСКАНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА И ЕГО ИЗЛОЖЕНИЕ. Обучение поиску решения – одна из главных задач учителя. Элементарные навыки поиска приобретающие при решении задач. Мы уже ©Гриднева Наталья Алексеевна говорили о том, что если объяснение учителя исчерпывается дословным воспроизведением текста учебника, то для многих учащихся доказательство остается непонятным и тогда, весь процесс его усвоения сводится к заучиванию без понимания непонятных доказательств смысла. Общепризнанно, бесполезно как для что убеждения заучивание ученика в справедливости теоремы, так и для развития и укрепления навыков логического мышления. Следовало бы обращать больше внимания и на прямой вред такого «усвоения», действующего отупляющим образом на умственные способности учащихся, приучающего их к пустым рассуждениям, в которых они ничего не понимают. От чего же зависит возможность понимания доказательства? Прежде всего должно быть обеспечено яркое и отчетливое понимание доказываемого тезиса (формулировки теоремы) и владение аргументами. Это необходимые предпосылки доказательства. В самом же процессе доказательства возникают еще 2 проблемы: 1. понимание строения и правильности каждого умозаключения в отдельности; 2. понимание последовательности связи умозаключений. Когда учащимся предлагается готовое доказательство, то осознание его строения может наступить только после того, как изложение закончено. Теперь, когда все этапы доказательства стали уже известными, возникает возможность проследить и уяснить их закономерность – понять строение доказательства. Понимание строения доказательства, наступившее после ознакомления с его содержанием, есть единственно возможный путь сознательного усвоения при самостоятельном усвоении доказательства по учебнику. Первоначальное ознакомление учащихся с содержанием доказательства должно начинаться не с усвоения той законченной формы доказательства, которая дана ему в изложении, а с попыток уяснить себе, как было найдено доказательство, с отыскания доказательства и выясняется его строение, дается ответ на вопрос: почему оно так построено? ©Гриднева Наталья Алексеевна В процессе отыскания доказательства не следует задавать учащимся много вопросов, тем более по пройденному материалу ,так как это отвлекает учащихся и мешает им сосредоточится на главном. Если класс достаточно подготовлен и отыскание доказательства уже вошло в систему, то число вопросов, задаваемых классу, может быть уменьшено, - нужно оставить только те вопросы, которые непосредственно связаны с открытием нового; такие , где учащимся нужно подумать, сообразить, а не просто вспомнить, отыскание доказательства еще и потому, что теперь возникает возможность привлечь учащихся к активному участию в изложении найденного доказательства. Самому приему отыскания доказательства можно и нужно придавать различные формы в зависимости от трудности доказательства, возраста и подготовки учащихся. К отысканию доказательства во всех случаях должны привлекаться учащиеся. Активность учащихся должна проявляться в открытии нового : в умении сделать выводы; в попытках продолжить ход рассуждений. Рассуждение, рассказ и вопросы учителя должны возбудить активное мышление учащихся, подготовить их к самостоятельному выводу, возбудить потребность высказывать этот вывод или привести свои предположения о том, как следовало бы поступить дальше. Предварительное отыскание доказательства создает благоприятные условия для привлечения учащихся к активному участию в окончательном изложении найденного доказательства. Упражнения в оформлении доказательств помогают лучшему усвоению и более прочному запоминанию самих доказательств, вводит учащихся в круг требований, предъявляемых к доказательству, и вырабатывают умение изложить его самостоятельно; они способствуют развитию речи и мысли; воспитывают умение придать им точную и законченную форму, помогают направить их в русло полной работы. Все эти возможности исключаются при пассивном усвоении готового доказательства. В этом случае у ученика нет собственных мыслей по поводу ©Гриднева Наталья Алексеевна доказательства, нуждающихся в упорядочении ; усваивая же лучше мысли, где должный порядок и строжайшая дисциплина уже наведены, ученик не видит, как и при помощи чего это достигается. Большое влияние на качество знаний учащихся оказывает не изложение доказательства в учебнике. Значительная часть трудностей вызвана не столько самой структурой доказательств, сколько формой их изложения в действовавших до сих пор учебниках. Чтобы сделать эту форму более доступной и легче усвояемой необходимо следующее: 1. Ввести в изложение краткие разъяснения метода основной идеи плана доказательства и целесообразности дополнительных построений 2. Выделять в нем узловые моменты. Итак, успех в изложении доказательств определяется не применением какогонибудь метода или приема, а системой преподавания в целом. Мы выяснили весь комплекс необходимых условий понимания и усвоения доказательств учащимися такими условиями являются: 1. Ученик должен иметь ясное представление о сущности доказательства, его строении, его видах и требованиях, к нему предъявляемых. В круг этих представлений должны постепенно вводиться и учащиеся. 2. Необходимо вести планомерную и систематическую работу по воспитанию у учащихся потребности в доказательстве. 3. Существенно важно, чтобы учитель и учащиеся понимали цели изучения доказательств 4. Центральной проблемой является понимание доказательств учащимися. Для ее решения учитель должен: А) Неустанно заботиться о развитии логического мышления и речи учащихся; Б) Добиваться предельно ясного понимания формулировки теоремы В) Уделять самое серьезное внимание процессу доказательства ©Гриднева Наталья Алексеевна Изучив литературу по данному вопросу, считаем, что доказательства играют важную роль при формировании логического мышления школьников. Необходимо ставить перед детьми основные цели доказательства, вести подготовительную работу, четко формулировать условие и заключение утверждений ( теорем, задач) . Показать детям, что процесс доказательства заключается в цепочке умозаключений, не зависимо оттого , каким методом ведется доказательство (аналитико-синтетическим, координатным, векторным и др.) ©Гриднева Наталья Алексеевна БИБЛИОГРАФИЯ. 1. Барыкин К.С. Сборник геометрических задач на доказательство. М., 1954-151с. 2. Березина Л.Ю. Геометрия в 7-9 классах. М., 1990-334с. 3. Болтянский В.Г. Как устроена теорема? //Математика в школе 1973-№1. 4. Брадис В.М. Ошибки в математических рассуждениях. М., 1959-176с. 5. Вопросы развития логического мышления в процессе школьного обучения //Тамбовская правда, 1959-66с. 6. Геометрия: теория и ее использование для решения задач /Яковлев Г.Н. М., 1973-184с. 7. Груденов Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем. М., 1981-95с. 8. Далингер В.А. Обучение учащихся доказательству теорем. Омск, 1990128с. 9. Дубнов Я.С. Ошибки в геометрических доказательствах. М., 1969-69с. 10. Журавлев Г.Е. Системные проблемы развития математической психологии. М., 1983-204с. 11. Зыкова В.И. Формирование практических умений на уроках геометрии. М.,1963-200с. 12. Медяник А.И. Учителю о школьном курсе геометрии. М., 1984-95с. 13. Мищенко Т.М. , Райляну А.И. Из опыта работы учителей Молдовы. // Математика в школе 1991-№1. 14. Мостовой А.И. Различные способы доказательств в курсе геометрии восьмилетней школы. М., 1965-102с. 15. Преподавание алгебры и геометрии в школе / сост. О.А.Боковнев М., 1982-123с. 16. Преподавание геометрии в 6-8 классах / В.А.Гусев. М., 1979-287с. 17. Подходова Н.С. К проблеме личностно-ориентированного обучения геометрии. // Математика в школе. 2000-№10 ©Гриднева Наталья Алексеевна 18. Притуло Ф.Ф. Методика изложения геометрических доказательств. М., 1958-108с. 19. Развитие логико-вероятностные мышления в школе. // Математика в школе 1994-№18. 20. Рупасов К.А., Тульчинский М.С. Сборник геометрических задач по готовым чертежам для 6-8 классов Тамбов, 1963-92с. 21. Сборник статей по вопросам преподавания геометрии в средней школе. / Стратилатова П.В. М., 1958-191с. 22. Тесленко И.Ф. О преподавании геометрии в средней школе. М., 198595с. 23. .Терешин Н.К. Еще раз о доказательстве//Математика, 2002-№35. 24. Тимощук М.Е. Построение доказательств по геометрии. Омск, 199951с. 25. Финкельштейн В. Н. Первые теоремы//Математика, 2002-№35 26. Фетисов А.И. О доказательстве в геометрии М., 1954-58с. 27. Чичигин В.Г. Методика преподавания геометрии. М., 1959-392с. 28. Шклярский Д.О. Избранные математики. М., 1952-380с. задачи и теоремы элементарной ©Гриднева Наталья Алексеевна ПРИЛОЖЕНИЕ ©Гриднева Наталья Алексеевна ЗАКЛЮЧЕНИЕ Геометрия в целом, как и ее основные составляющие- фигуры, логика и практическая применимость – позволяют учителю гармонично развивать образное и логическое мышление ребенка любого возраста, прививать ему навыки практической деятельности. Логическое мышление- это искусство рассуждать, умение делать правильные выводы. Это не всегда легко, потому что очень часто необходимая информация «замаскирована», представлена неявно, и надо уметь ее извлечь. Очень часто учащимся при изучении геометрии приходится путем рассуждений выводить разнообразные формулы, правила, доказывать теоремы. Без определенного уровня логического мышления не может быть полноценного усвоения геометрических знаний. А это значит, что для успешного обучения геометрии надо настойчиво учить детей правильно рассуждать. Решение всякой геометрической задачи- это цепь рассуждений. Вычисления, которые приходится использовать, невозможны без логических рассуждений. Однако, в настоящее время в современных школах учителя все меньше внимания уделяют развитию логического мышления учащихся. Процесс обучения нередко сводится к механическому заучиванию материала. Для учителя главное, как хорошо ученик знает теорию, но это еще не значит сможет ли он применить ее на практике. Поэтому большая роль в развитии логического мышления учащихся принадлежит учителю, от того, как он преподносит учебный материал, требует ли от учеников логических рассуждений. Известно, что доказательство теорем и решение задач на доказательство являются одними из основных путей развития логического мышления учащихся. Поэтому при обучении учащихся доказательству теорем следует требовать от них четких логических посылок, предоставлять больше самостоятельности при решении задач на доказательство. Таким образом, чтобы создать опору для успешного обучения, необходимо обратить внимание на пути развития логического мышления средствами обучения доказательствам на уроках геометрии. Процесс обучения ©Гриднева Наталья Алексеевна доказательству теорем неразрывно связан с логическим мышлением, и учителю важно об этом помнить.