08-12-02

08-12-02. Тригонометрические формулы
1. В десятой главе мы приводили примеры некоторых тригонометрических формул.
Эти формулы справедливы и при обобщении понятия угла.
В этом параграфе мы также рассмотрим примеры некоторых тригонометрических
формул. Их доказательства будут приведены в старших классах.
2. Вычисление значений тригонометрических функций для углов от 90 до 180
можно свести к вычислению их значений для некоторых острых углов.
Пусть  принимает значение от 90 до 180 . Тогда можно записать   180   , где
 принимает некоторые значения от 0 до 90 . Поэтому по формуле
sin(180   )  sin 
можно вычислить sin  .
Пример 1.
sin135  sin(180  45 )  sin 45 
2

2
Аналогично для угла  от 90 до 180 из формулы
cos(180   )   cos 
можно вычислить cos  .
Пример 2.
cos150  cos(180  30 )   cos 30  
3

2
Зная, как вычисляются значения sin  и cos , нетрудно вычислить tan  .
Пример 3.
tg120 
sin120
sin 60

 tg 60   3
cos120
cos 60
3. Вычисление значений тригонометрических функций для углов от 180 до 270
также сводится к вычислению их значений для некоторых острых углов.
Пусть  принимает значение от 180 до 270 . Тогда можно записать   180   ,
где  принимает некоторое значение от 0 до 90 . Поэтому по формуле
sin(180   )   sin 
можно вычислить sin  .
Пример 4.
sin 255  sin(180  75 )   sin 75  
Аналогично для угла  от 180 до 270 из формулы
cos(180   )   cos 
2( 3  1)

4
можно вычислить cos  .
Пример 5.
cos 210  cos(180  30 )   cos 30  
3

2
Зная, как вычисляются значения sin  и cos , нетрудно вычислить tan  .
Пример 6.
tg 225 
sin 225
 sin 45

 tg 45  1
cos 225  cos 45
4. Вычисление значений тригонометрических функций для углов от 270 до 360
также сводится к вычислению их значений для некоторых острых углов.
Пусть  принимает значение от 270 до 360 . Тогда можно записать   360   ,
где  принимает некоторое значение от 0 до 90 . Поэтому по формуле
sin(360   )   sin 
можно вычислить значение sin  .
Пример 7.
3

2
sin 300  sin(360  60 )   sin 60  
Аналогично для угла  от 270 до 360 из формулы
cos(360   )  cos 
можно вычислить cos  .
Пример 8.
cos 315  cos(360  45 )  cos 45 
2

2
Зная, как вычисляются значения sin  и cos , нетрудно вычислить tan  .
Пример 9.
tg 345 
sin 345
 sin15

 tg15  2  3
cos 345  cos15
5. Проверим справедливость формулы
sin 2  2sin  cos  при   135 .
Имеем
2
sin135  sin 45 

2
cos135   cos 45  
2

2
sin(2 135 )  sin 270   sin 90  1
Отсюда
2sin135  cos135 
 2
2 
2
  
  1  sin(2 135 )
2  2 
6. Проверим справедливость формулы
cos(   )  cos   cos   sin   sin 
при
  315 ,   105 .
Имеем
2
cos 315  cos 45 

2
sin 315   sin 45  
2

2
cos105   cos 75 
 2( 3  1)

4
sin105  sin 75 
2( 3  1)

4
cos(315  105 )  cos 210   cos 30  
3

2
Отсюда
cos 315 cos105  sin 315 sin105 


2 
2( 3  1)  
2  2( 3  1)
  

   
 
2 
4
4
  2 
2 2
3
( 3  1 3  1)  
 cos(315  105 )
24
2
7. Проверим справедливость формулы
sin 3  3sin   4sin 3 
при
  120 .
3
Имеем sin120  sin 60  2 ,
sin(3 120 )  sin 360  sin 0  0 . Отсюда
3
 3
3
3sin120  4sin 120  3 
 4  
  0 
2
4


3
 sin(3 120 )
8. Проверим справедливость формулы
tg (   )  1tgtgtgtg
при
  120  120 ,   30 .
Имеем tg120  tg 60   3 , tg 30 
1
3
,
tg (120  30 )  tg150  tg 30  
1
3
.
Отсюда
 3  13
tg120  tg 30
2
1




1  tg120 tg 30 1  ( 3)  13 2 3
3
 tg (120  30 )
9. Проверим справедливость формулы
cos   cos   2 cos
 
2
 cos
 
2
при   345 ,   105 .
Имеем
cos
cos 345  cos15 
2( 3  1)

4
cos105   cos 75 
 2( 3  1)

4
345  105
2
 cos 225   cos 45  

2
2
cos
345  105
1
 cos120   
2
2
Отсюда
cos 345  cos105 
2(t 3  1)
2( 3  1)
2


4
4
2
и
2 cos
345  105
345  105
 cos

2
2
 2   1
2
 2  

     
 2   2 2
Контрольные вопросы
1. Как вычислять значения синуса и косинуса угла  , если:
1) 90    180 ;
2) 180  a  270 ;
3) 270    360 ?
2. Какие тригонометрические формулы вы знаете для центральных углов величины от
0 до 360 ?
Задачи и упражнения
1. Известно, что
окружности, что
90    180 . Докажите с помощью тригонометрической
sin(180   )  sin   cos(180   )   cos  
2. Докажите, что если 90    180 , то tg (180   )  tg .
3. С помощью тригонометрической окружности докажите, что если 180    270 , то
sin(270   )   cos   cos(270   )   sin  
4. Выразите tan(270   ) через tan  .
5. Пусть 180    270 и     180 . С помощью тригонометрической окружности
докажите, что
а) sin   sin(180   )   sin  ;
б) cos   cos(180   )   cos  .
6. Выразите tg (180   ) через tg  .
7. Пусть 270    360 . С помощью тригонометрической окружности докажите, что
sin(360   )   sin   cos(360   )  cos  
8. Выразите tg (360   ) через tg .
9. Проверьте справедливость формулы:
1) sin 2  2sin   cos  при   150 ;
2) cos 2  cos 2   sin 2  при   210 ;
3) cos(   )  cos   cos   sin   sin 
при   240 ,   120 ;
4) cos(   )  cos   cos   sin   sin 
при   300 ,   150 ;
5) tg 2  12tgtg2 при   120 ;
6) tg (   )  1tgtgtgtg при   300 ,   150 ;
7) sin(   )  sin   cos   cos   sin  при
  120 ,   150 .
Ответы и указания к наиболее трудным задачам
Нет.