МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт управления, экономики и финансов
Кафедра экономическо-математического моделирования
Методическая разработка
по дисциплине «Экономико-математические методы»
для проведения практических занятий и
самостоятельной работы студентов, обучающихся
по направлению 080100.62 «Экономика»
Казань 2014
2
Составители:
к.ф.-м.н., доцент Воронцова В.Л.
к.ф.-м.н., доцент Хасанова А.Ю.
Рецензент:
к.ф.-м.н., доцент Романова Е.М.
Обсуждена на заседании кафедры математики и экономической информатики
18.09.2014, протокол № 1.
Утверждена Учебно-методической комиссией института от 7.11.2014
3
Введение
Методическая
дисциплины
разработка
способствует
«Экономико-математические
системному
методы»
изучению
студентами,
обучающимися по направлению «Экономика», и включает: вопросы для
обсуждения, практические задания, контрольные вопросы и задания для
самостоятельной работы студентов, список литературы.
Практические занятия по дисциплине «Экономико-математические
методы» проводятся с целью изучения и усвоения студентами разделов
«Математическое программирование» и «Методы оптимизации», связанных с
построением и анализом экономико-математических моделей как инструмента
исследования
и
прогноза
экономических
явлений.
Уровень
усвоения
студентами теоретического материала проверяется посредством опроса по
основным вопросам темы.
Контрольные
вопросы
и
задания
для
самостоятельной
работы
предназначены для проверки качества усвоения лекционного материала.
Ответы
на
контрольные
вопросы
и
задания
готовятся
студентами
самостоятельно и проверяются преподавателем на практических занятиях.
Решение задач в рамках практических занятий позволяет студентам
применить теоретические знания, полученные на лекционных занятиях, к
практике изучения методологии моделирования экономических процессов и
применения математического аппарата в экономике.
Контроль самостоятельной работы студентов осуществляется в ходе
проверки
домашнего
задания,
а
также
во
время
экзаменационного
тестирования, в том числе по тестам Федерального агентства по образованию
РФ.
Ссылки на рекомендуемую литературу даны в каждой теме в квадратных
скобках с указанием страниц и номеров практических заданий.
4
Основная часть
Тема 1. Метод искусственного базиса (1 занятие)
Вопросы для обсуждения
1. Составление расширенной ЗЛП.
1.Теорема о взаимосвязи исходной и расширенной задач.
2.Алгоритм метода искусственного базиса.
Практические задания
1. Решить ЗЛП методом искусственного базиса: [1]: с. 221, № 5; [2]:
с.415- 419, №№ 25.24(1-16).
Контрольные вопросы
1. Какие задачи линейного программирования решаются методом
искусственного базиса?
1.Как составляется расширенная задача?
3. В каком случае можно сократить количество вводимых искусственных
переменных?
4. При каком условии оптимальный план расширенной задачи является
оптимальным планом исходной задачи?
5. С какими коэффициентами искусственные переменные вводятся в
целевую функцию в задачах а) «на максимум»; б) «на минимум»?
6. Чем отличаются симплексные таблицы для реализации симплексного
метода и метода искусственного базиса?
7. Как определяется вектор, вводимый в базис, при использовании
искусственного базиса?
8. Когда исходная задача не имеет решения и как это определить, решая
расширенную задачу?
5
Задания для самостоятельной работы
1. Показать, где в таблице с оптимальным планом ЗЛП находятся
оптимальное значение целевой функции и базисные компоненты оптимального
плана.
2. Решить ЗЛП методом искусственного базиса: [1]: с. 171 – 182; с. 221, №
5; [2]: с. 419 - 420, № 25.24(17-24).
Рекомендуемая литература
1. Математика: Учебное пособие для экономических специальностей
вузов. Ч. 3 / Под науч. ред. проф. Р. Ш. Марданова. – Казань: Изд-во
Казанского государственного университета, 2007, с. 171 – 182, 221.
2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие для
экономических специальностей вузов./ Р. Ш. Марданов, А. Ю. Хасанова, Р.А.
Султанов, А. Г. Фатыхов; под научной редакцией проф. Р. Ш. Марданова.Казань: Казан. Гос. Ун.-т, 2009, с.415-420.
Тема 2. Двойственность в линейном программировании (2 занятия)
Занятие 1
Проведение практического занятия
в интерактивной
форме: в форме
решения и анализа «проблемной ситуации».
Постановка «проблемной ситуации»: Рассмотреть задачу об оптимальном
распределении ресурсов.
Построить прямую и двойственную модели для
исходной
их
задачи,
дать
экономический смысл и
экономическую
интерпретацию.
Определить
связь переменных прямой и двойственной задач.
Разобрать методы решения прямой и двойственной задач. Провести анализ
полученных результатов.
Построение ЭММ двойственных задач и экономическая интерпретация
решения «ситуативной задачи» проводятся на данных следующих задач: [1]: с.
220 – 221, № 6; [2]: с. 389-393, №№ 25.(1-10);
6
Решение задач проводится совместно с подробным обсуждением
следующих вопросов:
1.
В
чем
заключается
сущность
двойственности
в
линейном
программировании?
2. Какие пары двойственных задач относятся к симметричным и
несимметричным?
3. Как формулируются правила построения двойственной задачи?
4. Как формулируются основные теоремы двойственности?
5. Как по решению исходной (двойственной) задачи найти решение
двойственной (исходной) задачи?
6. Какова экономическую интерпретацию двойственной задачи, если
исходная задача состоит в оптимальном использовании ресурсов?
7. Как формулируются экономический смысл и значение теорем
двойственности?
8. Как определить рентабельность каждого вида продукции, используя
двойственные оценки?
9. Как проводится экономический анализ показателей симплексной
таблицы с оптимальным планом?
Работа каждого студента оценивается в зависимости от степени его
участия в обсуждении проблемной ситуации.
Задания для самостоятельной работы
1. Решить пары двойственных задач: [1]: с. 182 – 211; [2]: с. 393-396, №№
25.(11-18), с. 424, №№ 26.2(1-14)
Рекомендуемая литература
1. Математика: Учебное пособие для экономических специальностей
вузов. Ч. 3 / Под науч. ред. проф. Р. Ш. Марданова. – Казань: Изд-во
Казанского государственного университета, 2007, с. 182 – 211.
7
2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие для
экономических специальностей вузов./ Р. Ш. Марданов, А. Ю. Хасанова, Р.А.
Султанов, А. Г. Фатыхов; под научной редакцией проф. Р. Ш. Марданова.Казань: Казан. Гос. Ун.-т, 2009, с. 393-396.
Занятие 2
Выполнение контрольной работы по темам 1-2.
Пример варианта контрольной работы:
Задания контрольной работы:
1. Решить задачу методом искусственного базиса. Используя первую теорему
двойственности, записать оптимальные планы исходной и двойственной задач.
2. Решить двойственную задачу графическим методом. Используя вторую
теорему двойственности, найти решение исходной задачи:
Z  4 x1  2 x2  2 x3
min ,
2 x1  x2  2 x3  1,

 x1  x2  x3  3,
x j  0,
j  1,3.
Тема 3. Транспортные задачи (2 занятия)
Занятие 1
Проведение практического занятия в интерактивном режиме: в форме
решения и анализа «проблемной ситуации».
Постановка «ситуативной задачи»: Рассмотреть задачу о рациональном
распределении и перевозки груза. Пусть на m складах поставщиков имеется
груз, который требуется доставить n потребителям. При этом известны
стоимости перевозки единицы груза от определенного поставщика к
соответствующему потребителю. Требуется составить модель транспортной
задачи. Найти начальный план перевозки и проверить его оптимальность.
Рассмотреть различные способы построения первоначального плана. Обсудить
все полученные результаты.
8
Решение
«ситуативной
задачи» проводится с использованием данных
следующих транспортных задач: [3]: №№ 3.1, 3.2, 3.3; [2]: с. 432 - 434, №№
27.3, 27.4, 27.5.
В ходе решения задач студенты обсуждают следующие вопросы:
1.Какова постановка транспортной задачи и ее ЭММ?
2. Какая модель транспортной задачи называется закрытой, а какая –
открытой?
3. Как открытую модель транспортной задачи привести к закрытой?
4. Каковы необходимое и достаточное условия существования решения
транспортной задачи?
5. Сколько положительных компонент может содержать опорный план
транспортной задачи?
6. Какие существуют методы построения первоначального опорного
плана транспортной задачи?
7. Какой план транспортной задачи является вырожденным?
8. Какой используется прием для преобразования вырожденного
опорного плана транспортной задачи в невырожденный?
9. Как формулируется теорема об оптимальности плана транспортной
задачи?
Работа каждого студента оценивается в конце занятия в зависимости от
степени его участия в обсуждении проблемной ситуации.
Задания для самостоятельной работы
1. Составить ЭММ транспортных задач и построить начальные опорные
планы: [1]: с. 222 – 232; [2]: с. 434, №№ 27.6.
Занятие 2
Вопросы для обсуждения
1.Метод потенциалов.
9
2.Правило построения цикла по переброске грузов.
3.Блокирование перевозок.
4.Транспортные задачи с нарушенным балансом производства и
потребления.
Практические задания
1. Решить транспортные задачи: [1]: с. 260, № 2; [2]: с. 437,438, №№ 27.7,
27.9; [2]: с. 442, 443, №№ 27.13(1-5)
Контрольные вопросы
1. Как строится система потенциалов?
2. Как определяются оценки свободных клеток?
3. Как звучит критерий оптимальности плана транспортной задачи?
4. Каково определение цикла по переброске «грузов» в транспортной
задаче. Как он строится?
5. Как осуществляется переброска объемов груза по вершинам цикла?
6. В чем заключается суть блокирования перевозок?
7. Как осуществляется блокирование перевозок?
Задания для самостоятельной работы
1. Решить транспортные задачи: [1]: с. 232 – 258, с. 259 – 260; [2]: с. 439442, №№ 27.10, 27.13 (6-10).
Рекомендуемая литература
1. Математика: Учебное пособие для экономических специальностей
вузов. Ч. 3 / Под науч. ред. проф. Р. Ш. Марданова. – Казань: Изд-во
Казанского государственного университета, 2007, с. 232 – 260.
2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие для
экономических специальностей вузов./ Р. Ш. Марданов, А. Ю. Хасанова, Р.А.
10
Султанов, А. Г. Фатыхов; под научной редакцией проф. Р. Ш. Марданова.Казань: Казан. Гос. Ун.-т, 2009, с. 439- 442.
Тема 4. Задача о загрузке оборудования (1 занятие)
Проведение практического занятия в интерактивной форме: решение и
анализ «проблемной ситуации».
Постановка «ситуативной задачи»: Рассмотреть распределительную
задачу. Пусть на предприятии имеется m различных станков, на которых
изготовляются n видов изделий. Производительности станков, затраты на
производство единицы изделия каждого вида на соответствующем станке
известны. При ограниченном фонде времени работы станков и для выполнения
заказа по выпуску изделий требуется распределить производство продукции
таким образом, чтобы общие затраты были минимальны. Провести анализ
полученного решения.
Решение данной «ситуационной задачи» проводится с применением
данных, представленных в следующих задачах: [2]: с. 446- 449, №№ 27.14(1-10).
При решении задачи обсуждаются следующие вопросы:
1. Почему распределительные задачи называются λ – задачами?
2. Какой экономический смысл имеет параметр λ?
3. Какова постановка задачи о загрузке оборудования?
4. Как записывается ЭММ задачи о загрузке оборудования?
5. Как λ – задача сводится к транспортной?
4. Какой станок принимается как базовый? Чему равен индекс базового
станка?
5. Как вычисляются индексы остальных станков?
6. В каких единицах следует выразить все величины распределительной
задачи для сведения ее к транспортной?
11
В конце занятия работа каждого студента оценивается в зависимости от
степени его участия в обсуждении проблемной ситуации.
Задания для самостоятельной работы
1. Решить λ – задачу: [1]: с. 251 – 258: № 3.22.
Рекомендуемая литература
1. Математика: Учебное пособие для экономических специальностей
вузов. Ч. 3 / Под науч. ред. проф. Р. Ш. Марданова. – Казань: Изд-во
Казанского государственного университета, 2007, с. 251 – 258.
2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие для
экономических специальностей вузов./ Р. Ш. Марданов, А. Ю. Хасанова, Р.А.
Султанов, А. Г. Фатыхов; под научной редакцией проф. Р. Ш. Марданова.Казань: Казан. Гос. Ун.-т, 2009, с.444-448.
Тема 5. Сетевое планирование управления (2 занятия)
Занятие 1
Вопросы для обсуждения
1. Сетевое планирование управления (СПУ).
2. Понятие структурного планирования, календарного планирования и
оперативного управления.
3. Элементы теории графов: плоские графы.
4. Эйлеровы графы, гамильтоновы графы, орграфы.
5. Сетевые графики, правила их построения, нумерация событий.
Практические задания
1. Построить сетевые графики и пронумеровать события: [1]: с. 315 – 316,
№ 1(а, б); [2]: с. 544, №№ 29.1.
12
Контрольные вопросы
1. Каково определение графа?
2. Каково определение сетевой модели (сетевого графика)?
3. Что называется событием сетевого графика? Как оно изображается?
4. Какие виды работ применяются в сетевом графике и как они
изображаются?
5. С какой целью при построении сетевых графиков используются
фиктивные работы? В каких случаях вводятся фиктивные работы?
6. Что называется путем в сетевом графике? Как определяется длина
пути? Какой путь называется критическим?
7. Влияют ли фиктивные работы на длину критического пути?
8. Каковы основные правила построения сетевого графика?
9. В чем заключается метод ранжирования событий сетевого графика?
Задания для самостоятельной работы
1. Построить сетевые графики и пронумеровать события: [1]: с. 299 – 308,
с. 316, № 1(в); [2]: с. 455, №№ 29.2.
Занятие 2
Проведение практического занятия в интерактивной форме: решение и
анализ «проблемной ситуации».
Постановка «ситуативной задачи»: Для подготовки финансового плана
на следующий год фирме необходимо получить данные о производимых на
предприятии работах, о порядке и продолжительностях выполнения каждой
работы. Построить сетевую модель и определить критический путь. Обсудить
все способы решения и выбрать самый рациональный метод.
Расчет временных параметров сетевого графика и длины критического
пути заданной «ситуационной задачи» проводится с использованием данных,
приведенных в задачах : [1]: с. 316 – 317, № 1(а, б); [2]: с. 458, №№ 29.4.
13
Решая задачи, студенты под руководством преподавателя обсуждают
следующие вопросы:
1. Каковы определения раннего срока свершения события и позднего
срока наступления события?
2. Как вычисляются ранний срок и поздний срок свершения события?
3. Чем отличается свободный резерв времени работы от ее полного
резерва?
4. По каким формулам вычисляются полный и свободный резервы
времени работы?
5. Какой путь называется критическим путем сетевого графика?
6. Как формулируются теоремы: о принадлежности события
критическому пути; о принадлежности работы критическому пути?
7. Каковы этапы (алгоритм) расчета критического пути в сетевом
графике?
8. Какова цель расчета критического пути в сетевом графике?
В конце занятия работа каждого студента оценивается в зависимости от
степени его участия в обсуждении проблемной ситуации.
Задания для самостоятельной работы
1. Дать определения полных и свободных резервов времени работ.
2. Рассчитать временные параметры сетевого графика и длину
критического пути: [1]: с. 308 – 314, № 1(в); [2]: с.459, №№ 29.5.
Рекомендуемая литература
1. Математика: Учебное пособие для экономических специальностей
вузов. Ч. 3 / Под науч. ред. проф. Р. Ш. Марданова. – Казань: Изд-во
Казанского государственного университета, 2007.
2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие для
экономических специальностей вузов./ Р. Ш. Марданов, А. Ю. Хасанова, Р.А.
14
Султанов, А. Г. Фатыхов; под научной редакцией проф. Р. Ш. Марданова.Казань: Казан. Гос. Ун.-т, 2009. – 576 с.
Тема 6. Динамическое программирование (1 занятие)
Проведение практического занятия в интерактивной форме: решение и
анализ «проблемной ситуации».
Постановка «ситуативной задачи»: Рассмотреть задачу о
капиталовложениях. При известном начальном капитале и заданных функциях
дохода по каждому предприятию найти оптимальный план по инвестированию
предприятий с целью получения максимального дохода. Дать экономический
анализ полученного решения. Обсудить полученные результаты.
Решение данной «ситуационной задачи» проводится с использованием
данных, приведенных в задачах [2]: с. 452- 461, №№ 29.3- 29.8.
В ходе решения задачи обсуждаются следующие вопросы:
1. Что является предметом динамического программирования?
2. Какой метод применяется при решении задач динамического
программирования?
4. Какое управление называется оптимальным?
5. Как формулируется принцип оптимальности Беллмана?
6. Как выводится функциональное уравнение Беллмана?
7. Как осуществляется прямой и обратный ход вычислений оптимального
дохода.
8. Как осуществляется решение задачи об оптимальном распределении
капиталовложений?
В конце занятия работа каждого студента оценивается в зависимости от
степени его участия в обсуждении проблемной ситуации.
15
Задания для самостоятельной работы
1. Опишите этапы решения задач динамического программирования на
примере задачи об оптимальном распределении капиталовложений?
2. Решить задачи динамического программирования: [1]: с. 283 – 294, с.
298 № 2; [2]: с. 464, 465, №№ 30.2.
Рекомендуемая литература
1. Математика: Учебное пособие для экономических специальностей
вузов. Ч. 3 / Под науч. ред. проф. Р. Ш. Марданова. – Казань: Изд-во
Казанского государственного университета, 2007.
2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие для
экономических специальностей вузов./ Р. Ш. Марданов, А. Ю. Хасанова, Р.А.
Султанов, А. Г. Фатыхов; под научной редакцией проф. Р. Ш. Марданова.Казань: Казан. Гос. Ун.-т, 2009. – 576 с.
Дополнительная литература
1. Экономико-математическое моделирование: учебник / под общ. ред. И.
Н. Дрогобыцкого. – 2-е изд., стереотип. – М.: Изд. «Экзамен», 2006, с. 97- 117,
с. 251– 274 .
2. Экономико-математические методы и модели. Задачник: учебнометодическое пособие / кол. авторов; под ред. С. И. Макарова, С. А.
Севастьяновой. – 2-е изд., перераб. – М.: КНОРУС, 2009, с. 124-126.
3. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Математические методы и модели в
экономике: Учебное пособие. – СПб.: Питер, 2006, с. 131 – 134.
4. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и
задачах: учеб. пособие. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Высш. шк., 1993.