Свойства функционала в пространстве обобщенных функций

УДК 517.5
АННОТАЦИЯ
Найдена в явном
виде альтернативная
функционала - обобщенной функции
пространстве обобщенных
проводить
в явном виде
также устанавливать новые
обобщенными функциями.
Найдены нечётные
функционала
P
1
x
формула
представления
1
P
(и всех его производных)
x
в
функций медленного роста, что позволяет
оценки функционалов всех производных, а
соотношения этих функционалов с другими
коэффициенты
Фурье
разложения
a2 K 1
по ортонормальной системе функций Эрмита,
четные коэффициенты равны нулю. Отмечается, что число слагаемых в
сумме для a2 K 1 ограничено и не превышает индекс
k.
В трехмерном пространстве введен в рассмотрение функционал
Pf
1
,
| x |3
найдено
его
преобразование
Фурье.
Отмечается, что
рассмотренные функционалы не являются положительно определенными
обобщенными функциями.
Ключевые слова:
Функционал - обобщенная функция P
1
x
Н.В.ШИПОВ
СВОЙСТВА
ФУНКЦИОНАЛА
P
1
x
В
ПРОСТРАНСТВЕ
ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ МЕДЛЕННОГО РОСТА
В теории обобщенных функций (см., например, [1,2] ) функционал D'
возникает так же часто (например, при преобразованиях Фурье) как и
другие общеизвестные универсальные функции, такие как функция
Хевисайда (единичная ступенька), дельта-функция δ (x), функция знака
sign(x) и ряд других [1, 3, 4]. В пространстве S' обобщённых функций
медленного роста операция преобразования Фурье является линейным
изоморфизмом, тогда как в пространстве
D' обобщенных функций,
определенных над множеством
D
финитных бесконечно
дифференцируемых функций, эта операция (преобразование Фурье)
таковой не является. В связи с этим преобразование Фурье в пространстве
S' находит более широкое применение, в частности при решении задач
математической физики. Поэтому представляется интересным более
подробное изучение
свойств
функционала P
1
x
в пространстве S'
обобщённых функций медленного роста. Пространство S
основных
функций состоит из бесконечно дифференцируемых функций, убывающих
при | x | → ∞ вместе со всеми производными быстрее любой степени
1/| x |, причём пространство D плотно в пространстве S [2].
Дифференциальные свойства
функционала P
1
x
в пространстве S'
обобщённых функций медленного роста.
Производная
от ln(x) в пространстве
D'
обобщённых функций
1
x
совпадает с P ,
1
x
(ln(x)', φ(x)) = ( P , φ(x)) = lim
є→ 0
   ( x)dx R  ( x)dx 

,


x 

 R x
(1)
где пределы
+ R, -R'
интегрирования определяются размерами
ограниченного носителя функции φ(x), принадлежащей пространству
D [2].
Пусть теперь функция φ(x) принадлежит пространству S', поэтому
интегрирование необходимо проводить по всей числовой оси.
Функция ƒ(x) = ln (x) локально суммируема (интегрируема по Лебегу
на любом ограниченном борелевском множестве), и на всей числовой оси
для неё (при некотором n ≤ 0 ) выполнено неравенство
∫ | ƒ(x)|(1+| x |)ⁿ dx < ∞.
(2)
Таким образом
функция ln(x) определяет регулярную обобщённую
функцию
медленного роста (линейный непрерывный функционал на
множестве S ), причём из свойств этого функционала следует, что все
производные этой функции (как обобщенные функции) существуют и
непрерывны [2]. Для регулярных обобщенных функций, имеющих разрывы
первого рода, существует универсальная
формула, выражающая
производную обобщенной функции через скачки в точках разрыва [2]. Для
функций с разрывами второго рода универсальной формулы нет, так что
вычисление производной от ln (x) проводим исходя из общего
определения производной обобщенной функции:
(ln(x)', φ(x))= - (ln| x |, φ'(x) ) =
= lim ( φ(є) ln є – φ(-δ) ln δ) +


 ( x)dx

x



 ( x)dx
x
),
(3)
δ→ 0, є→ 0
где є > 0, δ > 0.
Поскольку функционал в левой части существует, то
конечное значение в правой части возможно только при δ = є. Отсюда
получаем выражение
(ln(x)', φ(x)) = lim
є→ 0
   ( x)dx   ( x)dx 

.


x 

  x
(4)
Выделяя
на
действительной оси
интегрирования (- R, R), где R > 0,
окончательное выражение
1
( P , φ(x)) =
x
симметричный
интервал
и переходя к пределу, получаем
(ln(x)', φ(x)) = lim
( ( x)   (0)) dx
.
x
R
R

(5)
R→∞
Используя формулу (5), для производной
1
1
(P ' , φ) = - ( P , φ') = - lim
x
x
P'
1
x
имеем:
( ( x)   (0)) dx
.
x
R
R

R→ ∞
Вводя функцию
частям получаем:
ψ(x) = φ(x) - x φ'(0) – φ(0), после интегрирования по
(P'
1
1
, φ) = - (P 2 , φ),
x
x
(6)
где
(P
1
, φ) = lim
x2
( ( x)   (0)  x (0)) dx
.
2
x
R
R

(7)
R→∞
Аналогичным образом продолжая процесс, приходим к окончательному
выражению для функционала производной порядка n ( n = 0, 1, 2, 3… ):
( P (n)
(P
1
1
, φ) = (-1)ⁿ n! (P n 1 , φ),
x
x
1
, φ(x)) = lim
xn

R ( ( x)   (0)  x (0)  ...... 

R
xn
(8)
x n 1 ( n1) (0)
)dx
(n  1)!
.
(9)
R→∞
Полученные выражения могут быть использованы в расчётах для
оценок производных функционала, а также для установления и проверки
различных соотношений между обобщёнными функциями в пространстве
S'.
Например, функционал (8) удовлетворяет в S' уравнению
xⁿ P
1
= 1,
xn
поскольку все производные от функции
n - 1 обращаются в ноль при x = 0.
Разложение функционала P
1
x
(10)
xⁿ φ(x)
порядка не выше
по ортонормальной системе функций
Эрмита
Ортонормальные функции Эрмита (волновые функции гармонического
осциллятора) принадлежат пространству S и могут быть представлены
в виде [5] :
 (2 K  1)! 

2 K 1

2
H 2 K 1 (x) = 
1
2
(1) M (2 x) 2 K  2 M 1
exp (- x 2 /2 ) .

M  0 M !( 2k  2 M  1)!
K
Для произвольной обобщенной функции ƒ из
S'
a n (ƒ) = (ƒ, H n )
(11)
числа
(12)
называются коэффициентами Фурье, а формальный ряд

a n (ƒ) H n (x)
(13)
называется рядом Фурье по ортонормальной системе функций Эрмита.
Для того, чтобы ƒ принадлежала S ', необходимо и достаточно, чтобы
её коэффициенты Фурье удовлетворяли условию: существуют числа
p ≥ 0 и C такие, что
| a n (ƒ) | ≤ C 1  n P , n = 0, 1, …
При этом ряд Фурье ƒ
слабой сходимости) [2].
единственен, сходится к ƒ
(14)
в S ' (в смысле
Как следует из формул (5), (12), при вычислении коэффициентов
Фурье
для функции
a2 K 1 (ƒ)
ƒ(x) = P
1
x
, только нечётные степени
будут обеспечивать ненулевой вклад в интеграл по действительной оси.
По этой причине в (11) приведены только нечётные функции Эрмита,
содержащие конечное число нечетных степеней
x. Опуская детали
интегрирования, приведём окончательный результат:

1
a2 K 1 ( P ) = (2K  1)! 
x
  (1)
1
2
K
M
M 0
2 K 2 M 1 (2K  2M  1)!!
, k = 0, 1, 2,…
M !(2K  2M  1)!
(15)
где для унификации удобно считать (-1)! = 1.
Отметим, что число слагаемых в сумме для a2 K 1 ограничено и не
превышает индекс
k.
Выражения (14), (15)
могут быть использованы для вычисления
коэффициентов Фурье по ортонормальной системе функций Эрмита
для других обобщенных
функций,
связанных
с
1
P , а также для
x
установления принадлежности этих обобщенных функций пространству
S'.
Функционал
Pf
1
| x |3
Введем для n = 3
1
Pf
| x |3
для n = 3 и его преобразование Фурье
(по аналогии [2] с n = 2 ) обобщенную функцию
из S', действующую по правилу
(Pf
1
, φ) =
| x |3
( ( x)   (0)) dx
+
| x |3
| X |1


| X | 1
 ( x)dx
| x |3
Непосредственной проверкой убеждаемся,
функция удовлетворяет уравнению
| x | 2 Pf
1
1
=
.
3
|x|
|x|
.
что
(16)
эта
обобщенная
(17)
Вычисляем преобразование Фурье от обобщенной функции
Pf
1
,
| x |3
где основная функция φ(x) принадлежит S:
(F(Pf
= 2π
1
dr
0 r
  ( )d
1
1
), φ) = (Pf
, F(φ)) =
3
|x|
| x |3
1

1
1
1
1
dr
 (exp( i |  | r )  1)d  + 2π  r   ( )d  exp( i |  | r )d =
=  ñ  4 ln |  | ( )d ,
(18)
где

c=
4 sin udu
+
1 u 2
4 (sin u  u )du
.
2
u
0
1

(19)
Таким образом, как следует из (18),
F(Pf
1
) = c - 4π ln |ξ | .
| x |3
(20)
Функция (20) не является неотрицательной. Таким образом исходная
обобщенная функция
Pf
1
| x |3
не является положительно определенной
обобщенной
функцией. Напомним, что согласно теореме БохнераШварца [2] для этого необходимо и достаточно, чтобы она являлась
преобразованием Фурье неотрицательной меры медленного роста.
Точно также
обобщенная функция
P
1
x
не является положительно
определенной обобщенной функцией, поскольку
известно [2], и является чисто мнимой функцией.
её
преобразование
Литература
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и
Функционального анализа. М., Наука, 1976.
2. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической
Физике. М., Наука, 1979.
3. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической
Физики. М., Физико-математическая Литература, 2001.
4. Выск Н.Д., Осипенко К.Ю. Оптимальное восстановление решения
волнового уравнения по неточным начальным данным. Математические Заметки, т. 81, вып. 6, 2007, с. 803 - 815.
4. Корн Г., Корн Г. Справочник по математике для научных
работников и инженеров. М., Наука, 1980.