Информатика - Иркутская государственная

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
ИРКУТСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
Экономический факультет
Кафедра «информатики и математического моделирования»
___________________________________________________
"МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ”
Программа курса, методические указания,
контрольные работы
для студентов заочного обучения
направлений подготовки
0808200 – Менеджмент
080100 - Экономика
Составитель: Федурина Н.И.
Иркутск -2011
Издательство ИрГСХА
2011
Приведены программа, методические указания по решению типовых задач, а также задания
на выполнение контрольной работы.
Методические указания предназначены для студентов заочной формы обучения направлений
подготовки «Менеджмент» и «Экономика».
Данные методические указания включают основное содержание учебного материала
дисциплины «Экономико-математические методы ».
Рецензент
проф. Орлова Т.Т
1. ПРОГРАММА КУРСА
Тема 1. Введение. Этапы
становления экономико-математического моделирования.
Особенности применения метода математического моделирования в экономике. Классификация
экономико-математических моделей. Этапы экономико-математического моделирования.
Тема 2. Балансовые модели. Балансовые модели замкнутых экономических систем. Модель
межотраслевого баланса. Коэффициенты прямых, косвенных и полных материальных затрат,
продуктивность системы. Анализ основных допущений модели. Сравнительный анализ систем цен по
условиям производства. Балансовые модели открытых экономических систем.
Тема 3. Моделирование сферы производства. Производственные функции и функции
производственных затрат. Производственные функции с взаимозаменяемыми ресурсами. Показатели
использования ресурсов. Типовые производственные функции. Производственные функции с
взаимодополняемыми ресурсами и функции производственных затрат. Оптимальные модели
потребления ресурсов. Общие свойства и характер ограничений. Принципы соизмерения затрат и
результатов.
Тема 4. Моделирование сферы потребления. Целевая функция потребления.
Соизмеримость и взаимозаменяемость потребительских благ. Математический анализ поведения
потребителей в условиях рынка. Функции потребительского спроса. Максимизация уровня
потребления при заданных функциях потребления.
Тема 5. Оптимизационные модели. Оптимальные модели потребления ресурсов. Общие
свойства и характер ограничений. Каноническая и двойственная задачи линейного
программирования. Модели линейного программирования в экономических системах. Принципы
соизмерения затрат и результатов. Свойства двойственных оценок и методика их использования.
Мера дефицитности ресурсов и продукции.
Тема 6. Распределительные модели. Постановка транспортной задачи по критерию
стоимости и ее математическая модель. Открытая и закрытая модели транспортной задачи. Способы
построения начального опорного решения. Теорема об оптимальности решений задачи, потенциалы
поставщиков и потребителей, оценки свободных клеток транспортной таблицы и их экономический
смысл. Алгоритм метода потенциалов.
Тема 7. Многошаговая оптимизация. Понятие о динамическом программировании.
Принцип
оптимальности
Беллмана.
Вычислительная
схема
метода
динамического
программирования. Динамические задачи оптимального распределения средств на расширение
производства и определения оптимальной стратегии замены оборудования.
Тема 8. Система массового обслуживания. Одноканальные и многоканальные СМО с
отказами и ожиданием. Основные характеристики СМО. Замкнутые СМО.
2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ
2.1. МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА
Задача. Пусть для трех отраслей экономики задаются коэффициенты прямых материальных
затрат и объемы конечной продукции:
конечная
отрасль коэффициенты прямых затрат продукция
(млн.руб.)
1
2
3
Yi
1
0,1
0,2
0,1
160
2
0,3
0,1
0,2
95
3
0,2
0,3
0,3
45
На основе исходных данных:
- проверить продуктивность матрицы коэффициентов прямых материальных затрат;
- рассчитать коэффициенты полных материальных затрат;
- найти объемы валовой продукции отраслей;
- построить схему межотраслевого материального баланса;
- проверить правильность составления баланса.
Решение. Схема межотраслевого баланса состоит из четырех основных частей. Заданная по
условию задачи конечная продукция отраслей находится во второй части схемы, которая
характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода.
Найдем суммы элементов столбцов матрицы А, составленной из коэффициентов прямых
материальных затрат так как суммы элементов столбцов строго меньше единицы, значит матрица
коэффициентов прямых материальных затрат продуктивна.


 0,1 0,2 0,1 




А   0,3 0,1 0,2 




 0,2 0,3 0,3 


3
a
i 1
i ,1
3
a
i 1
i ,2
3
a
i 1
i ,3
 0,1  0,3  0, 2  0, 6
 0, 2  0,1  0,3  0, 6
 0,1  0, 2  0,3  0, 6
Коэффициенты полных материальных затрат находятся с помощью матрицы S   E  A  ,
1
где Е – единичная матрица, А - матрица коэффициентов прямых материальных затрат.
 0,9 0, 2 0,1 


E  A   0,3 0,9 0, 2 
 0, 2 0,3 0, 7 


определитель E  A равен
Е  А  (0,9  0,9  0,7)  (( 0,2)  (0,2)  (0,2)) 
 (( 0,1)  (0,3)  (0,3))  (( 0,1)  0,9  (0,2)) 
 (0,9  (0,2)  (0,3))  (( 0,2)  (0,3)  0,7)  0,436
тогда матрица полных затрат равна
1
 E  A , где  E  A - матрица, составленная из алгебраических дополнений
EA
транспонированной матрицы Е  А .
 1,31 0,39 0,3 


S   0,57 1, 40 0, 48 
 0, 62 0, 71 1, 72 


S
Объем валовой продукции отраслей находится по формуле X=S*Y, где
 1,31 0,39 0,3  160   259, 63 

 
 

X   0,57 1, 40 0, 48    95    246,33 
 0, 62 0, 71 1, 72   45   244, 04 

 
 

объем валовой продукции первой отрасли 259,63 млн.руб.;
объем валовой продукции второй отрасли 246,33 млн.руб.;
объем валовой продукции третьей отрасли 244,04 млн.руб.
Валовая продукция не входит ни в одну из частей межотраслевого баланса.
Значения
межотраслевых потоков выражаются произведением соответствующих
коэффициентов прямых затрат на полученные значения валовых выпусков xij  aij  X j :
x11  a11  X1  0,1 259,63  25,96; х21  77,89 ; х 31  51,93 ;
x12  a12  X 2  0,2  246,33  49,27; х22  24,63 ; х32  73,89 ;
x13  a13  X 3  0,1 244,04  24,40; х 23  48,01 ; х 33  73,21 .
Межотраслевые потоки образуют первую часть межотраслевого баланса. Так, например,
величина x12  49,27 показывает стоимость средств производства, произведенных в первой отрасли
и потребленных в качестве материальных затрат второй отраслью.
Строим схему межотраслевого баланса производства и распределения продукции (млн.руб.):
Условно чистая продукция находится так z j  X j 
xij .

i
Для первой отрасли z1  X1   xi1  259,63  (25,96  77,89  51,93)  103,85 ;
i
для второй отрасли z2  246,33  (49,27  24,63  73,89)  98,54 ;
для третьей отрасли z3  244,04  (24,40  48,01  73,21)  98,42 .
Условно-чистая продукция находится в третьей части схемы межотраслевого баланса.
Данные этой части необходимы для анализа соотношений между вновь созданной и перенесённой
стоимостью, между величиной необходимого и прибавочного продукта в целом по материальному
производству и в отраслевом разрезе.
Сделав анализ условночистой продукции, можно
сделать вывод, что у всех трех
отраслей она недостаточна для
решения стратегических задач.
Проверяем
правильность
составления
баланса
с
помощью
соотношения:
Zi  Yi ,


i
i
Произв.
1
2
3
Конечная
продукция Yi
Валовая
продукция Xi
25,96
77,89
51,93
49,27
24,63
73,89
24,40
48,01
73,21
160
95
45
259,63
246,33
244,04
300
-
Потреб.
1
2
3
Условно
чистый
продукт
Zi
Валовая
продукция
Xi
103,85
98,54
98,42
300,81=300, так как разница
между величинами в пределах
10% - баланс составлен верно.
259,63 246,33 244,04
750
Данное
соотношение
показывает конечное распределение и использование национального дохода, которое представлено в четвертой части схемы.
Данные этой части важны для отражения в модели баланса доходов и расходов населения,
источников финансирования капитальных вложений, текущих затрат непроизводственной сферы, для
анализа общей структуры конечных доходов по группам потребителей.
Таким образом, в общей схеме межотраслевого баланса общественного продукта независимо
друг от друга совмещаются два частных баланса - материальный (первая и вторая части) и баланс
затрат (первая и третья части).
2.2. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ.
Задача 1. Пусть дана производственная функция:
y = -2x²+3x+2,
где у – выпуск продукции,
х – ресурс, используемый в производстве.
Определить:
- объём выпускаемой продукции, который формируется за счет прочих факторов;
- границы ресурса, в пределах которых изменяется объём продукции;
- среднюю и предельную производительность ресурса, эластичность ресурса;
- построить модель прибыли, если цена продукта Ру=5, а цена ресурса Рх=2, постоянные
издержки m=7.
Решение. Объём выпускаемой продукции, который формируется за счет прочих факторов, то
есть кроме затраченного ресурса (х=0) равен у=2, то есть это та часть объёма выпускаемой
продукции, которая формируется за счет прочих факторов.
Определим границы ресурса, в пределах которых изменяется объём продукции. Для этого
решим уравнение:
-2x²+3x+2=0
Получили, что х1 =- 0,5; х 2 = 2.
Зона [-0,5;0] не учитывается в исследовании, так как ресурс х не может быть меньше 0.
А вот граница от 0 до 2 – это та самая зона, в пределах которой ресурс х может
использоваться.
Теперь определим среднюю производительность:

у - 2x²  3x  2
2

 2 х  3 
х
х
х
Предельная производительность:
v=
у
 -4х+3, приравниваем частную производную к v=0, тогда х=0,75 – количество ресурса,
х
при котором у достигает своего максимума у=3,125
Найдем вторую производную: d²х=-4<0, следовательно, предельная эффективность ресурса
уменьшается с каждой дополнительной единицей. А в точке (0,75; 3,125) будет достигаться
максимум, при этом предельная эффективность v=0, то есть ресурс отдает себя полностью для
формирования максимального объёма производства.
Проверим, например, при х=1, тогда у=3, то есть даже если ресурс будет перерасходоваться,
объём производства будет уменьшаться.
Найдем эластичность:

v


 4х  3
 2х  3 
2
х
 1
2х 2  2
.
 2 х 2  3х  2
Выпуск по ресурсу эластичен, так как Е<1 при х>0. это означает, что процентное изменение
количества выпускаемой продукции меньше, чем затрат живого труда.
Пусть предприятию необходимо знать какой объем прибыли она может иметь, если цена
продукта Ру=5, а цена ресурса Рх=2.
Издержки производства состоят из постоянной и переменной частей. Постоянная часть m=7, а
переменные издержки определяются затратами ресурсов.
Построим модель прибыли (П):
П=Ру*у-(m+Рх*х)=5(-2x²+3x+2)-(7+2*х)= -10х²+13х+3.
Для получения величины максимальной прибыли, строим первую производную:
dП
=-20x+13=0, х=0,65 (локальный максимум).
dx
Полученное значение подставляем в модель прибыли и получаем П=7,225
Таким образом, получили максимальную прибыль П=7,225 при затраченных ресурсах равных
0,65, при этом будет выпускаться 3,105 единиц.
Проверим условие Рх ≥ а1 *Ру, где а1 =3. Условие не выполняется, поэтому затрачивать
переменные ресурсы не целесообразно, так как это ведет к уменьшению прибыли.
Задача 2. Пусть предприятие, выпускающие хлебобулочные изделия использует два вида
ресурсов х1 (мука) и х 2 (дрожжи). И производственная функция будет иметь вид: у=6 х1 ²+ х 2 ².
Цена за единицу продукта Ру =16, цена муки Р1 =10, цена дрожжей Р2 =6.
Определить:
- оптимальный размер прибыли;
- объем хлебобулочных изделий при заданной общей сумме затрат.
Решение. Построим модель прибыли (П):
П=Ру*у- Р1 * х1 - Р2 * х 2
П=16*(6 х1 ²+ х 2 ²)-(10 х1 +6 х 2 )=96 х1 ²+16 х 2 ²-10 х1 -6 х 2
Найдем частные производные:
П
 192 х1  10  0,
х1
х1  0,052
,
П
 32 х 2  6  0,
х 2  0,188 .
х 2
Тогда прибыль будет равна:
100
36
10
6
П=96*
 16 *
 10 *
 6 * = - 0,83<0.
36864
1024
192
32
Следовательно, вместо прибыли имеем убыток, то есть точка имеет локальный минимум, а не
максимум.
Найдем объем хлебобулочных изделий при заданной общей сумме затрат: С = Р1 * х1 + Р2 * х 2
С = 10 х1 +6 х 2
Выразим х 2 =
у=6 х1 ²+8* (
с  10 х1
и подставим в производственную функцию
6
с  10 х1
) ², дифференцируем по переменной х1
6
dy 508 x1  40c
=0, тогда х1 = 40с ,

dx1
9
508
х 2 =18с,
1600 * с * с
 324 * с * с
258064
Значения х1 и х 2 дают физическую величину затрат ресурсов, максимизирующих объём
производства при заданных ценах и общей сумме затрат. Или при заданных затратах мы можем
найти объём выпускаемой продукции.
у= 6 *
2.3. МОДЕЛЬ ПОВЕДЕНИЯ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ.
Задача. Пусть функция полезности потребителей на множестве двух товаров выражается
целевой функцией полезности вида:
U = у1  у 2 . Цена первого товара Р1 = 43, второго Р2 = 59,
уровень дохода D = 1200.
Найти численное значение функции полезности.
Решение. Функция полезности это отношение между объёмами потребляемых товаров и
уровнем удовлетворённости потребителя.
Строим бюджетное ограничение, которое указывает, что
доход потребителя должен быть равен расходам по приобретению товаров
p1 y1  p2 y2  D ,
подставляем значения, заданные по условию задачи 43 y1  59 y2  1200 .
Рассчитаем предельные полезности: u i 
u (Y )
, которые показывают прирост полезности
y i
при потреблении дополнительной единицы товара.
Для первого товара (i=1) u1 = у 2 ,
для второго (i=2)
u2 = у1 .
Необходимое условие оптимальности вектора У представляется условием Куна-Таккера:

u1
p1

u2
,
p2
y1
y
 2 , решим данное уравнение вместе с
438 593
бюджетным ограничением. Получим систему линейных уравнений:
y1 y2
 43 y1  59 y2  1200 .

43 59
получим у1 = 9,69, у 2 = 13,28 – оптимальные размеры покупок двух товаров при заданном уровне
дохода.
Находим численное значение функции полезности
U = у1  у 2 = 9,69*13,28 = 118,99.
Определить сколько следует выделить средств на приобретение первого ресурса, сколько на
приобретение второго. Таким образом. для покупки первого товара следует выделить у1 * Р1 =
подставляем все известные данные и получаем
9,69*43 = 416,67, второго товара
у 2 * Р2 = 13,28*59 = 783,52.
Таким образом, найдены оптимальные размеры двух видов товаров, при покупке которых
потребитель получит максимальную полезность и удовлетворение.
2.3. МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ
СИСТЕМАХ.
Задача. Фабрика имеет в своем распоряжении определенное количество ресурсов: рабочую
силу, деньги, сырье, оборудование, производственные площади и т. п. Допустим, например, ресурсы
трех видов рабочая сила, сырье и оборудование имеются в количестве соответственно 80(чел/дней),
480(кг), 130(станко/часов). Фабрика может выпускать ковры четырех видов. Информация о
количестве единиц каждого ресурса необходимых для производства одного ковра каждого вида и
доходах, получаемых предприятием от единицы каждого вида товаров, приведена в таблице 4.1.
Таблица 4.1.
Ресурсы
Нормы расхода ресурсов на
единицу изготовления ковра
А
В
С
D
Наличие
ресурсов
Труд
7
2
2
6
80
Сырье
Оборудование
Цена
(тыс.руб.)
5
2
3
8
4
4
4
1
3
3
8
1
480
130
Требуется найти такой план выпуска продукции, при котором общая стоимость продукции
будет максимальная.
Решение. Сформулируем экономико - математическую модель задачи. Введем переменные:
Х1, Х2, Х3, Х4 - количество ковров каждого типа.
Таким образом, план выпуска продукции представляется в виде вектора Х=( Х1, Х2, Х3, Х4),
который должен удовлетворять следующим условиям:
1. хi  0,
i  1,3 ;
2. Ограничения по ресурсам
Труд:
7Х1 +2Х2 +2Х3 +6Х4  80;
Сырье:
5Х1 +8Х2 +4Х3 +3Х4  480;
Оборудование: 2Х1 +4Х2 +Х3 +8Х4  130;
3. Целевая функция - это выражение, которое необходимо максимизировать f(x) = 3Х1 +4Х2 +3Х3
+Х4  max .
Решение модели получено средствами Excel 2003 (алгоритм представлен в приложении):
Таблица 4.2.
Х1
Х2
Х3
Х4
Значение
0
30
10
0
f(x)
3*0+4*30+3*10+1*0 = 150
Полученное решение - максимальный доход 150 тыс. руб. фабрика может получить при
выпуске 30 ковров второго вида и 10 ковров третьего вида. При этом ресурсы труд и оборудование
будут использованы полностью, а ресурс сырье из 480кг будет использовано только 280кг.
Проведем анализ полученного оптимального решения исходной задачи с помощью отчета –
Устойчивость решения (отчет получен также с помощью средств Excel 2003):
Таблица 4.3.
Имя
Значение
Нормир.
Целевой Допустимое Допустимое
стоимость
коэф-т
увеличение уменьшение
Х1
0
-7
3
7
1Е+30
Х2
30
0
4
8
1
Х3
10
0
3
1
1,75
Х4
0
-9,666
1
9,666
1Е+30
ОграЗначение
Теневая
Правая
Допустимое Допустимое
ние
цена
часть
увеличение уменьшение
Труд
80
1,333
80
150
15
Сырье
280
0
480
1Е+30
200
Обор.
130
0,333
130
30
90
Ресурсы труд и оборудование имеют отличные от нуля теневые оценки 1,3 и 0,3 – эти ресурсы
полностью используются в оптимальном плане, являются дефицитными. Правые части этих
ограничений равны левым частям.
7Х1 +2Х2 +2Х3 +6Х4  80
2Х1 +4Х2 +Х3 +8Х4  130
70 +230 +210 +60=80=80
20 +430 +110 +80=130=130
Ресурс сырье используется не полностью (280480), поэтому имеет нулевую теневую цену
(Y2=0):
5Х1 +8Х2 +4Х3 +3Х4  480
50 +830 +410 +30=280<480
этот ресурс не влияет на план выпуска продукции.
Если изделие вошло в оптимальный план (Xi >0), то в нормируемых стоимостях оно не
убыточно, то есть, стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы изделия равна его
цене.
Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия больше его цены, то
это изделие не войдет в оптимальный план из-за его убыточности. В нашей задаче в план выпуска не
вошли ковры первого и четвертого видов, потому что затраты по ним превышают цену на 7 (10-3)
тыс. руб. и 9.666 (10.666-1) тыс. руб. соответственно.
Предположим, что запас сырья ресурса «труд» изменился на 12 единиц и теперь он
составляет 80 + 12 = 92 единиц. Увеличение запасов ресурса «труд» приведет к увеличению значения
целевой функции на 16 тыс. руб.(f(x)= фактическое изменение ресурса на значение теневой цены =
12*1,333=16).
2.5. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА.
Задача. В трех хранилищах A1 , A2 , A3 имеется соответственно 70, 90, и 50 т топлива.
Требуется спланировать перевозку топлива четырем потребителям B1 , B2 , B3 , B4 , спрос
16
которых равен соответственно 50,70,40 и 40т так, чтобы затраты на транспортировку были
минимальными. Стоимость перевозки 1т (в усл. ден. ед.) указана в таблице 5.1.
Таблица 5.1.
Хранилища
Потребители
Запас
топлива, т
В1
В2
В3
В4
А1
5
4
3
6
70
А2
4
3
5
1
90
А3
2
4
1
5
50
Потребность в
топливе, т
50
80
40
40
210
Решение. Прежде, чем решать транспортную задачу необходимо проверить условие баланса
3
4
i 1
j 1
 ai   b j  210 . Поскольку запасы топлива в хранилищах равны спросу потребителей, имеем
задачу закрытого типа.
Первым этапом решения является нахождение начального опорного плана методом
«минимального элемента». Груз распределяется, начиная с загрузки клетки с минимальным
значением тарифа. При этом в клетку записывается максимально возможное значение поставки.
Затем из рассмотрения исключают строку, соответствующую поставщику, запасы которого
полностью израсходованы, или столбец, соответствующий потребителю, спрос которого полностью
удовлетворен. После этого из оставшихся клеток таблицы снова выбирают клетку с наименьшим
тарифом. Процесс распределения заканчивается, когда все запасы поставщиков исчерпаны, а спрос
потребителей полностью удовлетворен.
Итак, в распределительной таблице записан исходный опорный план ( таблица 5.2.):
Таблица 5.2.
Хранилища
В1
А1
5
40
А2
4
А3
Потребность в
топливе, т
2
10
50
Потребители
В2
В3
В4
4
3
6
30
3
50
4
80
5
Запас
топлива, т
70
1
90
5
50
40
1
40
40
40
210
40 30 0 0 


или х 0  0 50 0 40 .


10 0 40 0 
Начальный опорный план, найденный методом «минимального элемента» имеет количество
занятых клеток ровно m+n-1=6, поэтому становится допустимым.
Минимальные транспортные издержки для этого плана:
0
С x  5  40  4  30  3  50  1 40  2 10  1 40  570 (усл.ед.)
Вторым этапом решения является проверка на оптимальность допустимого плана методом
потенциалов:
каждому поставщику поставим в соответствие потенциал ui i  1, m , а каждому
 




потребителю потенциал v j j  1, n .
Для каждой занятой клетки будет соответствовать уравнение:


v j  j  1, n - потенциалы потребителей.
ui  v j  cij ,
где ui i  1, m - потенциалы поставщиков;
Потенциалы строк и столбцов для начального опорного плана, найденного методом
«минимального элемента» найдем из решения системы:
u1  v1  5;
u  v  4;
2
 1
u 2  v 2  3;

u 2  v 4  1;
u 3  v1  2;

u 3  v3  1.
Система линейно-зависимая, для нахождения одного из решений придадим одному из
потенциалов числовое значение (лучше 0), например u1  0 , тогда
v1  5, v 2  4, u 2  1, v 4  2, u 3  3, v3  4.
Для исследования плана на оптимальность для каждой свободной клетки считаем оценки:
sij  cij  ui  v j ;


s13  3  (0  4)  1;
s14  6  (0  2)  4;
s21  4  (1  5)  0;
s23  5  (1  4)  2;
s32  4  (3  4)  3;
s34  5  (3  2)  6.
 0 , то найденный план не оптимален. Его можно улучшить с помощью
Так как оценка s13
цикла пересчета.
Составим цикл пересчета относительно клетки ( A1 B3 ) (таблица 5.3).
А1 В1  

А1 В3  

А3 В1 ( )


А3 В3 ()
Таблица 5.3.
Хранилища
Потребители
В2
В3
В4
В1
А1
5
40 -
4
20
3
+
6
Запас
топлива, т
70
u1  0
А2
4
3
5
50
А3
Потребность
в топливе, т
2
10 +
50
v1  5
1
90
u 2  1
5
50
u 3  3
40
4
1
70
40 40
v2  4
v3  3
40
210
v4  2
Из клеток, помеченных «-» выбираем наименьшее количество груза (40) и будем его
прибавлять к клеткам, помеченным «+» и вычитать из клеток, помеченных « - », получим следующий
план перевозок (таблица 5.4).
Таблица 5.4.
Хранилища
Потребители
Запас
топлиВ1
В2
В3
В4
ва, т
А1
5
4
3
6
70
u1  0
0
20
40
А2
4
3
5
50
А3
Потребность в
топливе, т
2
1
90
u 2  1
5
50
u 3  3
40
4
1
50
50
70
40
40
v1  5
v2  4
v3  3
v4  2
210
Полученный опорный план является вырожденным, т.к. число заполненных клеток равно
5<m+n-1=6. Для преодоления
вырожденности плана, поставим ноль в любую пустую клетку, например в клетку ( A1 B1 ). Проверим
его на оптимальность, для этого найдем потенциалы строк и столбцов из решения системы:
u1  v1  5

u1  v 2  4
u1  v 3  3

u 2  v 2  3
u  v  1
4
 2
u 3  v1  2.
Пусть u1  0 , тогда v1  5, v2  4, v3  3, v5  0, u2  1, v4  2, u3  3.
Определим оценки свободных клеток:
s14  6  (0  2)  4;
s 21  4  (1  5)  0;
s 23  5  (1  3)  3;
s32  4  ( 3  4 )  3;
s33  1  ( 3  3 )  1;
s 34  5  (3  2)  6.
Так как все оценки неотрицательны, то найденный опорный план является оптимальным.
 0 20 40 10
x*   0 50 0 0 


50 0 0 0 
Минимальные транспортные издержки для этого плана:
Сx *  4  20  3  40  3  50  40  2  50  490 (усл. ед.).
Итак, по оптимальному плану, необходимо:
- из хранилища А1 потребителю В2 доставить 20т, потребителю B3 – 40 т топлива;
- из хранилища А2 потребителю В2 доставить 50 т топлива, а потребителю В4 - 40 т топлива;
- из хранилища А3 доставить 50 т топлива потребителю В1.
При этом затраты на транспортировку будут минимальными и составят 490 усл. ден. ед.
2.6. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.
Задача. Для увеличения объемов выпуска пользующейся повышенным спросом продукции
трем предприятиям выделены капиталовложения в размере 700 млн. руб. Каждому из предприятий
может быть выделено капиталовложений: 0, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700 млн. руб. При этом
прирост выпуска продукции каждым из предприятий f j   X  j  1,3 в зависимости от


капиталовложений дается таблицей 6.1.
Таблица 6.1.
Объем
кап.вложений
X (млн. руб.)
Прирост выпуска продукции
f j X 
(млн. руб.), в зависимости от объема
капиталовложений
1
2
3
30
50
40
50
80
50
90
90
110
110
150
120
170
190
180
180
210
220
210
220
240
100
200
300
400
500
600
700
Найти распределение капиталовложений
максимальное увеличение выпуска продукции.
Решение.
n
Задача
состоит
в
предприятиями,
обеспечивающее
определении
наибольшего
значения
при
условии,
 
F   f j X j  f1  X 1   f 2  X 2   f 3  X 3 
j 1
между
функции
что
X 1  X 2  X 3  700 , X j  0  j  1,2,3 . Рекуррентное соотношение Беллмана в нашем случае
приводит к следующим функциональным уравнениям:
F1  X   max  f1  X 1 ;
0 X1  X
F2  X   max
 f 2  X 2   F1  X  X 2 ;
F3  X   max
 f 3  X 3   F2  X  X 3 .
0 X 2  X
0 X 3  X
где
F1  X 
- максимальный прирост выпуска продукции при выделении X млн. рублей 1
предприятию; F2  X  - максимальный выпуск продукции при распределении X млн. рублей между
первым и вторым предприятиями;
F3  X   F 700  - максимальный прирост при выделении всем трем предприятиям X  700 млн.
рублей.
Находим F1  X  :
 
При X  100 , F1 100  max  f1 0, f1 100  max 0; 30  30.
При X  200 ,


F1 200  max  f1 0, f1 100, f1 200  max 0;30; 50  50.
При X  300 ,
F1 300   max f1 0, f1 100 , f1 200 , f1 300  
 max0;30;50;90  90.
При X  400 ,
F1 400   max f1 0 , f1 100 , f1 200 , f1 300 , f1 400  
 max0;30;50;90;110  110 .
При X  500 ,
F1 500   max f1 0 , f1 100 , f1 200 , f1 300 , f1 400 , f1 500   23
 max0;30;50;90;110 ;170  170 .
При X  600 ,
F1 600   max f1 0, f1 100 , f1 200 , f1 300 , f1 400 , f1 500 , f1 600   При
 max0;30;50;90;110;170;180  180.
X  700 ,
F1 700  max  f1 0, f1 100, f1 200, f1 300, f1 400, f1 500, f1 600, f1 700 


 max 0;30;50;90;110;170;180; 210  210.
Результаты вычислений записываются в таблице 6.2.
Таблица 6.2.
Объем кап.
вложений X,
выделяемых
1предприятию
(млн. руб.)
100
200
300
400
500
600
700
Максимальный
прирост F1  X 
(млн. руб.)
30
50
90
110
170
180
210
Условно оптимальный
объем кап. вложений X 10 ,
выделяемых 1 предприятию
(млн. руб.)
100
200
300
400
500
600
700
Определим условно оптимальные объемы капиталовложений, выделенных второму
предприятию
При X  100 , возможны только две комбинации вложения средств. Если в первое предприятие
вложены все 100 млн.руб., то во второе предприятие ничего не вкладывается. Наоборот, если в
первое предприятие ничего не вкладывалось, то все средства 100 млн.руб. вкладываются во второе
предприятие.
0;30 
 f 0   F1 100  0 

max  2
  max 
  50.
0  X 2 100  f 2 100   F1 100  100  0  X 2 100 50  0
24
Обе комбинации дают определенные приросты выпуска продукции 30 и 50 млн.руб. Наибольший
прирост 50 млн.руб., который соответствует второй комбинации.
При X  200 число комбинаций возрастает до трех. Если в первое предприятие вложить все
средства 200 млн.руб., то во второе предприятие вкладываться ничего не будет. Можно вложить в два
предприятия средства поровну по 100 млн.руб. наконец, можно вложить все средства во второе
предприятия, так как в первое предприятие ничего не было вложено.
0  50 
 f 2 0  F1 200  0 




F2 200   max  f 2 100   F1 200  100    max 50  30   80. В данном случае выбираем
0  X 2  200
 f 200   F 200  200  0  X 2  200 80  0 
1
 2



вторую и третью комбинации, так как обе имеет прирост продукции – 80.
F2 100  
При X  300 возможны уже четыре комбинации
0  90 
 f 2 0   F1 300  0  
50  50 
 f 100   F 300  100  
Имеем третью комбинацию, при




1
F2 300   max  2

max


  110 .
0  X 2  300 f 2 200   F1 300  200 

 0  X 2  300 80  30 


 f 2 300   F1 300  300 

90  0 

которой в первое предприятие вложено 100 млн.руб., а во второе – 200 млн.руб. Прирост продукции
данной комбинации составляет 110 млн.руб.
При X  400 ,
0  110 
 f 2 0  F1 400  0 


 f 100   F 400  100  
50  90 
2
1







F2 400   max  f 2 200   F1 400  200   max 80  50   150 .
0 X 2  400
0 X 2 400
 f 300   F 400  300 
90  30 
1
 2





 f 2 400   F1 400  400 

150  0 

Среди пяти возможных комбинации выбирается последняя, при
которой все средства вложены во второе предприятие, а в первое предприятие ничего не
вкладывается.
При X  500 ,
 f 2 0  
 f 100  
 2
 f 200  
F2 500   max  2
0  X 2  500 f 2 300  

 f 2 400  

 f 2 500  
F1 500  0  
0  170 
50  110 

F1 500  100 



При распределение 500

F1 500  200 
80  90 


max

190
.



F1 500  300  0  X 2  500 90  50 
150  30 
F1 500  400 



190  0 

F1 500  500 

млн.руб. необходимо выбрать шестую комбинацию, так она приносит наибольший прирост
продукции равный 190 млн.руб. Все средства должны быть вложены во второе предприятие.
При X  600 ,
0  180 
 f 2 0   F1 600  0  
50  170 
 f 100   F 600  100  
1


 2

В данном случае выбираются
80  110 
 f 2 200   F1 600  200 




F2 500   max  f 2 300   F1 600  300   max 90  90   220 .
0  X 2  600
 f 400   F 600  400  0  X 2  600 150  50 
1
 2



 f 2 500   F1 600  500 
190  30 
 f 600   F 600  600 


 2

1
210  0 
вторая и шестая комбинации, у которых одинаковое количество наибольшего прироста выпуска
продукции – 220 млн.руб. По одной комбинации в первое предприятие необходимо вложить 500
млн.руб., а во второе – 100 млн.руб. А по другое комбинации наоборот в первое – 500 млн.руб., а во
второе – 100 млн.руб.
При X  700 ,
 f 2 0  
 f 100  
 2
 f 2 200  

 f 300  
F2 700   max  2
0  X 2  700 f 2 400  

 f 2 500  

 f 2 600  
 f 700  
 2
F1 700  0  
0  210 
50  180 

F1 700  100 



80  170 
F1 700  200 



F1 700  300 
90  110 
  max 
  250 .
F1 700  400  0  X 2  700 150  90 
190  50 
F1 700  500 



F1 700  600 
210  30 
220  0 
F1 700  700 



При распределении 700 млн.руб выбирается третья комбинации, при которой 500 млн.руб.
вкладываются в первое предприятие, а 200 млн.руб. во второе предприятие. Данная комбинации
принесет наибольший прирост выпуска продукции равной 250 млн.руб.
Полученные результаты записываем в таблицу 6.3.
Таблица 6.3.
Объем кап.
вложений X,
выделенных двум
предприятиям
(млн. руб.)
Максимальный прирост
F2  X  выпуска продукции
первым и вторым
предприятиями вместе
(млн. руб.)
100
200
300
400
500
600
700
50
80
110
150
190
220
250
Условно
оптимальный объем
капиталовложений
X 20 , выделяемых 2
предприятию
(млн. руб.)
100
100,200
200
400
500
100,500
200
Пусть теперь рассматриваются одновременно три предприятий, тогда им будет выделяться
весь объем капиталовложений, то есть X=700.
 f 3 0   F2 700  0  
 0  250 
 f 100   F 700  100 
 40  220 
2
 3




 50  190 
f 3 200   F2 500  
.








f
300

F
400
110

150




3
2
F3 700   max
  max
  270




f
400

F
300
120

110
3
2





 180  80 
f 3 500   F2 200  




f 3 600   F2 100  

 220  50 


 240  0 
f 3 700   F2 0 




По седьмой комбинации получен максимальный прирост выпуска продукции, который
составляет 270 млн. руб. при этом третьему предприятию будет выделено 600 млн.руб. Остальные
100 млн.руб. распределяются между первым и вторым предприятиями.
Тогда таблице 6.3. находим
при
X 20  100 , следовательно
max F2 100   50
X 10  100  X 20  100  100  0 .
Итак, максимальный прирост выпуска продукции можно ожидать, выделив третьему
предприятию 600 млн. руб., второму 100 млн. руб., а первому предприятию дополнительных
капиталовложений не выделять.
2.7. МОДЕЛИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.
Задача 1. Построить граф состояний и найти с помощью уравнений Колмогорова предельные
вероятности состояний системы. Интенсивности потоков событий, переводящих систему из одного в
другое состояние, заданы матрицей λ (Таблица 7.1.), в которой замена числа – говорит об отсутствии
соответствующего потока событий):
28
Таблица 7.1.
Состояния
S1
S2
S3
S4
S1
S2
S3
-
2
3
-
-
-
-
1
4
3
-
-
S4
-
-
2
-
Решение. Система может находиться в одном из четырех состояний. Размеченный граф
состояний представлен на рисунке:
3
S1
2
4
S3
3
S2
1
S4
2
Предельные вероятности состояний системы численно равны среднему времени пребывания
системы в этих состояниях.
В соответствии с общими правилами запишем уравнения Колмогорова для вероятностей
состояний, составляемых в соответствии со следующим правилом: производная вероятности каждого
состояния равна сумме всех потоков вероятностей, идущих из данного состояния в другие:
 dp 0
 dt  0 p 0  1 p1 ,

 dp1   p   p   p   p ,

0 0
1 1
1 1
2 2
 dt
....................................................,

 dp n   p   p .
n 1 n 1
n n
 dt
Уравнение Колмогорова позволяет найти значения
предельных вероятностей состояний системы массового обслуживания, работающей в стационарном
режиме. Для всех состояний системы составим уравнения Колмогорова:
2  3 р1  4 р3
S1 : 12  13  р1   31 р 3
S 2 :  24 р 2  12 р1   32 р 3
S 3 : 31  32  р 3  13 р1   43 р 4
S 4 :  43 р 4   24 р 2
1 р 2  2 р1  3 р 3
4  3 р3  3 р1  2 р 4
Используя дополнительное
2 р 4  1 р1
условие р1  р 2  р3  р 4  1 , получаем численные значения предельных вероятностей состояний
8
46
10
23
СМО:
р1 
,
р2 
,
р3 
,
р4 
.
87
87
87
87
Задача 2. Найти вероятность отказа в обслуживании и среднее число занятых мастеров
станции техобслуживания, если на ней работает 2 мастера, в среднем в сутки поступает 8 заявок, а
среднее время обслуживания одной заявки одним мастером составляет 12 часов.
Решение. При такой постановке задачи система может находиться в одном их трех состояний:
где
S k  состояние станции техобслуживания, при котором занято к мастеров
λ
λ
S1
S0
μ
S2
2μ
Поток заявок имеет постоянную интенсивность λ=8 машин в сутки. Среднее время
обслуживания одной машины одним мастером составляет t =0,5 суток. Следовательно интенсивность
потока обслуживания   1  1  2 машины в сутки.
t 0,5
Предельные вероятности состояний находим:
1
1


к 
2
к
р0  1     1     ,
рк 
р0 ,
к  1,2.
к! 
2! 
к!


Где     8  4 - приведенная интенсивность потока заявок (нагрузка канала).
 2
1
4
8
Следовательно: р0  ,
р1  ,
р3  .
13
13
13
8
Вероятность отказа системы: ротк  р2 
 0,615. Таким образом, в 61,5% случаев из 100
13
оба мастера будут заняты.
Относительная пропускная способность системы: q  1  ротк  1  0,615  0,385. Система
способна обслуживать в среднем 38,5% поступающих заявок.
Абсолютная пропускная способность системы составляет: А   (1  ротк )  q  3,08 машины
в сутки обслуживаются мастерами станции.
А 3,08
Среднее число занятых каналов: к  
 1,54.

2
Таким образом, при заданных условиях показатели эффективности неудовлетворительны, так
как работники обслуживают около 40% заявок и при этом два работника постоянно заняты. Для
увеличения эффективности системы возможным является взять дополнительно еще одного
работника.
3. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
3.1. МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА.
На основании заданных коэффициентов прямых материальных затрат и объемов конечной
продукции для трех отраслей требуется:
- проверить продуктивность матрицы коэффициентов прямых материальных затрат;
- рассчитать коэффициенты полных материальных затрат;
- найти объемы валовой продукции отраслей;
- построить схему межотраслевого материального баланса;
- проверить правильность составления баланса.
Вариант 0.
отрасль
коэффициенты
прямых затрат
1
2
3
1
0
0,1
0,5
1
2
3
1
0,2
0
0,1
1
2
3
1
0,2
0,1
0,2
1
2
3
1
0,3
0,1
0,2
1
2
3
1
0
0,3
0,5
1
2
3
1
0,1
0,4
0
1
2
3
1
0,2
0
0,1
1
2
3
1
0,3
0,2
0
1
2
3
1
0,1
0,5
0
1
2
3
0,1
0,1
0,3
0,1
0
0,5
Вариант 1.
2
3
0,2
0
0,4
0,4
0,2
0,1
Вариант 2.
2
3
0
0,3
0,1
0,1
0,6
0
Вариант 3.
2
3
0
0,2
0,1
0,1
0,6
0
Вариант 4.
2
3
0,1
0,1
0,2
0,1
0
0,5
Вариант 5.
2
3
0,2
0
0
0,6
0,2
0,1
Вариант 6.
2
3
0,2
0
0,2
0,7
0,2
0,1
Вариант 7.
2
3
0,4
0,1
0,2
0
0,1
0,6
Вариант 8.
2
3
0,2
0
0
0,5
0,2
0,1
Вариант 9.
2
3
конечная
продукция
(млн.руб.)
Yi
50
75
100
Yi
120
90
30
Yi
160
100
50
Yi
58
105
23
Yi
106
45
100
Yi
100
30
60
Yi
39
45
78
Yi
28
37
90
Yi
40
86
21
Yi
1
2
3
0,2
0,2
0
0,4
0,2
0,1
0,2
0
0,6
160
95
45
3.2. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ.
Задача 1. Пусть задана производственная функция:
Определить границы ресурса, в пределах которых изменяется объём продукции, среднею и
предельную эффективность ресурса, коэффициент эластичности.
Вариант
0
1
2
3
4
Производственная
функция
y = -4x²+6x+2
y = -2x²+x+3
y = -3x²+3x+4
y = -x²+x+4
y = -4x²+5x+5
Вариант
5
6
7
8
9
Задача 2. Пусть выпуск продукции у и два вида ресурса х1
функцией вида:
Вариант
Производственная
функция
y = -4x²+x+3
y = -2x²+6x+1
y = -x²+2x+2
y = -3x²+x+5
y = -4x²+4x+1
х 2 связаны производственной
и
Ру
Р1
Р2
0
Производственная
функция
у =6 х1 ²+6 х 2 ²
10
5
6
1
у =7 х1 + х 2 ²
12
6
7
2
у = х1 ²+3 х 2 ²+5
15
8
6
3
у =6 х1 ²+ х 2
8
4
4
4
у =3 х1 ²+3 х 2 ²
10
6
6
5
у =2 х1 + х 2 ²
6
4
1
6
у = х1 ²+2 х 2
12
7
5
7
у =6 х1 ²+3 х 2 ²+2
9
3
4
8
у = х1 ²+3 х 2 ²+1
8
5
4
9
у =5 х1 ²+ х 2
12
6
7
Известны цены единицы каждого вида ресурса Р1 , Р2 и единицы готовой продукции - Р у .
Определить значение максимальной прибыли и максимум продукции при заданной общей сумме
затрат.
3.3. МОДЕЛЬ ПОВЕДЕНИЯ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ.
Функция предпочтения потребителя на множестве двух товаров выражается целевой
функцией вида:
Вариант
Функция
предпочтения
0
U = у1 у 2
1
U = у1 у2
2
3
D
Р1
Р2
40
2
3
65
10
5
U = у1 у 2  5у1
15
2
2
U = 6 у1  у 2
23
4
2
2
2
2
2
2
Вариант
Функция
предпочтения
U = у1 у 2  у 2
4
D
Р1
Р2
40
10
3
15
1
2
5
U = 3 у1 у 2
6
U = у1  5у 2
35
5
1
7
U = у1  4 у 2
26
6
3
8
U = 2 у1 у 2
42
10
8
9
U = у1  3у 2
50
3
12
2
2
2
2
2
2
Известны цены за единицу каждого вида товара Р1 , Р2 и доход потребителя D . Определить
оптимальные размеры покупок первого и второго видов, численное значение функции предпочтения.
3.4. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.
Используя средства Excel решить задачу оптимального использования ресурсов на максимум
общей стоимости. Ресурсы сырья, норма его расхода на единицу продукции и цена продукции заданы
в соответствующей таблице.
В каждой задаче требуется:
1.
Определить план выпуска продукции из условия максимизации его стоимости;
2.
Определите ценность каждого ресурса (двойственные оценки) и его приоритет при
решении задачи увеличения запаса ресурсов;
3.
Определите суммарную стоимостную оценку ресурсов, используемых при
производстве единицы каждого изделия. Выпуск какой продукции нерентабелен;
4.
На сколько уменьшится стоимость выпускаемой продукции при принудительном
выпуске единицы нерентабельной продукции;
Кроме того, в каждом варианте необходимо выполнить еще два пункта задания (5 и 6).
Вариант 0. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы
сырья, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в таблице.
Тип
Нормы расхода сырья на одно
Запасы
сырья
изделие
сырья
А
Б
В
Г
I
1
2
1
0
18
II
1
1
2
1
30
III
1
3
3
2
40
Цена изделия
12
7
18
10
5.
Определить, как изменятся общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении
запасов сырья I и II вида на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы сырья III
вида.
6.
Определить целесообразность включения в план изделия «Д» ценой 10 ед., на изготовление,
которого расходуется по две единицы каждого вида сырья ед.
Вариант 1. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы
сырья, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в таблице.
Тип
сырья
I
Нормы расхода сырья на одно
изделие
А
Б
В
Г
1
0
2
1
Запасы
сырья
180
II
0
1
3
2
210
III
4
2
0
4
800
Цена изделия
9
6
4
7
5.
Определить, как изменятся общая стоимость продукции и план выпуска при увеличении
запасов сырья II и III вида на 120 и 160 ед. соответственно и одновременном уменьшении на 60 ед.
запасов сырья I вида;
6.
Определить целесообразность включения в план изделия «Д» ценой 12 ед., на изготовление
которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
Вариант 2. Для изготовления трех видов продукции используют три вида сырья. Запасы
сырья, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в таблице.
Тип
Нормы расхода сырья на одно
Запасы
Сырья
изделие
сырья
А
Б
В
I
4
2
1
180
II
3
1
3
210
III
1
2
5
244
Цена
10
14
12
5.
Определить, как изменится общая прибыль продукции и план выпуска при увеличении
запасов сырья I и III вида на 4 ед. каждого;
6.
Определить целесообразность включения в план изделия «Г», на изготовление которого
расходуется соответственно 1, 3 и 2 ед. каждого вида сырья ценой 13 ед. и изделия «Д» на
изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья ценой 12 ед.
Вариант 3. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы
сырья, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в таблице.
Тип
сырья
Нормы расхода сырья на одно
Запасы
изделие
сырья
А
Б
В
Г
I
2
1
3
2
200
II
1
2
4
8
160
III
2
4
1
1
170
Цена изделия
5
7
3
8
5.Определить, как изменится общая стоимость продукции и план выпуска при увеличении запасов
сырья I и II вида на 8 и 10 ед. соответственно и одновременном уменьшении на 5 ед.
запасов сырья III вида;
6.Определить целесообразность включения в план изделия
«Д» на изготовление которого
расходуется по две единицы каждого вида сырья и ожидается прибыль 10 ед.
Вариант 4. На основании информации приведенной в таблице была решена задача
оптимального использования ресурсов на максимум общей стоимости.
Ресурсы
Нормы затрат ресурсов на Запасы
единицу продукции
I вид
II вид
III вид
Труд
1
4
3
200
Сырье
1
1
2
80
Оборудование
1
1
2
140
Цена
40
60
80
5.
Определить, как изменится общая стоимость продукции и план выпуска при увеличении
запасов сырья на 18 единиц;
6.
Определить целесообразность включения в план изделия четвертого вида на изготовление
которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов ценой 70 ед.
Вариант 5. На предприятии выпускается три вида изделий, используется при этом три вида
сырья:
Сырье Нормы затрат ресурсов на единицу продукции Запасы
А
Б
В
сырья
I
18
15
12
360
II
6
4
8
192
III
5
3
3
180
Цена
9
10
16
5.
Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции и план ее выпуска, если запас сырья
I вида увеличить на 45 кг., а II - уменьшить на 9кг.;
6.
Целесообразно ли выпускать изделие Г ценой 11 единиц, если нормы затрат сырья 9, 4 и 6 кг.
Вариант 6. Для изготовления трех видов продукции используют четыре вида ресурсов.
Запасы ресурсов, нормы расхода и цена каждого продукта приведены в таблице.
Ресурсы
Нормы затрат ресурсов на единицу
Запасы
продукции
I вид
II вид
III вид
Труд
3
6
4
2000
Сырье 1
20
15
20
15000
Сырье 2
10
15
20
7400
Оборудование
0
3
5
1500
Цена
6
10
9
5.
Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции и план ее выпуска, если запас сырья
I вида увеличить на 24;
6.
Целесообразно ли выпускать изделие четвертого вида ценой 11 единиц, если нормы затрат
ресурсов 8, 4, 20 и 6 единиц.
Вариант 7. Предприятие выпускает 4 вида продукции и использует 3 типа основного
оборудования: токарное, фрезерное, шлифовальное. Затраты на изготовление единицы продукции
приведены в таблице; там же указан общий фонд рабочего времени, а также цена изделия каждого
вида.
Тип
Нормы расхода сырья на
Общий фонд
оборудования
одно изделие
раб. времени
А
Б
В
Г
Токарное
2
1
1
3
300
Фрезерное
1
0
2
1
70
Шлифовальное
1
2
1
0
340
Цена изделия
8
3
2
1
5.
Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции и план ее выпуска, если фонд
времени шлифовального оборудования увеличить на 24 часа;
6.
Целесообразно ли выпускать изделие «Д» ценой 11 единиц, если нормы затрат оборудования
8, 2 и 2 ед.
Вариант 8. На предприятии выпускается три вида изделий, используется при этом три вида сырья:
Сырье
Нормы затрат ресурсов на
Запасы
единицу продукции
Сырья,
кг.
А
Б
В
I
1
2
1
430
II
3
0
2
460
III
1
4
0
420
Цена
3
2
5
5.
Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции и план ее выпуска, если запас сырья
I вида увеличить на 80 кг., а II - уменьшить на 10кг.;
6.
Целесообразно ли выпускать изделие Г ценой 7 единиц, если нормы затрат сырья 2, 4 и 3 кг.
Вариант 9. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы
сырья, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в таблице.
Тип
сырья
Нормы расхода сырья на одно изделие
А
Б
В
Г
Запасы
сырья
I
2
1
0,5
4
2400
II
1
5
3
0
1200
III
3
0
6
1
3000
Цена изделия
7,5
3
6
12
5. Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции и план ее выпуска, если запас сырья I
вида увеличить на 100кг, а II - уменьшить на 150кг;
6. Целесообразно ли выпускать изделие «Д» ценой 10 единиц, если нормы затрат сырья 2, 4 и 3кг.
3.5. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА.
На трех заводах производится однородная продукции в количестве a1 , a 2 , a3 единиц. Четырем
потребителям требуется соответственно b1 ,b2 ,b3 ,b4 единиц продукции. Расходы
c ij
по перевозке
единицы продукции с i -го завода j -му потребителю
известны (см. Транспортную таблицу). Требуется спланировать перевозку продукции так, чтобы
затраты на транспортировку были минимальными.
Транспортная таблица
Заводы
В1
Потребители
В2
В3
В4
Запас
продукции, ед.
А1
c11
c12
c13
c14
А2
c 21
c22
c23
c24
a2
А3
c32
c32
c33
c34
a3
b3
b4
Потребность в
продукции, ед.
b1
b2
a1
Исходные данные по вариантам заданий указаны в таблице:
Вар
0
700
1
600
2
300
3
200
4
500
5
800
6
200
7
250
8
600
9
900
300
600
400
700
600
1000
500
300
700
800
300
500
600
500
450
300
450
750
300
600
b1
350
400
500
350
500
450
150
200
300
400
b2
b3
b4
350
300
550
150
400
250
400
300
500
550
250
800
400
250
750
350
200
150
550
350
650
200
450
250
350
550
550
350
450
500
c11
7
8
7
9
8
5
3
4
40
6
8
5
7
3
4
5
7
9
7
4
9
2
4
3
7
6
8
4
5
2
3
4
7
8
6
3
8
5
4
9
3
7
5
4
2
8
3
2
5
9
3
4
6
3
2
5
7
5
9
3
8
4
3
3
6
4
9
2
5
8
0
8
7
1
9
4
2
7
8
3
2
9
4
5
6
5
6
4
6
9
6
7
3
4
8
12
8
9
4
3
a1
a2
a3
c12
c13
c14
c 21
c22
c23
Вар
c24
c31
c32
c33
c34
4
3
7
8
6
2
2
3
8
5
3
8
9
7
2
8
7
5
2
5
7
7
9
6
4
6
7
7
4
9
3.6. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.
Производственное объединение выделяет четырем входящим в него предприятиям кредит в
сумме 100 млн ден.ед. для расширения производства и увеличения выпуска продукции. По каждому
предприятию известен возможный прирост f ( X i )( j  1,4) выпуска продукции (в денежном
j
выражении) в зависимости от выделенной ему суммы X i .
Для упрощения вычислений выделяемые суммы кратны 20 млн ден. ед. При этом
предполагаем, что прирост выпуска продукции на j-м предприятии не зависит от суммы средств,
вложенных в другие предприятия, а общий прирост выпуска в производственном объединении равен
сумме приростов, полученных на каждом предприятии объединения.
Исходные данные по вариантам заданий указаны в таблице:
Предприятие
№1
№2
№3
№4
Прирост выпуска продукции на
предприятиях f j  X i  , млн ден. ед.
Выделяемые
средства X i
млн ден. ед.
f1  X i 
10
31
42
20
40
60
f2 X i 
f3 X i 
f4 X i 
p1
11
36
45
16
37
46
p2
p3
Предприятие
№1
№2
№3
№4
Прирост выпуска продукции на
предприятиях f j  X i  , млн ден. ед.
Выделяемые
средства X i
млн ден. ед.
f1  X i 
62
76
80
100
f2 X i 
f3 X i 
f4 X i 
p4
60
77
63
80
p5
Прирост продукции второго предприятия представлен в таблице:
Вариант
p1
p2
p3
p4
p5
0
12
26
36
54
72
1
10
24
34
52
74
2
14
28
38
56
78
3
12
24
36
52
74
4
10
26
34
54
74
5
11
23
33
52
73
6
13
28
37
55
76
7
11
25
36
55
74
8
13
25
35
54
78
9
10
26
37
53
75
Требуется так распределить кредит между предприятиями, чтобы общий прирост выпуска
продукции на производственном объединении был максимальным.
3.7. МОДЕЛИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.
Задача 7.1. Построить граф состояний и найти с помощью уравнений Колмогорова
предельные вероятности состояний системы. Интенсивности потоков событий, переводящих систему
из одного в другое состояние, заданы матрицей λ:
Вариант 0.
Состояния
S1
S2
S3
S4
S1
S2
S3
-
-
2
-
-
-
-
3
-
1
-
6
S4
4
-
-
Состояния
S1
S2
S3
S4
S1
S2
S3
-
-
3
2
1
-
-
-
5
6
-
-
S4
-
4
-
Состояния
S1
S2
S3
S4
S1
S2
S3
-
-
2
-
-
-
-
6
-
1
-
3
S4
4
-
-
5
Вариант 1.
Вариант 2.
5
Вариант 3.
Состояния
S1
S2
S3
S4
S1
S2
S3
-
2
-
-
-
-
1
6
-
-
-
3
S4
4
5
Вариант 4
-
-
Состояния
S1
S2
S3
S4
S1
S2
S3
-
-
5
1
4
-
-
-
-
3
-
-
S4
-
6
Вариант 5.
2
-
Состояния
S1
S2
S3
S4
S1
S2
S3
-
-
1
5
4
-
-
-
-
3
-
-
S4
-
6
2
-
Вариант 6.
Состояния
S1
S2
S3
S4
S1
S2
S3
-
-
-
1
2
-
-
-
6
5
-
3
S4
-
-
5
-
Вариант 7.
Состояния
S1
S2
S3
S4
S1
S2
S3
-
-
5
1
4
-
-
-
-
3
-
-
S4
-
6
-
Состояния
S1
S2
S3
S4
S1
S2
S3
-
-
2
-
-
-
-
1
-
6
-
3
S4
4
5
-
-
2
Вариант 8.
Вариант 9.
Состояния
S1
S2
S3
S4
S1
S2
S3
-
-
2
-
-
-
-
6
-
1
-
3
S4
5
4
-
-
Задача 7.2. Найти вероятность отказа в обслуживании и среднее число занятых мастеров
станции техобслуживания, если на ней работает n мастеров, в среднем в сутки поступает m заявок, а
среднее время обслуживания одной заявки одним мастером составляет t минут.
Вариант
0
1
2
3
4
n
2
3
4
4
3
m
96
144
192
240
192
t
45
42
36
24
48
Вариант
5
6
7
8
9
n
2
2
3
4
4
m
144
192
96
144
288
t
51
39
30
45
15
Выбор вариантов заданий
Например: Студент Петров имеет шифр 517005. По таблице 1 в первом столбце находим
букву П, затем в седьмом столбце находим цифру 5. На пересечении этих строки и столбца находим
номер варианта – 26.
Таблица 1
Последняя цифра номера зачетной книжки
Начальная буква фамилии студента
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
АБ
1
10
12
23
7
6
19
14
16
18
ВГ
2
8
24
9
13
30
4
31
26
15
ДЕЖЗ
3
5
11
7
20
25
28
32
21
29
ИКЛ
22
I
10
27
2
8
21
3
18
33
MHO
4
7
14
11
5
19
12
22
25
30
ПРС
6
9
13
15
28
26
16
20
32
17
ТУФХЦ
24
27
31
33
28
23
1
14
20
6
ЧШЩЭЮ
Я
4
22
12
9
30
19
5
33
25
31
В таблице 2 в строке номера варианта 26 находим варианты каждого задания.
Таблица 2
Номер варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
0
1
4
3
5
4
0
1
8
6
7
2.1-2
2
6
7
1
3
0
5
4
8
9
0
3
4
9
1
0
5
7
6
7
9
2
3
Номера задач
4
1
5
0
6
7
3
2
1
2
0
3
5
5
8
4
2
5
9
3
6
1
5
6
6
7
0
6
7
9
2
3
5
4
2
1
7.1-2
1
3
0
5
4
1
6
2
0
8
4
1
9
2
3
6
9
0
1
3
5
7
8
9
2
4
6
9
0
3
2
2.1-2
6
7
3
2
1
0
1
8
6
7
9
2
3
6
9
0
1
3
5
3
6
0
9
2
4
6
9
0
3
2
5
7
8
3
5
7
8
9
6
Номера задач
4
2
5
7
8
6
7
5
8
0
9
5
4
3
6
7
9
2
3
6
5
7
9
2
3
3
5
3
6
3
2
6
0
1
2
1
0
1
8
4
6
3
5
7
8
9
6
0
3
2
5
7
8
6
3
5
7
8
4
6
7.1-2
4
7
1
9
2
1
0
1
8
0
2
7
8
2
1
2
0
3
1
Номер варианта
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
5
7
8
7
8
9
4
6
0
9
2
3
6
1
2
1
3
9
3
5
4
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Абчук, В.А. Экономико-математические методы. Элементарная математика и логика.
Методы исследования операций / В.А. Абчук. - СПб. : Союз, 1999. - 318 с.
Акулич, Л.И. Математическое программирование в примерах и задачах: учеб. пособие /
И.Л. Акулич. - 2-е изд., испр. и доп. – М: Высш.шк., 1993.
Афанасьев, В.Н. Анализ временных рядов и прогнозирование: учеб. / В.Н. Афанасьев,
М.М. Юзбашев. – М.: Финансы и статистика, 2001.
Белолипецкий, А. А. Экономико-математические методы: учеб. для вузов/ А. А.
Белолипецкий, В. А. Горелик. - М. : Академия, 2010. - 363 с.
Бережная, Е.В. Математические методы моделирования экономических систем:
учеб.пособие / Е.В. Бережная, В.И. Бережной. – М.: Финансы и статистика, 2003.
Волошин, Г. Я. Методы оптимизации в экономике: учеб.пособие для вузов / Г.Я.
Волошин – М.: Дело и Сервис, 2004.
Гатаулин, А. М. Математическое моделирование экономических процессов в сельском
хозяйстве / А.М. Гатаулин , Г.В. Гаврилов, Т.М. Сорокина. –М.:Агропромиздат, 1990 –
432с.
Замков, О.О. Математические методы в экономике: учеб. для вузов / О. О. Замков, А. В.
Толстопятенко, Ю. Н. Черемных ; под ред. А. В. Сидоровича. - 2-е изд. - М. : Дело и
сервис, 1999. - 365 с.
Колеснёв, В. И. Экономико-математические методы и моделирование в землеустройстве:
практикум : учеб. особие для вузов/ В. И. Колеснёв, И. В. Шафранская. - Минск : ИВЦ
Минфина, 2007. - 319 с.
Лопатников, Л. И. Экономико-математический словарь: слов. совр. экон. науки/ Л. И.
Лопатников. - 4-е изд., перераб. и доп. - М. : ABF, 1996. - 701 с.
Маркин, Ю. П. Математические методы и модели в экономике: учеб. пособие для вузов/
Ю. П. Маркин. - М. : Высш. шк., 2007. - 422 с.
Орлова, И. В. Экономико-математические методы и модели : компьютерное
моделирование: учеб. пособие для вузов/ И. В. Орлова, В. А. Половников. - Изд., испр. и
доп. - М. : Вузовский учебник, 2008. - 364 с.
Просветов, Г. И. Эконометрика: задачи и решения: учеб.-метод. пособие/ Г. И.
Просветов. - 4-е изд., доп. - М. : РДЛ, 2007. - 191 с.
Урубков, А. Р. Методы и модели оптимизации управленческих решений: учеб. пособие/
А. Р. Урубков, И. В. Федотов. - М. : Дело , 2009. - 237 с.
Экономико-математические методы и модели: учеб. пособие для вузов/ Р. И. Горбунова
[и др.] ; под ред. С. И. Макарова. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : КноРус, 2009. - 240 с.
Экономико-математические методы и прикладные модели: учеб.пособие для вузов / В.В.
Федосеев [и др.] под ред. В.В. Федосеева. М. : ЮНИТИ, 1999.
Приложение
АЛГОРИТМ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ СРЕДСТВАМИ EXCEL 2003.
1. Открыть Excel 2003.
2. В первой строке второго столбца сделать надпись Переменные.
3. Во второй строке, начиная со второго столбца проставить переменные Х1, Х2, Хз, Х4
введенные в задаче как количество ковров каждого типа.
4. В третьей строке первого столбца сделать надпись значение. В задаче оптимальные
значения вектора Х =(Х1, Х2, Хз, Х4) будут помещены в ячейках ВЗ:ЕЗ, в которые будет помещен
результат решения (изменяемые ячейки) .
5. В четвертой строке первого столбца сделать надпись коэф. в ЦФ. Начиная со второго
столбца ввести коэффициенты в целевой функции – цены каждого вида ковров.
6. В четвертой строке после введенных коэффициентов оставить ячейку F4, в которой будет
оптимальное значение целевой функции f(x) = 3Х1 +4Х2 +3Х3 +Х4  max .
7. Вводим формулу для расчета целевой функции. Курсор поставить в ячейку F4 и выбрать
кнопку Мастер функций (рисунок 1):
Рисунок 1. Ввод Мастер функций
На экране появится диалоговое окно Мастер функций. Выбрать категория – математические,
функция – СУММПРОИЗВ.
В открывшемся диалоговом окне Функции на СУММПРОИЗВ ввести:
в массив 1 - значения переменных В3:E3,
в массив 2 - коэффициенты целевой функции В4:E4,
в массив 3 – ничего не вводить. Нажать кнопку ОК и в ячейке F4 будет введена функция, как
показано на Рисунке 2.
Рисунок 2. Ввод функции для вычисления целевой функции
8. В пятой строке второго столбца сделать надпись Ограничения. В шестой строке первого
столбца ввести надпись Вид ресурсов, начиная с шестого столбца ввести левая часть, знак, правая
часть.
9. В седьмой строке первого столбца сделать надпись труд. Начиная со второго столбца
ввести нормы расхода труда на единицу изготовления каждого вида ковров.
В шестом столбце необходимо ввести правую часть ограничения по труду 7Х1 +2Х2 +2Х3
+6Х4. В ячейке F7 вводим формулу для расчета ограничения с использованием функции
СУММПРОИЗВ (п.7):
в массив 1 - значения переменных В3:E3,
в массив 2 – нормы расхода труда В7:E7,
в массив 3 – ничего не вводить и нажать кнопку ОК.
10. В восьмой и девятой строках ввести ограничения по сырью и оборудованию, аналогично
п.9.
На этом ввод зависимостей закончен. Содержимое ячеек F4 – F9 необходимо проверить. Они
обязательно должны содержать информацию.
Таким образом, введены исходные данные:
Рисунок 3. Данные введены
11. В строке «Меню» указатель мышки поставить на вкладку «Сервис». В развернутом меню
команда «Поиск решения». Появляется диалоговое окно «Поиск решения» (рисунок 4):
Рисунок 4. Диалоговое окно «Поиск решения»
12. Установить целевую ячейку – вводим адрес целевой функции F4 и направление целевой
функции - максимальному значению.
Рисунок 4. Ввод целевой ячейки и изменяемых ячеек
13. Поставить курсор в поле Изменяя ячейки и ввести значения переменных В3:E3 (рисунок
4).
14. Ввести курсор в поле Ограничения и нажать клавишу Добавить. Появится диалоговое
окно Добавление ограничения.
Вводим ограничение неотрицательности хi  0,
i  1,3 : ставим курсор в окно ссылка
на ячейку – вводим адрес ячейки В3; затем переходим в окно, содержащее знак, и становить знак
ограничения >=; перейти в окно ограничение и ставим «0».
Рисунок 6. Ввод условия неотрицательности для Х1
Нажать кнопку Добавить и повторить процедуру для остальных переменных.
15. Вводим ограничение по ресурсам: ставим курсор в окно ссылка на ячейку – вводим адрес
ячейки F4; затем переходим в окно, содержащее знак, и установить знак ограничения <=; перейти в
окно ограничение и вводим адрес ячейки H7. Нажать кнопку Добавить и повторить процедуру для
остальных ограничений по ресурсам.
Рисунок 7. Ввод ограничения по труду
Изменения и удаления введенных ограничений делается с помощью кнопок Изменить и
Удалить.
После ввода последнего ограничения нажать ОК и на экране появится диалоговое окно
Поиск решения с введенными условиями (Рисунок 8):
Рисунок 8. Введены все условия для решения задачи
16. В диалоговом окне Поиск решения вводим параметры для решения задачи, для этого
переходим на кнопку Параметры.
В окне параметры поиска решения установить флажок Линейная модель, что обеспечивает
применение симплекс-метода и нажать команду ОК (Рисунок 9):
Рисунок 9. Ввод параметров
17. На экране появится диалоговое окно Поиска решения, нажать команду Выполнить (На
экране диалоговое окно Результаты поиска решения – Рисунок 10):
Рисунок 10. Решение найдено.
Если указать типы отчетов,
то можно получить дополнительную информацию об
оптимальном решении.
Существует три типа таких отчетов.
1.
Отчет по результатам. В отчет включаются исходные и конечные значения целевой и
влияющих ячеек, дополнительные сведения об ограничениях.
Рисунок 11. Отчет по результатам
2. Отчет по устойчивости: отчет, содержащий сведения о чувствительности решения к
малым изменениям в изменяемых ячейках иди в формулах ограничений.
Рисунок 12. Отчет по устойчивости
3. Отчет по пределам:
Рисунок 13. Отчет по пределам
Помимо исходных и конечных значений изменяемых и целевой ячеек в отчет включаются
верхние и нижние границы значений, которые могут принимать влияющие ячейки при соблюдении
ограничений.
Лицензия на издательскую деятельность
ЛР № 070444 от 11.03.98г.
Подписано в печать. Формат 60x84 1/16.
Усл. п. л. 1,39. Тираж 50 экз.
Издательство Иркутской государственной
сельскохозяйственной академии
664038, Иркутская обл., Иркутский р-н,
пос. Молодежный