Первообразная

Первообразная
Функция F называется первообразной для функции f на некотором
промежутке, если для всех х из этого промежутка верно равенство F '(x)=f(x).
Если функция у=F(x) является первообразной для функции y=f(x) на
некотором промежутке, то и функция y=F(x)+C (С – постоянная) является
первообразной для функции f на этом промежутке.
Функция f
k
(постоянная)
Общий вид
первообразных
для f
kx+C
xn
nZ,
n - 1
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
+C
1
sin x
cos x
1
cos2 𝑥
1
sin2 𝑥
- cos x+C
sin x+C
tg x+C
- ctg x+C
√𝑥
2√𝑥+C
Правила нахождения первообразных
Правило 1. Если F есть первообразная для f, а G – первообразная для g,
то F+G есть первообразная для f+g.
Правило 2. Если F есть первообразная для f, а k – постоянная, то функция
kF – первообразная для kf.
Правило 3. Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b – постоянные,
1
причем k0, то 𝐹(𝑘𝑥 + 𝑏) - первообразная для f(kx+b).
𝑘
Примеры решения задач
Пример 1. Доказать, что первообразной для функции f(x)=2x – 3 является
функция F(x)=x2 – 3x.
Решение. F ‘(x)=(x2 – 3x)’=2x – 3=f(x).
Ответ: F ‘(x)=f(x).
Пример 2. Для функции f(x)=3x2 – 2 найдите первообразную, график
которой проходит через точку Р( - 1; 0).
Решение. F(x)=x3- 2x+C. Зная, что график функции у=F(x) проходит через
точку Р( - 1; 0), получим – 1+2+С=0, откуда С= - 1. Следовательно,
F(x)=x3- 2x - 1.
Ответ: F(x)=x3- 2x – 1
Пример 3. Найти общий вид первообразной для функции 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 +
Решение. Так как для х3 одна из первообразных есть
1
𝑥4
4
, а для
1
𝑥2
1
𝑥2
.
одной из
первообразных является − , то одной из первообразных для функции
3
𝑓(𝑥) = 𝑥 +
1
𝑥4
𝑥
4
будет
2
𝑥
1
𝑥4
𝑥
4
− . Т.е. F(x)=
1
− +C.
𝑥
Ответ:
𝑥4
4
1
− +C
𝑥
Упражнения
1. Найдите общий вид первообразных для функции:
1) 𝑓(𝑥) = 4 sin 𝑥 + cos 3𝑥
3) 𝑓(𝑥) =
3
𝑥4
−
2) 𝑓(𝑥) =
1
cos2 𝑥
4) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 −5 + 𝑥 2+√3
2√𝑥
5) 𝑓(𝑥) = cos 𝑥
7) 𝑓(𝑥) =
1
6) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − cos 2𝑥
2
𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥
+
3
8) 𝑓(𝑥) = sin 3𝑥 −
𝑠𝑖𝑛2 3𝑥
9) 𝑓(𝑥) = (4 − 5𝑥)3 −
1
(2𝑥−1)3
10) 𝑓(𝑥) = 2 +
2
cos2
𝑥
2
3
𝑥−1
2. Найдите общий вид первообразных для функции:
1) 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥 4
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + cos 𝑥
3) 𝑓(𝑥) = 4𝑥
4) 𝑓(𝑥) = −3
5) 𝑓(𝑥) = 𝑥 6
6) 𝑓(𝑥) =
8) 𝑓(𝑥) = 𝑥 5
9) 𝑓(𝑥) = (4 − 5𝑥)3 −
7) 𝑓(𝑥) = 1 −
1
𝑥4
10) 𝑓(𝑥) = 2 +
1
𝑥 3 −2
1
(2𝑥−1)3
3
𝑥−1
3. Для функции f(x) найдите первообразную, график которой проходит через
точку М:
2
1
𝑥
𝑒
2) 𝑓(𝑥) = (2 − 3𝑥)2 , 𝑀(1; 2)
1) 𝑓(𝑥) = , 𝑀( ; 2)
𝜋
3) 𝑓(𝑥) = sin 2𝑥, 𝑀( ; −2)
4
𝜋
𝜋
2
2
𝜋
4) 𝑓(𝑥) = 𝑥 −2 + cos 𝑥 , 𝑀( ; − )
𝜋
5) 𝑓(𝑥) = √2 cos 𝑥, 𝑀 ( ; 2)
6) 𝑓(𝑥) = 2 cos 𝑥, 𝑀(− ; 1)
7) 𝑓(𝑥) = 𝑥 −4 , 𝑀(2; −3)
8) 𝑓(𝑥) = −
9) 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥 2 , 𝑀(−3; 9)
10) 𝑓(𝑥) = sin 2𝑥, 𝑀(0; 1)
4
2
1
√𝑥+1
, 𝑀(0; 3)
4. Запишите уравнение кривой:
1) Проходящей через точку А(2; 3), если угловой коэффициент касательной в
точке с абсциссой х равен 3х2
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
5. Является ли функция F первообразной для функции f на R:
1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1, 𝐹(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥
2) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3, 𝐹(𝑥) = 𝑥 2 + 3𝑥 + 1
3) 𝑓(𝑥) = −
1
𝑥3
− cos 𝑥, 𝐹(𝑥) =
1
𝑥2
4) 𝑓(𝑥) = sin 2𝑥 + 3, 𝐹(𝑥) = −
5) 𝑓(𝑥) =
𝑥4
4
− sin 𝑥
cos 2𝑥
2
+ 3𝑥
+ 𝑥, 𝐹(𝑥) = 𝑥 3 + 1
6) 𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 5, 𝐹(𝑥) = −
𝑥4
4
+ 5𝑥 + 2
7) 𝑓(𝑥) = 1 − sin 𝑥, 𝐹(𝑥) = 𝑥 + cos 𝑥
𝑥
𝑥
2
2
8) 𝑓(𝑥) = − cos + 1, 𝐹(𝑥) = −2 sin + 𝑥
9) 𝑓(𝑥) = −4𝑥 3 , 𝐹(𝑥) = 5 − 𝑥 4 ,
10) 𝑓(𝑥) = cos 𝑥, 𝐹(𝑥) = 3 − sin 𝑥
6. Для функции f найдите первообразную F, принимающее заданное значение в
данной точке:
1) 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 − cos 𝑥, 𝐹(𝜋) = 1
3) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 5, 𝐹(1) = −2
5) 𝑓(𝑥) =
7) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2
1
2) 𝑓(𝑥) =
4) 𝑓(𝑥) =
𝑥2
3
−
1
√𝑥−2
3
𝑥2
, 𝐹(3) = 5
, 𝐹(6) = 10
, 𝐹 ( ) = −12
2
6) 𝑓(𝑥) = sin 𝑥, 𝐹(−𝜋) = −1
1
8)
cos2 𝑥
𝜋
, 𝐹( ) = 0
4
9) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 , 𝐹(−1) = 2
10)
7. Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на указанном
промежутке:
1) 𝐹(𝑥) = 𝑥 5 , 𝑓(𝑥) = 5𝑥 4 , 𝑥 ∈ (−∞; +∞)
2) 𝐹(𝑥) = 0,5 cos 2𝑥 , 𝑓(𝑥) = − sin 2𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑅
3) 𝐹(𝑥) = 𝑥 −3 , 𝑓(𝑥) = −3𝑥 −4 , 𝑥 ∈ (0; +∞)
4) 𝐹(𝑥) = sin 3𝑥 , 𝑓(𝑥) = 3 cos 3𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑅
5) 𝐹(𝑥) =
𝑥7
7
, 𝑓(𝑥) = 𝑥 6 , 𝑥 ∈ (−∞; +∞)
6) 𝐹(𝑥) = 4𝑥 5 , 𝑓(𝑥) = 20𝑥 4 , 𝑥 ∈ (−∞; +∞)
7) 𝐹(𝑥) = −
𝑥 −6
6
, 𝑓(𝑥) = 𝑥 −7 , 𝑥 ∈ (0; +∞)
8) 𝐹(𝑥) = 4𝑥√𝑥, 𝑓(𝑥) = 6√𝑥, 𝑥 ∈ (0; +∞)